Aplicaciones de la Integral

Transcripción

1 Aplicciones de l Integrl Cálculo 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd de

2 Se f, g dos funciones tl que pr todo vlor en [, ]. Entonces, el áre A entre sus gráfics en el intervlo [, ] es: ÁREA ENTRE DOS CURVAS A A f ( ) g( ) d A = lim n gráfic n i= rri f i g i () i - gráfic jod 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd de

3 Ejemplo Clcule el áre entre y. Solución: y Pso Grfique ms funciones e identifique cuál es l función que está por encim. y 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd de

4 Ejemplo Pso : Determine puntos de intersección y y Evlúe el integrl definido: A, d 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd de

5 Ejemplo y e y verticles = y = l diez milésim más Aproime el áre entre, y por l rects cercn. Solución: A e e d e // Prof. José G. Rodríguez Ahumd 5 de

6 Ejercicio # Clcule el áre entre y. Solución: y y 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd 6 de

7 Ejercicio # Clcule el áre entre y. Solución: y y, ) )( ( d A 8 9 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd 7 de

8 Ejemplo f ( ) Clcule el áre entre y g( ) Solución: ( )( ),, A f ( ) g( ) d g( ) f ( ) d A d d 6 ( ) 6 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd 8 de

9 Si A() represent el áre de l sección trnsversl, entonces el volumen V está ddo por: V = lim n n A i i i= V A( ) d VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd 9 de

10 Método por Discos Se s en que el volumen V de un disco o cilindro circulr con V V rdio r y ncho h es: Áre del círculo ltur r h Por tnto, si un sólido se puede dividir en cilindros circulres (no necesrimente del mismo grueso), su volumen: V A( ) d [ r( )] d [ r( )] d V [ r( )] d 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd de

11 Ejemplo 5 Encuentre el el volumen del sólido formdo l girr lrededor del eje de l gráfic de f ( ) 5 pr los vlores de entre = y = Solución: Pso Bosqueje l gráfic. Pso Visulice l región que se cre cundo l región se gir. 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd de

12 Ejemplo 5 Pso Visulice un sección trnsversl de l región. r( ) 5 Pso Identifique l función que define el rdio r(). V [ r( )] d [ 5] d [ 8 6 5] d // Prof. José G. Rodríguez Ahumd de

13 Ejercicio # Encuentre el el volumen del sólido formdo l girr lrededor del eje de l gráfic de f ( ) sin pr vlores de y sin 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd de

14 Ejercicio # Encuentre el el volumen del sólido formdo l girr lrededor del eje de l gráfic de f ( ) sin pr vlores de Solución: V [ r( )] d V [ sin ] d [sin ] d cos cos cos y sin 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd de

15 Método por Arndels Se s en que el volumen V de un sólido se puede dividir por rndels con rdio interior r() y rdio eterior R() de ncho. El volumen de un rndel serí: V R( ) h r( ) h Por consiguiente, el volumen del sólido se determinrí por: V [ R( )] [ r( )] d 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd 5 de

16 Ejemplo 6 Encuentre el el volumen del sólido formdo l girr lrededor del eje de y l región en el cudrnte I, encerrd por l gráfics de f ( ) y y Solución: y y 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd 6 de

17 Ejemplo 6 y y V y y 6y y 6 dy dy 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd 7 de

18 Ejemplo 6 Determine los puntos de intersección pr determinr los límites del integrl. y y V 6y y 6 dy 6, 8 y,, Los vlores de y que interesn son quellos que definen l región del cudrnte. Estos son: y. 6y 6() y 7 7 () // Prof. José G. Rodríguez Ahumd 8 de

19 Si f() represent l fuerz que requiere mover un ojeto lo lrgo de un líne, entonces el trjo W está ddo por: W = lim n n f i i i= W f ( ) d TRABAJO Trjo es igul fuerz por distnci Trjo se mide en joules o newton-metros. Un newton es l fuerz que requiere drle un ms de kg un celerción de metro por segundo cudrdo. 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd 9 de

20 Ejemplo 7 Si l fuerz (en newtons) requerid pr mntener un resorte estirdo pulgds está ddo por F() =, determine el trjo que se necesit pr estirr el resorte. metros de su posición norml. Solución: W =. d = 5. = 5(.) 5() =.5 joules 6// Prof. José G. Rodríguez Ahumd de