Tema 6. La ntegral Definida. Raúl González Medina. I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 6

Transcripción

1 Tem 6 L ntegrl Defini.- Introucción.- Integrl Defini..- Significo Geométrico..- Propiees.- Regl e Brrow.- Áre entre os gráfics 4.- Volumen e un sólio e Revolución 5.- Teorem Funmentl e Cálculo (TFC) 6.- Ejercicios Resueltos Rúl González Mein I.E. Jun Rmón Jiménez Tem 6

2 Mtemátics º Bchillerto CCNN 6..- Introucción El Cálculo Integrl, que es un e ls más importntes y complejs prtes el Análisis Mtemático tiene su origen en el estuio el áre e figurs plns. Ls fórmuls pr el cálculo e ls áres e triángulos y rectángulos ern y conocis en l Greci Clásic, sí como l e los polígonos regulres previ escomposición en triángulos. El prolem se plnte l hor e clculr áres e figurs limits por línes curvs. Euclies (.C.) sigue los trjos e Euoio (4-55.C.) pr clculr el áre el círculo por el métoo e ehución, es ecir, inscriieno en él sucesivmente polígonos con más los. L sum e ests áres se proim c vez más l áre el círculo, estno en el límite el vlor ecto. Arquímees (87-.C.) hlló tmién el áre encerr por un rco e práol y l cuer corresponiente, cos relmente ifícil en quel tiempo, y que no se isponí el álger formliz ni e l geometrí nlític. El métoo utilizo er el e gotmiento, esto es, se encj el áre entre os polígonos, uno inscrito en l región y otro circunscrito l región. Dese los griegos hst el siglo XVII poco se hizo con relción l cálculo e áres y volúmenes e figurs limits por línes o superficies cerrs. Pscl, Fermt y Leiniz comienzn un estuio engrzo con el cálculo iferencil; sí pues, unque históricmente se estuin los primeros elementos el cálculo integrl ntes que el iferencil, en el siglo XVII se estuin y configurn l pr, relcionánose por meio e muchos e importntes resultos. En est primer e ls os unies que eicremos l cálculo integrl, nos centrremos en el Cálculo e Primitivs, herrmient necesri pr l segun uni, en l que plicremos lo visto en est pr el cálculo e áres Integrl Defini L integrl efini e un función en el intervlo [,] se simoliz por f( ) superior e integrción y el límite inferior e integrción Significo Geométrico e l integrl, one es el límite Con l integrl efini se pretene clculr el áre e un región el plno limit por un curv. Se el plno fín rel euclíeo y ( O, u, u) un sistem e referenci ortonorml e ejes OX y OY. Si l función f : [, ], es positiv e integrle, l integrl efini e l función f sore icho intervlo represent el áre e l región limit por l curv, el eje OX y ls perpeniculres por los puntos y, y l integrl es positiv. + f ( ) Áre jo l curv > Si l función f : [, ], es negtiv e integrle, l integrl efini e l función f sore icho intervlo represent el áre e l región limit por l curv, el eje OX y ls perpeniculres por los puntos y, pero con signo negtivo. f ( ) Áre jo l curv Rúl González Mein 6 Integrl Defini VI-

3 Mtemátics º Bchillerto CCNN Si l función f : [, ], tom vlores positivos y negtivos sore el intervlo cerro [,], entonces, l integrl efini e l función f sore icho intervlo represent l sum e ls áres e ls regiones comprenis entre l función, el eje e ls, y ls perpeniculres por y, pero signánole c un e ells el signo + o - según que esté por encim o por ejo el eje. Pr ello es necesrio conocer los puntos e corte e l curv con el eje OX. c c c c 4 Are f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) c c c c 4 Ejemplo : Clculr el áre encerr por el eje OX, ls rects y y l curv y cos. Vmos ver si l función y cos, cmi e signo en el intervlo [, ], pr ello l igulmos cero y clculmos sus ríces: cos k, entro el intervlo estuir solo está. Semos que el coseno es positivo en el primer curnte, y negtivo en el seguno, por tnto: Are cos cos sen sen ( ) Propiees e l integrl Defini Si los límites e integrción son igules, l integrl es nul: f( ) Si c es un punto interior l intervlo [,], se verific: f( ) f( ) f( ) c c Est propie es generlizle l tomr más puntos interiores en el intervlo [,]. Al intercmir los límites e integrción, l integrl efini cmi e signo: f( ) f( ) L integrl efini e l sum es l sum e ls integrles efinis: f( ) g( ) f( ) g( ) Si k es un número rel, se verific: k f( ) k f( ) Si f( ) g( ),, entonces se verific: f( ) f( ) Rúl González Mein 6 Integrl Defini VI-

4 Mtemátics º Bchillerto CCNN 6..- Regl e Brrow L integrl efini e un función continu f() en un intervlo cerro [, ] es igul l iferenci entre los vlores que tom un función primitiv G() e f(), en los etremos e icho intervlo. Oservciones: f( ) G( ) G( ) G( ) L importnci e est regl es funmentl, y que pone en relción ls integrles con ls erivs. Sin emrgo hy que vertir que solmente es plicle funciones continus efinis en intervlos cerros. Pr hllr l integrl efini e un función continu en un intervlo cerro seguiremos el siguiente proceso: Se hll un primitiv culquier e l función, sin tener en cuent l constnte (l más sencill). Se sustituyen en est primitiv los límites e integrción (el superior y el inferior) y se restn los resultos. Ejemplo : Clculr el vlor el áre que está ejo e l función f()=sen en el intervlo [, ] Como l función es positiv en too el intervlo (no cmi e signo): Are Sen Cos cos cos ( ) 6..- Áre limit por os gráfics Pr hllr el áre limit por ls gráfics e os funciones f() y g() seguiremos este esquem: ) Definimos un nuev función h() = f() g() ) Igulmos cero pr hllr los puntos e corte entre ms: h()= f()=g() c) Un vez que otengmos los puntos e corte, y, integrmos l función h() entre esos límites e integrción. Are h( ) Ejemplo : Clculr el áre compreni entre f()= y g()= Escriimos l función h() como l iferenci entre f() y g(). Clculmos sus ríces igulno cero: h ( ) h( ) Are ( ) ( ) Rúl González Mein 6 Integrl Defini VI-

5 Mtemátics º Bchillerto CCNN Volumen e un sólio e revolución Se f un función continu efini en el intervlo [,]. Recie el nomre e sólio e revolución, l sólio genero l girr lreeor el eje, l región limit por l gráfic e y f( ), el eje, y ls gráfics e y. El eje es un eje e simetrí e icho sólio y un sección rect perpeniculr l eje es un círculo e rio f( ). El áre e l sección circulr será: A( ) f( ) cilinro e rio f( ) y ltur. Por tnto, el volumen el cuerpo e revolución venrá o por l epresión:, y un elemento e volumen e revolución será un pequeño Vol f ( ) Este proceimiento recie el nomre e integrción por iscos. Ejemplo 4: Clculr el volumen engenro l girr l práol y lreeor el eje X, entre y V 8 4 Si l trozo e curv y f( ) se le hce girr lreeor el eje Y, el volumen el cuerpo e revolución venrá o por est otr epresión: Vol ( y ) y Se hce ectmente igul que l girr en torno l eje X, con l slve e que hy que escriir en función e y, e integrr en y. Ejemplo 5: Clculr el volumen engenro por l curv eje Y, entre y= e y=. y l girr lreeor el 5 4 y Volumen y y y y 5 5 Rúl González Mein 6 Integrl Defini VI-4

6 Mtemátics º Bchillerto CCNN Teorem Funmentl e Cálculo El Teorem funmentl el Cálculo, como su nomre lo inic es un importnte resulto que relcion el Cálculo Diferencil con el Cálculo Integrl. En este cpítulo se estuirán ls ses que permiten iseñr técnics pr el cálculo e integrles. Si f es un función continu en el intervlo cerro [,], entonces su función integrl F( ) f( t) t con es continu en [,] y erivle en (,), y su eriv F ()=f() Deriv e integrles f contínu en [,] F '( ) f ( ) F(X)= f ( t ) t f ( t ) t f ( ) Ejemplo 6: Hllr l eriv e: t t t t Deriv e integrles cuno el límite superior es un función g ( ) f ( t ) t f g( ) g '( ) Ejemplo 7: Hllr l eriv e: t cos t t 4 cos t cost Deriv e integrles cuno los os límites son funciones g ( ) f ( t ) t f g( ) g '( ) h g( ) h'( ) h ( ) Ejemplo 8: Hllr l eriv e: lntt ln ln ln 9 ln 4 ln (9 4 )ln tt Poemos encontrrnos con ejercicios como este en el que l plicr l regl e L Hôpitl, l integrl esprece. Rúl González Mein 6 Integrl Defini VI-5

7 Mtemátics º Bchillerto CCNN Ejemplo 9: Hllr lim sen tt sen tt sen cos sen cos sen cos 6 6 L' H L' H L' H lim lim lim lim * Done hemos utilizo vris veces l Regl e L Hopitl Ejercicios Resueltos.- Clcul ls siguientes integrles: 9 4 ) ) sen sen c) cos cos sen cos sen sen cos ( )cos cos cos ) Arcsen u u Arcsen Arcsen v ( ) v Est es cíclic, por tnto: f) ; Clculremos primero l primitiv: e Arcsen 6 8 e t e t t A B t t t At B t e ( t ) t t t t Si t= =B Si t=- =-A ( ) Si eshcemos el cmio: t t t ln t ln t ( t ) t t t ln e ln e ln( e ) ln() e Rúl González Mein 6 Integrl Defini VI-6

8 Mtemátics º Bchillerto CCNN.- Sieno t I t e t, emostrr que lim I ( ) Vmos clculr l Integrl: Por tnto: t u t u tt t t t u t u t t e t e t te t e t t t t t v e v e v e v e ( ) t t t t t t t e t te e t e t te e e t t t t I t e t e t t e Por tnto: lim e como querímos emostrr..- Clculr el áre encerr por l curv f ( ) 4 y l rect g( ) 5 Definimos l función h( ) f ( ) g( ) 6 5 Igulmos cero, pr clculr sus puntos e corte. Por tnto sus ríces son y 5. Integrmos h entre y 5 h f g ( ) ( ) ( ) 6 5 ( 5) A Como un áre no puee ser negtiv, Hllr el áre e l región limit por ls gráfics e ls funciones ( ) Al igul que en el ejercicio nterior, efinimos l función h(): h( ) f ( ) g( ) Igulmos cero pr encontrr sus puntos e corte: h( ) f ( ) g( ) ; Por tnto y tenemos los límites e integrción. f y g( ) 6 Como ls áres no son nunc negtivs: Áre = 6 6 Rúl González Mein 6 Integrl Defini VI-7

9 Mtemátics º Bchillerto CCNN 5.- Determinr el áre encerr entre ls gráfics e ls funciones e ecuciones f ( ) 6 y g( ). Como siempre, efinimos l función h() como l iferenci entre f y g: h( ) f ( ) g( ) 8 Igulmos cero pr otener los etremos e los intervlos e integrción: h ( ) 8 ; Are Por tnto: Clculr el áre encerr por l gráfic e f ( ) 4 y L función f() es siempre positiv, por tnto l integrl es positiv:, el eje e sciss y ls rects Tenemos que clculr: Arctg Arctg Arctg() Clculr el áre el recinto limito por l curv e l ecución f ( ) y l rect perpeniculr su tngente en el punto (,). Lo primero es clculr l rect tngente en el punto (,) L ecución e l rect tngente es: y = m +, one m es l peniente f () y es l oren en el origen = f(). En este cso: f ()= + ; f ()=; f()=; por tnto l rect tngente en el (,) es y = L rect perpeniculr est es: y=-. Así que tenemos que clculr el áre entre l gráfic f()= + y g() = - Definimos l función h(): h( ) f ( ) g( ) ( ) Igulmos cero pr encontrr ls soluciones: h ( ), Integrmos l función h entre esos os vlores: 4 Rúl González Mein 6 Integrl Defini VI-8

10 Mtemátics º Bchillerto CCNN Como el áre no puee ser negtiv: 4 4 Are 8.- Se consier l función f ( ) e, one es un constnte no nul. Clcul el vlor e, sieno que el áre limit por l curv f ( ) e y ls rects = y = es igul. Tenemos que e ; Vmos resolver l integrl: u u e e e e e e e v e v e Y según el enuncio: e e Por tnto =, porque no puee ser igul cero. ; Rúl González Mein 6 Integrl Defini VI-9