UNIDAD 7 Trigonometría

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1 UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 1 de 6 Hemos visto que, medinte l estrtegi de l ltur, podemos resolver triángulos ulesquier trzndo un de sus lturs y resolviendo los dos triángulos retángulos que se formn. Si en vez de seguir est estrtegi on d triángulo en prtiulr, l relizmos on un triángulo ulquier de ldos,, y ángulos A ì, ì, ì, otenemos uns fórmuls on ls que l resoluión de triángulos oliuángulos se reliz de form si utomáti. TEOREMA DE LOS SENOS En un triángulo ulquier, si dos ldos son igules sus ángulos opuestos tmién lo son; y si un ldo es myor que otro, sus ángulos opuestos tmién umplen l mism relión. Est propiedd se onret del siguiente modo: En un triángulo ulquier de ldos,, y ángulos A ì, ì, ì, se umplen ls siguientes igulddes: sen A ì sen ì sen ì A D Pr demostrr l primer de ls igulddes, se trz l ltur sore el ldo, on lo que se otienen dos triángulos retángulos AD y D. En AD: sen A ì 8 sen A ì En D: sen ì 8 sen ì sen A ì sen ì 8 sen A ì sen ì Trzndo l ltur desde el vértie A se otendrí l segund iguldd.

2 UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 2 de 6 APLIAIONES DEL TEOREMA DE LOS SENOS El teorem de los senos d lugr tres igulddes: sen A ì sen ì sen ì sen ì sen A ì sen ì d un de ells relion dos ldos on los ángulos opuestos. Por tnto, on ells se puede resolver un triángulo en el ul los dtos y ls inógnits sen dos ldos y sus ángulos opuestos. (Reordemos que onoer dos ángulos es equivlente onoer los tres). TRIÁNGULOS QUE SE PUEDEN RESOLVER DATOS Dos ángulos y un ldo Dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos INÓGNITA Otro ldo Otro ángulo undo l plir el teorem de los senos l inógnit es uno de los ángulos, puede er dos soluiones, pues y dos ángulos on el mismo seno, uno gudo y otro otuso. A 1 A 2 A^ 1 es otuso; A^ 2 es gudo Vemos dos ejemplos de pliión: Ejemplo 1 L distni de A es 47 m. onoemos los ángulos A ì 109, ì 58. uál es l distni de? 47 m 58 A 109 x Empezmos por lulr ì, que es el ángulo opuesto l ldo onoido: ì 180 (A ì + ì ) 13 Aplimos el teorem de los senos: x sen x 47 sen ,55 sen 13 sen 13 Soluión: L distni de es de 197,55 m.

3 UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 3 de 6 Ejemplo 2 Vmos resolver el ejeriio resuelto de l págin 157 del liro, medinte el teorem de los senos. Quieres onoer el no de un río y l ltur de un árol que está en l orill opuest. Pr ello, te sitús frente l árol y mides el ángulo que form on l orizontl l visul l prte lt del árol (41 ). Te lejs del árol en direión perpendiulr l orill, ndndo 25 m. Vuelves medir el ángulo que form on l orizontl l visul l prte lt del árol. Aor son m A x H En el triángulo A onoemos dos ángulos, ì 23, A ì Por tnto, podemos lulr el terer ángulo: ì 180 ( ) 18 Aplindo el teorem de los senos, podemos lulr el ldo A : sen 23 31,6 m sen 23 sen 18 sen 18 onoiendo, ipotenus del triángulo retángulo AH, podemos llr sus tetos: sen 41 20,7. L ltur del árol es 20,7 m. x os 41 23,8. El no del río es de 23,8 m. Ls diferenis oservds on relión l soluión de l págin 157 son deids los redondeos efetudos en los psos intermedios.

4 UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 4 de 6 TEOREMA DEL OSENO El teorem de Pitágors se generliz pr triángulos ulesquier medinte ls siguientes igulddes: En un triángulo ulquier se umple que: os A ì os ì os ì m n A D Pr demostrr l primer de ls igulddes, plimos el teorem de Pitágors en d uno de los dos triángulos retángulos que se formn l trzr l ltur, AD y D. En D n 2 2 +( m) m 2 2m En AD m 2 Restndo: m m 9(*) os A ì (*) Pr llegr l últim iguldd, tenemos en uent que en AD os A ì m 8 m os A ì Ls otrs dos igulddes se pruen de form similr.

5 UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 5 de 6 APLIAIONES DEL TEOREMA DEL OSENO El teorem del oseno sirve pr relionr los tres ldos de un triángulo on uno de sus ángulos. Por tnto, se podrá resolver on él ulquier triángulo en el que se onozn los tres ldos, o ien, dos ldos y un ángulo. TRIÁNGULOS QUE SE PUEDEN RESOLVER DATOS Los tres ldos Dos ldos y un ángulo INÓGNITA ulquier ángulo Otro ldo undo se onoen dos ldos,,, y el ángulo que formn, ì, y se dese onoer otro ángulo, A ì, es neesrio plir suesivmente los dos teorems: on el teorem del oseno, lulmos : os ì onoido, plimos el teorem de los senos pr lulr A ì : sen A ì Por ejemplo: Ejemplo 1 A^ Primero se lul, después A^. 8 sen A ì sen ì 8 A ì sen ì onoemos 132 m, 213 m, 156 m. lulr el ángulo ì os ì. De est iguldd despejmos os ì : os ì , ì 95, ' 38'' ({ \} I { «\\} I ß { o o««})

6 UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 6 de 6 Ejemplo 2 onoemos 137 m, 211 m, ì 43. lulr el ldo y el ángulo A ì os ì os , ,52 144,94 El ldo mide, proximdmente, 145 m. 137 m 43 on el teorem de los senos: sen A sen sen A 144,94 sen m sen A ì 137 sen 43 0,6446 A ì 144,94 40, ' 19'' A ATIVIDADES 1 onoemos 7 m, 11 m, 15 m. lul ì. Soluión: 2 Semos que l distni en líne ret de Perles iruelo de Arri es 3,6 km y de Perles iruelo de Ajo, 5,4 km. El ángulo que formn iruelo de Arri y iruelo de Ajo, desde Perles, es de 57. uál es l distni entre iruelo de Arri y iruelo de Ajo? Soluión: 3 onoemos 17 m, 11 m, A ì 113. lul ì. (Reuerd, primero s de lulr ). Soluión: