Secciones cónicas

Transcripción

1 L Teorí Heliocéntric propuest por Nicolás Copérnico firm que l Tierr los demás plnets girn en torno l Sol. El estudio de muchísimos dtos le permitieron concluir que: Los plnets tienen movimientos elípticos lrededor del Sol, estndo éste ubicdo en uno de los focos de l elipse en su recorrido brren áres igules en tiempos tmbién igules. Como se puede prever el conocimiento de l elipse de l circunferenci permite comprender l orgnizción de nuestro sistem plnetrio.... Secciones cónics MRTE VENUS TIERR MERCURIO JÚPITER STURNO... Introducción El descubrimiento de ls secciones cónics estuvo íntimmente ligdo uno de los tres problems clásicos de l geometrí grieg: l duplicción del cubo. Luego de un peste que rrsó con l poblción teniense se envió un delegción l oráculo de polo en Delos, pr preguntr cómo podrí conjurrse l peste, lo que el oráculo contesto que er necesrio duplicr el ltr cúbico dedicdo polo. l precer los tenienses duplicron ls dimensiones del ltr, pero esto no sirvió pr detener l peste, obvimente hbín umentdo ocho veces su volumen en lugr de dos. Fue Hipócrtes de Chios quien demostró que se podrí conseguir l duplicción del cubo siempre que se pudier encontrr curvs que cumpliern: Fue Menecmo quien hlló dichs curvs como secciones de conos circulres rectos, gudos obtusos. Pero es polonio quien hce un trtmiento tn ehustivo que desplz todos los nteriores, dndo un formulción definitiv. polonio les d su nombre definitivo Ellipsis (deficienci), Hperbol (vnzr más llá) Prábol (colocr l ldo o comprr) que indicb que no hbí deficienci ni eceso. Und. Geometrí nlític 609

2 polonio fue el primero en obtener tods ls curvs prtir de ls secciones del cono recto, vrindo el ángulo de inclinción del plno con respecto l eje del cono «prtir del cono dedujo un propiedd pln fundmentl, un condición necesri suficiente pr que un punto esté situdo en l curv, en ese momento bndonó el cono procedió estudir ls cónics por métodos plnimétricos eclusivmente...» «consigue un de ls mejores obrs de l mtemátic ntigu». Mientrs que polonio hbí considerdo tres tipos de curvs, Kepler preferí considerr cinco tipos... Descrtes sólo en un cso emin con detlle un lugr geométrico, es en coneión con el problem del lugr de ls tres cutro rects de Pppus del que obtiene Descrtes l ecución = - b + c - d. Ecución generl de un cónic que ps por el origen de coordends...». Trs l Geometrí de Descrtes publicd en frncés no en ltín (l lengu universl de l cienci), Vn Schooten l trduce l ltín en 649 junto con sus discípulos dquiere l geometrí crtesin un rápido desrrollo, Debeune demuestr que ls ecuciones = + b, = -d + b e = b -, representn respectivmente hipérbols, prábols elipses. Pero es en 658 cundo uno de los miembros del grupo de Vn Schooten, Jn de Witt reduce tods ls ecuciones de segundo grdo en e forms cnónics, por medio de rotciones trslciones de los ejes...b. Definición Se denomin sección cónic l curv determind por l intersección de un cono con un plno que no ps por su vértice.... L circunferenci... Definición Un circunferenci es el conjunto de todos los puntos de un plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro. Todo segmento que une el centro con un punto de l circunferenci se llm rdio su longitud es l distnci constnte. Por comodidd, en delnte nos referiremos l rdio como l distnci del centro un punto de l circunferenci...b. Ecución de l circunferenci L circunferenci de centro (h; k) rdio «r» tiene por ecución: ( - h) ( - k) = r Demostrción.- Pr obtener l ecución de l circunferenci con centro en C(h; k) rdio «r», plicmos l fórmul de l distnci. Pr esto elegimos un punto P(; ) culquier de l circunferenci, el mismo que se encontrrá en ell si se verific que: ( - h) + ( - k) = r Est ecución es válid si solo si: ( - h) + ( - k) = r ; (r > 0) lqqd. Est ecución se stisfce sólo por ls coordends de quellos puntos que están en l circunferenci., por tnto, es l ecución de dich curv. Si el centro de l circunferenci corresponde l origen, entonces h = 0 k = 0, por consiguiente, su ecución es: = r Ejemplo.- continución mostrmos dos circunferencis: Ls distints secciones se formn por ls diferentes inclinciones que se le d l plno que cort l cono respecto su eje. Obsérvese que:. L circunferenci se form cundo el plno cort l eje en ángulo recto.. L elipse se form cundo el plno cort en form inclind respecto del eje. 3. L prábol es l sección que se form cundo el plno cort l cono en form prlel un de sus genertrices. 4. L hipérbol es un sección doble se form cundo el plno cort l cono en form prlel su eje. Si uno de los plnos de corte se trsld en form prlel su posición inicil produce un cmbio en l mplitud de l sección. El de l izquierd con centro en (0; 0) el otro con centro en (- ; 3). Observción.- Un punto P( 0 ; 0 ) pertenece l interior de un circunferenci con centro en (h; k) rdio «r», si sus coordends verificn l siguiente desiguldd: h r < 0 < h + r k r < 0 < k + r 60 Trigonometrí Und. Geometrí nlític 6

3 ..3. L elipse..3. Definición Se llm elipse l lugr geométrico de los puntos de un plno tles que l sum de sus distncis dos puntos fijos del plno es un cntidd constnte...3b. Construcción de l elipse Pr construir un elipse bst tomr un cordel, fijr sus dos etremos en los puntos fijos F F, mntenerlo tirnte medinte un lápiz. L punt de éste, sobre un ppel, describe l elipse. L sum constnte de ls distncis de un punto P rbitrrio de l elipse los focos F F se indic medinte. r r..3c. Elementos de l elipse C. FOCOS Los focos de l elipse, denotdos por ls letrs F F ; son los puntos fijos respecto de los cules se definen ls distncis r r ; cu distnci entre ellos se design por c. Por definición de l elipse se debe cumplir que: > c o > c. C. EJES DE SIMETRÍ Se llmn ejes de simetrí de l elipse,o simplemente ejes, dos rects: un que contiene sus focos, llmd eje principl, l otr que siendo norml l primer divide l elipse en dos curvs congruentes. En l figur los ejes de simetrí son L L, siendo el primero el eje principl. Los segmentos = B B = b se llmn eje mor eje menor respectivmente. simismo, l segmento O =, se llm semieje mor, l segmento OB = b, se llm semieje menor. C3. CENTRO DE SIMETRÍ Se llm centro de simetrí l punto de intersección O de los ejes de l elipse. C4. VÉRTICES DE L ELIPSE Son los puntos, en los que l elipse cort sus ejes. En l gráfic los vértices de l elipse son,, B B. Cd pr de vértices equidistn del centro...3d. Ecución de l elipse Si el eje contiene los focos de l elipse situdos simétricmente respecto l origen de coordends l distnci c, l ecución de l elipse cuos semiejes miden b, en los ejes e, respectivmente, es de l form: () + = b, donde b c ; siendo: > b. L ecución de l form () se llm ecución cnónic de l elipse. Demostrción.- «P» pertenece l elipse si sólo si: r r ( c) ( c) ( c) ( c) Elevndo l cudrdo reduciendo términos, se tiene: 4 ( c) 4 4c c c c c c c ( c) c ( c ) ( c ) ( c ) Reconociendo que: c b, concluimos: lqqd. b Pr simplificr los enuncidos de los problems, es conveniente indicr siempre con l letr el semieje situdo en el eje O con l letr «b», el semieje situdo en el eje O, independientemente de cuál se mor, si o b. Si = b, l ecución () determin un circunferenci, considerd como un cso prticulr de l elipse. Ejemplos.- Mostremos ls elipses cus ecuciones son: En el cso () se cumple que: = 5, b = 4. Luego: c b r r 0 En el cso () debemos recordr que > b, luego: = 5; b = 4 c = 3. El semieje mor en el eje. 6 Trigonometrí Und. Geometrí nlític 63

4 ..4D. Ldo recto Llmmos ldo recto de l elipse l longitud del segmento de rect que intersect de form perpendiculr l eje principl que contiene uno de los focos. Tod elipse posee dos ldos rectos congruentes, cu longitud se determin hciendo = c en () obteniéndose = b /, de este modo el ldo recto LL, está ddo por: LL' b Ejemplo.- Determinemos el ldo recto de ls elipses del ejemplo nterior Observ que los ldos rectos de ls dos elipses son igules. E 5 6 = 5 ; b = 4 E 6 5 LL'' b 6 3 = 5 ; b = 4 LL'' b D. Ecución de l elipse con centro en C(h; k) Si el centro de un elipse se encuentr en el punto C(h; k), el eje principl es prlelo uno de los ejes coordendos, los semiejes son b, prlelos los ejes e respectivmente, l ecución de l elipse está dd por l fórmul: () ( - h ) ( - k) + = b donde b c ; siendo: > b. En est epresión el semieje mor se reconocerá inspeccionndo los denomindores. sí el mor denomindor corresponde l semieje mor éste será prlelo l eje coordendo correspondiente ddo por el numerdor. Ejemplo.- Grfiquemos l elipse cu ecución es: = Ecentricidd..4. Definición El número e c, en donde es el semieje mor, se llm ecentricidd de l elipse. Es evidente que e (pr l circunferenci e 0 ). Si P(; ) es un punto rbitrrio de l elipse, los segmentos F P = r F P = r, según l gráfic, se llmn rdios focles del punto P. Los rdios focles se pueden clculr medinte ls fórmuls: r e r e..4b. Directrices de l elipse Si l elipse está dd por l fórmul (), ls directrices son rects prlels l eje menor tles que: ; e e, si > b En este cso el semieje mor es prlelo. b ; b e e, si b > En este cso el semieje mor es prlelo l eje, de este modo ls directrices son horizontles, es decir, son prlels l eje...4c. Propiedd de ls directrices «Si r es l distnci de un punto rbitrrio de l elipse un foco d es l distnci del mismo punto l directriz, unilterl este mismo foco, l rzón r/d es un cntidd constnte e igul l ecentricidd de l elipse» r e d Ejemplo.- El gráfico corresponde un elipse L D su directriz, determinr «m», si e = 3/5. Primero, grupmos pr completr cudrdos identificndo: 3, b 6 c 3 (6-4) + (9-54) + 5 = 0 6( ) + 9( ) + 5 = 0 6( - ) ) ( - 3) = 0 6( - ) + 9( - 3) = 54 ( ) ( 3) 9 6 Según l propiedd nterior se cumple: 3,6 3 m 5 m = 6 64 Trigonometrí Und. Geometrí nlític 65

5 07.- Dd l siguiente list de ecuciones de elipses, se pide vinculrl con un líne con ls coordends de su centro ubicds l ldo derecho: Se pide completr el siguiente cudro, si se sbe que V V son los vértices, F F son los focos: 0.- Dds ls siguientes ecuciones de circunferencis, se pide vinculrl con un líne, con su respectivo centro indicdo por ls coordends de l derech:. ( + 3) + ( ) = 6 i. (-5; 0) b. ( 3) + ( + ) = 9 ii. (3; -) c. ( + 5) + = 4 iii. (0; -6) d. + ( + 6) = 8 iv. (-3; ) 0.- Ddo el siguiente conjunto de circunferencis: = 0 B = 0 C = 0 D = 0 Se pide completr el siguiente recudro: 04.- Indic con S o N si el punto ddo está o no el interior de un circunferenci, cu ecución es: ( 3) + ( + 4) = 5. (-3; 0) b. (0; -6) c. (5; -3) d. (3; -4) 05.- Escribir l ldo de cd elipse ls coordends de sus focos su correspondiente ecución (E):.. b c d. 4 5 i. (-; -5) ii. (-4; ) iii. (; 3) iv. (3; -3) 08.- De ls elipses del ejercicio nterior, se pide determinr sus ecentricidd (e) ls ecuciones de sus directrices (d d ). Elipse e d d' Elipse V V' F F' 0.- Ddo el siguiente conjunto de elipses: = 5 b. + 4 = 4 c = 0 d = 0 e = 0 Se pide completr el siguiente cudro con ls coordends de lo que se indic: Circunferenci Rdio Centro b. Cso C V V' F F' 03.- Escribir ls ecuciones de ls circunferencis conociendo su centro un dto dicionl: C Dto Ecución 06.- Dds ls ecuciones de elipses, escribir ls medids de los semiejes mor (M) menos (m), sí como l distnci entre focos (c): Ecución M m c 09.- Dd l siguiente list de ecuciones de elipses:. 9 5 B. 6 9 C D Del ejercicio nterior se pide dr l ecentricidd de cd elipse:. e = B. e = C. e = D. e = E. e = 66 Trigonometrí Und. Geometrí nlític 67

6 Prob. 03 Prob. 04 Prob. 0 L CIRCUNFERENCI El punto C(3; -) es el centro de un circunferenci que intercept en l rect = 0 un cuerd, cu longitud es igul 6. Clculr l ecución de est circunferenci. Prob. 0 Escribir ls ecuciones de ls circunferencis de rdio R 5, que son tngentes l rect = 0 en el punto M(3; ). Elbormos un esquem en el que ubicmos los dtos del problem: Determinr l ecución de l circunferenci que, teniendo el centro en l rect + = 0, es tngente ls rects = 0; = 0. Elbormos l gráfic correspondiente ubicmos los dtos del problem: Determinr ls ecuciones de ls circunferencis que psn por el origen de coordends son tngentes ls dos rects concurrentes: = = 0 Elbormos un esquem que nos permit ubicr los dtos del problem: Elbormos el gráfico ubicmos los dtos correspondientes: plicndo l fórmul de l distnci de un punto un rect, tenemos: CM 5 CM = 9 hor, clculmos r en el triángulo rectángulo CMB: r 9 3 r 38 Luego, l ecución de l circunferenci es: ( 3) (-) 38 ( 3) + ( + ) = 38 De l ecución de l rect «L» dd se tiene que su pendiente es: m L = /. L pendiente de CM es: m CM b 3... (*) Luego, como CM es perpendiculr «L», se cumple que: m CM Reemplzndo en (*), se tiene: b 3 De donde se obtiene: + b = 7... () hor, clculmos l distnci del centro «M» l rect «L»: CM 5 b b 5 De donde: - b = 6 - b = () Luego, resolviendo () (): = 4 b = - = b = 3 Ls ecuciones de ls circunferencis son: ( - 4) + ( + ) = 5 ( - ) + ( - 3) = 5 hor, plicmos l fórmul de l distnci entre rects prlels, en este cso entre L L : B r r = 8 r = 4 Luego, clculmos l distnci «r» del centro «C» l rect L, sí tenemos que: r 4 3b b 0 5 De donde: 4 3b () Pero como C(; b) L 3, se tiene: + b = 0 b = - hor, reemplzndo vlores en (): 4-3(-) + 0 = 0 + = = b = - = -3 b = 6 Luego, se comprueb que el centro C(; -) está entre ls rects L L L L. L ecución de l circunferenci es: ( - ) + ( + ) = 6 hor, según el gráfico se tiene que: r OC b... () r d C ; L b 9... () r d C ; L b... (3) r C b 4... (4) Luego, resolviendo el sistem de ecuciones (), (), (3) (4), obtenemos: = b = r 5 = /5 b = -3/5 r = 7/ 5 Finlmente ls ecuciones de ls circunferencis son: C : ( - ) + ( - ) = C : 68 Trigonometrí Und. Geometrí nlític 69

7 Prob. 05 Prob. 06 Prob. 07 Prob. 08 Clculr ls ecuciones de ls circunferencis que psn por el punto (-; 5) son tngentes ls dos rects concurrentes: = 0; = 0. Determinr ls ecuciones de ls circunferencis que son tngentes ls tres rects: = 0; = 0; - = 0 Determinr l ecución del diámetro de l circunferenci = 0, que es perpendiculr l rect = 0. Deducir l condición según l cul, l rect dd por = k + b es tngente l circunferenci + = R. Elbormos l gráfic correspondiente ubicmos en ell los dtos del problem: Elbormos el esquem de cuerdo los dtos del problem: De l ecución dd determinmos el centro de l circunferenci completndo cudrdos sí: = 0 Elbormos el esquem ubicmos los dtos del problem: ( ) + ( ) = ( + ) + ( - 3) = 30 ) De l iguldd: d(c; L ) = d(c; L ) 4 3 b b b 4 3 4b 35 De donde resultn dos ecuciones: - b = b = 3... () b) De l iguldd: d(c; L ) = C = r 4 3b 4 b 5... () 4 3 hor, resolviendo () () obtenemos: = b = r = 5 = - 00/49 b = 349/49 r = 85/49 Ls ecuciones de ls circunferencis son: ( - ) + ( - ) = r d C; L 3 4b () 3 4 r d C; L 3 4b () 3 4 r d C; L 3... (3) 0 Luego, resolviendo ls ecuciones (), () (3) obtenemos: = 5 b = 0 r = 4 = -5 b = 0 r = 6 = 35/3 b = 40/3 r = 3/3 = 35/3 b = 40/3 r = 3/3 Ls ecuciones de ls circunferencis, que cumplen con l condición dd, son: ( - 5) + = 6 ; ( + 5) + = , El centro rdio son respectivmente: C(-; 3) r 30 Elborndo el gráfico correspondiente: Reconocemos que: m L = -5/ Y como L B es perpendiculr «L», entonces l pendiente de L B es: m B = /5 Luego, l ecución del diámetro B es l mism que l ecución de L B, entonces: L B : 3 5 ( ) L B : = 0 Obsérvese que el punto es el único punto de intersección entre l rect l circunferenci. Luego, pr determinr ls coordends del punto, resolvemos el sistem de ecuciones: = k + b + = R + (k + b) = R (k + ) + kb + b - R = 0 kb 4k b 4 k b R k Pr que el punto de intersección se único, entonces debe tomr un solo vlor, pr que esto suced el discriminnte debe ser cero, es decir: Prob. 09 4k b - 4(k + ) (b - R ) = 0 b k R Clcul l ecución de l cuerd de l circunferenci ( - 3) + ( + 7) = 69, que se divide por l mitd en el punto M(8,5; 3,5). De l ecución de l circunferenci: ( - 3) + ( + 7) = Trigonometrí Und. Geometrí nlític 6

8 De quí obtenemos ls coordends del centro el rdio: C(3; -7) r = 3 hor, l siguiente gráfic nos permite visulizr el problem: Se C 3 l circunferenci que ps por los puntos de intersección de C con C, entonces se cumple que l ecución de C 3 es un combinción de ls otrs dos circunferencis, llmd fmili de curvs cu form está dd por: C 3 : C + kc = 0 l igul que en el problem nterior, formmos l fmili de circunferencis que psn por los puntos de intersección de C C : C + kc = 0 Luego, reemplzmos según dtos del problem: k( ) = 0 l reemplzr (3) en (), se obtiene: = 4 = - (4; -) = - = 6 B(-; 6) Finlmente l longitud de l cuerd B es: Luego, tenemos que l pendiente de CM es: Y como Finlmente: m CM 7/ 7 7/ 3 CM B, l pendiente de B es: L m B B / 7 : 7 L ecución de l cuerd B es: = 0 C 3 : k( ) = 0 Luego, como (; -) C 3, reemplzmos convenientemente = = -, en C 3, de este modo podemos clculr el vlor de «k», resultndo que: k = -3 Luego l ecución de C 3 es: C 3 : ( ) = 0 Reduciendo, obtenemos l ecución: = 0 Not.- L fmili de curvs, dd por l ecución de C 3, reúne tods ls circunferencis que psn por los puntos de intersección entre C C. Este recurso, empledo en l resolución, nos evit determinr tles puntos. Prob. (k + 3) + (k + 3) + ( + 3k) + ( - k) = 0 Si evlumos con k = -3, obtendremos l ecución de l rect «L» que ps por los puntos de intersección llmd eje rdicl, sí: Prob. L: 7-4 = 0 Determin l longitud de l cuerd común ls dos circunferencis: = = 0 Elbormos el gráfico pr ubicr los dtos del problem: B 4 6 B = 0 Prob. 3 Determin l ecución de l tngente l circunferenci: + = 5 en el punto (-; ). Elbormos el esquem correspondiente según dtos del problem: Prob. 0 Determin l ecución de l circunferenci que ps por el punto (; -) por el punto de intersección de ls dos circunferencis: = = 0 Ls circunferencis que se intersectn son: C : = 0 Clcul l ecución de l rect que ps por el punto de intersección de ls dos circunferencis: = 0; = 0 Ilustrndo el problem medinte un esquem, tenemos: Luego, pr determinr ls coordends de los etremos de l cuerd común B resolvemos el sistem: = 0... () = 0... () hor, restndo () (), obtenemos: L pendiente de C es: m C 0 m 0 C Y como C L, entonces l pendiente de L T es: T m T = / Luego, como (-; ) es punto de pso, entonces determinmos l ecución, sí tenemos que: L T : C : = = 0... (3) L T : Trigonometrí Und. Geometrí nlític 63

9 Prob. 4 Clcul en l circunferenci: = 0 el punto M, más próimo l rect = 0, determin l distnci del punto M est rect. Elboremos el gráfico correspondiente según ls condiciones del problem: De: = 0 hor, completndo cudrdos, obtenemos: L : = 0 Luego, ls tngentes L T L T que son prlels L tienen por ecución: L T L T : k = 0...() Luego, el punto M buscdo se clcul en l intersección de l tngente L T con l rect L pero L L cu ecución es: L : 4 3 L : + + = 0... (4) Resolviendo () (4) encontrmos ls coordends de M, estos resultn ser: Luego clculmos: Prob. 5 = -7/ = 5/4 M (-7/; 5/4) d(m ; L ) = d(l T ; L ) d(m ; L ) 64 6 d(m ; L ) = 5 Se l circunferenci: ( - h) + ( - k) = r Si L T es un rect tngente l circunferenci en el punto (; b), su ecución estrá dd por: L T : ( - h)( - h) + (b - k)( - k) = = 0... () ( - ) + ( + ) = = 0... () De () () obtenemos: = -/5 = -9/5 (-/5; -9/5) = = - B(; -) plicndo l propiedd en nuestro problem, respecto l punto B(; -), si: C : ( - 3) + ( - ) = 8 L T : ( - 3)( - 3) + (- - )( - ) = 0 m T : = 0 m T = - Si C : ( - ) + ( + ) = L T : ( - )( - ) + (- + )( + ) = 0 L T : = 0 m T = Luego, deducimos que: L T L T porque m T m T = - hor, elbormos l gráfic correspondiente según los dtos del problem: Prob. 6 L ELIPSE Dd l elipse: = 5, clculr: ) Los ejes mor menor. b) Sus focos. c) Su ecentricidd. d) Ls ecuciones de sus directrices. Trnsformemos l ecución l form ordinri: = Identificmos los semiejes: = 5 ; b = 3 Reemplzndo vlores en: c = - b c = 5-3 c = 4 hor, l gráfic de est elipse es: r = d(c; L T ) 33/ 4/4 k = k - 3 k = 33 k = -7 hor, reemplzndo en (), ls ecuciones de ls tngentes son: L T : = 0... () Determin el ángulo formdo por l intersección de ls dos circunferencis: ( - 3) + ( - ) = 8; ( - ) + ( + ) = Not.- Se llm ángulo formdo por dos circunferencis l ángulo comprendido entre sus tngentes en el punto de intersección. Resolviendo el sistem de ecuciones, obtenemos ls coordends de los puntos de intersección «B». Finlmente, el ángulo formdo por l intersección de ls dos circunferencis es el mismo que el ángulo formdo entre sus tngentes es de 90º. Desrrollndo lo pedido en el problem: ) Los ejes mor menor son: V V = = 0 B B = b = 6 b) Ls coordends de sus focos son: F = (c; 0) F = (4; 0) L T : = 0... (3) ( - 3) + ( - ) = 8 F = (-c; 0) F = (-4; 0) 64 Trigonometrí Und. Geometrí nlític 65

10 c) Sbemos que l ecentricidd (e) se define sí: e c 4 5 d) Ls ecuciones de sus directrices son: Prob. 7 5 = 5/4 c 4 5 = -5/4 c 4 Prob. 8 S b c bc S Clculr en l elipse:, los puntos 5 4 cus bsciss son igules -3. de «M» l directriz «e» es l ecentricidd, elbormos un gráfic según el enuncido: Luego, reemplzndo dtos se tiene: Prob. L ecentricidd de un elipse es: e = /, su centro coincide con el origen de coordends un de sus directrices se d medinte l ecución: = 6. Clculr l distnci del punto «M» de l elipse, cu bscis es igul -4, l foco unilterl l directriz dd. Si ls directrices son prlels l eje deducimos que el eje mor de l elipse está en el eje. Clculr el áre del cudrilátero que tiene dos vértices en los focos de l elipse: = los otros dos coinciden con los etremos de su eje menor. Trnsformndo l ecución l form ordinri: = 3 5 Primero, grficmos l elipse: E : b Prob. 0 e r 0 d d 3 d = 5 Hbiendo verificdo que el punto M (-4;,4) está en l elipse: 5 6 determinr los rdio focles del punto «M». e c L : 6 6 c Resolviendo el sistem, obtenemos: De quí los semiejes son: ; b 5 3 Luego, en l epresión: c = - b Reemplzndo vlores: 3 c 5 c 3 5 hor, l gráfic de l elipse será: (-3; )E 3 = ±8/5 5 4 Los puntos son: 3; 8 5 3; 8 Prob. 9 L ecentricidd de un elipse es: e = /3, el rdio focl de un punto «M» de l elipse es igul 0. Clculr l distnci del punto «M» l directriz unilterl este foco. 5 nlizndo l elipse: E : b 4 Luego: c = - b c = 5-4 c = 3 = 8; c = 4 b 4 3 Luego l ecución de l elipse es: Si F (4; 0) F (-4; 0) E : E : b M 4; E Luego: M (-4; 6) M (-4; -6). Reconociendo que estos puntos equidistn de F, clculmos M F : M F M F = 0 Los rdios focles son: Prob. El áre del cudrilátero V F V F es dos veces el triángulo V F V. plicndo l propiedd epuest en l teorí: e = r/d donde «r» es el rdio focl, «d» es l distnci r = M F 4 3 /5,6 r =M F 4 3 /5 7, 4 Determinr los puntos de l elipse: cus distncis l foco derecho son igules Trigonometrí Und. Geometrí nlític 67

11 Grficmos l elipse: e : 0 6 De donde: = 0 ; b = 6 c = 8 5 ; b 5 c 0 Grficmos l elipse con ls condiciones dds, donde LR es l perpendiculr trzd l eje mor, conocid como ldo recto. gulo equilátero F B B. Si sumimos que su ldo mide = k, entonces se deduce que: b = k (semieje menor) c = k 3 Luego l ecentricidd «e» lo clculmos, sí: Prob. 5 e c k 3 3 k Igulndo () (): demás, sbemos que: b b c b c c b c c c c Finlmente, clculmos l ecentricidd: e c c e c Por el foco «F» de l elipse se h trzdo un perpendiculr su eje mor: Prob. 6 Por definición de elipse sbemos que: PF + PF = 4 + PF = 0 PF = 6 Luego, tenemos: PF () PF () Resolviendo () (), obtenemos: plicmos l definición de elipse: LF LF ( 0) 0 Resolviendo, obtenemos: = 3 Finlmente, piden: Prob. 4 LF = = 3 LF 40 7 Determinr pr qué vlor de l ecentricidd de l elipse serán prlelos los segmentos B OC. L elipse es tngente l eje de bsciss en el punto (3; 0) l eje de ordends en el punto B(0; -4). Clculr l ecución de est elipse, sbiendo que sus ejes de simetrí son prlelos los ejes coordendos. Elborndo l gráfic correspondiente según condiciones del problem: 5 ( ) Los puntos pedidos son: Determinr l ecentricidd «e» de l elipse, si su eje menor se ve desde uno de los focos formndo un ángulo de 60º. Elbormos un esquem pr visulizr ls condiciones del problem: Prob. 3 P5; 3 3 P' 5; -3 3 Grficmos un elipse pr visulizr ls condiciones dds: Por el foco de l elipse:, se h trzdo un perpendiculr su eje mor. Determinr 5 5 ls distncis de los puntos de intersección de est perpendiculr con l elipse hst los focos. De l ecución obtenemos, b c: e : Luego, del foco F observmos l eje menor B B con un ángulo de 60º, determinándose el trián- CC' es el ldo recto CC' b En el OB: tn = b... () En el OFC: tn = / b c... () CF b De quí identificmos: = 4 b = 3 Luego, el centro está en: (h; k) = (3; -4) Ddo que el centro de l elipse no está en el origen de coordends plicmos: k h b Trigonometrí Und. Geometrí nlític 69

12 Prob. 7 b 5n Prob. 9 Prob. 30 Determinr l ecución de l elipse, sbiendo que su eje mor es igul 6 los focos son F (-0; 0) F (4; 0). Si l directriz tiene por ecución = 5, eso indic que su eje mor es prlelo l eje. Por tnto un gráfico proimdo serí: El punto (-3; -5) está en un elipse, uno de cuos focos es F(-; -4) l directriz correspondiente se d medinte l ecución: = 0. Determinr l ecución de est elipse. El punto M(; -) está en l elipse, uno de cuos focos es F(; 0) l directriz correspondiente se d medinte l ecución: 0 = 0. Determinr l ecución de est elipse. Ddo que los focos (4; 0) (-0; 0) tienen ordends nuls, deducimos que el eje mor está sobre el eje. simismo debemos reconocer que el centro «C» de l elipse es el punto medio del segmento F F, entonces C(; 0). Y si el eje mor mide 6, entonces = 3, luego podemos hcer un esquem de l elipse: Se (h; k) el centro F(; ) el foco, entonces: Se «L» l directriz correspondiente l foco ddo «F». continución elbormos un esquem: Se «L» l directriz correspondiente l foco ddo «F». continución elbormos un esquem: (h + n; k) = (; ) De l figur, concluimos que: Luego: Prob. 8 = 3 ; c = b = 5 k E : h b E : 69 5 Clculr l ecución de l elipse, si se conoce su ecentricidd e = /3, un foco F(; ) l ecución de l directriz correspondiente: 5 = 0. Nos informn que l ecentricidd: c n e c 3 3n h + n = k = Como l elipse no tiene su centro en el origen de coordends, l ecución de l directriz es: = 5 h c 5 Epresndo todo en términos de «n»: n 3n 5 n = 6/5 n Reemplzndo en ; b h: 8 ; b 6 5 ; h L ecución tiene l form: k e h b 5 E : Desrrollndo, psmos l form generl obtenemos: E: = 0 plicndo l propiedd de ls directrices vist en el ítem..4c, tenemos: e F e L 3 e 4 e Hcemos lo mismo pr un punto P(; ) de l elipse: e PF PL Luego, reemplzndo el vlor de «e» obtenido en el pso nterior, se tiene: hor, desrrollndo determinmos l ecución de l elipse: plicndo l propiedd de ls directrices utilizd en el problem nterior, se tiene: e MF = PF ML PL = Constnte plicndo ls fórmuls de distnci, se tiene: Elevndo l cudrdo simplificndo términos, result: 0 5 hor, reduciendo, obtenemos: Prob. 3 Clculr los puntos de intersección de l rect: l elipse: = Trigonometrí Und. Geometrí nlític 63

13 Pr clculr los puntos de intersección resolveremos el sistem de ecuciones ddo por l rect l elipse: L : () 0 E :...() 5 4 Reemplzndo () en (), se tiene: Resolviendo obtenemos un único vlor pr, esto es: = 3 = 8/5 El único punto de intersección es P(3; 8/5), esto signific que l rect L es tngente l elipse E, como vemos en l siguiente gráfic: L : 3...() E :...() 6 9 Luego, reemplzmos () en (): Resolviendo, obtenemos: Luego los puntos de intersección son: P(0; -3) P' 9 65 ; Esto nos indic que l rect L es secnte l elipse E, como mostrmos en l siguiente gráfic: e :...() 0 5 Reemplzndo () en () obtenemos: 5 8m 4m (3) Luego, pr que l rect L se secnte l elipse E, l ecución (3) debe tener soluciones reles, esto sólo será posible si el discriminnte de est ecución es mor que cero, es decir: 8m 4 5 4m 5 0 Resolviendo concluimos que: m < 5 5 Prob. 34 Deduce l condición, según l cul l rect es tngente l elipse: L: = k + m. b m k 4 b k m b 0 Prob. 35 k + b = m Desde el punto C(0; -8) se hn trzdo tngentes l elipse: 5 6 Clculr l ecución de l cuerd que une los puntos de contcto. Primero elbormos un gráfico proimdo, según los dtos del enuncido: Resolvemos el sistem formdo por ls ecuciones dds: Prob. 3 Determinr l posición de l rect con relción l elipse (l cort, es tngente o ps fuer de ell), si l rect l elipse se dn medinte ls siguientes ecuciones: 3 = 0 ; 6 9 En principio supondremos que mbs línes se intersectn pr ello procedemos como lo hicimos en el problem nterior: Prob. 33 Pr qué vlores de «m» l rect: cort l elipse: = - + m? 0 5 nálogmente l problem nterior, resolvemos el sistem de ecuciones formdo por ls dos línes. Vemos: L: = - + m...() L: = k + m...() e :...() b Reemplzndo () en (), se tiene: k m b Luego, result un ecución cudrátic: b k m k m b 0 Pr que L se tngente E, l ecución obtenid debe tener un únic solución, es decir su discriminnte debe ser cero. sí: En l elipse identificmos: = 5; b = 6 simismo un punto de ls tngentes es el que está ddo por: Luego l ecución de l cuerd cuos etremos son los puntos de contcto es como sigue: L : 0 0 b TT' = 0 63 Trigonometrí Und. Geometrí nlític 633

14 CIRCUNFERENCI 0.- Clculr l ecución de l circunferenci que es tngente ls rects prlels: = 0, = 0, un de ells, en el punto (; ) ) ( + ) + ( - ) = B) ( + ) + ( - ) = 0 C) ( + ) + ( + ) = 0 D) ( + ) + ( + ) = 0 E) ( + ) + ( + ) = Determin los centros de ls circunferencis que psn por el punto (; 0) son tngentes ls dos rects prlels: + + = 0, = 0. ) (5; -) (9/5; /5) B) (0; 0) (; ) C) (3; ) (/5; 3/5) D) (; -5) (3/5; 9/5) E) (9; ) (9/5; 3/5) 03.- Clcul ls ecuciones de ls circunferencis que son tngentes dos rects concurrentes: = 0, = 0, un de ells, en el punto M (; ) ) ( + 6) + ( - 3) = 50; ( - 9) + ( + ) = 800 B) + = 50; ( - ) + = 800 C) ( - ) + = 50; + ( - ) = 800 D) ( + 6) + = 50; + ( - ) = 800 E) ( 4) + ( 6) = Determin l ecución de lgun circunferenci que, teniendo sus centros en l rect = 0, se tngente ls rects: 3 0 = 0 ; = 0 ) ( - 8) - ( + 7) = 5/3 B) ( + ) + ( + ) = 8 C) ( + 8) + ( - 7) = 5/3 D) ( - ) + ( - ) = 8/3 E) ( + 4) + ( ) = Clcul l ecución de lgun circunferenci que se tngente ls tres rects: = 0, = = 0 ) B) C) D) + = 5/7 E) ( 3) + ( 4) = Clcul l distnci mínim del punto (6; -8) l circunferenci: + = 9 ) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 07.- Determin ls coordends de los puntos de intersección de l rect = 0 l circunferenci ( ) + ( - ) = 5 ) (-; 5) (; ) B) (-5; ) (; -) C) (; -5) (; -) D) (-; 5) (-; -) E) (; -3) (4; ) 08.- Clcul l ecución del diámetro de l circunferenci ( - ) + ( + ) = 6, que ps por l mitd de l cuerd definid por l intersección con l rect = 0. ) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = Determin l longitud de l cuerd de l circunferenci ( - ) + ( - 4) = 0, que se divide por l mitd en el punto (; ) ) 3 B) 5 C) 5 D) 6 E) Determin l ecución de l circunferenci que ps por el origen de coordends por el punto de intersección de ls dos circunferencis: ( + 3) + ( + ) = 5, ( - ) + ( + 4) = 9 ) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0.- Clcul l distnci del centro de l circunferenci + = l rect que ps por el punto de intersección de ls dos circunferencis: ) B) = 0, = 0 C) 3 D) E) 3.- El centro de un circunferenci está en l rect + = 0. Clcul l ecución de est circunferenci, si se sbe que ps por el punto de intersección de ls dos circunferencis: ( -) + ( + 5) = 50, ( + ) + ( + ) = 0 ) ( - 3) + ( - 3) = 0 B) ( - 3) + ( + 3) = 0 C) ( + 3) + ( + 3) = 0 D) ( + 3) + ( - 3) = 0 E) ( + 4) + ( ) = Determin l ecución de l tngente l circunferenci ( + ) + ( 3) = 5 en el punto (-5; 7). ) = 0 B) 3 = 0 C) = 0 D) = 0 E) = Clcul el ángulo gudo formdo por l intersección de l rect L: = 0 l circunferenci ( - ) + = 5 (Se llm ángulo formdo por un rect un circunferenci l ángulo comprendido entre l rect l tngente l circunferenci trzd en el punto de intersección). ) 60º B) 30º C) 37º D) 53º E) 45º 5.- Desde el punto (4; ) se hn trzdo tngentes l circunferenci + = 0. Clcul el ángulo formdo por ests tngentes. ) 90º B) 7º C) 60º D) 45º E) 30º 634 Trigonometrí Und. Geometrí nlític 635

15 ELIPSE 6- Dd l elipse: = 45, clculr sus semiejes ) 5 3 B) C) 3 D) 3 5 E) Pr l elipse del problem nterior, determinr ls coordends de sus focos. ) F (; -4), F (8; 4) B) F (0; -), F (5; ) C) F (0; -3), F (0; 3) D) F (0; -), F (0; ) E) F (0; - 5 ), F (0; 5 ) 8.- Pr l elipse del problem nterior, se pide clculr su ecentricidd. ) /3 B) /3 C) 3/4 D) 5/ E) Identificr l elipse cu ecución es: 6 9 ) B) C) D) E) 0.- De l elipse del problem nterior se pide determinr ls ecuciones de sus directrices ) = ±9/ B) = ±5/ C) = ± D) = ±3 E) L ecentricidd de un elipse es: e = /5, l distnci de un punto «M» de l elipse l directriz es igul 0. Clculr l distnci del punto «M» l foco unilterl est directriz. ) 6 B) 0 C) D) 8 E) 0.- Se d el punto 5 M ; - en l elipse: 9 5 Clculr ls ecuciones de ls rects en ls que están los rdios focles del punto «M». ) = 0 ; 3 = 0 B) = 0 ; 3 = 0 C) = 0 ; = 0 D) = 0 ; = 0 E) = 0 ; + = L ecentricidd de un elipse es e = /3, su centro coincide con el origen de coordends uno de los focos es F(-; 0). Clculr l distnci del punto «M» de l elipse, cu bscis es igul, l directriz unilterl l foco ddo. ) 8 B) 5 C) 0 D) E) Determinr ls coordends de los puntos de l elipse:, cus distncis l foco izquierdo son igules 6 7,5. ) (-; 3) (-; -3) B) -; -; - C) - ; 3 ; -3 D) (-4; ) (-5; -) E) (; 5) (-4; 3) 5.- Clculr l ecución de l elipse cuos focos están situdos en el eje de ls bsciss son simétricos con respecto l origen de coordends, si el punto M 5; pertenece l elipse su semieje menor b = 3. ) B) C) D) E) Clculr l ecución de l elipse cuos focos están situdos en el eje de ls bsciss son simétricos con respecto l origen de coordends, si el punto M 5; - pertenece l elipse l distnci entre sus focos es c = 8. ) 0 4 B) 0 5 C) D) E) Determinr l ecentricidd «e» de l elipse, si el segmento entre los focos se ve desde los etremos del eje menor formndo un ángulo recto. ) B) 3 C) /3 D) /5 E) 8.- Clculr l ecución de l elipse de semiejes «b» con el centro C(3; 5), si se sbe que los ejes de simetrí de l elipse son prlelos los ejes coordendos. ( 3) ( 5) ) b B) 3 5 b C) 3 5 b D) 3 5 b ( ) ( 4) E) b 9.- El punto C(-3; ) es el centro de un elipse, que es tngente los dos ejes coordendos. Clculr l ecución de est elipse, sbiendo que sus ejes de simetrí son prlelos los ejes coordendos. ) ( 3) ( ) B) 9 4 C) D) ( 3) ( ) E) Clculr l ecución de l elipse, sbiendo que su eje menor es igul los focos son F (-; -) F (; ). 636 Trigonometrí Und. Geometrí nlític 637

16 ) = 0 B) = 0 C) + 3 = 0 D) = 0 E) = Clculr l ecución de l elipse, si se conoce su ecentricidd e = /, su foco F(-4; ) l ecución de l directriz correspondiente: + 3 = 0. ) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = Clculr l ecución de l elipse, si se conoce su ecentricidd e = /, el foco F(3; 0) l ecución de l directriz correspondiente: + = 0 ) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = El punto M (3; -) es un etremo del eje menor de un elipse, cuos focos están en l rect: + 6 = 0 Clculr l ecución de est elipse, conociendo su ecentricidd: e. ) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = Determinr ls coordends de los puntos de intersección de l rect: = 0 l elipse: 6 9 ) (; -) (0; 0) B) (0; 0) (; -) C) (5; -5) (; 3) D) (6; 0) (-5; ) E) L rect ps por fuer de l elipse Determinr l posición de l rect con relción l elipse (l cort, es tngente o ps fuer de ell), si l rect l elipse se dn medinte ls siguientes ecuciones: + 0 = 0 ; 9 4 Indique l respuest correct: ) Es tngente B) L cort en dos puntos C) Ps fuer de l elipse D) L cort en un solo punto E) Flt informción pr decidir 36.- Pr qué vlores de «m» l rect: = - + m es tngente l elipse? 0 5 ) m = 7 B) m = 3 C) m = D) m = 6 E) m = Clculr l ecución de l tngente l elipse: en uno de sus puntos M 6 (3; ) ) 3 - = B) - = C) 3 - = D) 3 + = E) + 3 = - 0 E 09 B 7 D 5 D E 03 B 9 C 7 E 35 C 04 D D 0 E 8 36 E 05 C 3 D 9 B 37 D 06 4 E D 30 C 07 D B 3 B 638 Trigonometrí