TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.

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1 TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.. Áre jo un urv El prolem que pretendemos resolver es el álulo del áre limitd por l gráfi de un funión f() ontinu y positiv, el eje X y ls siss = y =. Si l gráfi de f() es un ret o un ro de irunfereni se puede lulr el áre on ls fórmuls onoids de áres de polígonos. Sin emrgo, si l gráfi de f() es un urv ulquier podemos proimrnos l vlor del áre medinte el siguiente proeso: Dividimos el intervlo [,] en n troitos (suintervlos). Formmos n retángulos por defeto, d uno de ellos sore d uno de los n suintervlos, y otros n por eeso. L sum de ls áres de los retángulos nos drá dos proimiones del áre, un por defeto y otr por eeso. Tommos nuevs prtiiones del intervlo más pequeñs (intervlos de menor mplitud). Proediendo de igul mner que ntes, otendrímos nuevs proimiones del áre d vez mejores, que se errín d vez más un vlor omún (el áre que usmos). Se formn sí dos suesiones de áres, un por defeto y otr por eeso. El límite, undo el número de puntos de l prtiión tiende + (o, lo que es lo mismo, undo ls mplitudes de los suintervlos tienden ), de ms oinide y es el áre usd. /7 IBR IES LA NÍA

2 Si f() es un funión ontinu en el intervlo [,] definimos l integrl definid de l funión en el intervlo [,] omo el límite de ls áres por defeto y por eeso definids nteriormente. Se represent: f ( ) d.. Regl de BARROW Como es fáil de omprender, el método que mos de desriir es muy engorroso poo que l funión f() se omplique. En el siglo XVII, Is Brrow puso en oneión los oneptos de derivd e integrl, l drse uent de que l derivd de l funión que proporion el áre jo un urv es l funión mism que represent dih urv. Si f() es un funión ontinu en [,], l integrl definid de f() es f ( ) = F ( ) F ( ), siendo F() un funión que umpl F ( ) = (l funión F() es un primitiv ulquier de f()). Tn importnte es est relión de l integrl on l derivd, que el álulo de primitivs se desrrolló independientemente del álulo de áres, psndo llmrse "integrl indefinid". Mientrs que lo que en un prinipio se llmó integrl", psó ser l "integrl definid". No es pues de etrñr que el estudio tul del álulo integrl se hg preismente l ontrrio de ómo surgió relmente. Primero se estudi el álulo de integrles indefinids (primitivs de funiones), pr después plir ests ténis l álulo de áres (integrl definid). L integrl, junto on l derivd, se onstituyó en un herrmient enormemente poderos pr epresr y lulr diversos oneptos importntes de l físi, eonomí, et.. El áre, el volumen y l longitud de ls urvs fueron los primeros; el trjo, omo integrl de l fuerz que reorre un espio; el udl, omo integrl del flujo en un orriente no homogéne; el espio reorrido por un móvil, omo l integrl de l veloidd; l ineri de un uerpo on respeto un eje de giro, omo integrl de l ms por el udrdo de l distni l eje, son otros de los numerosos ejemplos de pliilidd de l integrl. Ejemplos: ) Áre limitd por = y el eje X desde = hst =: 6 d = + C = + C + C = + C C = u ) Clul d, + < = : + 7 d = ( + ) d + ( + 7) d = = = [ ] = + = /7 IBR IES LA NÍA

3 . Cálulo de Áres Si queremos lulr el áre limitd por = y el eje de siss desde = hst =: ( 7 6) d = + = + + = = = En este so: Áre= ( 7 + 6) d = u Áre limitd por [ ] send - - = sen y el eje de siss desde = hst = - [ ] send = os = ( os) ( os( )) = =, est - integrl tmpoo oinide on el áre. En este so ls dos zons mrds tienen l mism áre, pero l integrl es negtiv en l primer y positiv en l segund, por eso d. Serí mejor lulr: [ ] send = os = ( os) ( os ) = ( ) = = os = ( os) ( os( )) = = = Áre = u Luego, no siempre l integrl oinide on el áre que desemos lulr, solo undo ) Si f() tiene signo onstnte en [, ]: Si en [,] A d = = Si en [,] A d ) Si f() mi de signo en [,]: ( ),o mejor: = ( ) + ( ) A = f ( ) d + f ( ) d A f d f d /7 IBR IES LA NÍA

4 Por tnto, pr lulr el áre de un región determind por l gráfi de un funión, el eje X y ls siss = y =, deemos hllr los puntos de orte de l gráfi on el eje X pr ser si el signo de f() en [,] es onstnte o no. Si el signo es onstnte A = d. Si hy eros de f() el áre será l sum de los vlores solutos de ls integrles en d suintervlo. Ejeriios: º) Clul el áre de l siguiente figur siendo l práol y= y l ltur horizontl 6 º) Clul el áre enerrd por = + y el eje X [(,-,), 5/] < º) Se puede lulr l siguiente integrl d siendo =? Coinide on el áre? º) En l gráfi se indi el áre de los diferentes reintos que determin on el eje OX l g gráfi de un funión h(). Hll h ( ) d f, ( ) ( ) h d + h d 5º) Clulr el áre del reinto limitdo por l urv de euión = y ls rets = -, = e y =. [59/](Jun-6) + 6º) ) Otener rzondmente l siguiente integrl d ( + ) + ) Aplindo l regl de Brrow, lulr + d (Sep-) ( + ) + 7 ln + z 6 7º) Hll todos los vlores reles z tles que d = ln 5 (Jun-) [9 y ] 5. Áre limitd por l gráfi de dos funiones 8º) Clul el áre limitd por 5 = + y ) = [,] /7 IBR IES LA NÍA

5 El áre del reinto limitdo por ls gráfis de dos funiones, f y g, tles que ) en [,] es: = ( ( ) ( )) A f g d Tmién puede ourrir que en [,] no se umpl ) (l gráfi de f está por enim de l g), ni ) (l gráfi de f está por dejo de l gráfi de g), es deir, que f() y )se orten en ese intervlo, por ejemplo en =. Como en el intervlo [,] ), el áre del primer reinto será: = ( ) A ) d. Como en el intervlo [,] ), el áre del segundo reinto será: = ( ) Luego, en generl, hllremos los puntos de orte de ls dos gráfis: Si f y g no se ortn en [,] = ( ( ) ( )) que ). Si f y g se ortn en ], [ A ) d., d igul que ) A f g d = ( ( ) ( )) + ( ( ) ( )) A f g d f g d o Ejeriios: 9º) Clul el áre omprendid entre l ret = y ls urvs y=², y=8/ (.u²) º) Ls funiones = + y ) = determinn dos reintos errdos on los ejes. Clul el áre de los dos reintos. º) Áre omprendid entre l urv =, el eje de siss y ls rets vertiles que + psn por los puntos de infleión de dih urv. [,6] º) Clul el áre omprendid entre l gráfi de =, el eje X y ls siss + orrespondientes sus etremos reltivos. [,69] º) Hllr el vlor positivo de pr que ( + ) d = 9. Otener rzondmente l integrl que d el áre de l superfiie omprendid entre el eje OX, l urv y=+ y ls rets ;u (Jun-) = y =. [ [ ] º) Hll el vlor de pr que el áre limitd por y = y l ret y= se 6/ u. [=] 5º) Clulr rzondmente el áre de l región limitd por ls urvs y= e y = + (Sep- ) [,7] 6º) ) Diujr l ret de euión y = y l urv de euión y =sen undo ; 5/7 IBR IES LA NÍA

6 indir rzondmente, por álulo integrl, el áre limitd entre l ret y l urv. [ u ] ) Clulr l integrl del produto de ls dos funiones onsiderds en el prtdo nterior, send (Jun-) [,] 7º) Dds ls urvs y = ( ), y = 5 lulr: ) Su punto de orte [(,)]. ) El áre enerrd por ells y el eje OY [/]. (Jun-5) 8º) Dds ls funiones = + 8 y ) =, se pide: (Sep-6). Clulr el máimo soluto de l funión f() en el intervlo [-,] [ en =-]. Clulr el punto de orte de l urv y=f() y l ret y=). [(-,6)]. Otener el áre del reinto limitdo por l urv y=f() y ls rets y=), = - y =. [,5u] 9º) Se onsidern ls funiones reles ( ) = f y g ( ) = ). Determinr ls euiones de ls síntots l gráfi de l funión AV : =, = ; AO : y = +. Clulr l funión H ( ) = d que umple H()=. (Jun-7) ) + + ln º) Dds ls funiones reles = + + y g ( ) = , se pide:. Determinr ls euiones de ls síntots l gráfi de l funión ). Clulr l funión H ( ) = d que umple H()=. (Sep-7) ) º) Se onsider, en el primer udrnte, l región R del plno limitd por: el eje X, el eje Y, l ret = y l urv y =. +. Clulr rzondmente el áre de l región R. 8 u. Enontrr el vlor de α pr que l ret =α divid l región R en dos prtes A (izquierd) y B (dereh) tles que el áre A se el dole que l de B. α = (Jun-8) º) Dd l funión f ( t) = t + (on y onstntes reles), se define = + F ( ) f ( t) dt. Se pide otener rzondmente:. L integrl + f ( t) dt ( ) L epresión de l derivd F () de l funión F () 8). L relión entre los vlores y pr l que se verifi: F ( ) = [=-] + ( + ) (Sep- º) Pr d número rel positivo α, se onsider l funión g ( ) = + α. Se pide lulr rzondmente: 6/7 IBR IES LA NÍA

7 . El áre de l región del plno limitd por el eje X, el eje Y, l ret = 6 y l urv y = ) [ 6 + 6α]. El vlor α pr el que l urv y = + α divide l retángulo de vérties (,), ( 6,), ( 6, 6+α), (, 6+α) en dos regiones de igul áre. (Sep-8) [α=] º) ) Determinr, rzondmente, el dominio y los intervlos de reimiento y dereimiento de l funión = ( )( + ). C = ], + [ { } ; D = ], [ { } A B ) Otener rzondmente los vlores A y B tles que: = + ( )( + ) + [ A = B = 6] ) Clulr rzondmente el áre de l superfiie S limitd por l urv eje OX y ls rets de euiones = y =. [ ] ln 5 (Jun-9) 5º) Dd l funión rel = e e, se pide lulr rzondmente:. L funión + f ( ) [, simetrí origen]. L integrl d, donde es un número rel positivo. []. El punto de infleión de f(). [(,)](Jun-9) y = ( )( + ), el 6º) Se onsidern ls funiones reles = + 6 y ) = ( )( + 9). Se pide otener rzondmente: ) Ls euiones de ls síntots l gráfi de l funión [ AV = ; AH y = ] ) ) L funión H ( ) = d que umple H () = (Sep-9) ) H ( ) = ln + rtg 7º) Dds ls funiones = y ) =, se pide: ) Otener rzondmente los puntos de interseión A y B de ls urvs y=f() e y=). [(,) y (,)] ) Demostrr que ) undo ) Clulr rzondmente el áre de l superfiie limitd por ls dos urvs entre los puntos A y B. [ 8] (Sep-) 7/7 IBR IES LA NÍA