4.1 ÁREAS DE REGIONES PLANAS 4.2 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 4.3 LONGITUD DE UNA CURVA PLANA 4.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN
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- Lucas Martin Rubio
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1 Cp. pliccione e l Integrl. ÁRES DE REGIONES PLNS. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN. LONGITUD DE UN CURV PLN. VLOR MEDIO DE UN FUNCIÓN Objetivo: Se pretene que el etuinte clcule áre e regione pln generle, volúmene e ólio e revolución, longitu e un curv pln
2 Cp. pliccione e l Integrl. RES DE REGIONES PLNS.. ÁRE BJO UN CURV En el cpítulo nterior e mencionó que pr clculr el vlor el áre bjo un curv, e prticion l región pln luego e hce un um ininit e l áre e l prticione, lo cul equivle un integrl eini. hor poemo hcerlo e un mner brevi. Conierno ólo un prtición reprettiv, un rectángulo ierencil que reprete culquier prtición e l región pln El áre el elemento ierencil erá: h Por tnto, el áre e l región pln e: b.. ÁRE ENTRE CURVS Si l región pln tuvier l iguiente orm: El áre el elemento ierencil erá: h [ g ]
3 Cp. pliccione e l Integrl Entonce el áre e l región pln et por: [ g ] CONCLUSIÓN: Pr hllr el áre e un región pln, ig lo iguiente po:. Dibuje l curv.. Ientiique l región pln. quí e einen lo límite e integrción.. Dein el rectángulo ierencil, el elemento reprettivo.. Dein l integrl o l integrle pr él áre.. Evlúe l integrl eini. b Ejemplo Clculr el vlor el áre e l región limit por PSO : Gricmo en un mimo plno PSO : Ientiicmo l región pln, ombreánol hllno l intercepcione e l curv. PSO : Deinimo el elemento ierencil. PSO : L integrl eini pr el áre erí: PSO : Evluno l integrl eini, tenemo: [ ] 7
4 Cp. pliccione e l Integrl [ ] [ ] 9 9 Ejemplo Clculr el vlor el áre e l región limit por PSO : Dibujmo PSO : Ientiicmo l región pln, ombreánol hllno l intercepcione e l curv con el eje. PSO : Deinimo el elemento ierencil. PSO : L integrl eini pr el áre erí: [ ] [ ] PSO : Evluno l integrl eini, tenemo:
5 Cp. pliccione e l Integrl [ ] [ ] [ ] [ ] ÁRE DE REGIONES SIMPLE- Si l región pln tuviee l iguiente orm: E má conveniente tomr el elemento ierencil reprettivo en ipoición horizontl El áre el elemento ierencil erá: h Entonce el áre e l región pln e: c Y pr el co e regione imple- má generle, tenemo: 9
6 Cp. pliccione e l Integrl El áre el elemento ierencil erá: h [ g ] Entonce el áre e l región pln et por: Ejemplo [ g ] c Clculr el áre e l región limit por PSO : Se ibuj en un mimo plno PSO : Ientiicmo l región pln, ombreánol hllmo l intercepcione e l curv. PSO, : En ete co obervmo que el elemento ierencil puee er e l o orm. PRIMER MÉTODO. Ecogemo el elemento ierencil verticl 9 9 El áre etá o por: 7
7 Cp. pliccione e l Integrl SEGUNDO MÉTODO. Ecogieno el elemento ierencil horizontl: El áre etá por: [ ] Ejemplo Clculr el áre e l región limit por PSO, PSO PSO : El elemento ierencil erí mejor horizontl en ete co 7
![por: [ ] Ejemplo Clculr el áre e l región limit por](/docs-images/45/20111264/images/page_7.jpg "PSO, PSO PSO : El elemento ierencil erí mejor")
8 Cp. pliccione e l Integrl Po : El áre e l región erí: [ ] [ ] 9 Ejercicio propueto. Hllr el áre e l región limit por l curv:.,,. entre,,..,,...,.,,..., 7.,., 9.,,..,.,,., 7
9 Cp. pliccione e l Integrl.. RES EN COORDENDS POLRES. hor trtremo regione imple-, regione que etán limit por curv cu ecucione etán en orm polr. En ete co, el elemento ierencil tiene l orm e un ector circulr, entonce u áre etá por: r Por tnto el áre e l región etá por: [ ] Ejemplo Hllr el áre e l región encerr por r Gricno l circunerenci r e ientiicno l región, tenemo: 7
10 Cp. pliccione e l Integrl El áre etrí por: [ ] [] Ejemplo Hllr el áre e l región encerr por r Gricno l crioie r e ientiicno l región, tenemo: El áre etrí por: [ ] [ ] [ ] 7
11 Cp. pliccione e l Integrl Ejemplo Hllr el áre e l región encerr por r Gricno l ro r e ientiicno l región, tenemo: El áre etrí por: [ ] [ ] [ ] Ejemplo Hllr el áre e l región encerr por el rizo e r Gricno el crcol r e ientiicno l región, tenemo: 7
![áre etrí por: [ ] [ ] [ ] Ejemplo Hllr el áre e l región](/docs-images/45/20111264/images/page_11.jpg "encerr por el rizo e r Gricno el crcol r e ientiicno l")
12 Cp. pliccione e l Integrl El áre etrí por: [ ] [ ] [] [ ] [ ] [ ] 7 Ejemplo Hllr el áre e l región interior mb curv r r Gricno l igur e ientiicno l región, tenemo: 7
13 Cp. pliccione e l Integrl El ángulo e interección e l obtiene igulno l ecucione e l curv luego reolvieno l ecución trigonométric que e orm, e ecir: El áre etrí por: [ ] [ ] 9 Ejercicio propueto.. Hllr el áre limit por l curv r.. Determinr el áre e l región eterior r, e interior r. Determine el áre e l región interior e l crioie r eterior l crioie r en el primer curnte. Determine el áre e l región entro e l circunerenci r uer e r. 77
14 Cp. pliccione e l Integrl. Determinr el áre interior r eterior r.. Clculr el áre e l región que e etern l crioie r e intern l crioie r 7. Determine el áre interior l limron r pero eterior l rizo.. Hllr el áre e l región intern común entre r r 9. Determine el áre e l región R r {, / } r. VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Supong que e tiene un región pln que e l hce girr con repecto un etermino eje, et itución provoc que e genere lo que e llm SÖLIDO DE REVOLUCIÓN. En primer intnci generlicemo itucione que e pretn. CSO I. Supong que e tiene un región pln imple-, como l que e muetr en l igur. l girr l región con repecto l eje "" e ormrá un ólio e revolución: El volumen e ete ólio e revolución e lo puee clculr e l iguiente mner: Primero: e etermin el volumen el ólio ierencil que e orm l girr el elemento ierencil reprettivo en torno l eje inico. 7
15 Cp. pliccione e l Integrl Oberve que lo nterior tmbién e lo puee ver como que e rebn el ólio e etermin el volumen e un prtición. En ete co el ólio ierencil tiene l orm un DISCO, por tnto u volumen etá o por: V r [ ] Seguno: El volumen e too el ólio e un um ininit e lo volúmene e l prticione, e ecir: V b [ ] CSO II. Supong hor que l región pln uee como l que e ombre en l igur. l girr l región lreeor el eje "" e gener un ólio e revolución e l iguiente orm: Primero: El ólio ierencil que e gener l rotr el elemento ierencil lreeor el eje "", pr c prtición tiene l orm e un NILLO 79
![volúmene e l prticione, e ecir: V b [ ] CSO II. Supong hor que l región pln uee como l que e ombre en l igur.](/docs-images/45/20111264/images/page_15.jpg "l girr l región lreeor el eje \"\" e gener un ólio e revolución e l iguiente orm: Primero: El ólio ierencil que e gener l rotr el elemento ierencil")
16 Cp. pliccione e l Integrl El volumen el ólio ierencil etrí o por: V [ r r ] pero oberve que: r r g entonce: V [ g ]. Seguno: EL volumen totl el ólio que e gener l girr l región pln lreeor el eje "", etrí o por: V b [ g ] CSO III. hor en cmbio upong que i tuviéemo que girr l región nterior en torno l eje "": El ólio ierencil tenrí l orm e un CORTEZ:
17 Cp. pliccione e l Integrl Pr eterminr el volumen e ete elemento ierencil, lo cortmo lo brimo, e obtiene un prim rectngulr: r h Su volumen erí: Pero oberve que: V rh r h g Por tnto el volumen totl el ólio erí: V b [ g ]. Pr regione imple-, lo proceimiento on nálogo. Ejemplo Hllr el volumen el ólio que e gener l girr l región pln lreeor el eje. R : PSO : trzmo l gráic e l curv. PSO : Ientiicmo l región. PSO : El elemento ierencil, lo ecogemo verticl
18 Cp. pliccione e l Integrl l hcer girr el elemento ierencil en torno l eje inico e orm un nillo, cuo volumen etá o por: V [ r r ] en ete co r r PSO : Por tnto V [ ] V u NOT: reuelv el ejemplo tomno el elemento ierencil horizontl. Ejemplo Hllr el volumen el ólio que e gener l girr l región pln lreeor el eje. R : PSO Y PSO : L región pln e l mim que l el ejercicio nterior PSO : El elemento ierencil giro en torno l eje "" lugr un Cortez Cuo volumen etá o por V rh en ete co r h PSO : Por tnto:
19 Cp. pliccione e l Integrl [ ] u V V Ejemplo Hllr el volumen el ólio que e gener l girr l región pln R : lreeor el eje PSO Y PSO : L región pln e l mim que l e lo ejercicio nteriore PSO : El elemento ierencil giro en torno l eje " " lugr un nillo El volumen e ete ierencil etá o por [ ] r r V en ete co r r PSO : Por tnto, clculno el volumen tenemo:
20 Cp. pliccione e l Integrl [ ] u V V Ejemplo Hllr el volumen el ólio que e gener l girr l región pln R : lreeor el eje PSO Y PSO : L región pln e l mim que l e lo ejercicio nteriore PSO : El elemento ierencil giro en torno l eje " " lugr un nillo El volumen e ete ierencil etá o por [ ] r r V en ete co r r PSO : Por tnto:
21 Cp. pliccione e l Integrl [ ] 7 u V V Ejemplo Hllr el volumen el ólio que e gener l girr l región pln R : lreeor el eje PSO Y PSO : L región pln e l mim que l e lo ejercicio nteriore PSO : El elemento ierencil giro en torno l eje " " lugr un cortez El volumen e ete ierencil etá o por rh V en ete co r h PSO : Por tnto:
22 Cp. pliccione e l Integrl u V V Ejemplo Hllr el volumen el ólio que e gener l girr l región pln R : lreeor el eje PSO Y PSO : L región pln e l mim que l e lo ejercicio nteriore PSO : El elemento ierencil giro en torno l eje " " lugr un cortez El volumen e ete ierencil etá o por rh V en ete co r h PSO : Por tnto:
23 Cp. pliccione e l Integrl u V V Ejercicio Propueto.. Clculr el volumen el ólio genero por l rotción e l región R lreeor el eje inico; ieno R l región limit por l curv, cu ecucione e n continución:. ; eje,,, b., tg,, rc ; eje. c. ;,,,, eje.. Se R l región limit por l curv:, l rect,.. Clcule el volumen el ólio que e gener l rotr R lreeor el eje. b Clcule el volumen el ólio que e gener l rotr R lreeor el eje.. Determine el volumen el ólio e revolución genero l rotr en torno l eje l región limit por l curv:. 9, 9. Clculr el volumen el ólio genero l hcer girr lreeor e l rect, l región cot por l curv:.,. Encuentre el volumen el ólio genero por l rotción en torno l rect e l región el primer curnte limit por l prábol, el eje e l.. Clculr el volumen el ólio genero l rotr l región R lreeor el eje, one R e: 7. Se l región { } /, R. Clcule el volumen el ólio genero l girr R lreeor el eje:, b 7
24 Cp. pliccione e l Integrl. LONGITUD DE RCO Siguieno el equem e proceimiento pr eterminr áre e regione pln volúmene e ólio e revolución, e hcen ininit prticione e l curv e etblece un um ininit. Un prtición ierencil tenrá l orm: i Y u longitu etá por:. Si entonce e utiliz el ierencil e rco e l orm: E ecir: b. Si entonce e utiliz el ierencil e rco e l orm: E ecir: c
25 Cp. pliccione e l Integrl. Finlmente i e l orm: t : t C entonce e utiliz el ierencil e rco t t t t t E ecir: t t t t t Ejemplo Encuentre l longitu e rco e l curv ee el punto, l punto, En ete co umo el ierencil e rco e l orm por qué? hor Por tnto: b 9
26 Cp. pliccione e l Integrl Ejemplo Encuentre l longitu e l curv u u ; L longitu e rco et por: Pr lo cul l eriv erí: D u u Reemplzno reult: Ejemplo Clculr l longitu e l circunerenci 9
27 Cp. pliccione e l Integrl Pr ete co e mejor clculr l longitu e rco con l orm prmétric t t t t t L ecución e l circunerenci en orm prmétric e: C : ; t t Por tnto t t. Reemplzno reult: t t t t t t t t t t t t t t t t t t Ejercicio Propueto. ln ;. Determine l longitu e rco e l curv t t t. Determine l longitu e rco e l curv: en el intervlo t tt. Determine l longitu e rco e l curv: en el intervlo t t t t. Encuentre l longitu e l curv u u u, t 9
28 Cp. pliccione e l Integrl.. LONGITUD DE RCO EN COORDENDS POLRES. L longitu e rco et por: Reemplzno, tenemo: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Reultno inmente: Ejemplo Hllr l longitu e l circunerenci r plicno l ormul reolvieno, reult: o Ejemplo Hllr l longitu e l crioie r plicno l ormul reolvieno, reult: 9
29 Cp. pliccione e l Integrl Ejemplo Hllr perímetro e región interior l curv r r En ete co el perímetro etrí o por 9
30 Cp. pliccione e l Integrl Per Per Per Per Per Ejercicio propueto.. Determine el áre el perímetro e l región interior l curv r r.. Determinr: El vlor e pr el cul el áre e l región limit por l crioie r e igul 9 unie cur. b L longitu e l crioie eini en el literl.. VLOR MEDIO DE UN FUNCIÓN DE UN VRIBLE Se un unción continu en el intervlo [, b]. El VLOR MEDIO O VLOR PROMEDIO e por:, enoto como b b, etá o Ejemplo L etític inicn que " t " mee epué el principio e ño, el precio e l crne e re er p t.9t.t. ólre por libr. Cuál ue el precio meio e l crne urnte lo primero mee?. El promeio el precio urnte lo primero mee e: 9
31 Cp. pliccione e l Integrl p b b.9t p $.7 p t t.9t.t..t [..9.].t t. Se R l región eini por : R, Miceláneo { IR / ln e}. Clcule: El áre e l región R. b El volumen el ólio que e gener l rotr l región R lreeor el eje "". Se l región {, IR /[ ] [ ] } R Clcule: El áre e l región R. b El volumen el ólio que e gener l rotr l región R lreeor e l rect c El volumen el ólio que e gener l rotr l región R lreeor e l rect. Clcule el volumen el ólio e revolución que e gener l rotr l región R {, IR / } lreeor e l rect.. Clculr el áre e l región interior l ro r eterior l circunerenci r.. Se l región R limit por l rect l curv. Determine el vlor e " " e tl moo que l rect ivi l región R en o regione e igul áre. R, /. Determine el vlor e " " e tl moo que l rect. Se l región { } ivi l región R en o regione e igul áre. 7. Clcule el áre e l región, { / } R. Clculr el áre e l región interior l rizo grne eterior l rizo pequeño e r. 9. Se R {, / }. Clcule el volumen el ólio que e gener l rotr l región R lreeor e l rect. Clculr el áre e l región interior l rizo grne eterior l rizo pequeño e r.. Determine l longitu e l curv eini por l ecucione prmétric t t, t [, ] t t. Se R l región limit por Clcule: El áre e l región R. b El volumen el ólio que e gener l rotr l región R lreeor e l rect. Clculr el áre e l región interior r eterior l r. R, /. Clcule el volumen el ólio que e gener l rotr. Se { } l región R lreeor el eje. 9
32 Cp. pliccione e l Integrl. Clcule el perímetro e l región ubic en el primer curnte limit por,,,,.. Determinr el volumen el ólio que e gener l rotr l región limit por,,, lreeor e. 7. Se R {, IR / }. Determine: El áre e ich región R b El volumen el ólio que e gener l rotr l región R lreeor el eje "" c El volumen el ólio que e gener l rotr l región R lreeor e l rect.. Determine el áre e l región entro e r uer e r 9. Encuentre el áre e l región limit por l curv e,, 9.. Determinr el volumen el ólio que e gener l rotr l región limit por,,, lreeor e.. Clcule el áre e l región que e etern l crioie r e intern l crioie r.. Se R l región limit por,,. Clcule el volumen el ólio que e gener cuno l región R rot lreeor e l rect.. Clculr el volumen el ólio genero por l rotción e l región R limit por,, lreeor e l rect.. Hllr el áre e l región limit por,. Hllr el áre e l región limit por r que etá uer el circulo r. Clculr el áre e l región interior l circunerenci r eterior l ro r, >. 7. Determine el volumen el ólio que e gener l rotr l región limit por l curv, lreeor e l rect. Determine el volumen el ólio que e gener l rotr l región limit por l curv ;,, lreeor e l rect 9. Hllr el áre interior r eterior r.. Determine el volumen el ólio que e gener l rotr l región limit por ln,, lreeor el eje: e b ln e e t e t. Determine l longitu e l curv eini por l ecucione prmétric, t t e t R, /. Determine el volumen el ólio que e gener l rotr l región { } lreeor e l rect. Clcule el áre e l región compreni entre l rect. Clculr el volumen el ólio que e gener l rotr l región compreni entre, lreeor e l rect. Determine el volumen el ólio que e gener l rotr l región R {, / } e l rect. lreeor 9
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JUNIO DE 8. PROBLEMA A. Estudi el siguiente sistem de ecuciones lineles dependiente del prámetro rel resuélvelo en los csos en que es comptible: x+ x+(+4)+(+)z (+) +( +3+)z+4 (3 PUNTOS) Aplicmos el método