9.1. Definiciones básicas

Transcripción

1 Tem 9 Integrción Elconceptode integrldefinidse desrrollóhistóricmente prclculrel áre de regiones plns cotds por línes curvs. Tomndo como referenci inicil que el áre del cudrdo que tiene ldos de longitud l es igul l 2, es muy sencillo clculr el áre de culquier rectángulo y, recurriendo l geometrí elementl, puede clculrse tnbién el áre de culquier polígono si lodividimosentriángulos. L necesiddde unmétodo más sofisticdode clculr áres prece l intentr clculr l superficie de figurs cotds por curvs. Por ejemplo, cómo clculr el áre de un círculo, o de un prábol? Uno de los logros más importntes del Cálculo Integrl es el de proporcionrunmétodo unificdoyeficiente prlresoluciónde este tipo de problems. El concepto básico quí es el de l integrl. Inicilmente, lo entenderemos comounexpresiónprclculrel árepormediodeunlímite. Consideremos un función positiv y cotd f definid en un intervlo [,b]. Vmos medir el áre de l región cotd por l curv y = f(x) y ls rects x =, x = b, y = 0 (en l práctic l función f será continu csi siempre). Elmétodoconsiste enreemplzrlregióncurvdquequeremos medirpor recintos cuy áre es fácil de clculr y que proximn tnto como se necesrio l región. Pr ello, considerremos dos tipos de recintos: los que están incluídos en el interior de l región curvd y los que l contienen. Obtenemos sí vlores que proximn el áre de interés superior e inferiormente. Empezremos con lguns definiciones. 186

2 9.1. Definiciones básics Definición 9.1 Un prtición P de un intervlo [,b] es un conjunto finito de puntos {x 0,x 1..., x n } del intervlo tl que estn ordendos de form creciente, es decir, = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Cd uno de los subintervlos [x j 1,x j ] pr j = 1,2,...n es un subintervlo de l prtición. Si δ j = x j x j 1, l longitud del myor subintervlo, δ(p) = máx{δ j : 1 j n}, se llm norm de l prtición. Definimos hor ls recintos que proximn el áre superior e inferiormente. Definición 9.2 Se M j y m j el supremo y el ínfimo respectivmente de los vlores de f(x) en el intervl [x j 1,x j ]. Definimos y S(f,P) = s(f,p) = n M j δ j j=1 n m j δ j Se tiene que l sum superior S(f,P) es l sum de ls áres de n rectángulos, de los que el j-ésimo tiene bse [x j 1,x j ] y ltur M j. L sum de ests áres es myor o igul que l del áre R contenid entre l curv y = f(x) y ls rects x =, x = b, y = 0. Análogmente, l sum s(f,p) es menor o igul que el áre de R (ver Fig. 9.1) j=1 () Sum inferior (b) Sum superior Figur 9.1: Sums superior e inferior 187

3 Si hor t j es un vlor rbitrrio del intervlo [x j 1,x j ] (j = 1,...,n) y tommos el conjunto T = {t 1,...,t n }, l sum σ(f,p,t) = n f(t j )δ j j=1 stisfce que s(f,p) σ(f,p,t) S(f,P) En l Fig. 9.2 se h construido est sum tomndo como conjunto T los puntos medios de cd subintervlo. Figur 9.2: Sum pr los puntos medios Nuestro objetivo es demostrr que si f es un función rzonblemente buen (lo que incluye ls funciones continus y ls monótons), ls tres sums nteriores tienden un límite común cundo δ(p) tiende 0. Este límite denotdo por f(x) será l integrl de l función f sobre el intervlo [,b]. Sin embrgo, l operción de límite que cbmos de introducir es muy complicd. Por ello, bordremos inicilmente un proceso más sencillo. 188

4 Integrl superior e inferior de Drboux Si M, m son el supremo e ínfimo de f(x) en [,b] y si, dd un prtición P,construimos ls sums S(f,P)ys(f,P)comontes, dels desigulddes M m j y m j m (j = 1,...,n) se deduce que m(b ) s(f,p) S(f,P) M(b ). Así que el conjunto de los vlores S(f,P) está cotdo inferiormente por m(b ) y, por tnto, tienen ínfimo denotdo f(x) que se llm integrl superior de Drboux de l función f. Análogmente, los vlores s(f,p) están cotdos superiormente por M(b ) y, por ello, tienen supremo denotdo f(x) que se llm integrl inferior de Drboux de l función f. Los teorems que siguen demuestrn que l integrl superior es siempre myor o igul que l integrl inferior. Teorem 9.3 L introducción de un nuevo punto de división en un prtición P disminuye el vlor de S(f,P)y ument el vlor de s(f,p). Corolrio 9.4 Si P 1 y P 2 son dos prticiones de [,b] tles que P 1 P 2 entonces S(f,P 2 ) S(f,P 1 ) y s(f,p 2 ) s(f,p 1 ). Si l prtición P 1 está incluíd en l prtición P 2, como en el corolrio, se dice que P 2 refin P 1. A prtir de los dos resultdos nteriores se demuestr Teorem 9.5 f(x) f(x) 189

5 L posibilidd de que l integrl superior se myor estrictmente que l inferior es rel Ejemplo 9.1 L función definid por f(x) = 1 f(x) = 0 si x es rcionl si x es irrcionl definid en el intervlo [0,1] stisfce que su integrl superior es igul 1 mientrs que su integrl inferior es igul 0. Definición 9.6 Se dice que f es integrble Riemnn cundo l integrl superior de f es igul l integrl inferior Teorem de crcterizción Teorem 9.7 L función f es integrble en el intervlo [,b] si, y sólo si, existe el límite de los vlores cundo δ(p) tiende 0. σ(f,p,t) Corolrio 9.8 Un función f cotd en [,b] es integrble si, y sólo si, pr todo ǫ > 0, existe un prtición P de [,b] tl que S(f,P) s(f,p) < ǫ. Entonces es posible demostrr que un mpli vriedd de funciones son integrbles; entre ells destcremos dos tipos. Teorem 9.9 Si f es continu en [,b] entonces f es integrble en [,b]. Teorem 9.10 Si f es monóton en [,b] entonces f es integrble en [,b] Propieddes de l Integrl Regls de integrción y Teorem del Vlor Medio Teorem 9.11 Dd un función integrble f en [,b], se stisfcen ls siguientes propieddes: 190

6 1. (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) 2. c f(x) = c f(x) 3. f(x) = c f(x) + c f(x) 4. f g f(x) g(x) 5. L función f es integrble y se stisfce f(x) f(x) Por comodidd de notción se doptn los siguientes convenios f(x) = b f(x) = 0 f(x) Teorem 9.12 (Teorem del Vlor Medio) Si f es continu en [,b] entonces existe un vlor c [,b] tl que f(x) = f(c)(b ) Función integrl. Regl de Brrow. Supongmos en lo que sigue, y hst que no se dig lo contrrio, que f es integrble en [,b] y escribmos F(x) = x f(t)dt ( x b) L función sí definid se llm función integrl. Teorem 9.13 F es un función continu. 191

7 Teorem 9.14 (Teorem Fundmentl del Cálculo) Si f es continu en el punto x [,b] entonces F es diferencible en x y se stisfce F (x) = f(x). Se dice que F es un primitiv de f en [,b] cundo F (x) = f(x) pr x [,b]. Teorem 9.15 Si f es continu en [,b], entonces existe primitiv de f en [,b]. Teorem 9.16 (Regl de Brrow) Si f es integrble en [,b] y F es un primitiv de f en [,b] entonces f(x) = F(b) F() El Teorem 9.14 demuestr l existenci de un función primitiv de f cundo ést es continu. Se deduce de ls propieddes de l derivd que si F y G son primitivs de f entonces F G es un constnte. Por lo tnto, el conjunto de tods ls primitivs de f está formdo por tods ls funciones de l form F + k, siendo F culquier primitiv de f y k un constnte rbitrri. El conjunto de tods ls funciones primitivs de f se denot f(x) y se denomin integrl indefinid de f. L regl de Brrow proporcionunprocedimientomuy sencilloprclculrlintegrl (definid) de un función cundo se conoce su integrl indefinid. Es por ello importnte disponer de métodos pr hllr l integrl indefinid de un función. Veremos lgunos de estos métodos en lo que sigue. Teorem 9.17 (Propieddes de ls integrles indefinids) d 1. f(x) = f(x) 2. d F(x) = F(x) + k 3. [αf(x) + βg(x)] = α f(x) + β g(x) Vemos lgunos ejemplos. Ejemplo 9.2 Clcul I = sin 2 x cos 2 x. 192

8 Solución: I = sin 2 x+cos 2 x sin 2 x cos 2 x = cos x + = tnx cot x + k. sin 2 x Ejemplo 9.3 Clcul I = cos 2 x. Solución: Aplicndo l fórmul trigonométric de cos 2 x se tiene I = 1+cos 2x 2 que y puede descomponerse en integrles inmedits. Ejercicio 9.1 Clcul l integrl sin 2 (x) Ejercicio 9.2 Clcul ls siguientes integrles: (Sol.: x sin(2x) + k ) () sin(x) cos(bx) (b) cos(x)cos(bx) Ejercicio 9.3 Clcul ls siguientes integrles: ( b) cos((+b)x)+(+b) cos((b )x) (Sol.: () + k; 2b (b ) sin((b+)x)+(b+) sin((b )x) (b) + k ) 2b () tn 2 (x) (b) sin 3 (x) cos 4 (x) (Sol.: () tn(x) x + k (b) 5 cos7 x 7 cos 5 x 35 + k ) Integrción por prtes y sustitución Teorem 9.18 (Integrción por prtes) Sen f y g funciones continus en [,b] tles que existen sus derivds f,g, que son tmbién continus en [,b], entonces f(x) g (x) + f (x) g(x) = f(b) g(b) f() g() 193

9 Ejemplo 9.4 Vemos lgunos ejemplos: (1) I = lnx. Solución: Tommos f(x) = lnx y g (x) = 1 en l fórmul de integrción por prtes. Y, por tnto, I = xlnx = xlnx x + k (2) I = x 3 sinx. Solución: Se plic integrción por prtes vris veces, tomndo siempre como función f(x) l prte polinómic, hst llegr l integrl de un función trigonométric. I = ( 3x 2 6 ) sin(x) + ( 6x x 3) cos (x) + k (3) I = e x sinbx y J = e x cos bx Solución: Se plic integrción por prtes ls dos integrles y se obtiene un sistem linel de dos ecuciones con incógnits I y J, que se resuelve sin myor dificultd. I = ex (sin(bx) b cos (bx)) b k; J = ex (b sin(bx) + cos (bx)) b k (4) I = e 2x sinx. Solución: Se plic integrción por prtes dos veces y se despej el vlor de I de l expresión. Tmbién podemos provechr l fórmul del ejemplo nterior tomndo = 2 y b = 1; por lo que, I = e2x (2 sinx cos x) k

10 Ejercicio 9.4 Clcul l siguiente integrl ln 2 (x). (H: Tom f(x) = ln 2 (x) y plic integrción por prtes) (Sol.: x ( ln 2 (x) 2 ln (x) + 2 ) + k ) Ejercicio 9.5 Hll l fórmul de reducción de I n = x n cos(x). (Sol.: xn 1 (x sin(x)+ncos(x)) 2 n(n 1) 2 I n 2 ) Teorem 9.19 (Integrción por sustitución) Se f un función continu en [,b] y se g un función continu de [c,d] [,b] tl que g(c) = y g(d) = b, y existe l derivd de g en [c,d]. Entonces (f g) g es integrble en [c,d] y d c f(g(s)) g (s)ds = Ejemplo 9.5 Vemos lgunos ejemplos: (1) I = 16 x 2, x [ 4,4]. f(x) Solución: Se plic el cmbio x = 4 sint, t [ π 2, π 2 ], = 4 cos t; por lo que l integrl se trnsform en I = 16 sin 2 t 4 cos tdt = 16 1 sin 2 t cos tdt = 16 cos 2 tdt que y sbemos resolver. Pr deshcer el cmbio, se tiene en cuent que sint = x 4 y, por tnto cos t = 1 x2 16. Ahor, I = 8t + 4 sin(2t) = 8t + 8 sintcos t = 8rcsin x 4 + 8x 4 1 x k (2) I = (rcsin x) 3 1 x2, x [ 1,1]. 195

11 Solución: Se plic el cmbio u = rcsinx, du = 1 x ; por lo que l 2 integrl se trnsform en I = u 3 du = u k = (rcsinx) 2 + k 2 hbiendo deshecho el cmbio en el último pso. (3) I = x 2 x 7 Solución: Se plic el cmbio x = t 2 + 7, = 2tdt; por lo que l integrl se trnsform en I = (t 2 + 7) 2 2t 2 dt = 2 ( 15t t t 3) + k 105 que y es inmedit l ser l integrl de un polinomio y, deshciendo el cmbio, t = x 7, qued I = 2 ( 15(x 7) 3 x t + 294(x 7) 2 x t (x 7) x t ) + k 105 Ejercicio 9.6 Clcul ls siguientes integrles: () (b) x 2 2; x (Sol.: Ver l tbl de primitivs del finl ) A continución se proponen lgunos ejercicios más de los tipos vistos nteriormente. Ejercicio 9.7 Clcul ls siguientes integrles: () x 2 + 6x + 10 ; (b) 9x ; (c) x 2 ( > 0). 2 (Sol.: () rctn ( ) 2x+6 rctn( 2 + k; (b) 3x 5 ) 15 + k; (c) ln(x ) 2 ln(x+) 2 + k ) 196

12 Ejercicio 9.8 Clcul ls siguientes integrles: () ; (b) 9 4x 2 3 2x x 2. (Sol.: () rcsin ( ) ( x 3 + k; (b) rcsin 2x 2 ) 4 + k ) Ejercicio 9.9 Clcul ls siguientes integrles: () e x 3e 2x 1 + e x ; (b) tn 3 (x) + tn(x) 1 2 tn(x) (Sol.: () 4 ln(e x + 1) 3e x ln(2 tn(x) 1) + k; (b) 4 tn(x) 2 + k ) Ejercicio 9.10 Clcul ls siguientes integrles: () cos(x) cos(x) sin 3 (x) + 2 cos 2 ; (b) (x) sin(x) 2 + b 2 sin(x) (Sol.: () ln(sin(x)) 2 ln(sin(x)2 2) 4 + k; (b) ln(b2 sin(x)+ 2 ) b 2 + k ) Ejercicio 9.11 Hll l fórmul de reducción de I n = l integrl (x 2 +α 2 ) 4. (x 2 +α 2 ) n y plíclo 9.3. Aplicciones Vemos lgun plicciones de l integrll cálculo de áres, volúmenes y longitudes de curv. Áres de superficies limitds por curvs 1. El áre limitd por l curv y = f(x) (siendo f 0) y ls rects x =, x = b, y = 0 es f(x). (9.1) 2. El áre limitd por ls curvs y = f(x), y = g(x) (siendo f g) y ls rects x =, x = b es [f(x) g(x)]. (9.1b) 197

13 Ejemplo 9.6 Ejemplos de plicciones l cálculo de áres: () Clcul el áre de l región S limitd por ls rects x = 0, x = 2, y ls curvs y = x(x 2), y = x/2. Solución: Hllmos los puntos de corte entre ls gráfics, plntendo pr ello l ecución x(x 2) = x/2 x(2x 5) = 0 cuys soluciones son x = 0 y x = 5/2. En l Figur 9.3 se h representdo l región solicitd. Figur 9.3: Áre entre dos curvs Como el recinto está limitdo por x = 2, el áre solicitd es (S) = 2 0 [ x 2 (x2 2x)] = 2 0 [ 5 2 x x2 ] = 7 3 (b) Clcul el áre de l región S limitd por ls rects x = 1, x = 2 y ls curvs y = x, y = x 3 /4. Solución: Hllmos los puntos de corte entre ls gráfics, plntendo pr ello l ecución x = x 3 /4 x(x 2 4) = 0 198

14 cuys soluciones son x = 0, x = 2 y x = 2. En l Figur 9.4 se h representdo l región solicitd. Figur 9.4: Áre entre dos curvs que se cortn Se observ que hy dos recintos, donde ls gráfics hn intercmbido sus posiciones, sí pues, el áre solicitd es (S) = 0 [ x3 1 4 x] [x x3 4 ] = Ejercicio 9.12 Clcul el áre de l región limitd por el eje OX y ls curvs y = sin 3 (x), y = cos 3 (x) con 0 x π/2. (Sol.: 2(5 2 2) 3 2 ) Ejercicio 9.13 Clcul el áre comprendid entre ls curvs y = 6x x 2 e y = x 2 2x. (Sol.: 64 3 ) Ejercicio 9.14 Clculel áre delregiónlimitdporel eje OX, lrect x = 1 y l curv y = x 1 x 2. (Sol.: 1 3 ) 199

15 Ejercicio 9.15 Clculrel áre deldominiolimitdo porlelipse deecución x2 + y2 = 1 (,b > 0). 2 b 2 (Sol.: πb ) Longitud de un rco de curv 1. Dd l curv definid por l gráfic de l función y = f(x), x [,b], su longitud viene dd por l fórmul L = 1 + f (x) 2. (9.2) 2. Si l curv viene dd en form prmétric } x = x(t) t [,b] y = y(t) entonces su longitud viene dd por L = x (t) 2 + y (t) 2 dt (9.2b) 3. Si l curv está en el espcio y sus ecuciones son x = x(t) y = y(t) t [,b] z = z(t) entonces su longitud viene dd por L = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt (9.2c) Ejemplo 9.7 Clcul l longitud del rco de prábol y 2 = 2px, desde el vértice hst el punto (1, 2p). Solución: Representndo l curv en form prmétric obtenemos } x = t2 2p 0 t 2p y = t 200

16 de donde, plicndo l Fórmul (9.2b), L = 2p 0 p ln = 1 + t2 p 2dt = ( p 2 +2p+ 2p 2 p [ t t 2π 2 + p 2 + p 2 ln t + t 2 + p 2 p ) 2p p p 2π ] 2p 0 Ejercicio 9.16 Clcul l longitud de un circunferenci de rdio r por los dos métodos siguientes: () utilizndo l prmetrizción x(t) = r cos t, y(t) = r sint, con 0 t 2π y l Fórmul (9.2b); (b) utilizndo l ecución de l semicircunferenci superior, y = r 2 x 2 y l Fórmul (9.2). (Sol.: 2πr ) Áre y volumen de un superficie de revolución Si se tiene un curv definid por l gráfic de y = f(x), siendo f 0, x [,b], y girmos dndo un vuelt complet lrededor del eje OX, entonces se engendr un cuerpo de revolución cuy áre lterl es y cuyo volumen es S = 2π V = π f(x) 1 + f (x) 2 f(x) 2. (9.3) (9.3b) Ejemplo 9.8 Vemos lgunos ejemplos de plicción de ests fórmuls. () Evlu el volumen del sólido S formdo por l rotción 2π rdines de l cicloide x = (t sint), y = (1 cos t), 0 t 2π. 201

17 Figur 9.5: Sólido de revolución generdo por un cicloide Solución: Cundo t vrí de 0 2π, l vrible x crece de 0 2π. Por lo tnto, plicndo l fórmul pr hllr el volumen de un sólido de revolución l función y = y(x), se obtiene v(s) = π 2π 0 y(x) 2 hciendo el cmbio de vrible x = (t sint), 0 t 2π, result v(s) = π 2π 0 [(1 cos t)] 2 (1 cos t)dt = 5π 2 3. (b) Clcul el áre de un esfer E de rdio R. Solución: L esferpuede obtenerse porlrotción2π rdines de lgráfic de l curv y = R 2 x 2, R x R. Aplicndo l fórmul pr el áre de un superficie de revolución, result R (E) = 2π R 2 x 2 R 1 + x2 R 2 x2 = 2π R R R = 4πR

18 Ejercicio 9.17 Clculel árelterldeuncilindrocirculrrectoderdio = 5 y ltur h = 8 (H: el cilindro es un cuerpo de revolución). (Sol.: 80π ) Áre deunsuperficie definidpormediodecoordendspolres Se f un función no negtiv definid en el intervlo [,b]. El conjunto de todos los puntos de coordends polres (ρ,θ) que stisfcen ρ = f(θ) es l gráfic de f en coordends polres. L ecución ρ = f(θ) es l ecución polr de es gráfic. Ejemplo 9.9 Vemos dos ejemplos de ecuciones polres continución. 1. L circunferencicon centro (0,0) yrdio1se representporls ecuciones x 2 + y 2 = 1 (coordends crtesins) y ρ = 1 (coordends polres). 2. L curv cuy ecución en coordends crtesins es (x 2 + y 2 ) 3 = y 2 se represent en coordends polres como ρ 6 = ρ 2 sin 2 θ ρ 4 = sin 2 θ ρ 2 = sinθ ρ = sinθ Si se tiene un curv definid por un ecución polr ρ = r(θ), siendo r no negtiv y definid pr θ en un intervlo [,b], entonces el áre del dominio S encerrdo por l gráfic de l función en el intervlo θ b viene ddo por l integrl (S) = 1 2 r 2 (θ)dθ. (9.4) Ejemplo 9.10 Ejemplos de plicciones l cálculo de áres: 1. Clcul el áre de un sector circulr de rdio R y mplitud α < θ < β. Solución: (S) = 1 β 2 α R2 dθ = R2 2 (β α). 203

19 2. Clcul el áre de l región S limitd por l curv cuy ecución polr es ρ = sinθ. Solución: (S) = 1 π/2 2 0 sinθdθ = 2(cos 0 cos π 2 ) = 2. Ejercicio 9.18 Hllr el áre de un lzo de l ros de cutro hojs cuy ecución en polres es r = 3 sin(2θ), 0 θ 2π. (Sol.: 9π 8 ) 9.4. Problems dicionles Ejercicio 9.19 Hll el áre de l región limitd por l curv y = x 3 + x 2 2x y el eje OX. (Sol.: ) Ejercicio 9.20 Hll el áre de l región limitd por l curv y = x 3 3x + 8 y ls rects y = 3x, x = 3 y x = 0. (Sol.: 81 4 ) Ejercicio 9.21 Hll el áre de l región del plno comprendid entre l curv y = x 2 y l prábol 2y = x2. (Sol.: π ) Ejercicio 9.22 Hlleláre encerrdporl rect y = z 1 yl prábol y 2 = 2x + 6. (Sol.: 18. ) Ejercicio 9.23 Hlleláre cotdporeleje x yporunrco de lcicloide x = r (t sint), y = r (1 cos t), donde r > 0, y 0 t 2π (H: Aplic l Fórmul (9.1)). (Sol.: 3πr 2 ) 204

20 Ejercicio 9.24 Hll el vlor de b pr que l rect y = b divid el recinto encerrdo por ls curvs y = x 2 e y = 4 en dos regiones de igul áre. (Sol.: b = 3 16 ) Ejercicio 9.25 Unlmbre delgdotiene lformdelprimerespirlde l hélice α(t) = (cos t,sint, t), t [0,2π]. Hll su longitud. (Sol.: 2 2 π ) Ejercicio 9.26 Hll l longitud de l líne helicoidl cónic x = e t cos t, y = e t sint, z = e t ; desde el punto A(0,0,0) l punto B(,0,). (H: Al punto A le corresponde un vlor del prámetro t 0 = y l punto B el vlor t 1 = 0). (Sol.: 3. ) Ejercicio 9.27 Hll el volumen del sólido generdo l girr l región encerrd por l prábol y = x 2 y l rect y = x, lrededor del eje OX un vuelt complet. (Sol.: 2π 15 ) 205