CAPÍTULO. Aplicaciones

Transcripción

1 CAPÍTULO Aliiones. Longitud de urvs Entre los roblems que dieron origen l integrl, menionmos en el ítulo el de lulr l longitud de un urv, dd omo l gráfi de un funión f./ ontinu en un intervlo Œ; b. f./ b 5 Pr roimr el vlor de l longitud de l urv, tommos un rtiión del intervlo Œ; b < < < < n b esués on los untos Œ ; f. /, Œ ; f. /,, Œ n ; f. n / se trz un líne oligonl u longitud se lul omo l sum de longitudes de los segmentos desde Œ i ; f. i / hst Œ i ; f. i / en donde i ; ; ; n se sumn dihs longitudes omo sigue n.i i / C Œf. i / f. i / i. nek.z.um.m / / 7 n [ ] f.i / f. i / C. i i / i i n C Œf.i / i (.) i i

2 Cálulo integrl En est últim sum i i i ; i denot un unto del intervlo Œ i ; i r el ul se umle el teorem del Vlor Medio r derivds, es deir f. i / f. i/ f. i / i i Es reiso subrr que l funión f./, de l que desemos lulr l longitud de urv, debe tener derivd ontinu en.; b/. Como vemos, l sum en (.) es un sum de Riemnn que roim l siguiente integrl lím n!! n i C Œf. i / i b C Œf./ d En onlusión Si f./ es un funión ontinu en Œ; b on derivd ontinu en.; b/, entones l longitud de l urv f./ en Œ; b es L.f; Œ; b/ b C Œf./ d (.) Ejemlo.. Si f./, lulr l longitud de f./ en el intervlo Œ; 5. H L funión f./ es lrmente ontinu en el intervlo su derivd f./ tmbién. Por lo tnto 5 L.f; Œ; 5/ 5 C ( ) 5 d C 9 d 5 d 5 Ejemlo.. Si f./ m C b, lulr l longitud de f./ en el intervlo Œ; d. H L funión f./ m C b es ontinu tiene or gráfi un ret; su derivd es f./ m, tmbién ontinu en ulquier intervlo, or lo tnto L.f; Œ; d/ C m d C m d C m.d / Observe que d es l longitud del teto horizontl en el triángulo que se muestr. Si denot el ángulo de inlinión de l ret, entones

3 . Longitud de urvs L d L se ; o bien L.d / se d En l euión de l ret m Cb, l endiente m es reismente l tngente del ángulo de inlinión, m tn ; or un identidd trigonométri onoid C tn se ) C m C tn se j se j ; sí que l longitud obtenid on l integrl onuerd on est observión L.f; Œ; d/ C m.d /.d / se Ejemlo.. Pr l funión determine l longitud de urv desde hst >. H Observe que l urv no está definid r vlores negtivos de, ues, ero es l gráfi de un funión ontinu en Œ; u derivd f./ es tmbién ontinu en Œ;. Por l fórmul (.) obtenemos L.f; Œ; / C ( ) d C œ 9 d C 9 u C 9 I u 9 du 9 C u du u 9 9 du 9 d C ( C 9 ) Ejemlo.. Clulr l longitud del ro de urv 6 C, desde hst.

4 Cálulo integrl H L funión f./ 6 C tiene l derivd f./. /, que es ontinu en el intervlo Œ;, or lo que odemos usr l fórmul (.) r obtener l longitud de ro desed. Primero, C [ f./ ] [ ] C. / C. / C. C / Por lo tnto l longitud es L C C C Œf./ d ( C ) ( C C C C. C / C d ) [( ) ( )] [ 9. C / I d ] C 8 Ejemlo..5 L funión f./ tiene or gráfi l semiirunfereni suerior de rdio on entro en el origen, está definid r. f./ Clulr l longitud de est urv. H L funión f./ es ontinu en todo el intervlo Œ ;. Su derivd es f./. /. / ; que es ontinu en. ; /. Podemos entones lir l fórmul (.) r el intervlo Œ ; ( ) L.f; Œ ; / C.f.// d C d C d d d C d Clulmos est integrl imroi dndo un > e integrndo en el intervlo Œ C ;. C d rsen rsen. / rsen. C / g./ C Cundo! C suede! ) rsen. /! rsen I C! C ) rsen. C /! rsen. /

5 . Longitud de urvs 5 Luego entones, lím g./ lím Œrsen. / rsen. C /! C! C C ) ) lím! C C d d onverge! ) ) d Por lo tnto, l longitud de l semiirunfereni on es L.f; Œ ; / d Ejemlo..6 Pr l elise C, esribir l fórmul r enontrr l longitud de l orión de l urv entre & d, donde < d. d H Como neesitmos un funión f./, desejremos de l euión de l elise C ) ) Podemos tomr l ríz ositiv r tener un funión, ues el nálisis r l ríz negtiv es similr. Por lo tnto f./ ; es ontinu en Œ ; su derivd es f./ ; que es tmbién ontinu en. ; /. e quí Entones, C [ f./ ] C L.f I Œ; d/. /. / C. / C. /. / d C. / C. /. / C. / d Est integrl, que no uede ser evlud or métodos elementles, ertenee l lse de integrles elítis. 5

6 6 Cálulo integrl Ejeriios.. Longitud de ro. Soluiones en l ágin 7. eterminr l longitud de ro de l urv. eterminr l longitud de ro de l urv ( C ), desde hst 7., desde hst.. eterminr l longitud de ro de l urv C, desde hst.. eterminr l longitud de ro de l urv C, desde hst eterminr l longitud de ro de l urv , desde hst. 6. Clulr l longitud de ro de l urv 9 ( C ), en el rimer udrnte, desde el unto donde hst el unto donde. 7. eterminr l longitud de ro de l urv eterminr l longitud de ro de l urv f./ ( ) 5 C, desde t C C t 9. eterminr l longitud de ro de l urv 5 C, on. 6 dt, on. hst. 6

7 . Longitud de urvs 7 Ejeriios.. Longitud de ro. Pregunts, ágin u u.. 88 u u u u u u u. 7