6 INTEGRAL DEFINIDA - ÁREAS

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1 6 INTEGRL DEFINID - ÁRES INTRODUCCIÓN Histórimente, el álulo integrl surgió de l neesidd de resolver el prolem de l otenión de áres de igurs plns. Los griegos lo ordron, llegndo órmuls pr el áre de polígonos, írulo, segmentos de práols, et. El método que empleron onsistí en proimr ehustivmente l igur uy áre se dese lulr medinte polígonos de áres onoids. Este proedimiento originl de Eudoo (406.C.- 55.C.) ue utilizdo esporádimente por Eulides (hi 00.C.) y de orm sistemáti por rquímedes (86.C. -.C.). Bsándose en ese método, los mtemátios del siglo XVII (Newton, Leiniz, et.) introdujeron el onepto más generl de integrl deinid de un unión,, en un intervlo. Este onepto ue posteriormente mejordo por Cuhy ( ) y por Riemnn (86-866). Hy muhísims uniones pr ls ules tiene grn interés el álulo del áre jo su grái. Vemos lgunos ejemplos: El áre jo l urv veloidd nos proporion el espio totl reorrido. El áre jo l urv elerión es l veloidd lnzd. El áre jo l urv de gnnis nos proporion ls gnnis umulds. El áre jo l urv poteni unionndo en d instnte nos proporion l energí onsumid. El áre jo l urv que mr el udl de gu vertid en un pntno es el volumen de gu umuld en el pntno. Como ves, el álulo del áre jo un urv no es solmente un prolem de interés geométrio, sino un inormión muy práti en muhos sos. Mtemáti - Curto ño -

2 ÁRE BJO UN CURV Supongmos que queremos lulr el áre de l superiie limitd por l grái de un unión () y el eje en el intervlo [ ; ]. Oservemos que () es ontinu y positiv pr ulquier perteneiente diho intervlo. [ ; ] = [ ; 0] Enontrmos omo diiultd que no se trt de un igur geométri onoid, entones vmos omenzr por proimrl onstruyendo retángulos inluidos en l igur. Pr otener d retángulo dividimos el intervlo [ ; ] en n suintervlos uy longitud será l se del retángulo orrespondiente y l ltur se orresponderá on el mínimo vlor que tome l unión en el suintervlo. L sum de ls áres de los retángulos otenidos se llm proimión del áre por deeto o sum inerior s n. Mtemáti - Curto ño -

3 Diez sudivisiones: n=0 en [;0] y veinte sudivisiones: n=0 en [;0] oservr omo disminuye el deeto y omprr on el áre rel. Si en lugr de onsiderr omo ltur de d retángulo el mínimo vlor onsidermos el máimo vlor lnzdo por en él, l sum de l áres sí otenids se llm proimión del áre por eeso o sum superior S n. Diez sudivisiones: n=0 en [;0] y veinte sudivisiones: n=0 en [;0] oservr omo disminuye el eeso y omprr on el áre rel. De lo nteriormente epresdo, si llmmos l áre usd, se umple que: s n < < S n medid que dividimos el intervlo [ ; ] en myor número de suintervlos, ls proimiones por deeto y por eeso serán más erns l áre usd. Esto nos llev l ide de límite y de que logrremos el áre usd undo el número de suintervlos n tiend ininito y l mplitud de d uno de ellos tiend ero. Not: Eperimentremos mplimente este onepto on GeoGer. Mtemáti - Curto ño -

4 Áre de l región limitd por el gráio de un unión positiv Si un unión () es ontinu en ulquier vlor del intervlo [ ; ] y positiv en ( ; ), entones, el áre de l región limitd por el gráio de (), el eje, = y = es el vlor del límite del áre por deeto y por eeso undo l ntidd de suintervlos de igul longitud en que se divide [ ; ] tiende ininito. L notión que se utiliz pr indir est áre es l siguiente: d que se lee: integrl entre y de () dierenil. Oserviones: El símolo es un deormión de l letr S soid l plr sum y signii que summos ininitos términos, d uno de los ules es el áres de un retángulo. El símolo d (dierenil de ) represent l vriión que en el eje tiene el vlor de l se de d retángulo. El produto (). d simoliz el áre de d retángulo. Los vlores y se llmn límites de integrión e indin el intervlo en que lulmos el áre de l región. REGL DE BRROW Si F() es un primitiv ulquier de (), que es ontinu pr todo vlor del intervlo [ ; ] y positiv en ( ; ), entones, d F F Mtemáti - Curto ño - 4

5 INTEGRL DEFINID Si l unión () es ontinu en ulquier vlor del intervlo [ ; ], llmmos integrl deinid de () entre los vlores y l vlor de: donde F() es un primitiv de (). d F F Oservión: est deiniión es independiente de l positividd o negtividd de (). PROPIEDDES DE L INTEGRL DEFINID d 0 k d k d g d d g d - d d d d pr ; Si ()>0 en [ ; ] entones d 0 y = Si ()<0 en [ ; ] entones d 0 y = d d d Si () mi de signo en [ ; ] entones entre áres. d nos d un diereni Mtemáti - Curto ño - 5

6 Oserviones: d Si queremos lulr el áre de l superiie pintd podemos her: d d - d d d d o ien o ien ÁRE ENTRE DOS CURVS Si y son ls siss de dos puntos onseutivos de l interseión entre ls uniones () y g(), ontinus en ulquier vlor de [ ; ], entones, el áre de l región enerrd entre sus gráios es: g d Por ejemplo, onsideremos ls uniones () = 4- áre de l superiie determind por ells l ortrse (igur somred). y g() = + y lulemos el En primer lugr deemos determinr ls oordends de los puntos de interseión entre ms uniones. Pr ello resolvemos : () = g() 4 0 y Mtemáti - Curto ño - 6

7 Mtemáti - Curto ño - 7 Del álulo nterior otenemos que: = - y =. Por otr prte semos que ls áres de ls regiones somreds en los gráios siguientes se luln respetivmente omo: 4 d d y lrmente podemos oservr que el áre que usmos es l diereni entre ls dos nteriores, luego: - u d d