Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza.

Transcripción

1 Secciones cónics Un cono es l superficie que se obtiene girndo un rect lrededor de un eje que l cruz. Un sección cónic es l curv que se obtiene intersectndo un cono con un plno. CONO Los griegos comenzron estudir ls cónics hce 2400 ños, interesdos originlmente en su plicción l problem de l duplicción del cubo, que equivle hllr geométricmente l ríz cubic de 2: Si x es l ríz cubic de 2 entonces x 3 =2 y hllr l ríz cubic de 2 equivle encontrr l intersección de ls curvs y=x 2 y xy=2. Los griegos descubrieron que ests dos curvs, que llmron prábol e hipérbol, podín obtenerse cortndo un cono recto: l prábol con un plno prlelo l rect que lo gener y l hipérbol con un plno verticl). Ls secciones cónics tienen propieddes sorprendentes, precen frecuentemente en l nturlez y tienen muchs plicciones prctics.

2 Prábols A l curv formd por los puntos del plno cuy distnci un punto fijo P es igul su distnci un rect L se le llm prábol El punto P es el foco de l prábol y l rect L es l directriz. L ecución de l prábol formd por los puntos del plno cuy distnci l punto (0,c) es igul su distnci l rect y = -c es: foco x 2 + (y-c) 2 = y+c x 2 + (y-c) 2 = (y+c) 2 (c,0) y+c x 2 = 4cy vertice y = -c Observr que l distnci focl (l distnci del vértice l foco) es 1/4 del coeficiente de y Ejemplo. Donde est el foco de l prábol y=x 2? Aquí 4c=1 sí que c=1/4 y el foco es el punto (0,1/4) Tods ls prábols tienen l mism form (lo único que vrí es el tmño) Dem. L form de l prábol solo depende de l distnci entre el foco y l directriz, l umentr est distnci el tmño de l prábol ument en l mism proporción Ejemplo. Considerr ls prábols y= x 2, y = 4x 2. Aunque l segund se ve ms delgd o ms lt que l primer, sus forms sólo difieren en el tmño: L primer se obtiene cudruplicndo el tmño de l segund: l hcer l trnsformción (x,y ) = (4x,4y) y= x 2 y= 4x 2 l ecución 4x 2 = y se convierte en 4(x /4) 2 = y /4 que equivle x 2 = y.

3 Elipses Un elipse est formd por los puntos del plno tles que l sum de sus distncis dos puntos fijos (los focos) es constnte. Podemos dibujr un elipse usndo un cuerd cuy longitud se l sum de ls distncis que queremos y mrrndo sus extremos los focos. foco foco c b c Por su definición, l elipse debe tener 2 ejes de simetrí Si l longitud de l cuerd es 2 y distnci b entre los focos es 2c, entonces el lrgo de l elipse debe ser 2 y l ltur debe ser 2b, donde b 2 +c 2 = 2. Por lo tnto dos elipses del mismo lrgo y ncho tienen l mism form. L form de un elipse (slvo por el tmño) est determind por l rzón /b. Dem. Si un elipse tiene lrgo 2 y ncho 2b y otr elipse tiene lrgo 2' y ncho 2b', y /b='/b', entonces l esclr (grndr o chicr) l primer elipse por el fctor '/, se convierte en un elipse de lrgo '/(2)=2' y ncho '/(2b)=b'/b(2b)=2b', es decir del mismo lrgo y ncho que l segund, por lo que debe ser igul l segund. Ejemplo Que tn lrg y nch es un elipse si l distnci entre sus focos es 6 y l longitud de l cuerd es 10? L longitud de l elipse es 10 y l nchur es 8 (y que = 82) Ejemplo. Si un elipse tiene lrgo 13 y ncho 12, cul es l distnci entre sus focos? 2 = 13, 2b = 12 y como b 2 + c 2 = 2 entonces c 2 = 2 - b 2 = = = sí que c = 5 y l distnci entre los focos es 2c = 10

4 Ecución de l elipse Si elegimos el sistem de coordends de modo que los focos estén en los puntos (0,b) (-c,0) y (c,0) y l sum de ls distncis es 2, entonces l elipse cruz l eje x en (-,0) (,0) los puntos (,0)y (-,0) y l eje y en los (-c,0) (c,0) puntos (0,b) y (0,-b) donde b 2 = 2 - c 2 L ecución es: (0,-b) (x-c) 2 +y 2 + (x+c) 2 +y 2 = 2 (x-c) 2 +y 2 = 2- (x+c) 2 +y 2 elevndo l cudrdo qued (x-c) 2 + y 2 = (x+c) 2 +y 2 + (x+c) 2 + y 2 desrrollndo y simplificndo 4 (x+c) 2 +y 2 = cx (x+c) 2 +y 2 = ( + c/ x) (x+c) 2 + y 2 = ( + c/ x) 2 x 2 - c 2 / 2 x 2 + y 2 = 2 c 2 dividiendo entre 4 elevndo l cudrdo desrrollndo y simplificndo grupndo ( 2 -c 2 )/ 2 x 2 + y 2 = 2 c 2 sustituyendo 2 -c 2 = b 2 b 2 / 2 x 2 + y 2 = b 2 y dividiendo entre b 2 qued x 2 / 2 + y 2 / b 2 = 1 Ejemplo. Que ecución tiene l elipse formd por los puntos cuys distncis (-3,0) y (3,0) sumn 10? Aquí =10/2=5, c=3 sí que b2 = 2 c2 = = 16 = 42 Así que l ecución es x 2 / y 2 / 4 2 = 1 5/4 Ejemplo. Como se ve l curv 9x y 2 = 25? L ecución puede escribirse como 9/25 x /25 y 2 = 1 o se x 2 / (5/3) 2 + y 2 / (5/4) 2 = 1 que es est elipse: -5/3 5/3-5/4

5 Ls elipses son círculos estirdos Dem. Si tommos el circulo x 2 + y 2 = b 2 y lo estirmos horizontlmente por medio de l trnsformción (x',y')=(/b x,y) obtenemos l curv b b (/bx,y) (b/ x') 2 + y' 2 = b 2 que equivle (dividiendo entre b 2 ) b estirr x' 2 / 2 + y' 2 /b 2 = 1 que es l ecución de un elipse. x 2 +y 2 =b 2 Ejercicio: Que curv formn los centros de los círculos que r son tngentes dos círculos fijos? r r 2 Hint: Muestr que ls distncis del centro de un circulo tngente los centros de los círculos fijos son r1+r y r2-r donde r1 y r2 son los rdios de los círculos fijos y r es el rdio del circulo tngente, por lo tnto l sum de ls dos distncis es r1+r + r2-r = r1+r2. r 1

6 Hipérbols Un hipérbol está formd por los puntos del plno tles que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos (los focos) es constnte. Si elegimos el sistem de coordends de modo que los focos estén en los puntos (-c,0) y (c,0) y si l diferenci de ls distncis es 2, entonces l hipérbol cruz l eje x en los puntos (,0) y (-,0) (estos son los vértices) (x-c) 2 +y 2 - (x+c) 2 +y 2 = 2 (x-c) 2 +y 2 = 2+ (x+c) 2 +y 2 (-c,0) (-,0) (,0) (c,0) (x-c) 2 + y 2 = (x+c) 2 +y 2 (x+c) 2 + y 2 4 (x+c) 2 +y 2 = cx (x+c) 2 +y 2 = -( + c/ x) (x+c) 2 + y 2 = ( + c/ x) 2 x 2 - c 2 / 2 x 2 + y 2 = 2 - c 2 ( 2 -c 2 ) / 2 x 2 + y 2 = 2 - c 2 y si definimos b 2 = c 2-2 entonces -b 2 / 2 x 2 + y 2 = -b 2 y dividiendo entre 2 b 2 qued x 2 / 2 - y 2 / b 2 = 1 Ejemplo. Cul es l ecución de l hipérbol formd por los puntos cuys distncis (3,0) y (-3,0) difieren por 4? Aquí =4/2=2, c=3, sí que b= = 5 y l hipérbol tiene ecución x 2 /4 - y 2 /5 = 1 Ejemplo. Cul es l ecución de l hipérbol con focos en (2,0) y (-2,0) y vértices en (1,0) y (-1,0)? Aquí c=2 y =1 sí que b = c2-2 = 3 sí que l hipérbol tiene ecución x2/1 y2/3 = 1 Ejemplo. L ecución 4x 2 - y 2 = 36 represent un hipérbol, y que podemos escribirl como x 2 / 9 - y 2 / 36 = 1. De quí podemos hllr los focos y l diferenci de ls distncis: = 3, b = 6 y c 2 = 2 +b 2 = 45 sí que c = 45, por tnto l diferenci de ls distncis es 2=6 y los focos están en (- 45,0) y ( 45,0).

7 Asíntots de l hipérbol bx-y =0 L ecución de l hipérbol x 2 / 2 - y 2 / b 2 = 1 se prece l ecución x 2 / 2 - y 2 / b 2 = 0 que corresponde un pr de rects: (-c,0) b b (c,0) x/-y/b = 0 x/+y/b =0 o se bx-y =0 bx+y =0 bx+y =0 L hipérbol x 2 / 2 - y 2 /b 2 = 1 se proxim sintóticmente ls rects x 2 / 2 - y 2 /b 2 =0 Dem. Si despejmos y de l ecución de l hipérbol qued y = ± b/ x 2-2 y si despejmos y de l ecución de ls lines qued y= ± b/ x Es fácil ver que cundo x crece, x 2 2 se proxim cd vez ms x: limx x x = 0,sí que l hipérbol y = ± b/ x 2 2 se proxim cd vez ms l rect y = ± b/ x. Ls rects y = b/ x y y = -b/ x son ls síntots de l hipérbol. Teniendo los vértices y ls síntots de l hipérbol es fácil dibujrl: y = 3/2 x Ejemplo. Como se ve l hipérbol x 2 /4 - y 2 /9 = 1? =2, b=3 y c = 2 +b 2 = Así que los vértices son (-2,0) y (2,0) y ls síntots están dds por x 2 /4 - y 2 /9 = 0 o se y = ± 3/2 x Como c= 2 +b 2 = 13 los focos están en ( 13,0) y (- 13,0) (-2,0) (2,0) y = -3/2 x Ejemplo. Encuentr l ecución de l hipérbol con vértices en (1,0) y (-1,0) y cuys síntots son ls rects y=±2x. Aquí =1 y b/=2 sí que b=2 y l ecución es x2/1 y2/4 = 1

8 Ejemplo. Ls ecuciones x 2-4y 2 = 1 y x 2-4y 2 = -1 corresponden hipérbols con ls misms síntots: x±2y=0 pero los ppeles de x y y están intercmbidos: l primer es de un hipérbol que bre hci los ldos y l segund bre hci rrib y bjo. Si dos hipérbols horizontles tienen ls misms síntots entonces tienen l mism form (solo difieren en el tmño). Dem. Si dos hipérbols horizontles tienen ls misms síntots, entonces podemos grndr un de ells hst que los vértices de ls dos hipérbols coincidn, sin que cmbien sus síntots Pero si dos hipérbols x 2 / 2 - y 2 / b 2 = 1 y x 2 / ' 2 - y 2 / b' 2 = 1 tienen los mismos vértices entonces =' y si sus síntots coinciden entonces /b='/b' y por lo tnto tmbién b=b' sí que ls dos ecuciones son igules y por lo tnto ls hipérbols son igules. Problems 1. Dibuj cuiddosmente ls siguientes cónics : 4x 2 + y = 36 4x 2 + y 2 = 36 4x 2 - y 2 = 36 4x 2 - y 2 = Que ecuciones stisfcen ests cónics? (1,0) (0,4) (3,0) (2,0) (1,0) 3. Muestr que los centros de ls circunferencis tngentes 2 círculos fijos formn un circulo, un elipse o un hipérbol, dependiendo de l posición de los 2 círculos. 4. Muestr que si encoge el circulo x 2 +y 2 = 1 verticlmente l mitd, se convierte en un elipse. Donde están sus focos? Cunto sumn ls distncis de los puntos de l elipse los focos? 5. Muestr que ls hipérbols 4x 2-9y 2 = 36 y 4x 2-9y 2 = 1 tienen l mism form y solo difieren en el tmño (mplific un pr que su ecución se conviert en l de l otr).

9 Ecuciones de 2o grdo Ls ecuciones Ax 2 +By 2 = C corresponden círculos, elipses, hipérbols, pres de rects, puntos o el vcío (dependiendo de los signos de A, B y C). Dem. Si A,B,C tienen todos el mismo signo podemos dividir por C y qued A'x2+B'y2 = 1 con A',B'>0, que es un elipse. Si A, B tienen el mismo y C=0 es un punto, y si el signo de C es opuesto l de A y B entonces es el vcío Si A y B tienen distinto signo y C no es 0 es un hipérbol, y si C=0 es un pr de rects. Ejemplos. 2x2+3y2 = 1 es un elipse 2x2-3y2 = 1 es un hipérbol 2x2 = 1 son dos rects 2x 2 +3y 2 = 0 es un punto 2x 2-3y 2 = 0 son dos rects 2x 2 = 0 es un rect 2x 2 +3y 2 = -1 es el vcío 2x 2-3y 2 = -1 es un hipérbol 2x 2 = -1 es el vcío Tods ests ecuciones representn cónics centrds en el origen que son simétrics respecto los ejes. Trsldándols podemos hllr ls ecuciones de cónics con otros centros: (h,k) (h,k) (x-h) 2 / 2 + (y-k) 2 /b 2 =1 (x-h) 2 / 2 - (y-k) 2 /b 2 =1 Ejemplos. Que ecución tiene el circulo de rdio 3 centrdo en (1,2)? L distnci de un punto l punto (1,2) es (x-1)2+(y-2)2, sí que l ecución del circulo es (x-1) 2 +(y-2) 2 = 3 o bien (x-1) 2 +(y-2) 2 = 9 Que ecución tiene l prábol formd por los puntos cuy distnci l punto (5,-4) es igul su distnci l rect x=1? L distnci de (5,-4) es (x-5) 2 +(y+4) 2 y l distnci de l rect es x-1 sí que l ecución es (x-5)2+(y+4)2 = x-1 si elevmos l cudrdo qued (x-5)2 + (y+4)2 = (x-1)2 y simplificndo qued -8x + y2 + 8y = -40 o se y2 + 8y = 8x 40. (observr que si completmos cudrdos qued (y+4) 2 = 8(x-3) lo que comprueb que es l ecución de un prábol con vértice en (3,-4), que equidist de (5,-4) y l rect x=1).

10 Que ecución cumple est elipse? 5 3 (1,2) Si hiciérmos el desplzmiento (x',y)=(x-1,y-2). entonces l elipse quedrí centrd en el origen y su ecución seri x' 2 / y' 2 / 5 2 = 1 Si en est ecución reemplzmos x' y y' por sus vlores en términos de x y y obtenemos l ecución buscd: (x-1) 2 / (y-2) 2 / 5 2 = 1 Lugres geométricos L pregunt sobre l form del conjunto de puntos del plno o del espcio que cumplen ciert propiedd P se expres frecuentemente diciendo Cul es el lugr geométrico de los puntos que cumplen l propiedd P? Si podemos expresr l propiedd por medio de ecuciones y llevr ests ecuciones un form reconocible, entonces podemos sber como son l curvs que resultn. Ejemplo. Cul es el lugr geométrico de los puntos del plno cuys distncis l punto (0,0) es igul su distnci l punto (1,2)? L iguldd de ls se expres por l ecución x 2 +y 2 = (x-6) 2 +(y-3) 2 elevndo l cudrdo y expndiendo qued x 2 +y 2 = x 2-12x+36+y 2-6y+9 y simplificndo qued 12x+6y=45 Est ecución linel corresponde un rect: l meditriz del segmento de (0,0) (1,2). (0,0) (6,3) Ejemplo. Cul es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy distnci l punto (0,0) es el doble de su distnci l punto (1,2)? L distnci de (0,0) es x2+y2 y l distnci de (1,2) es (x-1)2+(y-2)2 Que l primer distnci se el doble de l segund se expres por l ecución x2+y2 = 2 (x-6)2+(y-3)2 elevndo l cudrdo y expndiendo qued x 2 +y 2 = 4(x 2-12x+36+y 2-6y+9 y simplificndo (6,3) 0 = 3x 2-48x+3y 2-24y+180 x2-16x+y2-8y=-60 completndo cudrdos qued (0,0) x2-16x+64 + y2-8y+16 = x 2-16x+y 2-8y=-60 (x-8)2 + (y-4)2 = 20 que es un circulo con centro en (8,4) y rdio 20

11 Ls ecuciones de segundo grdo Ax 2 +By 2 +Cx+Dy = E corresponden círculos, elipses, hipérbols, prábols, pres de rects, rects, puntos o el vcío. Dem. Si A 0 y B 0 entonces podemos completr cudrdos pr escribir l ecución en l form A(x-) 2 +B(y-b) 2 = E' y est es un cónic (circulo, elipse, hipérbol, pr de rects, punto o el vcío, dependiendo del signo de E') con centro en (,b). Si A 0 y B=0 entonces l ecución se puede escribir como A(x-)2+Dy= E' que es un prábol si D 0 y si D=0 es un rect o un pr de rects prlels o el vcío, dependiendo del signo de E'. Ejemplo. A que curv corresponde l ecución x2-8x-6y-14=0? L ecución puede escribirse como x2-8x = 6y +14 si completmos cudrdos qued x 2-8x+16 = 6y (x-4) 2 = 6(y+5) que puede escribirse como x' 2 = 6y' donde x' = x-4, y'=y+5 Así que es un prábol con vértice en (4,-5) L distnci focl es 1/4 del coeficiente linel, es decir 6/4=1.5, sí que el foco est en (4,-5)+(0,1.5)=(4,-3.5) (4,-3.5) (4,-5) Ejemplo. A que curv corresponde l ecución x 2-9y 2 +6x+36y=18? L ecución puede escribirse como (x 2 +6x ) -9(y 2-4y ) = 18 y si completmos cudrdos qued (x 2 +6x+9) -9(y 2-4y+4) = = -9 (-3,2) (x+3) 2-9(y-2) 2 = -9 -(x+3)2 / 32 + (y-2)2 / 12 = 1 Est es un hipérbol centrd en (-3,2) que bre hci rrib, con =1, b=3 y c 2 = =10 sí que c = 10 Los vértices están en (-3,2+1) y (-3,2-1) y los focos están en (3,2+ 10) y (3,2-10) Ls síntots están dds por -(x+3)2 / 32 + (y-2)2 / 12 = 0 es decir y-2 = ±1/3 (x+3) o se y = 1/3 x + 3, y = -1/3 x + 1

12 Un definición común pr csi tods ls cónics Ejemplo. Los puntos del plno cuy distnci l rect y=0 es igul su distnci l punto (0,3) es un prábol. L distnci de (0,3) es x 2 +(y-3) 2 L distnci de l rect y=0 es y Si ls distncis son igules entonces x2+(y-3)2 = y elevndo l cudrdo x 2 +(y-3) 2 = y 2 simplificndo x 2-6y+9 = 0 o se x 2 = 6(y-3/2) (0,3) x2-6y+9 = 0 y = 0 Ejemplo. Que curv formn los puntos cuy distnci l punto (0,3) es l mitd de su distnci l rect y=0? Si l distnci (0,3) es l mitd de l distnci l rect y=0 entonces x 2 +(y-3) 2 = 1/2 y elevdo l cudrdo qued x2+(y-3)2= 1/4y2 x 2 +3/4y 2-6y = -9 y simplificndo qued (0,4) est ecución prece l de un elipse, pr comprobrlo podemos completr cudrdos: 4x2+3/4(y-4)2 = 3 (0,3) x 2 +3/4[y 2-8y+16] = x2+3/4(y-4)2 = 3 y = 0 que es l ecución de un elipse centrd en (0,4) Ejemplo. Que curv formn los puntos cuy distnci l punto (0,3) es el doble de su distnci l rect y=0? Si l distnci l punto (0,3) es el doble de l distnci l rect y=0 entonces x2+(y-3)2 = 2 y elevdo l cudrdo qued x 2 +(y-3) 2 = 4y 2 3(y+1)2-4x2 = 12 y expndiendo y simplificndo qued x 2-3y 2-6y = -9 est ecución prece l de un hipérbol, pr comprobrlo podemos completr cudrdos: x 2-3[y 2 +2y+1] = x 2-3(y+1) 2 = -12 4x2-3(y+1)2 = -12 o bien 3(y+1)2 4x2 = 12 que corresponde un hipérbol verticl centrd en (0,-1). (0,3) (0,-1)

13 El lugr geométrico de los puntos del plno cuy distnci un punto P es e veces l distnci un rect L es un cónic Si elegimos el sistem de coordends de modo que l rect L se x=0 y el punto P se (1,0) entonces un punto que stisfce l condición debe cumplir: x 2+ (y-1) 2 = e y x 2 + y 2-2y + 1 = e 2 y 2 x 2 + (1-e 2 )y 2-2y = -1 e < 1 e = 1 Si 0<e<1 es un elipse. Si e=1 es un prábol. Si e>1 es un hipérbol. P e > 1 L Que tiene que ver el punto P con los focos de l cónic? Si un elipse (o hipérbol) tiene sus focos en (c,0) y (-c,0) y l sum (o diferenci) de ls distncis es 2 entonces su ecución es (x-c) 2 +y 2 ± (x+c) 2 +y 2 = 2 (x-c)2+y2-2 = ± (x+c)2+y2 elevndo l cudrdo (x-c) 2 +y 2 4 (x-c) 2 +y = (x+c) 2 +y 2 4 (x-c) 2 +y 2 = (x-c) 2 +y 2 -(x+c) 2 -y 2 4 (x-c) 2 +y 2 = cx dividiendo entre 4 (x-c) 2 +y 2 = - c/ x = c/ (x - 2 /c) Esto dice que l distnci de (c,0) es c/ veces l distnci de l rect x = 2 /c De modo que F es un foco de l elipse o hipérbol. Al numero e=c/ se le conoce como l excentricidd de l cónic y l line L se le llm directriz. Ejemplo. Cul es l excentricidd de un elipse que mide el doble de lrgo que de ncho? Si =2b entonces c= 2 -b 2 = 4b 2 -b 2 = 3b sí que e=c/= 3b/2b= 3/2 L form de cd cónic (slvo por el tmño) est determind por su excentricidd. Dem. Y sbímos que tods ls prábols son igules (slvo por el tmño), y tmbién sbemos que l form de ls elipses e hipérbols est determind por l rzón c/ = distnci entre los focos / distnci entre los vértices.

14 Problems 6. Cules son ls ecuciones de ests cónics? (3,7) (3,7) (3,4) (6,3) (3,5) (3,1) y=1 (3,-1) (3,-1) 7. Dibuj ls siguientes cónics, mostrndo sus vértices, focos, síntots, etc ) x 2 +4y 2 +4x-12y = 51 b) x 2-9y 2 +6x+18y = 4 c) y 2 +6y+2x = 7 8. Que ecución cumplen los puntos del plno cuy distnci l punto (0,0) es el triple de su distnci l punto (4,8)? A que curv corresponde est ecución? 9. Que ecuciones cudrátics cumplen los puntos del plno cuy distnci (6,0) es... ) igul su distnci l rect x=0? b) un tercio de su distnci l rect x=0? c) el triple de su distnci l rect x=0? A que cónics corresponden ests ecuciones? 10. Cul es l excentricidd de l órbit de l tierr? Cul es l excentricidd de l hipérbol x 2 -y 2 =1?