Funciones cuadráticas

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1 Funciones cudrátics A l función polinómic de segundo grdo f() + b + c siendo, b, c números reles y 0, se l denomin función cudrátic. Los términos de l función reciben los siguientes nombres: y + b + c Término cudrático Término independiente Término linel L representción gráfic de un función cudrátic es un prábol. Se presentn diferentes csos según el vlor que tomen, b y c. ) y en donde b 0 y c 0 y y y - > 0 L prábol v hci rrib. < 0 L prábol v hci bjo. 0 < < L prábol se bre. > L prábol se cierr. Prof. An Rivs

2 ) y + c en donde b 0 y + y y - 3 c > 0 L gráfic se desplz hci rrib. c < 0 L gráfic se desplz hci bjo. 3) y + b en donde c 0 Si y b tienen el mismo signo, l gráfic se desplz hci l izquierd. y + y - - Prof. An Rivs

3 y + Si y b tienen distinto signo, l gráfic se desplz hci l derech. y Resolve los ejercicios y Y después hce l ctividd con el grficdor Prof. An Rivs 3

4 Gráfic de l prábol Pr relizr el gráfico de un prábol, f() + b + c se deben clculr los elementos de l mism y luego representrl: ) Ríces de l prábol ) Vértice de l prábol 3) Eje de simetrí 4) Ordend l origen Vértice Ordend l origen Punto Simétrico Ríz X Ríz X Eje de Simetrí ) Ríces de l prábol: Son los puntos de intersección de l gráfic con el eje, vle decir que f() 0., ) Vértice de l prábol: + v o b± b 4c b v Prof. An Rivs 4

5 y f ( v ) o v Ls coordends del vértices son: V ( v; y v) 4c b y v 4 3) Eje de Simetrí: Es l rect que tiene por ecución: v 4) Ordend l origen: Es el punto de intersección de l gráfic con el eje y, vle decir que f ( 0) c L prábol tiene un y sólo un punto de intersección con el eje Y. Ls coordends de ese punto son: ( 0, c ) Ejemplo: Dd l siguiente función f() + 3 clculr los elementos de l mism: b c - 3 Ríces:, ± 4 4..( 3) ±. 4+ ± 6 ± Vértice: v. V (- ; - 4) Eje de simetrí: y v (- ) +. (- ) Ordend l origen: ( 0; - 3) Punto simétrico: ( - ; - 3) Prof. An Rivs 5 Resolver el ejercicio 3

6 Posiciones reltivs respecto del eje de ls bsciss Ls ríces de un prábol, y + b + c se clculn medinte l fórmul:, b ± b 4c Al rdicndo b 4..c se lo llm discriminnte, y que el vlor del mismo sirve pr discriminr l nturlez de ls ríces y se lo simboliz con l letr grieg ( delt) b 4..c Si > 0 Ríces reles distints Si 0 Ríces reles igules Si < 0 Ríces no reles > 0 l grfic tiene dos puntos de intersección con el eje. 0 L gráfic tiene punto de intersección con el eje Prof. An Rivs 6

7 < 0 L gráfic no tiene puntos de intersección con el eje Ejemplo: Clculr el discriminnte e indicr cunts ríces tiene: ) y (- 3) 6 dos ríces distints b) y un ríz coincidente c) y no tiene ríces Ejercicio: Completr con >, <, o, según correspond: Resolver los ejercicio 4 y 5 Prof. An Rivs 7

8 Ecución polinómic, cnónic y fctorizd L función cudrátic puede ser epresd de distints mner: Se desrroll el cudrdo de un binomio POLINOMICA f() + b + c Se busc el vértice Se plic propiedd distributiv Se buscn ls ríces CANÓNICA f().( - v ) + y v El vértice y el eje de simetrí se reconocen con fcilidd FACTORIZADA f().( - ).( ) Ls ríces se identificn en form inmedit Ejemplo: ) Psr de l form cnónic l polinómic: y ( - ) ) Psr de l form fctorizd l polinómic: y - ( + ) ( + 3) - ( ) - ( ) ) Psr de l form polinómic l fctorizd: y ls ríces son y 5 y ( - ) ( - 5) 4) Psr de l form polinómic l cnónic: y ls coordends del vértice son: V (3 ; ) y - ( + 3) + Resolver los ejercicios del 6 l 8 Prof. An Rivs 8

9 Reconstrucción de un ecución de segundo grdo: Dd l ecución: y + b + c los coeficientes de su form polinómic son:, b y c; y ls ríces son:, Estos elementos se relcionn de l siguiente mner: + + b + c 0 Ejemplo: b y b c 0 b c Reconstruir l ecución de segundo grdo cuys ríces son y 3 c b c b c 3 b 5 6. c Resolver el ejercicio 9 Prof. An Rivs 9

10 Máimos y mínimos. Crecimiento y decrecimiento Un pelot es lnzd verticlmente hci rrib, con un velocidd inicil de 4 m/seg. L ltur lcnzd por l pelot (h, epresd en metros) en función del tiempo (t, epresdo en segundos), está dd por l siguiente fórmul: h(t) - 3 t + 4 t. Anlizndo el gráfico que describe l tryectori de l pelot, se puede concluir que: L ltur máim lcnzd por l pelot es 48 m. Alcnz l ltur máim los 4 seg de hber sido lnzd. El intervlo de tiempo en el cul l pelot sciende (desde que es lnzd hst el momento que lcnz l ltur máim) es (0;4) ; intervlo de crecimiento. El intervlo de tiempo en el cul l pelot desciende (desde que lcnz l ltur máim hst que vuelve tocr el suelo) es (4;8) ; intervlo de decrecimiento. f() es creciente si: > f( ) > f( ) f() es decreciente si: > f( )< f( ) Un función continu es creciente en un cierto intervlo de su dominio cundo l umentr los vlores de l vrible independiente (), umentn los vlores de l vrible dependiente(y). Un función continu es decreciente en un cierto intervlo de su dominio cundo l umentr los vlores de l vrible independiente (), disminuyen los vlores de l vrible dependiente(y) Prof. An Rivs 0

11 En generl, dd l función f() + b + c, se verific que: Si > 0, l función: Alcnz un mínimo en el vértice de l prábol. Decrece en el intervlo (- ; v ). Crece en el intervlo ( v ;+ ). Si < 0, l función: Alcnz un máimo en el vértice de l prábol. Crece en el intervlo (- ; v ). Decrece en el intervlo ( v ;+ ). Resolver los ejercicios del 0 l Prof. An Rivs

12 Intersección de prábols, prábols y rects: Resolver nlíticmente un sistem de ecuciones signific encontrr los vlores de ls incógnits que verificn simultánemente ls ecuciones del sistem. Resolver gráficmente un sistem de ecuciones signific encontrr los puntos de intersección de mbs gráfics. En los csos en que el sistem está formdo l menos por un ecución de segundo grdo, se puede reconocer cunts soluciones tiene el mismo nlizndo el discriminnte de l ecución cudrátic que surge l resolver el sistem por el método de igulción o sustitución. Sistem formdo por un rect y un prábol y m + d y +b +c Sistem formdo por dos prábols y +b +c y d +e +f > 0 Dos puntos de Intersección L rect es secnte l prábol 0 Un punto de Intersección L rect es tngente l prábol < 0 Ningún punto de Intersección L rect es eterior l prábol Ejemplo: ) y + y + 5 Prof. An Rivs

13 L rect es secnte l prábol en los puntos (- 4; - 7) y (;3). b) y y No tiene ríces reles. Ls prábols no se cortn. Resolver los ejercicios del 3 l 5 Prof. An Rivs 3

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