VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. DISTRIBUCIÓN NORMAL.

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1 8 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. DISTRIBUCIÓN NORMAL. CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA. Conocimientos previos Pr hllr el áre del recinto limitdo por l curv f(), el eje de sciss y ls rects y, se utiliz l siguiente fórmul: Are f ( ) d que recie el nomre de integrl definid de f entre los límites y y se lee integrl entre y de f(). L integrción es l operción invers de l derivción. n Por ejemplo, si f ( ), l fórmul nterior se resuelve de l siguiente form: n+ n d n + Primero se sustituye l por y l resultdo otenido le llmremos F(). Después se sustituye l por y l resultdo otenido le llmremos F() Finlmente restmos los resultdos, es decir, n d F( ) F( ) Ejercicio: Resuelve l siguiente integrl definid: ( + ) d ( + ) d + F() F() F ( ) F( ) + luego ( + ) d 9 ( ) 9 + Cundo se clculn áres los resultdos se tomn en vlor soluto.

2 9 Vrile letori continu. Es quell que puede tomr infinitos vlores dentro de un intervlo de l rect rel. Por ejemplo, l durción de ls omills de un determind mrc y modelo. En el cso de vriles letoris continus no tiene sentido plnterse proiliddes de resultdos isldos, por ejemplo, proilidd de que un omill dure 00 hors, minutos y 6 segundos. L proilidd serí 0. El interés de ests proiliddes está en conocer l proilidd correspondiente un intervlo. Dich proilidd se conoce medinte un curv llmd función de densidd y suponiendo que jo dich curv hy un áre de un unidd. Conociendo est curv, st clculr el áre correspondiente pr conocer l proilidd de un intervlo culquier. L función de densidd de un v.. continu cumple ls siguientes condiciones: Sólo puede tomr vlores comprendidos entre 0 y : 0 f ( ) El áre encerrd jo l curv es igul l unidd: f ( ). d. + Ejercicio: 8 p( ) Se f ( ) con [ 0,6]. Comprue que es un función de densidd y clcul Pr que se función de densidd d tiene que vler. Vemos: 0 6 d 8 p( 8 ) d Función de distriución. Como en el cso de l v.. discret, l función de distriución proporcion l proilidd cumuld hst un determindo vlor de l vrile, es decir, F( ) p( X ). Cumple ls siguientes condiciones: Su vlor es cero pr todos los puntos situdos l izquierd del menor vlor de l vrile. Su vlor es pr todos los puntos situdos l derech del myor vlor de l vrile. Medi y vrinz de un v.. continu. Eiste ciert correspondenci entre l vrile letori discret y l continu:

3 0 Vrile letori discret µ. p i i i pi µ Vrile letori continu µ. f ( ). d f ( ) d µ Lo que es ps ser y lo que es i p ps ser f () Ejercicio. L función de densidd de un v.. continu viene definid por : si 0 f ( ) 0 en el resto ) Hll l función de distriución. ) Clcul l medi y l vrinz. ) L función de distriución se otiene integrndo l función de densidd, es decir, A l izquierd de 0, su vlor 0. A l derech de, su vlor es Entre 0 y : F( ) p( X ) d ] 0 es decir, 0 si < 0 F( ) si 0 pr > 0 ) Cálculo de l medi: Cálculo de l vrinz: µ. f ( ). d 0.. d f ( ) d µ 0.. d 9 8 Ejercicio. Clcul l medi, l vrinz y l desvición típic de un v.. que tiene como función + de densidd: f ( ) con [, ] + ( + ) d + Medi: µ. f ( ). d. d 9 9

4 Vrinz: f ( ) d µ d ( + ) d ,8. Desvición típic:,8, Ejercicio. Se f ( ) con [,], un función de densidd. 6 ) Clcul su función de distriución. ) Clcul p ( ). ) F( ) p( X ) d ( ) ( ) 6 6 d 6 08 Su vlor es cero pr todos los puntos situdos l izquierd de Su vlor es pr todos los puntos situdos l derech de ) p( ) d 6 6 ( ) d Distriución norml. Hy muchs v.. continus cuy función de densidd tiene form de cmpn. Ejemplos: - L vrile peso en un polción de persons de l mism edd y seo. - L vrile ltur de l polción citd. - etc. Se dice que ests vriles tienen un distriución norml y l función de densidd recie el nomre de curv norml o cmpn de Guss. Pr epresr que un v.. continu X, tiene un distriución norml de medi µ y desvición típic, escriimos N ( µ, ). Representción gráfic de l función de densidd de un distriución norml.

5 Distriución norml estándr. De ls infinits distriuciones N ( µ, ), tiene especil interés l de medi 0 y desvición típic, es decir, N (0,). Est distriución recie el nomre de estndr o reducid Eisten uns tls que permiten clculr proiliddes en distriuciones normles reducids. Por ello es consejle trnsformr culquier v.. X que sigue que sigue un distriución N ( µ, ) en otr vrile Z que sig un distriución N(0,). El cmio de vrile que es necesrio hcer es el siguiente: µ Z X Cálculo de proiliddes en distriuciones normles reducids. Se Z un vrile que sigue un distriución norml N(0,). Vmos lgunos ejemplos que nos permiten clculr determinds proiliddes en ls tls: ) p( Z,) L proilidd pedid se encuentr directmente en ls tls. Bst uscr, en l column y 0,0 en l fil. Su intersección nos d l proilidd. ) p( Z,) En este cso l proilidd pedid no está en ls tls. Sin emrgo, si tenemos en cuent que el áre totl jo l gráfic h de ser, deducimos de l figur que: p ( Z,) p( Z,) 0,89 0,07.

6 c) p( Z 0,7) Como l gráfic es simétric respecto l eje de ordends, p ( Z 0,7) p( Z 0,7) y y estmos en el cso nterior. Comprue que el resultdo finl es 0,8. d) p( 0, Z,76) Oservndo l figur se deduce que p( 0, Z,76) p( Z,76) p( Z 0,) 0,9608 0,69 0,69 Ejercicio El peso de los individuos de un polción se distriuye normlmente con medi de 70 Kg. y desvición típic 6 Kg. De un polción de 000 persons, clcul cuánts tendrán un peso comprendido entre 6 y 76 Kg. Se trt de un distriución N(70,6) p( 6 X 76) p Z p( Z ) p( Z ) p( Z ) 6 6 p ( Z ) 0,8 (directmente en ls tls) p ( Z ) p( Z ) p( Z ) 0,8. Por tnto, p( 6 X 76) 0,8 ( 0,8) 0,8 + 0,8 0, 68 Esto signific que el 68, % de ls persons pesn entre 6 y 76 Kg.. Como hy 000 persons, clculmos el 68,% de 000 y otenemos 6 persons. Ejercicio. L durción medi de un lvvjills es de ños y su desvición típic 0,. Siendo que su vid útil se distriuye normlmente, hll l proilidd de que l dquirir un lvvjills dure más de ños. Es un distriución norml de medi y desvición típic 0,, es decir, N(; 0,). p( X ) p( Z ) p( Z 0) p( Z 0) 0, 0,

7 Ejercicio 6. L not medi de ls prues de cceso correspondientes los estudintes que querín ingresr en un fcultd er,8 y l desvición típic,7. Fueron dmitidos los de not superior 6. ) Cuál fue el porcentje de dmitidos si l distriución es norml? ) Con qué proilidd ectmente cutro de diez estudintes son dmitidos? Aprtdo ): 6,8 p( X > 6) p( Z > ) p( Z > 0,) p( Z 0,) 8 0,6,7 Aprtdo ): Es un distriución inomil de prámetros n0 y p0,6,6% p(otener r éitos )p(x r) n r n r 0 6 p.( p) p(x ) (0,6) ( 0,6) r (0,6) (0,8) 0,... Aproimción de l distriución inomil medinte l norml. (Corrección de Ytes) Cundo n es grnde y p está próimo 0, el comportmiento de un distriución inomil B(n, p) es proimdmente igul un distriución norml, N( np, npq) Esto permite sustituir el estudio de un B ( n, p) por el de un N ( np, npq). Suele considerrse que l proimción es uen cundo np> y nq> Ddo que por mucho que se prezc nunc es igul un inomil que un norml, es necesrio plicr en el cálculo de proiliddes un juste que recie el nomre de corrección de Ytes. Si X es l inomil y X l norml, l corrección consiste en lo siguiente: p( X r) p r X r + (Se soci un intervlo unidd centrdo en el punto) p( X ) p X + (se lrg el intervlo ½ por l izquierd y ½ por l derech.) Pr vlores de n myores de.000 se puede suprimir l corrección. Ejercicio 7.

8 Se lnz un moned correct l ire 00 veces. Clcul l proilidd de otener un número de crs comprendido entre 80 y 0, mos inclusive. Clculmos l medi y l desvición típic de l distriución inomil: µ np ; npq Por tnto, 79, 00 0, 00 p( 80 X 0) p(79, X 0,) p Z 0 0 p(,0 Z,0) p( Z,0) p( Z,0) pero p( Z,0) 0, 8 y p( Z,0) p( Z,0) p( Z,0) 0,9798 0, 00 luego p( 80 X 0) 0,8 0,00 0, 89 Ejercicio 8. Un tirdor ciert en el lnco en el 70% de los tiros. Si el tirdor prticip en un competición y tir veces, cuál es l proilidd de que cierte más de 0 tiros? Es un distriución B(; 0,7) que podemos proimr trvés de l norml: µ n. p.0,7 7, > n. q.0, 7, > L proimción será uen. npq.0,7.0,,9 0, 7, p( X > 0) p( X ) p( X 0,) p Z p( Z,9 p( Z,06) 0,9998,06)

9 6 Ejercicios propuestos..- Un profesor de mtemátics h oservdo que ls nots otenids por sus lumnos en los eámenes de Estdístic siguen un distriución N(6;,). Se hn presentdo l último emen lumnos, cuántos scron l menos un 7?. ( Sol. ).- Un empres llev co un prue pr seleccionr nuevos empledos. Por l eperienci de prues nteriores, se se que ls puntuciones siguen un distriución norml de medi 80 y desvición típic. Qué porcentje de cndidtos otendrá entre 7 y 00 puntos? (Sol. 6,7% ) - Clcul el vlor de k pr que l función f ) k ( si [ 0,0] se función de densidd. Otenido el vlor de k, clcul l medi y l desvición típic de l distriución. ( Sol. k /0 ; medi,; desvición típic,6 ).- El peso de los toros de un determind gnderí se distriuye normlmente con un medi de 00 Kg. y Kg. de desvición típic. Si l gnderí tiene 000 toros, ) Cuántos pesrán más de 0 Kg.? ) Cuántos pesrán menos de 80 Kg.? c) Cuántos pesrán entre 90 y 0 Kg.? ( Sol. 7; 660; 8 ).- Un de ls prues de cceso l Universidd pr myores de ños consiste en un test con 00 pregunts, cd un de ls cules tiene posiles respuests y sólo un correct. Pr superr est prue deen otenerse, l menos, 0 respuests corrects. Si un person contest l zr, cuál es el número esperdo de respuests corrects?. Qué proilidd tendrá de superr l prue? (Sol. ; Utilizndo l proimción trvés de l norml: p 0,9) 6.- Después de relizr vrios sondeos sore un polción con escs cultur, se h conseguido verigur que únicmente el % de l mism es fvorle los trtmientos de psicoterpi. Elegid l zr un muestr de 0 persons de dich polción, se dese ser: ) L proilidd de que hy más de persons fvorles dichos trtmientos. ) L proilidd de que lo sumo hy 6 persons fvorles. (Sol. 0,78; 0,6 )