6 INTEGRAL DEFINIDA - ÁREAS

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "6 INTEGRAL DEFINIDA - ÁREAS"

Transcripción

1 6 INTEGRL DEFINID - ÁRES INTRODUCCIÓN Histórimente, el álulo integrl surgió de l neesidd de resolver el prolem de l otenión de áres de igurs plns. Los griegos lo ordron, llegndo órmuls pr el áre de polígonos, írulo, segmentos de práols, et. El método que empleron onsistí en proimr ehustivmente l igur uy áre se dese lulr medinte polígonos de áres onoids. Este proedimiento originl de Eudoo (406.C.- 55.C.) ue utilizdo esporádimente por Eulides (hi 00.C.) y de orm sistemáti por rquímedes (86.C. -.C.). Bsándose en ese método, los mtemátios del siglo XVII (Newton, Leiniz, et.) introdujeron el onepto más generl de integrl deinid de un unión,, en un intervlo. Este onepto ue posteriormente mejordo por Cuhy ( ) y por Riemnn (86-866). Hy muhísims uniones pr ls ules tiene grn interés el álulo del áre jo su grái. Vemos lgunos ejemplos: El áre jo l urv veloidd nos proporion el espio totl reorrido. El áre jo l urv elerión es l veloidd lnzd. El áre jo l urv de gnnis nos proporion ls gnnis umulds. El áre jo l urv poteni unionndo en d instnte nos proporion l energí onsumid. El áre jo l urv que mr el udl de gu vertid en un pntno es el volumen de gu umuld en el pntno. Como ves, el álulo del áre jo un urv no es solmente un prolem de interés geométrio, sino un inormión muy práti en muhos sos. Mtemáti - Curto ño -

2 ÁRE BJO UN CURV Supongmos que queremos lulr el áre de l superiie limitd por l grái de un unión () y el eje en el intervlo [ ; ]. Oservemos que () es ontinu y positiv pr ulquier perteneiente diho intervlo. [ ; ] = [ ; 0] Enontrmos omo diiultd que no se trt de un igur geométri onoid, entones vmos omenzr por proimrl onstruyendo retángulos inluidos en l igur. Pr otener d retángulo dividimos el intervlo [ ; ] en n suintervlos uy longitud será l se del retángulo orrespondiente y l ltur se orresponderá on el mínimo vlor que tome l unión en el suintervlo. L sum de ls áres de los retángulos otenidos se llm proimión del áre por deeto o sum inerior s n. Mtemáti - Curto ño -

3 Diez sudivisiones: n=0 en [;0] y veinte sudivisiones: n=0 en [;0] oservr omo disminuye el deeto y omprr on el áre rel. Si en lugr de onsiderr omo ltur de d retángulo el mínimo vlor onsidermos el máimo vlor lnzdo por en él, l sum de l áres sí otenids se llm proimión del áre por eeso o sum superior S n. Diez sudivisiones: n=0 en [;0] y veinte sudivisiones: n=0 en [;0] oservr omo disminuye el eeso y omprr on el áre rel. De lo nteriormente epresdo, si llmmos l áre usd, se umple que: s n < < S n medid que dividimos el intervlo [ ; ] en myor número de suintervlos, ls proimiones por deeto y por eeso serán más erns l áre usd. Esto nos llev l ide de límite y de que logrremos el áre usd undo el número de suintervlos n tiend ininito y l mplitud de d uno de ellos tiend ero. Not: Eperimentremos mplimente este onepto on GeoGer. Mtemáti - Curto ño -

4 Áre de l región limitd por el gráio de un unión positiv Si un unión () es ontinu en ulquier vlor del intervlo [ ; ] y positiv en ( ; ), entones, el áre de l región limitd por el gráio de (), el eje, = y = es el vlor del límite del áre por deeto y por eeso undo l ntidd de suintervlos de igul longitud en que se divide [ ; ] tiende ininito. L notión que se utiliz pr indir est áre es l siguiente: d que se lee: integrl entre y de () dierenil. Oserviones: El símolo es un deormión de l letr S soid l plr sum y signii que summos ininitos términos, d uno de los ules es el áres de un retángulo. El símolo d (dierenil de ) represent l vriión que en el eje tiene el vlor de l se de d retángulo. El produto (). d simoliz el áre de d retángulo. Los vlores y se llmn límites de integrión e indin el intervlo en que lulmos el áre de l región. REGL DE BRROW Si F() es un primitiv ulquier de (), que es ontinu pr todo vlor del intervlo [ ; ] y positiv en ( ; ), entones, d F F Mtemáti - Curto ño - 4

5 INTEGRL DEFINID Si l unión () es ontinu en ulquier vlor del intervlo [ ; ], llmmos integrl deinid de () entre los vlores y l vlor de: donde F() es un primitiv de (). d F F Oservión: est deiniión es independiente de l positividd o negtividd de (). PROPIEDDES DE L INTEGRL DEFINID d 0 k d k d g d d g d - d d d d pr ; Si ()>0 en [ ; ] entones d 0 y = Si ()<0 en [ ; ] entones d 0 y = d d d Si () mi de signo en [ ; ] entones entre áres. d nos d un diereni Mtemáti - Curto ño - 5

6 Oserviones: d Si queremos lulr el áre de l superiie pintd podemos her: d d - d d d d o ien o ien ÁRE ENTRE DOS CURVS Si y son ls siss de dos puntos onseutivos de l interseión entre ls uniones () y g(), ontinus en ulquier vlor de [ ; ], entones, el áre de l región enerrd entre sus gráios es: g d Por ejemplo, onsideremos ls uniones () = 4- áre de l superiie determind por ells l ortrse (igur somred). y g() = + y lulemos el En primer lugr deemos determinr ls oordends de los puntos de interseión entre ms uniones. Pr ello resolvemos : () = g() 4 0 y Mtemáti - Curto ño - 6

7 Mtemáti - Curto ño - 7 Del álulo nterior otenemos que: = - y =. Por otr prte semos que ls áres de ls regiones somreds en los gráios siguientes se luln respetivmente omo: 4 d d y lrmente podemos oservr que el áre que usmos es l diereni entre ls dos nteriores, luego: - u d d

TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.

TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.. Áre jo un urv El prolem que pretendemos resolver es el álulo del áre limitd por l gráfi de un funión f() ontinu y positiv, el eje X y ls siss = y =. Si l gráfi

Más detalles

TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS

TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS Frnisnos T.O.R. Cód. 867 TEMA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS. INTEGRAL DEFINIDA El álulo de l integrl definid, que se denot por: f ( d, onsiste en lulr l integrl de l funión f( en el intervlo [, ].

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS INTEGRALES IMPROPIAS INDICE.- Integrles impropis de primer espeie....- Integrles impropis de segund espeie.- Integrles impropis del tipo C... 8 4.- Criterios de omprión 8.- Biliogrfi 0 DEFINICION DE INTEGRALES

Más detalles

Si este proceso de subdivisión se repitiese muchas veces, se obtendrían dos sucesiones, s i y S

Si este proceso de subdivisión se repitiese muchas veces, se obtendrían dos sucesiones, s i y S Integrles LA INTEGRAL DEFINIDA Integrl definid: áre jo un urv L integrl definid permite lulr el áre del reinto limitdo, en su prte superior por l gráfi de un funión f (, ontinu y no negtiv, en su prte

Más detalles

De igual modo, a como hemos procedido en otros temas, recordemos cómo definimos en

De igual modo, a como hemos procedido en otros temas, recordemos cómo definimos en TEMA VI: INTEGALE MÚLTIPLE VI. INTEGALE DOBLE. De igul modo, omo hemos proedido en otros tems, reordemos ómo deinimos en álulo de un vrile l integrl deinid ( )d ; se deine omo el límite de sums de iemnn,

Más detalles

Funciones GENERALIDADES. Sean los conjuntos: A ={1; 2; 3; 4} B = {u, d, t, c}

Funciones GENERALIDADES. Sean los conjuntos: A ={1; 2; 3; 4} B = {u, d, t, c} Funiones El onepto de Funión es un de ls ides undmentles en l Mtemáti. Csi ulquier estudio que se reier l pliión de l Mtemáti prolems prátios o que requier el nálisis de dtos, emple este onepto mtemátio.

Más detalles

Podemos calcular la suma de las áreas de los rectángulos superiores que es una aproximación por exceso del área R(f; a, b):

Podemos calcular la suma de las áreas de los rectángulos superiores que es una aproximación por exceso del área R(f; a, b): TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Integrl efini omo límite e sums superiores o inferiores. 6. Propiees e l integrl efini. 6. Regl e Brrow. 6.4 Apliiones e l integrl efini (Áre). 6.1 Integrl efini. Se f un

Más detalles

UNIDAD 6.- Integrales Definidas. Aplicaciones (tema 15 del libro)

UNIDAD 6.- Integrales Definidas. Aplicaciones (tema 15 del libro) UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones (tem 5 del liro). ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como

Más detalles

Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas

Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles no vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

Tema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas

Tema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles nos vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd

Más detalles

TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS

TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS. ÁREA BAJO UNA CURVA. El prolem que pretendemos resolver es el cálculo del áre limitd por l gráfic de un función f() continu y positiv, el eje X y ls sciss = y =. Si

Más detalles

1. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN CONTÍNUA Y POSITIVA EN UN INTERVALO.

1. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN CONTÍNUA Y POSITIVA EN UN INTERVALO. TEMA 9 Integrl Definid. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN CONTÍNUA Y POSITIVA EN UN INTERVALO. y = f() Un trpeio urvilíneo (o mitilíneo) T es un figur pln omo l que pree en l figur: T O Está limitd por:

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano)

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) ES CSTELR DJOZ Menguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNVERSDD DE ZRGOZ SEPTEMRE (RESUELTOS por ntonio Menguino) MTEMÁTCS Tiempo máimo: hors Se vlorrá el uso del voulrio l notión ientíi Los errores ortográios,

Más detalles

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL El prolem de l práol horizontl Qué relión h entre ls propieddes nlítis de l funión udráti ls propieddes geométris de l práol horizontl? Como

Más detalles

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II APROXIMACIÓN AL VALOR DEL ÁREA BAJO UNA CURVA L integrl definid está históricmente relciond con el prolem de definir y clculr el áre de figurs plns. En geometrí se

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A =

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A = Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Práctic 0 - Prte Áre entre curvs Un de ls plicciones del cálculo de integrles definids es el cálculo de áres de regiones cotds del plno delimitds

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de,

CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de, Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) CÁLCULO INTEGRAL 2.- INTEGRAL DEFINIDA. Definición: Sen y dos números reles

Más detalles

DETERMINANTES. GUIA DETERMINANTES 1

DETERMINANTES. GUIA DETERMINANTES 1 GUI DETERMINNTES DETERMINNTES. Los determinntes fueron originlmente investigdos por el mtemátio jponés Sei Kow lrededor de 8, por seprdo, por el filósofo mtemátio lemán Gottfried Wilhelm Leiniz lrededor

Más detalles

Integrales dobles. divide al rectángulo I ab, cd. , j 1, 2,, m. n m ij i i 1 j j 1

Integrales dobles. divide al rectángulo I ab, cd. , j 1, 2,, m. n m ij i i 1 j j 1 ntegrles oles NTEGRALES OBLES e l mism mner que el onepto e integrl efini pr funiones e un vrile sirve pr resolver e un moo generl, el prolem e l eterminión e áres e figurs plns, el onepto e integrl ole

Más detalles

INTRODUCCIÓN: PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN.

INTRODUCCIÓN: PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. Mt. Apl. ls C. Soiles II: Fniones V: Interles. Cállo de primitivs y de áres. pá. INTRODUCCIÓN: PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. Nos plntemos si dd n nión, eiste otr F tl qe F =. Se llm primitiv de n nión otr

Más detalles

Y f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite

Y f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite INTEGRALES LECCIÓN Índice: El prolem del áre. Ejemplos. Prolems..- El prolem del áre Se f un función continu y no negtiv en [,]. Queremos clculr el áre S de l región del plno limitd por l gráfic de f,

Más detalles

Objetivos. Cálculo de primitivas. La integral definida. Funciones integrables. Aplicaciones geométricas de la integral.

Objetivos. Cálculo de primitivas. La integral definida. Funciones integrables. Aplicaciones geométricas de la integral. TEMA Ojetivos. álulo de rimitivs. L integrl deinid. Funiones integrles. Integrles imrois. Aliiones geométris de l integrl. Plnter y lulr integrles de uniones de un vrile y lirls l resoluión de rolems reltivos

Más detalles

INTEGRALES LECCIÓN 13

INTEGRALES LECCIÓN 13 INTEGRALES LECCIÓN 13 Índie: Cálulo de áres. Ejemplos. Prolems. 1.- Cálulo de áres Si y son dos uniones ontinus en el intervlo [,] tles que, entones el áre de l reión del plno limitd por sus ráis y ls

Más detalles

5 Integral doble de Riemann

5 Integral doble de Riemann Miguel eyes, Dpto. de Mtemáti Aplid, FI-UPM 1 5 Integrl doble de iemnn 5.1 Definiión Llmremos retángulo errdo de 2 l produto de dos intervlos errdos y otdos de, es deir = [, b] [, d] = { (x, y) 2 : x b,

Más detalles

Opción A. Para resolver esta indeterminación se aplica la regla de L Hôpital enunciada con anterioridad: (Indeterminación) (1)

Opción A. Para resolver esta indeterminación se aplica la regla de L Hôpital enunciada con anterioridad: (Indeterminación) (1) º BACHILLERATO. Resuelve los siguientes ites: Opión A ) L= os sen (Indeterminión) g Pr resolver est indeterminión se pli l órmul: Por tnto, L os sen os sen e e Se resuelve el siguiente ite: os sen (Indeterminión)

Más detalles

1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS T3: TRIGONOMETRÍ 1º T 1 RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Resolver un triángulo es llr ls longitudes de sus ldos y ls mplitudes de sus ángulos. Ls fórmuls que se plin son: ) Ls rzones trigonométris: ˆ

Más detalles

Integrales dobles y triples

Integrales dobles y triples Integrles dobles y triples 1 Integrles dobles Integrles triples 3 Cmbios de vrible R: retángulo R = [, b [, d f : R R: mpo eslr e dos vribles. Si f es ontinu en R f x : [, d R y f y : [, b R son funiones

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

Instituto Politécnico Superior General San Martín A U S. Análisis Matemático II. Integrales. Mgter. Viviana Paula D Agostini

Instituto Politécnico Superior General San Martín A U S. Análisis Matemático II. Integrales. Mgter. Viviana Paula D Agostini Instituto Politécnico Superior Generl Sn Mrtín A U S Análisis Mtemático II Interles Mter. Vivin Pul D Aostini TEMARIO Interl indeinid. Deinición. Interl Deinid. Sums de Riemnn. Propieddes de l interl deinid.

Más detalles

Colegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O.

Colegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O. TRIGONOMETRÍ 4º E.S.O. Frniso Suárez Bluen TRIGONOMETRÍ PREVIOS. Teorem de Tles (Semejnz) Si ortmos dos rets por un serie de rets prlels, los segmentos determindos en un de ells son proporionles los segmentos

Más detalles

1.-Algunas desigualdades básicas.

1.-Algunas desigualdades básicas. Preprión Olimpid Mtemáti Espñol. Curso 05-6. Desigulddes (y polinomios, y funiones). 3 de Noviemre de 05. Fernndo Myorl..-Alguns desigulddes ásis. ) 0 pr ulquier R. L iguldd sólo se umple pr = 0. ) (Desiguldd

Más detalles

2.3.2 VÉRTICE, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA EL VÉRTICE.

2.3.2 VÉRTICE, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA EL VÉRTICE. .3. VÉRTICE, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA..3.. EL VÉRTICE. El vértie es un punto que form prte de l prábol, el ul tiene omo ordend el vlor mínimo o máimo de l funión. En ese punto se puede

Más detalles

GUÍA DE EJERCICIOS. Área Matemáticas INTEGRALES IMPROPIAS

GUÍA DE EJERCICIOS. Área Matemáticas INTEGRALES IMPROPIAS GUÍA DE EJERCICIOS Áre Mtemátis INTEGRALES IMPROPIAS Resultdos de prendizje. Reonoer integrles de primer segund espeie. Aplir proedimientos, que onduzn l soluión de un integrl impropi de primer o segund

Más detalles

5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO

5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO. PUNTOS EN EL ESPACIO Semos que pr determinr l posiión de un punto en el plno neesitmos tomr, por un prte, un

Más detalles

Sus términos son antecedente y consecuente. Proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones.

Sus términos son antecedente y consecuente. Proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones. Rzón y proporión. Rzón. Rzón entre os números y es el oiente. Sus términos son nteeente y onseuente. Proporión. Un proporión es un igul entre os rzones. Se lee es omo es.,, y son los términos e l proporión.

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. II

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. II INTEGRLES MTEMÁTIS PLIDS LS. SS. II lfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics IES FERNNDO DE MEN. DPTO. DE MTEMÁTIS I) ONEPTO DE INTEGRL INDEFINID (pág. 0 del liro de texto) Dd f(x)=x nos preguntmos

Más detalles

x x = 0 es una ecuación compatible determinada por que sólo se

x x = 0 es una ecuación compatible determinada por que sólo se Euiones Denominmos euión l iguldd que se stisfe pr uno o más vlores de l(s) vrile(s), o inógnit(s), que interviene en ell. Ejemplos: + 5 + 5 + 6 0 + 0 Denominmos euión lgeri tod euión del tipo: n n n +

Más detalles

CAPÍTULO. La integral. 1.3 Cálculo aproximado del área de una región plana bajo una curva

CAPÍTULO. La integral. 1.3 Cálculo aproximado del área de una región plana bajo una curva CAPÍTULO 1 L integrl 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv etommos en est sección el prolem del cálculo de áres, introduciendo lguns simplificciones notciones que nos permitirán resolverlo.

Más detalles

Integrales múltiples.

Integrales múltiples. Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti Integrles múltiples. Introuión. En el primer urso e Funmentos se plnteó el prolem e hllr el áre ompreni entre l grái e un unión positiv y x, el eje OX y

Más detalles

1. Función primitiva. Integral de una función.

1. Función primitiva. Integral de una función. . Función primitiv. Integrl de un función. Considermos l función f() =. Nos preguntmos si eiste otr función F() tl que l derivrl nos de l función f(). F() = verific que F () = f(). Pero tmién nos vldrí

Más detalles

En donde x representa la incógnita, y a, b y c son constantes.

En donde x representa la incógnita, y a, b y c son constantes. FUNCIÓN CUADRÁTICA. Cundo los elementos de un onjunto los elementos de un onjunto se soin medinte un regl de orrespondeni definid por un euión de segundo grdo en, l llmmos funión de segundo grdo o udráti.

Más detalles

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.

Más detalles

f(t)dt para todo x [a, b].

f(t)dt para todo x [a, b]. ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. L integrl lnz todo su poder undo se li on l derivd. Esto ourre en el Teorem Fundmentl del Cálulo. Funiones definids trvés de l integrl. Dd

Más detalles

Clase 12: Integración de funciones de varias variables con valores reales

Clase 12: Integración de funciones de varias variables con valores reales Clse : Integrión de funiones de vris vribles on vlores reles C.J. Vnegs de junio de 8 eordemos.. L integrl f. fx)dx, pr f represent el áre bjo l gráfi de Similrmente si tenemos un funión de dos vribles:

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos IES ASTELAR BADAJOZ A enguino PRUEBA DE AESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO 7 (RESUELTOS por Antonio enguino) ATEÁTIAS II Tiempo máimo: hors minutos ontest de mner lr rond un de ls dos opiones propuests

Más detalles

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA

CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. COMPETENCIA: resolver y plnter integrles que le yuden clculr el áre de un región cotd por dos o más funciones plicndo el teorem

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Creimiento y dereimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cundo un funión es derivle en un punto, podemos onoer si es reiente o dereiente

Más detalles

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse. X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos

Más detalles

TEMA 4: Integración múltiple

TEMA 4: Integración múltiple TEMA 4: ntegrión múltiple Cálulo ngeniero de Teleomuniión Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 1 / 32 1 L integrl de Riemnn en R n 2 ntegrl doble ntegrl doble sobre un retángulo ntegrl doble sobre

Más detalles

1. Definición de Semejanza. Escalas

1. Definición de Semejanza. Escalas Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión

Más detalles

Tema 13: INTEGRALES DEFINIDAS

Tema 13: INTEGRALES DEFINIDAS Tem : INTEGRALES DEFINIDAS REFLEXIONA Ls gnnis de l ompñí RAMSES S.L. dunte los meses de un ño, en deens de miles de euos, se dn en l siguiente gái: 5 ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC Si

Más detalles

Unidad didáctica 4. Trigonometría plana

Unidad didáctica 4. Trigonometría plana Interpretión Gráfi Unidd didáti 4. Trigonometrí pln 4.1 Medids de ros y ángulos omo en un mism irunfereni ros igules orresponden ángulos igules, se quiere enontrr un medid de ros que sirv pr ángulos y

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración Integrión. Cálulo de áres. INTEGRAL INDEFINIDA FUNCIÓN PRIMITIVA F() es un primitiv de f() si F ()= f(). Esto se epres sí: f() = F'() = F() L integrión es l operión invers l derivión, de modo que: FUNCIONES

Más detalles

a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho.

a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho. Produto ruz o produto vetoril Otr form nturl de definir un produto entre vetores es trvés del áre del prlelogrmo determindo por dihos vetores. El prlelogrmo definido por los h vetores y se muestr en l

Más detalles

Tema 8 Integral definida

Tema 8 Integral definida Tem 8 Integrl definid ) Integrl definid Se y = f() un función ositiv y continu en el intervlo (, ). Consideremos el trecio mitilíneo, S, determindo or f(), f(), f() y el eje OX y dividmos el intervlo (,

Más detalles

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I Mtemátis I SESIÓN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I I. CONTENIDOS:. Conepto y representión geométri.. Métodos de soluión: o Igulión o Sustituión. o Reduión (sum y rest). o Determinnte.

Más detalles

CONSTRUCCION DE TRIANGULOS

CONSTRUCCION DE TRIANGULOS ONSTRUION DE TRINGULOS INTRODUION Ls exigenis que se imponen un figur que se dese onstruir son ls siguientes: 1) l mgnitud de segmentos, ros, ángulos y áres. 2) l posiión reltiv de puntos y línes. 3) l

Más detalles

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de cuadratura. PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid

Más detalles

APUNTE: TRIGONOMETRIA

APUNTE: TRIGONOMETRIA APUNTE: TRIGONOMETRIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigntur: Mtemáti Crrers: Li. en Eonomí Profesor: Prof. Mel S. Chresti Cutrimestre: ero Año: 06 o Coneptos Previos o Definiión de ángulo Un ángulo

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.

Más detalles

OPCIÓN A. Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:

OPCIÓN A. Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k: UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUEB DE CCESO ESUDIOS UNIVERSIRIOS (LOE) EMEN MODELOCURSO - MEMÁICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II INSRUCCIONES: El lumno deerá elegir un de ls dos opiones o

Más detalles

En general, si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces tiene infinitas primitivas cuyas expresiones serán F k

En general, si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces tiene infinitas primitivas cuyas expresiones serán F k º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INTEGRACIÓN.-INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES El Cálculo Integrl o integrción consiste en hllr l función f() cundo se conoce su derivd f

Más detalles

La integral. En esta sección presentamos algunas propiedades básicas de la integral que facilitan su cálculo. c f.x/ dx C f.

La integral. En esta sección presentamos algunas propiedades básicas de la integral que facilitan su cálculo. c f.x/ dx C f. CAPÍTULO L integrl.6 Propieddes fundmentles de l integrl En est sección presentmos lguns propieddes ásics de l integrl que fcilitn su cálculo. Aditividd respecto del intervlo. Si < < c, entonces: f./ d

Más detalles

MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Geometría

MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Geometría MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temátio: Geometrí 1. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO En el ABC retángulo en C de l figur: Se pueden estbleer ls siguientes semejnzs: 1) De est semejnz, se obtienen

Más detalles

Tema 5. Semejanza. Tema 5. Semejanza

Tema 5. Semejanza. Tema 5. Semejanza Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión

Más detalles

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo

Más detalles

Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado

Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado Determinntes hillerto º Determinntes Introduión: Los determinntes histórimente son nteriores ls mtries, pero por el uge de éstos hn queddo relegdos un º plno. El uso de los determinntes nos permitirá:

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio Colegio Sn Ptriio A-09 - Inorpordo l Enseñnz Ofiil Fundión Edutiv Sn Ptriio MATEMÁTICA º AÑO Trjo prátio Nº 8 Sistems de dos euiones lineles on dos inógnits Un sistem de euiones es un onjunto de dos o

Más detalles

Primitiva de una función.

Primitiva de una función. Primitiv de un función. 1 / 29 Definición. Un función derivble F es primitiv de l función f en el intervlo I si F (x) = f(x), pr todo x I. Ejemplos 2 / 29 Ejemplo. Se f : R R tl que f(x) = 4x 3. i) F(x)

Más detalles

a b c =(b a)(c a) (c b)

a b c =(b a)(c a) (c b) E N U N C I D O S ÁLGEBR + y + z P.- Ddo el sistem de euiones se pide: y + z ) Enontrr pr qué vlores de el sistem tiene soluión úni ) Resuelve el sistem pr P.- Despej l mtriz X en l siguiente euión y hll

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE Mrí Susn Montelr Fultd de Cienis Exts, Ingenierí y Agrimensur - UNR EXTENSIÓN DEL SÍMBOLO INTEGRAL < b f(x) dx = g(x) dx b = b f(x) dx = 0 PROPIEDADES

Más detalles

3º Año. Vectores. Matemática

3º Año. Vectores. Matemática 3º Año Cód. 1302-18 P r o f. M ó n i N p o l i t n o P r o f. M. D e l L u j á n M r t í n e z R e v i s i ó n P r o f. P t r i i G o d i n o Dpto. de 1- INTRODUCCIÓN En diverss oportuniddes nos hemos

Más detalles

Departamento: Física Aplicada III

Departamento: Física Aplicada III Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) Prlelogrmo insrito en trpezoide Ddo un trpezoide (udrilátero irregulr que no tiene ningún ldo prlelo otro), demuestre, usndo el álger vetoril, que los

Más detalles

3º Año. Vectores. Matemática

3º Año. Vectores. Matemática 3º Año Cód. 1302-17 P r o f. M ó n i N p o l i t n o P r o f. M. D e l L u j á n M r t í n e z R e v i s i ó n P r o f. P t r i i G o d i n o Dpto. de M temáti 1- INTRODUCCIÓN En diverss oportuniddes nos

Más detalles

α A TRIGONOMETRÍA PLANA

α A TRIGONOMETRÍA PLANA TRIGONOMETRÍ PLN El origen de l plr trigonometrí puede enontrrse en el griego, trígono triángulo y metrí medid. L trigonometrí justmente trt de eso, l mediión y resoluión de situiones donde se preten triángulos.

Más detalles

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural.

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural. L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se se que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo

Más detalles

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal . ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS nstituto Dr. Jun Segundo Fernández Áre y urso: Mtemáti 4º ño. Profesor: Griel Bejr TRABAJO PRÁCTICO Nº. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ténis de

Más detalles

INTEGRALES MATEMÁTICAS aplicadas a las CC. SS. II Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

INTEGRALES MATEMÁTICAS aplicadas a las CC. SS. II Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas INTEGRLES MTEMÁTIS plicds ls. SS. II lfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics MTEMÁTIS plicds ls SS II LFONSO GONZÁLEZ IES FERNNDO DE MEN I) ONEPTO DE INTEGRL INDEFINID Dd f(x)x nos preguntmos

Más detalles

Taller: Sistemas de ecuaciones lineales

Taller: Sistemas de ecuaciones lineales Deprtmento de ienis ásis Asigntur: Mtemátis I Doente: Vitor Hugo Gil Avendño Apellidos-Nomres: 0 de mrzo de 08 Tller: Sistems de euiones lineles Un sistem de euiones es un onjunto de dos o más euiones

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE CORRIENTE CONTINUA -1 er TRIMESTRE-. problemas:11, 12 y 14

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE CORRIENTE CONTINUA -1 er TRIMESTRE-. problemas:11, 12 y 14 R= SOLUCONES DE LOS PROLEMS DE ELECTRCDD DE C.C. SOLUCONES DE LOS EJERCCOS DE CORRENTE CONTNU - er TRMESTRE-. prolems:, y ª ) Soluionremos este prolem por el método generl de nálisis por lzos ásios, omprondo

Más detalles

1. INTEGRALES MÚLTIPLES

1. INTEGRALES MÚLTIPLES 1. INTGALS MÚLTIPLS 1.1. INTGAL OBL SOB UN CTÁNGULO Se f : 2 un funión otd de dos vribles, denid sobre el retángulo = [, b] [, d] = {(x, y) 2 : x b, y d} A ontinuión se onsider un prtiión de en subretángulos.

Más detalles

La Integral Definida

La Integral Definida Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm

Más detalles

c a, b tal que f(c) = 0

c a, b tal que f(c) = 0 IES Mediterráneo Málg Junio Jun Crlos lonso Ginontti Propuest.- ) Enuni el teorem olno ( puntos) ) Se pue plir diho teorem l funión f en lgún interlo? ( punto) ) Demuestr que l funión f() nterior g se

Más detalles

Fase Nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española Sant Feliu de Guixols (Girona), 27 de marzo de 2009 PRIMERA SESIÓN SOLUCIONES

Fase Nacional de la XLV Olimpiada Matemática Española Sant Feliu de Guixols (Girona), 27 de marzo de 2009 PRIMERA SESIÓN SOLUCIONES Fse Nionl de l XLV Olimpid Mtemáti Espñol Snt Feliu de Guiols (Giron) 7 de mro de 9 PRIMERA SESIÓN SOLUCIONES PROBLEMA - Hll tods ls suesiones finits de n números nturles onseutivos on n tles que 9 n Primer

Más detalles

Triángulos congruentes

Triángulos congruentes Leión#4 Triángulos ongruentes y triángulos similres Ojetivos Aplir ls propieddes de triángulos ongruentes Aplir ls propieddes de ongrueni Aplir ls propieddes de triángulos similres Aplir el teorem de Pitágors

Más detalles

Cálculo Diferencial. Álgebra y Cálculo. Curso Propedéutico. Diplomado en Administración de Riesgos. Expositor: Juan Francisco Islas

Cálculo Diferencial. Álgebra y Cálculo. Curso Propedéutico. Diplomado en Administración de Riesgos. Expositor: Juan Francisco Islas Curso Propedéutio Álgebr y Cálulo Diplomdo en Administrión de Riesgos Cálulo Diferenil Epositor: Jun Frniso Isls Monterrey, N.L. Julio 0 X Sumtori Sen dos vribles y que tomn los vlores X X 5 X X 8 Y Y

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a:

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: ALGEBRA Sistems de Euiones lineles Disusión on prámetros Disutir el siguiente sistem de euiones lineles según el vlor del prámetro : + ( + ) = + = + = Interpretión: Del enunido se dedue que se trt de un

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

Integración compleja

Integración compleja ntegrión omplej Aunque l interpretión ms omún de l integrl (definid) de un funión rel f es omo el áre bjo l urv y f(x) l definiión de l integrl es independiente de est interpretión, y l integrl puede usrse

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este

Más detalles

1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto.

1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto. º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 TEMAS 4 y 5.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. FUNCIONES FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Pr medir ángulos se suelen usr dos sistems

Más detalles

Tema 11: Integrales denidas

Tema 11: Integrales denidas Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl

Más detalles

Un paralelogramo es un cuadrilátero con sus lados opuestos paralelos. Los paralelogramos gozan de las siguientes propiedades PROPIEDAD 1

Un paralelogramo es un cuadrilátero con sus lados opuestos paralelos. Los paralelogramos gozan de las siguientes propiedades PROPIEDAD 1 Cudriláteros 1º Año Mtemáti C o r r e i ó n y d p t i ó n : P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. M ó n i N p o l i t n o Cód. 1106-17 Dpto. de Mtemáti 1.1. PARALELOGRAMO Definiión Un prlelogrmo

Más detalles