5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO

Transcripción

1 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO. PUNTOS EN EL ESPACIO Semos que pr determinr l posiión de un punto en el plno neesitmos tomr, por un prte, un sistem de refereni, por otr, medir ls oordends del punto respeto l sistem de refereni elegido. En urso nteriores hemos visto que si se eligen en el plno un sistem de refereni rtesino, d punto viene determindo por sus dos oordends (, ) ; de est form lolimos el punto midiendo sus distnis los dos ejes de refereni: Pr poder medir ls distnis e neesitmos tomr uniddes de refereni en los dos ejes oordendos. Si representmos dihs uniddes de refereni por medio de dos vetores perpendiulres unitrios ( j ) une el origen on el punto [ ] se: i., estos serán un se pr los vetores del plno ( V ), el vetor que P, se puede esriir omo ominión linel de los vetores de l OP i j - 6 -

2 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio De igul mner si queremos determinr un punto del espio deemos tomr un sistem de refereni ls oordends del punto respeto l sistem elegido. Tommos un punto fijo O (origen) tres direiones indids pr tres vetores no oplnrios e, e, e que formn un se en puede esriir omo ominión linel de los vetores del se OP V ; ulquier punto P determin on O el vetor e e e OP que se omo semos, los números (, ) e, e, e, son ls oordends del vetor OP respeto l se Ddo que de est form determinmos ulquier punto P del espio, podemos deir que el onjunto O ; e, e, e es un sistem de refereni en el espio E, que d punto le hemos orresponder un vetor d vetor le orresponden uns oordends de R A CADA PUNTO DE E le orresponde P OP UN VECTOR DE le orresponde UNAS COORDENADAS DE V R (,, ) De quí en delnte, mientrs no se dig otr os, empleremos un se ortonorml, formd por tres vetores igules, perpendiulres entre sí, que tomremos de módulo unidd, que designremos por ( i, j, k ) ; dihos vetores orientn tres ejes oordendos (,, ), omo indin l figur: - 6 -

3 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio. ECUACIONES DE LA RECTA Podemos onsiderr un ret omo un onjunto de puntos en EL espio que mntienen un mism direión. Estmos ostumrdos representr un ret en diujo por los que nos es fáil imginrnos qué form tiene. Como hemos visto en el prtdo nterior, un punto qued determindo por ls tres oordends del vetor que une el origen on el punto. De l mism mner, un ret puede determinrse medinte un euión us soluiones sen los puntos que perteneen l mism: ) Euión vetoril de l ret. Se un ret r que ps por el punto P (, ) v i j k, llmdo vetor diretor de l ret, o o que l direión del vetor Representemos por P (, ) figur, se umple:, ulquier punto que pertene l ret r ; omo vemos en l - 6 -

4 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio PP OP OP OP v siendo un número (prámetro) que dependerá de l situión del punto P Si epresmos l iguldd nterior en funión de ls oordends de los vetores tenemos l euión vetoril de l ret: (,, ) (,, ) (,, ) Ejemplo. ) Enontrr l euión de l ret que ps por el punto A (,-,) ontiene omo vetor diretor w ( i j k) ret u oordend. d) Indir si el punto (, ) ) L euión de l ret es:,,,,,,. ) Enontrr un punto de l ret. ) Enontrr el punto de dih ( ) ( ) ( ), pertenee dih ret ) Pr enontrr puntos en l ret deemos dr vlores en l euión nterior, por ejemplo pr (,, ) (,, ) (, 4, 7), 4, 7 es un punto de l ret el punto ( ) ) El punto usdo será de l form (, ) (,, ) (,, ) (,, ), luego: deemos enontrr el vlor de que umple es euión; pr ello identifimos ls oordends de donde,,,,,, el punto usdo ( ) ( ) ( ) d) Pr que el punto (, ) (,, ) (,, ) (,, ), pertene l ret dee eistir lgún vlor de que umpl: identifindo ls oordends otenemos el siguiente sistem: que es inomptile, luego el punto (,, ) no pertenee l ret. ) Euión prmétri de l ret Si en l euión vetoril de l ret seprmos ls tres oordends, tenemos l euión prmétri - 6 -

5 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio R on Ejemplo. Enontrr el vetor diretor de l ret - - r L ret r tiene l vetor k i omo vetor diretor ) Euión ontinu de l ret Si en l euión prmétri de l ret despejmos el prámetro e igulmos tenemos: que es l euión de l ret en form ontinu Ejemplo. Esriir l form ontinu de l euión de l ret que ps por los puntos ( ),, A ( ),, B Si tenemos en unt que los denomindores de l form ontinu son ls oordends de un vetor de l ret o tmién 4 d) Euión implíit de l ret Si en l euión ontinu desglosmos ls euiones que epresn l iguldd otenemos l euión implíit:

6 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio A B C D A B C D en l que A i, Bi, Ci, Di, son números El signifido de los oefiientes del sistem lo terminremos de entender undo vemos el párrfo siguiente; por hor sólo delntmos que se trt de l ret delimitd por dos plnos que se ortn Ejemplo 4. Esriir en tods sus forms l euión de l ret que ps por el punto (, ) ontiene el vetor (,, ) - form vetoril (,, ) (,, ) δ (,, ) - form prmétri δ δ δ - form ontinu: - form implíit, Ejemplo. Esriir en form prmétri en form ontinu l ret vetor diretor enontrr el El sistem lo podemos esriir en l form : que es omptile indetermindo; de donde: 4-6 -

7 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio hiendo tenemos 4 en form ontinu: 4 uo vetor diretor es 4 i j k Ejemplo 6. Demostrr que l euión de l ret que ps por los puntos ( ), ( ),, puede esriirse en l form: En efeto el vetor diretor de l ret es ( ),, luego su euión prmétri es: ( ) ( ) ( ) ( ) pr poder eliminr el prámetro tendrá que ser o ien determinnte uo desrrollo es igul l propuesto omo fáilmente se puede ompror:.. ECUACIONES DEL PLANO Podemos onsiderr un plno omo el onjunto de puntos que mntienen dos direiones. L euión que determin los puntos del plno se puede epresr de vris forms:

8 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio ) Euión vetoril del plno vetores Se el plno π en el ul tommos un punto fijo P (, ) v i j k w i j k, dos direiones según los Si tommos un punto genério del plno P (, ),, se umple que: OP OP P P o o pero el vetor Po P es ominión linel de los vetores v w, es deir P o P v η w luego OP OP o v η w que puede onsiderrle omo l euión vetoril del plno; si epresmos dih euión en funión de ls oordends de los vetores, tenemos: (,, ) (,, ) [,, ] η(,, ), η R Ejemplo 7. Enontrr l euión del plno que ps por el punto (, ) i j i j k,,,,,,,, ( ) ( ) ( ) ( ), ontiene los vetores

9 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio Ejemplo 8. Estudir si los puntos A (,, ) B,, está, en el plno,,,,,, 4,, ( ) ( ) ( ) ( ) El punto A estrá en el plno si eisten vlores de, que umpln ls igulddes: (,, ) (,, ) (,, ) ( 4,, ) que identifindo ls oordends nos d el sistem: 4 pr que este sistem teng se omptile determindo deerá umplirse que el rngo de l mtri mplid dee ser, luego: 4 7 luego el sistem es inomptile, por lo que no eisten vlores de los prámetros que umpln ls,, no es un punto del plno igulddes nteriores; sí pues, el punto ( ) Repitmos los psos pr el punto B,, luego el punto B está en el plno ) Euión prmétri del plno Si en l euión vetoril seprmos ls oordends en tres euiones, otenemos l euión prmétri del plno:, R ) Euión generl o implíit del plno

10 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio Pr poder eliminr los dos prámetros en l euión prmétri, el rngo de l mtri mplid dee ser, luego: que es un euión implíit del plno. Si desrrollmos el determinnte, otenemos l euión generl del plno A B C D Ejemplo 9. Enontrr l euión implíit generl del plno que ps por los puntos (,, ) B (,, ) C (,, ) Los vetores AB (,, ) (,, 4) AC perteneen l plno, luego: 4 es l euión implíit del plno usdo. Si desrrollmos el determinnte otenemos l euión generl 9 A, d) Euión norml del plno En ls tres situiones nteriores hemos determindo l euión del plno prtir de un punto dos vetores, linelmente independientes, ontenidos en el plno. Otr form de determinr un plno es onoiendo un punto del mismo un direión perpendiulr él. Se P (, ) n Ai Bj Ck, un punto del plno π tomemos un vetor perpendiulr. Pr ulquier punto P (, ),, el vetor Po P es perpendiulr l vetor n

11 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio n A( ) B( ) C( ) Luego P P que es l euión norml del plno. Si desrrollmos efetumos los álulos otenemos l euión generl del plno A B C D en l que D ( A B C ) Ejemplo. Enontrr el plno que ps por el punto (,, ) Como el vetor (, ) P es perpendiulr l ret, está en l ret, será perpendiulr l plno usdo, luego ( ) ( ) ( ) será el plno usdo. Efetundo ls operiones simplifindo tenemos l euión generl del plno usdo:.4 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Semos que en el plno dos retos o oiniden, o se ortn, o son prlels; pero en el espio h un terer posiión que ls rets pueden rurse sin tener ningún punto en omún Sen dos rets: r : s : - 7 -

12 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio ) Supongmos que l rets se ortn en un punto En est so eiste un vlor de un vlor de pr los ules se umple: pr que este sistem teng soluión, el rngo de l mtri mplid dee ser, luego: Rng ) Si ls rets no se ortn, entones el determinnte de l mtri nterior no es nulo, en este so estudimos l situión de los vetores diretores de ls rets. - ) Ls rets se run en el espio si: Rng - ) Ls rets son prlels o oiniden si Rng Pr ver si son prlels o oinidentes st on sustituir un punto de un ret en l otr ompror si umplen l euión Ejemplo. Estudir l posiión reltiv de ls rets r: s: 6

13 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio luego ls rets no se ortn Como Rn, ls rets no son ni prlels ni oinidentes, se trt de dos rets que se run en el espio. Ejemplo. Estudir l posiión reltiv de ls rets r: s: 4 4 Rng Por otr prte omo 4 Rng los vetores diretores tienen l mism direión, luego ls rets son prlels o oinidentes; si sustituimos el punto ( ),, de r en l ret s, tenemos: 4 que es un sistem inomptile, luego ls rets son prlels. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS En el espio, dos plnos pueden ortrse en un ret, ser prlelos o oinidir

14 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio Si el sistem formdo por los plnos d d tiene soluión, los plnos se ortn en un ret; pr ello d d Rng Rng - Si los rngos nteriores no oiniden el sistem es inomptile, por los que los plnos no tiene ningún punto en omún son prlelos. - Finlmente si d d Rng Rng los plnos son oinidentes: Ejemplo. Estudir l posiión reltiv de los plnos : π, : π Rn Rng los plnos se ortn en l ret Ejemplo 4. Enontrr el vetor diretor de l ret delimitd por los plnos del ejemplo Semos que l ret es Por otr prte, el vetor ( ),, es perpendiulr l plno π, mientrs el que el vetor ( ),, es perpendiulr l plno π. El vetor diretor de l ret será perpendiulr mos vetores que se enuentr en los dos plnos, luego tendrá l mim direión que el produto vetoril de los dos vetores; es deir: k j i K J I 8 es el vetor diretor de l ret

15 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio.6 POSICIÓN RERLATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO Un ret un plno pueden ortrse o ser prlelos según teng soluión o no el sistem formdo por l ret el plno Ejemplo. Estudir l posiión reltiv del plno π : 4 l ret Si esriimos l ret en form prmétri sustituimos en l euión del plno ( ) ( ) ( ) 4 otenemos un euión u inógnit es el prámetro u resoluión nos drá, si eiste, el punto de interseión de l ret el plno. Como 8, l ret el plno se ortn en el punto: ( 7,,-6) Ejemplo 6. Estudir l posiión reltiv del plno de l ret r el plno π : δ r : δ s : - δ - Si l ret plno se ortn dee tener soluión el sistem

16 Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio δ δ δ que por trtrse de un sistem de tres euiones on tres inógnits, tendrá soluión si es de Crmer. luego l ret el plno no tienen ningún punto en omún, es deir, son prlelos. Ejemplo 7. Enontrr l situión reltiv de l ret r: el plno Si ess rets se ortn, el sistem formdo por los trs plnos dee tener por soluión el punto de interseión de ms rets. omo, el sistem tiene soluión, por lo que ms rets son sentes en el punto 6