Integración. du sinh udu = cosh u + c, cosh udu = sinh u + c, cosh 2 = tanh u + c, = f(u)du = F (u) + c = F (ϕ(x)) + c.

Transcripción

1 Integrión Integrles indefinids Definiión. Diremos que F :, b) R es un primitiv de f :, b) R undo F ) f),, b). Usremos el símbolo F ) f) pr denotr que F ) es un primitiv de f). Observión. Tods ls primitivs de f difieren entre ells en un onstnte. Por eso esribiremos f) F ) +, donde l onstnte libre R reibe el nombre de onstnte de integrión. Teorem. f ontinu f dmite primitiv. Tbl de primitivs inmedits. A prtir de l list de derivds de funiones elementles dd en el tem nterior, se obtiene l siguiente tbl: u α uα+ + α, ln u +, e u e u +, α + u u u + >, sin u os u +, os u sin u +, ln os tn u +, rsin u +, rtn u +, u u + u sinh u osh u +, osh u sinh u +, osh tnh u +, u rgsinh u +, rgosh u +, rgtnh u +. + u u u Observión. En l tbl nterior se puede pensr que u ϕ) y ϕ ). Conretmente, si F ) f) es un primitiv de f), entones fϕ))ϕ ) u ϕ) ϕ ) ] fu) F u) + F ϕ)) +. Se debe prtir todo lo que se neesrio hst dquirir soltur en el álulo de primitivs inmedits. Ejemplo. A ontinuión dmos lgunos ejemplos de primitivs inmedits: ] sin tn os u os ln u + ln os +, sin u ] sin n u sin os u n un+ os n + + n + sinn+ +, ] 4 3 u u /3 u 4/ / ) 4/3 +, ] epe + ) epe )e u e e e u e u + epe ) +. Uno puede sltrse los psos intermedios undo h dquirido l soltur ntes meniond. Cmbios de vrible. Un método potente pr lulr primitivs onsiste en relizr un proeso inverso l seguido en l seión nterior: ] ϕt) f) ϕ fϕt))ϕ t)dt. t)dt Este proeso se denomin mbio de vrible, pues mbimos l viej vrible por un nuev vrible t, esperndo simplifir l integrl. Los mbios de vrible tmbién se pueden esribir l revés; es deir, poniendo l nuev vrible en funión de l viej: t η) y dt η ). Relizr mbios de vrible es un rte dífiil, pues hy pos regls preiss pr deidir el mbio deudo en d so. En ls siguientes págins desribiremos lguns de ess regls.

2 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf Observión. Es impresindible desher el mbio de vribles después de lulr l primitiv. Ejemplo. A ontinuión dmos lgunos ejemplos de mbios de vrible: t ln4) ln) ln4) e t /4 lne t /) t ln dt dt dt t t t ln ln t + ln4) ln ln ln4) +, t + + t + t + t tdt tdt rtn + dt ln t 3 + t Coiente de t + dt polinomios t t + ) dt dt 4 + t t3 3 t + 4t 4 ln + t + / ln + +, t rtn ) tn t tn t t dt tn tdt t / dt dt + ln os t t3/ 3/ + ln osrtn ) 3 rtn3/ +. El último resultdo se puede reesribir pr que quede más bonito medinte el siguiente truo: tn t sin t os t sin t os t os t + sin t + ) os t os t ±. + El signo menos qued desrtdo, pues si, entones t rtn y os t. Por tnto, rtn + ln + ) 3 rtn3/ +. Integrión por prtes. L fórmul udv uv v se suele reordr medinte l siguiente regl memoténi: un dí ví un v vestid de uniforme. Est fórmul sirve pr lulr integrles del tipo f)g ), en uyo so se debe esoger omo u f) el ftor que se fáil de derivr y omo dv g ) el ftor que se fáil de integrr. Observión. L senill regl memoténi ALPES Aros, Logritmos, Polinomios, Eponeniles y Senos/osenos) suele ser útil pr deidir qué se integr y qué se deriv. Por ejemplo, pr integrr por prtes e derivmos el polinomio u e integrmos l eponenil dv e, pues l letr P preede l letr E en l plbr ALPES. Ejemplo 3. A ontinuión dmos lgunos ejemplos de integrión por prtes: ] e u ], dv e, v e e e u, dv e, v e ) e e e + )e +, ] n u ln, ln dv n n+, v n+ n+ n + ln n n + n+ ln ) +, rtn n + n + u rtn, + dv, v rtn ] rtn + + rtn ln + ) +. dt t ]

3 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf 3 Ejeriio. Probr integrndo por prtes dos vees que e sinb) b osb) sinb) + b e, e osb) osb) + b sinb) + b e. Integrles rionles. Un funión rionl es un oiente de polinomios: f) p)/q) on p), q) R]. Ls integrles de ests funiones se denominn integrles rionles. Ls friones simples son quells funiones rionles de lgun de ls siguientes forms: A ) n, A + B α) + β ) n donde A, B,, α, β R y n N. Neesitremos lulr ls integrles de ests friones simples pr lulr integrles rionles. Ls siguientes fórmuls ubren los sos más senillos: ln +, si n, ) n ) n, si n, n α) + β ) α β rtn +, β α) + β ) ) α β 3 rtn + α β β α) + β +. Ejeriio. Probr ls fórmuls nteriores. Indiión: Relizr el mbio de vrible u α)/β en ls dos últims integrles y, diionlmente, el mbio t rtn u o u tn t) en l terer integrl. Ejemplo 4. Clulr l integrl rionl ++. Ls ríes del denomindor q) + + son omplejs onjugds:, α ± βi ± i, luego q) α) + β + ) +. Est mner de esribir los polinomios de segundo grdo sin ríes reles se denomin ompletr udrdos. El numerdor p) tiene grdo uno. Por tnto, l frión p)/q) es simple, unque su integrl no pree en l list nterior. Pr lulrl, debemos troerl en dos prtes, un que gener un logritmo y otr que gener un ro tngente: ln + + ) rtn + ) +. + ) + No he flt poner el vlor bsoluto en el logritmo, y que el denomindor es siempre positivo. Tod funión rionl f) p)/q) se puede esribir omo un polinomio más un sum de uns unts friones simples. El polinomio es el oiente ) de l división p)/q). Si r) es el resto de es mism división, entones p)/q) ) + r)/q) on grr)] < grq)] y l sum de friones simples se obtiene enontrndo ls ríes reles y omplejs onjugds) del denomindor q) y busndo los numerdores deudos en d frión simple pr que se umpl l identidd r) q) Tods ls friones simples on denomindores de l form: ) n, si es un ríz rel de multipliidd m y n m α) + β ) n, si α ± βi son ríes omplejs de multipliidd m y n m Observión. Si grp)] < grq)], entones el oiente es ) y el resto es r) p). Ejemplo 5. Clulr l integrl rionl f), donde f) p)/q), p) 5, q) En este so, ) y r) p), pues grp)] < grq)]. Medinte el método Ruffini vemos que q) ) + ) + ), luego l desomposiión de f) omo sum de friones simples es: f) p) q) A + B ) + C + + D + E +,.

4 4 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf donde ls onstntes A, B, C, D, E R de los denomindores se determinn imponiendo que se umpl l identidd nterior. Se obtiene A 5, B, C, D 9 y E 7. Por tnto, f) 5 ) ln + + ln rtn 7 ln + ) +. Integrles trigonométris. Son integrles de l form Rsin, os ), donde Rsin, os ) es un epresión rionl en ls funiones sin y os. Ce fuer de este onteto tod integrl on ríes, logritmos, eponeniles o eponentes no enteros, unque teng senos y osenos. Por ejemplo, epsin ) y os sin no son integrles trigonométris. En primer lugr, onviene reordr ls reliones trigonométris os + sin y os + os, sin os, sin os sin, os os sin. Usndo ests reliones, es posible omprobr que ulquier integrl de l form Rsin, os ), on R rionl, se puede trnsformr en un integrl rionl medinte un mbio de vrible deudo. El mbio depende de l form que teng R. Ls regls son ls siguientes: Cso R impr en el seno: t os, dt sin. Cso R impr en el oseno: t sin, dt os. Cso R pr en seno y oseno: t tn, rtn t, dt +t, sin t y os. +t +t Cso R generl: t tn/), rtn t, dt +t, sin t +t y os t +t. Comprobmos que ls epresiones de los dos últimos sos pr sin y os son orrets usndo el truo visto l finl del ejemplo : { t tn sin os os sin t os os + sin + t ) os +t sin t. +t Observión. Estos utro mbios están ordendos en orden de difiultd reiente. Si relizmos lguno de los tres primeros mbios sin que R teng l form deud, entones no se obtiene un integrl rionl. Sólo el último mbio funion en el % de los sos, pero intentremos evitrlo pues es el mbio más omplido. Ejemplo 6. A ontinuión dmos por orden un ejemplo de d uno de los utro sos nteriores: ] sin + os t os dt rtn t + rtnos ) +, dt sin + t os 3 sin n + os tn+ t sin os t dt os t )t n dt n + tn+3 n sinn+ n + t tn dt +t os +t ) t + rtn rtn t n dt sinn+3 n + 3 +, dt + + t +t dt + t tn ) +, t n+ dt

5 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf 5 ] t tn/), dt + sin os +t dt sin t +t, os t +t + t +t t + t +t dt dt t + t t dt ln t ln t + + t + ln t + t + ln tn/) + tn/) +. Integrles que ontienen ierts ríes. Ls integrles de funiones que ontienen l epresión α se suelen lulr medinte el mbio α sin t, α os tdt. Ejemplo 7. En el siguiente ejemplo, plimos el mbio nterior on α 4. ] 4 sin t 6 4 os tdt 4 os tdt 6 sin t 4 os t dt 6 sin t 6 + u u + u 6 u 6u + Integrles definids 6 tn t + u tn t dt +u sin t u +u Queremos lulr el áre omprendid entre el eje horizontl y l gráfi de un funión ontinu positiv f definid en un intervlo ompto, b]. A prtir de hor, el símbolo b f) denotrá el vlor de es áre, entendiéndose que hblremos áre on signo es deir, áre positiv donde f y áre negtiv donde f ) undo l funión f es negtiv en lgunos puntos del intervlo, b]. A ontinuión, definimos on más preisión el signifido del símbolo b f). L ide bási es obtener el áre soid un funión f :, b] R omo el límite de l sum de ls áres on signo de iertos retángulos on bses d vez menores. Pr eso neesitmos fijr ls bses de los retángulos lo ul nos one l onepto de prtiión) y después ls lturs de los retángulos lo ul nos one l onepto de sum de Riemnn). Definiión. Un prtiión de un intervlo ompto, b] es un onjunto de puntos ordendos < < < N < N b. L ntidd má j N j, on j j j, es el tmño de l prtiión. Definiión. Se f :, b] R un funión. Dd un prtiión rbitrri del intervlo, b] omo l nterior y unos puntos rbitrrios j j, j ], j,..., N, entones N f j ) j j es un sum de Riemnn de l funión f en el intervlo, b]. L nterior sum de Riemnn se puede interpretr omo l sum de ls áres de los N retángulos de bses j y lturs f j ). Pree lógio pensr que l sum de ls áres de esos N retángulos tenderá b f) si tommos retángulos de bse d vez menor; es deir, si. Sin embrgo, esto no es siempre ierto, lo ul motiv l siguiente definiión. Definiión. Se f :, b] R un funión otd. Diremos que f es integrble en el sentido de Riemnn) si eiste el límite de sus sums de Riemnn undo, en uyo so esribiremos b N f) lím f j ) j. j Diremos que l ntidd b f) es l integrl definid de l funión f en el intervlo, b].

6 6 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf Teorem. f ontinu en, b] f integrble en, b]. Notión. f) y b f) b f). Ls propieddes básis de l integrl son: Aditividd: Si < < b, entones b f) f) + b f). Linelidd: Si α, β R, entones b αf) + βg) ) α b f) + β b g). Monotoniidd: Si f) g) pr tod, b], entones b f) b g). Teorem Regl de Brrow). Si f :, b] R es un funión ontinu y F :, b] R es un primitiv de f, entones b ] b f) F ) F b) F ). Demostrión. Se < < < N < N b un prtiión rbitrri del intervlo, b]. Usndo el teorem del vlor medio pr l funión F ) en d intervlo j, j ], sbemos que eisten unos puntos j j, j ] tles que F j ) F j ) F j ) j j ). Por tnto, N F b) F ) F j ) F j ) ) N F j ) j j ) ) N b f j ) j f) j j undo, debido que f es integrble y l últim sum es un sum de Riemnn de l funión f en el intervlo, b]. Definiión. Si f :, b] R es un funión integrble, f b b j f) es su promedio. Teorem Teorem del vlor medio pr integrles). Si f :, b] R es un funión ontinu, entones eiste, b] tl que f f) o, equivlentemente, b f) b )f). Demostrión. Como f es ontinu y, b] es ompto, sbemos que eisten m, M, b] tles que fm) f) fm) pr todo, b]. L propiedd de monotoniidd de l integrl impli que b )fm) b fm) b f) b fm) b )fm). Dividiendo ls desigulddes nteriores por b, vemos que fm) f fm). Finlmente, omo f es un funión ontinu en, b], el teorem del vlor intermedio impli que eiste un punto m, M, b] tl que f) f. Ejemplo 8. L funión f) 3 es ontinu en el intervlo ompto, 4] y su promedio es f ) 3 3 ] )/3 6. Por tnto, sbemos que eiste lgún punto, 4] tl que 3 f) 6 o, equivlentemente, 3 6. Ls soluiones de est euión de segundo grdo son ± ± ± 7, 4], + 8/3, 4]. 3 3 Desrtmos l primer soluión, pues e fuer del intervlo, 4]. Así pues, 8/3 es el punto prediho por el teorem del vlor medio. Definiión. Si f :, b] R es un funión ontinu, entones su funión integrl es l funión F :, b] R dd por F ) ft)dt.

7 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf 7 Observión. L vrible mud t que pree en el integrndo no debe ser l mism que l vrible que pree en el etremo de l integrl. Esribir f) o t ft)dt es un error de prinipinte. Teorem Teorem fundmentl del álulo). Si f :, b] R es ontinu y F ) ft)dt, entones F :, b] R es derivble y F f. Demostrión. Usndo l propiedd de ditividd de l integrl y el teorem del vlor medio pr integrles, deimos que si, + h, b], entones eiste un punto, h), + h tl que F + h) F ) +h ft)dt ft)dt Finlmente, bst lulr l derivd medinte l definiión: pues f es ontinu y lím h, h). +h ft)dt hf, h)). F F + h) F ) ) lím lím f, h)) f), h h h Ejemplo 9. L funión f) ln + e) es ontinu en el intervlo, + ). Busmos l ret tngente l gráfi de su funión integrl F ) ft)dt en el punto de bis. Sbemos que y F ) + F ) ) es l ret tngente en el punto. En nuestro so, luego F ) F ) ft)dt, F ) F ) f) ln e. Así pues, l ret tngente es y + ), l bisetriz del primer y terer udrntes. Teorem Regl de Leibniz). Si f es ontinu, α y β son derivbles y G) β) ft)dt, entones α) G es derivble y G ) fβ))β ) fα))α ). Demostrión. Si F es un primitiv de f, l regl de Brrow impli que G) F β)) F α)). Por tnto, G ) F β))β ) F α))α ) fβ))β ) fα))α ). Ejemplo. L derivd de G) 3 sin tdt es G ) sin 3 )3. Integrión numéri Definiión. Se f :, b] R un funión integrble y onsidermos l prtiión uniforme de N intervlos dd por j + jh, j,..., N, donde l ntidd h b )/N reibe el nombre de pso de integrión. Se f j f j ). Entones: f + f + + f N + f N ) es l regl de los trpeios. T N f;, b]) b N ) S N f;, b]) b 3N f + 4f + f + 4f f N + 4f N + f N es l regl de Simpson. En este segundo so se neesit que N se pr. L regl de los trpeios se llm sí debido que el vlor proimdo T N f;, b]) es igul l áre debjo de l line poligonl que une los puntos j, f j ) pr j,..., N. Es deir, T N f;, b]) es l sum de ls áres de los trpeios de bses j j j h b )/N y lturs f j, f j pr j,..., N. En mbio, S N f;, b]) es igul l áre debjo de l funión onstruid por N/ ros de prábols, de form que el ro j-ésimo interpol los puntos j, f j ), j, f j ) y j, f j ) pr j,..., N/. Por eso se neesit que N se pr en l regl de Simpson. Observión. Si f :, b] R es un funión ontinu y onve, entones T N f;, b]) b f), pues el ldo superior de d trpeio está por debjo de l gráfi de l funión f). Por ontr, si f es onv, entones T N f;, b]) b f).

8 8 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf Si l funión f es sufiientemente regulr, mbs regls dn proimiones numéris del vlor de l integrl b f) y ls proimiones dds son más preiss onforme ree el número N de subintervlos en l prtiión. Además, se intuye que l regl de Simpson es más preis que l regl de los trpeios, pues l proimión de un gráfi por ros de prábol es más preis que l proimión por lines poligonles. Est intuiión qued onfirmd por los siguientes resultdos: Si f C, b]) y M má,b] f ), entones b f) T N f;, b]) M b ) 3 N b )M h Oh ). Si f C 4, b]) y M 4 má,b] f 4) ), entones b f) S N f;, b]) M 4 b ) 5 8 N 4 b )M 4 h 4 Oh 4 ). 8 De r implementr estos métodos en un ordendor, result interesnte observr que S N f;, b]) 4T Nf;, b]) T N f;, b]). 3 Apliiones de l integrl En ls signturs Cálulo y Euiones Difereniles se verán vris pliiones físis de l integrl: ms, entros de ms, momentos de ineri, etéter. En est signtur nos entrmos en ls siguientes pliiones geométris. Áre entre dos gráfis. Si S {, y) R : g) y f),, b] } es l región pln omprendid entre ls gráfis de uns funiones f, g :, b] R, entones AreS] b f) g) ). Volumen de un uerpo revoluión por el método de los disos o nillos). Eje de revoluión horizontl. Se W R 3 un uerpo de revoluión uyo eje de revoluión es prlelo l eje. Si W es l únión disjunt de nillos D) de rdios r) R) on, b], entones VolW ] b AreD)] π b R ) r ) ). Eje de revoluión vertil. Se W R 3 un uerpo de revoluión uyo eje de revoluión es prlelo l eje y. Si W es l únión disjunt de nillos Dy) de rdios ry) Ry) on y, d], entones VolW ] d AreDy)]dy π d R y) r y) ) dy. Volumen de un uerpo revoluión por el método de los ilindros o ps). Eje de revoluión horizontl. Se W R 3 un uerpo de revoluión uyo eje de revoluión es prlelo l eje. Si W es l únión disjunt de ilindros Cy) de rdios ry) y lturs hy) on y, d], entones VolW ] d AreCy)]dy π d ry)hy) dy. Eje de revoluión vertil. Se W R 3 un uerpo de revoluión uyo eje de revoluión es prlelo l eje y. Si W es l únión disjunt de ilindros C) de rdios r) y lturs h) on, b], entones VolW ] b AreC)] π b r)h).

9 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf 9 Longitud de un urv. Si C es l gráfi de un funión f :, b] R, entones b LongC] + f ) ). Áre de un superfiie de revoluión. Si S es l superfiie de revoluión obtenid l girr l gráfi de l funión f :, b] R lrededor del eje, entones b AreS] π f) + f ) ). Ejemplo. Clulr el áre de l región enerrd por l elipse / + y /b, donde, b >. L elipse es simétri respeto mbos ejes de oordends, luego el áre totl es igul utro vees el áre de l prte de l elipse ontenid en el primer udrnte. Además, el áre de es urt prte es igul l áre debjo de l gráfi de l funión f) b / undo, ]. Por tnto, Áre 4 f) 4b ] sin t, os tdt t, t π/ π/ π/ 4b os ) ] tπ/ tdt b + ost) dt b t + sint) πb. Ejemplo. Clulr l longitud del stroide /3 + y /3. El stroide es simétrio respeto mbos ejes de oordends, luego l longitud totl es igul utro vees l longitud de l prte del stroide ontenid en el primer udrnte. Además, l longitud de es urt prte es igul l longitud de l gráfi de l funión f) /3) 3/ undo, ]. Observmos que f ) 3 /3 ) / 3 /3 /3) / /3. Por tnto, Longitud f ) ) 4 /3 /3 4 /3 ] t t t + /3 ) /3 L integrl definid /3 tiene un difiultd téni y oneptul que hst hor no hbímos visto. El integrndo h) /3 es un funión no otd en el intervlo de integrión, pues lím + h) +. Este tipo de integrles se denominn impropis est en onreto es un ejemplo de integrl impropi de segund espeie) y se estudin en l últim seión del tem. Ejemplo 3. Clulr el volumen del uerpo de revoluión W R 3 obtenido l girr respeto l eje l región pln S limitd por ls urvs 6. y 3, y, 8. En primer lugr, result impresindible dibujr l región S de l form más preis posible, de r representr orretmente el uerpo W. Por el método de ls ps. En l región S l vrible y se mueve en el intervlo, d], ] y el ilindro soido l vrible y tiene ltur hy) 8 y 3 y rdio ry) y. Por tnto, VolW ] π d ry)hy)dy π y8 y 3 )dy π 8y y 4 )dy π 4y y5 5 ] y y 96π 5. Por el método de los disos. En l región S l vrible se mueve en el intervlo, b], 8]. Además, el diso soido l vrible tiene rdio R) 3. Por tnto, b 8 ] VolW ] π R ) π /3 5/3 8 π 96π 5/3 5.

10 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf Integrles impropis Ls integrles impropis son integrles definids uyo intervlo de integrión tiene longitud infinit integrles impropis de primer espeie), uyo integrndo lnz un vlor infinito en lgún punto integrles impropis de segund espeie) o mbs oss l vez integrles impropis de terer espeie). Un integrl impropi puede tener un vlor finito, un vlor más o menos) infinito o no tener ningún vlor definido. Empezmos onsiderndo quells integrles impropis on integrndo otdo en todo el intervlo de integrión, pero que diho intervlo se de l form, + ). L difiultd rdi en que, unque y hemos definimos el signifido de ls integrles definids M f) pr todo M >, ún no hemos definido el signifido de l integrl impropi + f). Como es nturl, l integrl impropi se define medinte el orrespondiente límite. Vmos verlo. Definiión. Dd un funión f :, + ) R que se integrble en todos los intervlos omptos de l form, M], on M >, diremos que l integrl impropi + f) es onvergente undo el M límite lím M + f) eiste y tom un vlor finito. Y diremos que es divergente de lo ontrrio, lo ul inluye tnto que el límite nterior no eist omo que el límite se más o menos) infinito. Si el límite eiste, entones esribiremos + M f) lím M + f). Est definiión sólo lrifi un tipo de integrles impropis, pero hy muhos otros tipos. Podemos onsiderr, por ejemplo, integrles on integrndo otdo en todo el intervlo de integrión, pero que diho intervlo se de l form, b]. O integrles impropis on intervlo de integrión otdo, pero que el integrndo vlg infinito en uno de los dos etremos del intervlo. Estos utro tipos de integrles impropis se resumen en el siguiente udro. Funión Intervlos omptos Límite que d l integrl impropi Impropi Espeie + M f :, + ) R, M], M > f) lím f) En + M + b f :, b] R N, b], N < b f) f) En f :, b] R α, b], α, b] f :, b) R, β], β, b) b b lím N b N b f) lím f) En α + α β f) lím f) En b β b Cudro. Los utro tipos de integrles impropis más senillos. Medinte l propiedd de ditividd podemos esribir ulquier integrl impropi omo un sum de integrles impropis de ls utro forms nteriores. Por ejemplo: Si f es ontinu en R, entones + f) f)+ + f), on R rbitrrio. Si f es ontinu en el intervlo bierto, b) y vle infinito en mbos etremos y b, entones esribiremos b f) f) + b f), on, b) rbitrrio. Si f es ontinu en el intervlo bierto, + ) y vle infinito en, entones esribiremos + f) f) + b f), on, + ) rbitrrio. Si f es ontinu en todo R menos en un punto donde vle infinito, entones esribiremos + f) f) + f) + b f) + + f), pr lgunos < < b. b Ejemplo 4. Muy importnte) Ls siguientes integrles impropis preen en inontbles osiones: α { α+, si α > onvergente) +, si α divergente) + α { α+, si α < onvergente) +, si α divergente)

11 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf Vemos omo se pruebn estos resultdos. Si α, tenemos que ] α lím α α+ ɛ α+ lím lím ɛ + ɛ ɛ + α + ɛ ɛ + α + + M ] α lím α α+ M lím M + M + α + Los álulos undo α son más simples. Conretmente, + lím ɛ + lím M + ɛ M lím ɛ + ln ] { α+, si α > +, si α < M α+ lím M + α + ɛ lím ln ɛ + + ɛ lím ] M ln M + lím ln M +. M + { α+, si α < +, si α > El letor debe onvenerse de que si integr l funión f) α en intervlos de l form, b] y b, + ) on b > rbitrrio, se obtiene l mism lsifiión onvergente/divergente que en el intervlo, ] y, + ), respetivmente. Eso es debido que el ráter onvergente/divergente de un integrl impropi sólo depende del omportmiento del integrndo er de los puntos donde l integrl es impropi. Ejemplo 5. + α α + + α siempre es divergente, pues en el ejemplo nterior hemos visto que l menos un de ls dos integrles vle infinito. Ejemplo 6. Ls siguientes integrles impropis son onvergentes: + + e M lím M + + lím M + ln lím ɛ + ɛ e + lím M + lím e ] M lím M + e M ), M + ] M rtn lím rtn M π/, M + ln lím ɛ + ln ] ɛ lím ɛ + ɛ ln ɛ + ɛ ). L últim primitiv se h luldo integrndo por prtes, tomndo u ln y dv. El límite lím ɛ + ɛ ln ɛ se lul plindo el método de L Hôpitl. Ls dos ides fundmentles pr estudir l onvergeni de integrles impropis son: Usr el onepto de onvergeni bsolut pr reir el estudio de ls integrles impropis de funiones que mbin de signo l so de funiones positivs; y Aplir los riterios de omprión y del oiente pr reir el estudio de ls integrles impropis de funiones positivs omplids l so de funiones positivs más senills. Observión. L interpretión de l integrl de funiones positivs omo el áre por debjo de l gráfi de l funión yud entender muhos de los resultdos que ontinuión se dn sin pruebs. Definiión. Diremos que l integrl impropi de un funión f) es bsolutmente onvergente si l orrespondiente integrl impropi de l funión positiv f) es onvergente. Teorem. Tod integrl impropi bsolutmente onvergente es onvergente. Observión. El reíproo no es ierto. Veremos en el ejemplo que l integrl + onvergente pero no bsolutmente onvergente. sin es Teorem Criterios de omprión). Los utro riterios de omprión básios son:. Si ls funiones f, g :, + ) R son ontinus y f) g) undo +, entones g onvergente f onvergente, y f divergente g divergente.. Ídem si ls funiones f, g :, b] R son ontinus y f) g) undo.

12 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf 3. Ídem si ls funiones f, g :, b] R son ontinus y f) g) undo Ídem si ls funiones f, g :, b) R son ontinus y f) g) undo b. L ide prinipl de l demostrión onsiste en reordr l propiedd de monotoniidd de l integrl, luego f g en los intervlos deudos y, ontinuión, observr que tod integrl impropi de un funión positiv o bien es onvergente o bien es igul +. Ejemplo 7. Estudir l onvergeni de l integrl impropi + e. L funión f) e es pr, luego + f) + f). A priori, no podemos lulr el vlor eto de est integrl, pues no onoemos ningun primitiv de l funión f). Por tnto, estudiremos l onvergeni plindo el riterio de omprión. Pr ello, neesitmos enontrr un funión g) que sí sepmos integrr tl que f) g) undo +. Esogemos g) e. Ls funiones f) y g) son ontinus en, + ) y f) g) pr tod. Efetivmente: e e. Vimos en el ejemplo 6 que + e < +. Por tnto, + e + e es onvergente. Observión. L integrl impropi + e es bstnte fmos y reibe el nombre de integrl gussin. Es posible lulr su vlor eto usndo ténis de álulo en vris vribles. Conretmente, veréis que + e π en l signtur de Cálulo. Teorem Criterios del oiente). Los utro riterios del oiente básios son:. Sen f, g :, + ) R funiones ontinus, positivs undo + y L lím + f) g). Si L, entones: g onvergente f onvergente; Si L +, entones: g divergente f divergente; y Si < L < +, entones: g onvergente f onvergente.. Ídem si f, g :, b] R son ontinus, positivs undo y L lím f) g). 3. Ídem si f, g :, b] R son ontinus, positivs undo + y L lím + f)/g). 4. Ídem si f, g :, b) R son ontinus, positivs undo b y L lím b f)/g). Dd un integrl impropi on un integrndo positivo omplido f), busremos un integrndo positivo más senillo g) que nos permit plir el riterio del oiente deudo. De r deidir qué funión g) debemos esoger, suele ser útil estudir el omportmiento de l funión f) er del punto donde l integrl originl se impropi. Ejemplo 8. Estudir l onvergeni de l integrl impropi + rtn 3 +sin. Estudiremos l onvergeni plindo lguno de los riterios nteriores, y que no onoemos ningun primitiv de l funión f) rtn 3 +sin. Pso : Dónde es impropi l integrl? L funión f) es ontinu en el intervlo, + ), pues el denomindor no se nul undo. De heho, 3 + sin 3 pr todo. Por tnto, l integrl sólo es impropi en +. Pso : Cómo se omport f) undo +? Estudimos d prte de f) por seprdo. Por un ldo, lím + rtn π/, luego el numerdor se omport omo π / undo +. Por el otro ldo, sin osil entre y, mientrs que 3 ree sin prr undo +, luego el denomindor se omport omo 3 undo +. Combinndo ests observiones, vemos que si +, entones f) se omport omo g) π / 3 π 4. Pso 3: Aplir el riterio del oiente. L funión g) π 4 es positiv y L f) lím + g) lím rtn π 3 + sin ) π lím rtn + + sin π 3 π/ +.

13 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf 3 Además, + g) π + 4 es divergente, tl y omo se vió en el ejemplo 4. Por tnto, el riterio del oiente impli que l integrl impropi + f) es divergente. Ejemplo 9. Estudir l onvergeni de l integrl impropi + os 5 ) +e +sin. Estudiremos l onvergeni plindo lguno de los riterios nteriores, y que no onoemos ningun primitiv de l funión f) os5 ) +e +sin. Pso : Dónde es impropi l integrl? L funión f) es ontinu en el intervlo, + ), pues el denomindor no se nul undo. De heho, + sin + e + e pr todo. Por tnto, l integrl sólo es impropi en +. Pso : Cómo se omport f) undo +? En primer lugr, l funión f) es positiv undo +, pues tnto el denomindor omo el numerdor son positivos. Estudimos d prte de f) por seprdo. Conretmente, el numerdor osil entre los vlores y, y que os 5 ) osil entre y. Además, + sin osil entre y 3, mientrs que e ree sin prr undo +, luego el denomindor se omport omo e undo +. Pso 3: Aplir el riterio de omprión. L funión g) e es fáil de integrr y f) os5 ) + e + sin + e e g), pr tod. Además, + g) + e < es onvergente, tl y omo se vió en el ejemplo 6. Por tnto, el riterio de omprión impli que l integrl impropi + f) es onvergente. Ejemplo. Estudir l onvergeni de l integrl impropi + os 5 ) +e +sin. Est integrl pree si igul que l nterior, pero ontiene un difiultd diionl. El numerdor de l funión h) os5 ) +e +sin osil entre y 3, luego mbi de signo infinits vees undo +. Por tnto, no es posible plir diretmente ninguno de los riterios. Sin embrgo, si podemos dptr el rzonmiento del ejemplo 9 l funión h). Conretmente, h) os5 ) + e + sin 3 + e 3 e, pr tod. Por tnto, + h) 3 + e 3, luego + h) es bsolutmente onvergente y, finlmente, + h) es onvergente. Ejemplo. L integrl + sin es onvergente pero no bsolutmente onvergente. Estudiremos l onvergeni plindo lguno de los riterios nteriores, y que no onoemos ningun primitiv de l funión f) sin. Pso : L integrl + f) es onvergente. En primer lugr, reordmos que si definimos f), entones f) es ontinu en. Por tnto, l integrl + f) sólo es impropi en +. Desomponemos l integrl en dos prtes: + f) f)+ + f). L primer integrl definid no es impropi, luego tiene un vlor finito. Pr probr l onvergeni de l segund, integrmos por prtes: + ] sin u, lím os ] M ) M os dv sin, v os M + ) os M M + os) lím M + M + os os) os. L funiones h) os y g) son ontinus y h) g) pr todo. Además, + g) +, tl y omo se vió en el ejemplo 4. Por tnto, plindo el riterio de omprión obtenemos que + h) es bsolutmente onvergente, luego

14 4 Depositdo en rfel/integrionsin.pdf + + h) es tmbién onvergente. En prtiulr, + f) os) + h) es onvergente. Pso : L integrl + f) es divergente. Empezmos on un desiguldd senill: R sin sin sin f) sin sin os. Esto es todo lo que se neesit pr probr el ráter divergente, pues f) + f) + + os + + os t dt +. t Al finl hemos usdo que l integrl + es divergente lo vimos en el ejemplo 4), mientrs que l integrl + os t t es onvergente esto se prueb medinte un integrión por prtes ompletmente nálog l efetud en el primer pso). Observión. L integrl impropi + sin tmbién es fmos y reibe el nombre de integrl de Dirihlet. En el ejemplo nterior hemos probdo que l integrl de Dirihlet es onvergente pero no bsolutmente onvergente. Eso signifi que l sum de ls áres positivs y negtivs es igul infinito, mientrs que l difereni d un vlor finito. De heho, es posible lulr ese vlor finito eto usndo trnsformds de Lple. Conretmente, + sin π/.