DETERMINANTES. 1. Calcular el valor del determinante. Solución: Determinante tipo Van der Mondem. sustituyendo en la primera expresión

Transcripción

1 DETERMINANTES. lulr el vlor el eterminnte ² ² ² Soluión: Sno ftor omún e en lª fil Sno ftor omún e en l ª fil ² ² ² ² ² ² Determinnte tipo Vn er Monem. ² ² ² ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sustituyeno en l primer epresión ² ² ( ) ( ) ( ) ². lulr en funión e n el eterminnte n n n n n n n n n Soluión: n n n por ser proporionl. n n n n n n n n n. Otener, simplifino, el esrrollo el eterminnte ² ²² ² ² ² Soluión: Tenieno en uent l propie e los eterminntes que ie: Si toos los términos e un líne (fil ó olumn) e un eterminnte preen multiplimos por el mismo número, se puee sr ftor omún e iho número queno el eterminnte multiplio por ese número ² ²² ² ² ² : () : () : ( ) : ( ) : () : ()

2 . Sieno que m y n, lulr: p m p y n Soluión: Tenieno en uent ls propie e los eterminntes que ien: - Si toos los términos e un líne (fil ó olumn) e un eterminnte preen multiplimos por el mismo número, se puee sr ftor omún e iho número queno el eterminnte multiplio por ese número Si permutmos os línes prlels e un mtri ur, su eterminnte mi e signo { }... { } m p y : () n : () m : () p y n { } m n p { } { } y m y n p m n p y. lulr el vlor el eterminnte Soluión: esrrollno por los términos e l ª olumn: ( ) esrrollno por los términos e l ª olumn: { } { }

3 [ ] ( ) ) ( ) ( ) (. D l mtri A, e I l mtri ienti e oren tres, eterminr, si es posile, un vlor e pr el que l mtri (A I)² se l mtri nul. Soluión: Sí (A I)² ( ) I A ( ) ( ) ( ) I A I A I A ( ) ( ) I A I A ( ) I A sno ftor omún e en ls os primers fils ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ( ) ( ) ( ). Demostrr que el eterminnte es ivisile por. Soluión: Se pie emostrr sin llegr lulr el vlor el eterminnte, que es múltiplo e. Se usn múltiplos e formos en fils ó en olumns, e ereh iquier o vievers, e rri jo o vievers. ormos números e rri jo, preen:. Se formn estos números sore l líne (fil ó olumn) one se enuentre el igito e uni, en este so sore l ª fil { }

4 lo que emuestr que el eterminnte es múltiplo e. Otener en funión e, y el vlor el eterminnte Soluión: Se hen eros en l ª fil operno on el término. ( ). lulr el vlor el siguiente eterminnte ² ² ² Soluión: ² ² ² ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). lulr el vlor el eterminnte ³ ³ ³ Soluión: ³ ³ ³ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 . lulr el vlor el eterminnte log log ² log log ² log log ² Soluión: log log ² log log ² log log ² log log log log log ² log log log log log ² log log log log log log log ( log log ) log ( log log ) ( log log ) ( log log ) log ( log log ) ( log log ) ( log log ) log log log log log loglog. Epresr en form e proutos e ftores e primer gro, el vlor el eterminnte: Soluión: Mtri tringulr, su eterminnte es el prouto e l igonl prinipl. ( ). Resolver l euión ² ² ³ ² Soluión: ² ² ³ ² ² ² ³ ²

6 esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª fil y ftorino toos los polinomios ( ) ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) (² ( ) ) ( ( sno ftor omún e () en olumn y operno los términos el eterminnte ( ) ( ) ² ² esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª fil y ftorino los polinomios ( ) ( ) ) ( ) ) ( ( sno ftor omún e () en olumn y operno los términos el eterminnte ( ) ( ) ( ) esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª fil ( ) ( ) ( ). lulr el vlor e Soluión. { } sno ftor omún e ( ) e l ª fil ) ( ) ( pree el eterminnte e un mtri tringulr, que es igul, l prouto e los términos e l igonl ) ( ) (

7 . Resolver l siguiente euión (operno el eterminnte ntes e esrrollrlo). Soluión: { } sno ftor omún e () e l ª fil ( ) ( ) mtri tringulr, su eterminnte es el prouto e los términos e l igonl () () () () :. Resolver el eterminnte Soluión: Sno ftor omún en l ª olumn esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª fil ( ) { } sno ftor omún e () e l ª fil ) ( ) ( esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª fil

8 ( ) ( ) [ ] ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ). Utilino ls propiees e los eterminntes, lulr el vlor e Soluión: por tener o fils proporionles. ( ). lulr el vlor el eterminnte Soluión: { } esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª fil ( ) { } esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª olumn ( ) { } [ ]. lulr: Soluión: Pr el esrrollo e este eterminnte se utili l propie: Si un líne e un eterminnte se puee esriir omo sum e os términos, el eterminnte se puee esriir omo sum e os eterminntes, omo ini l siguiente relión

9 esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª olumn ( ) esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª olumn ( ) { } { } ( ) { } [ ]. Resolver: Soluión:

10 Se hen eros en l ª fil tomno omo pivote el término. esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª fil ( ) esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª olumn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). lulr el siguiente eterminnte Soluión: esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª olumn ( ) ( ) ( ) esrrollno el eterminnte por los juntos e l ª olumn ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 ( ) ( ) ( ). lulr: Soluión: esrrollno por los elementos e l urt fil: ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) () Sustituyeno () y () en () ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ). lifiión máim: puntos. Hllr en funión e, el vlor el eterminnte: Soluión Utilino ls propiees e los eterminntes.

12 Desrrollno por los elementos e l primer fil: ( ) ( ) ( ) ( ). lifiión máim: puntos. Otener el eterminnte en funión e, sieno: " " " " " " ' ' ' ' ' ' " " " ' ' ' Soluión Aplino os e ls propiees e los eterminnte - A un líne (fil o olumn) se le puee sumr o restr otr prlel multiplio por ulquier número sin que vríe el eterminnte - Sí en toos los términos e un líne (fil o olumn) eiste un ftor omún, este se puee sr fuer omo ftor omún el eterminnte { } " " " " " ' ' ' ' ' " " " " " " ' ' ' ' ' ' { } { } " " " ' ' ' " " " " ' ' ' ' " " " " " ' ' ' ' '. ( puntos ) Determinr l rí múltiple e l euión Soluión. { } sno ftor omún e ( ) en l fil ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L rí múltiple es