Integrales múltiples.

Transcripción

1 Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti Integrles múltiples. Introuión. En el primer urso e Funmentos se plnteó el prolem e hllr el áre ompreni entre l grái e un unión positiv y x, el eje OX y ls rets x, x. ih áre se represent omo x x Vimos que este prolem est reliono on el álulo e un primitiv e Brrow nos segur que si x. El Teorem e Fx es tl que Fx x entones A x x F() - F() Nuestro prolem es el álulo el volumen e un prism e se retngulr, x, limito superiormente por l grái e un unión z x, y enotremos por x, yx positiv. A este volumen lo y iiere el prolem nterior en que no se resuelve enontrno un primitiv e x, y (No tiene sentio), sino por el álulo e volúmenes por seiones. El volumen venrá o por l sum ininit e ls áres e ls seiones que se Otienen l ortr el uerpo por plnos prlelos l plno XZ, o tmién sumno ls áres e ls ininits seiones que se otienen l ortr el uerpo por plnos prlelos l plno Y Z.

2 Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti V x, yx Ay Ax x one Ay x, y x, Ax x, y onsierno en so l x o l y ij. El prolem se onvierte en el álulo e un integrl reiter que y semos resolver. Integrl ole sore un retángulo. einmos hor el onepto e integrl ole e un unión z x, y sore un retángulo, x, no neesrimente positiv. iviimos el intervlo [, ] en n prtes igules, eligieno pr ello n 1 puntos x0 x1 x xn sieno xi xi x Elegimos, e orm 1 n nálog, m 1puntos el intervlo [, ], y0 y1 y yn on yi yi y. 1 m Así otenemos n m retángulos xi,xi 1 x yi, yi 1 i j e áre A x y * * Se x, y A i j Prism el iujo junto es el volumen el pequeño n Llmemos 1 m1 S n m i0 siguiente einiión: j0 x y pr her l

3 Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti einiión (Integrl ole) Si existe lim n,m S nm y no epene e l eleión e los vlores integrle sore y l vlor e iho límite se le llm integrl ole e x, y, entones se ie que es sore. Se not: n 1 m1 x, y x lim i j n,m i0 j0 x y Si x, y es un unión positiv, x, y x retngulr e se y limito superiormente por l grái e. x, y es negtivo, represent un volumen negtivo. Si represent el volumen el prism Propiees e l integrl ole. 1. Lineli. x, y gx, y x x, yx gx, yx. Monotoní. Si x, y gx, y x, y, entones: x, yx gx, yx 3. Aitivi. Si 1 es unión e os retángulos isjuntos x, y x g x, y x g x, y x 1 4. Teorem e Fuini: si z x, y es ontinu sore, x,, entones: x, yx x, y x x, yx

4 Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti Integrl ole sore regiones más generles. Vmos einir l integrl ole e uniones sore los siguientes tipos e regiones: egiones el tipo I x, y I : x, x y x 1 egiones el tipo II x, y I : y, g x x g y 1 egiones el tipo III: Son ls que se pueen expresr inistintmente omo regiones e tipo I o e tipo II.

5 Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti einiión: Se un región e tipo I, II o, III. Se z x, y un unión ontinu. Consieremos un región e tipo I. Entones: x, yx x, y 1 x x x Análogmente, en un región e tipo II, se tiene: x, yx x, y g g1 x x x Pr ls regiones el tipo III, se puee lulr l integrl ole e x, y inistintmente omo un región el tipo I o II. A vees l integrl se ompli y hy que elegir l orm eu. e hí que: Si es un región ot e I, entones el volumen el prism e se y ltur 1 es: x l unión integrr es x, y 1 A

6 Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti Integrl triple. En el so e ls integrles triples se siguen los mismos psos que en ls integrles oles. Se el prlelepípeo, x, x e,. Se x, y,z n1 m1 p1 mostr en l igur. einmos Sn, m, p i j k x y z y i1 y i y; z m i1 z i e z p i0 j0 k0 un unión ontinu sore. óne x xi x n ; i1 * * * * i j k xi, y j, zk Con xi xi, x i1 * * y, y z z, z, y j j j1 k, k k1 einiión (Integrl triple) Si es un unión ot y, existe el lim n,m,p S n,m, p y no epene e l eleión e los k, entones se ie que es integrle, y l vlor e este límite se le llm integrl triple sore, y se represent x, y,z x z Conseueni: Si x, y,z 1, entones x, y,zx z V representno el volumen. Propiees. Se umplen ls misms propiees que en l integrl ole. 1. To unión ontinu es integrle. Lineli, monotoní y Aitivi 3. Teorem e Fuini pr integrles triples por el ul to integrl triple se puee hllr por integrión reiter.

7 Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti Integrles triples sore regiones más generles. Se repite el mismo proeso que en ls integrles oles. Se onsiern los siguientes tipos e regiones: Tipo I: x, x y x, g x, y z g x, y posterior rets). 1 1 x g x x, y,zx z x, y,z z W 1x g1x (prlelepípeo on prees rontl y Tipo II: son regiones en ls que y, (prlelepípeos on prees izquier y ereh plns). Tipo III: son regiones en ls que e z, (prlelepípeos on ono y tp plns). Sus integrles triples se resuelven e mner nálog. Tipo IV son regiones en ls que se pueen expresr inistintmente omo regiones e los tipos I, II o III. x Conseueni: Si x, y,z y W es un región ot e I 3, entones x z VolW W Cmio e vriles en integrles oles. Un e ls ténis más usules en el álulo e integrles es el mio e vriles, uyo ojetivo es trnsormr l integrl lulr en otr más senill. Est téni y se estuió pr uniones e un vrile, hor lo hremos pr uniones e os vriles. En el álulo e un vrile, uno se tení un integrl eini t x x, l her un mio e vriles x g, quen etos el integrno, el intervlo e integrión y el x. El nuevo integrno serí gt (hy que exigir que Im(g) ()). Pr lulr el nuevo intervlo e integrión neesitmos exigir que g pose unión invers Si x gt t g x luego si x, t g,. Se t 0,t g, 1 el nuevo intervlo e integrión. Pr que g pose unión invers st exigir que g se ontinu e inyetiv. Aemás omo x gt t entones g ee ser erivle.

8 Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti eerenis: Apóstol, Tom M. (1967). Clulus, Vol. 1: One-Vrile Clulus with n Introution to Liner Alger (n eiión). John Wiley & Sons. ISBN Bourki, Niols (004). Integrtion I. Springer. ISBN En prtiulr los pítulos III y IV. Burton, vi M. (005). The History o Mthemtis: An Introution (6th eiión). MGrw-Hill. p ISBN Cjori, Florin (199). A History O Mthemtil Nottions Volume II. Open Court Pulishing. pp ISBN eerenis e poyo y omplementris: Stewrt, J. (010). Cálulo e un vrile. Trseentes Temprns. Sext eiión. Ems Impresiones S.A. e C. V. Iztplp, Méxio,. F. Leithol, L. (1998). El álulo. Truión e l séptim eiión en inglés e: THE CALCULUS 7. ISBN Printe in Mexio. Grupo Mexino MAPASA, S.A. E C.V.