Métodos Numéricos 06/09/2017

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1 Métodos Numérios 6/9/7 SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES Clsiiió de Métodos METODO DE BISECCION Por ejemlo: = = = se - e = - / = l 6 - k = Métodos Numérios 7 De itervlo Aiertos Gráio Biseió Regul Flsi Sete Newto Rso Iterió de Puto Fijo Métodos Numérios 7 Se :[,] R, otiu y suoiedo * <. Etoes or T.V.I. Ǝ l meos u e [,] / =. Se = = = ½ + si = etoes = si * < etoes = y = si * < etoes = y = lulmos = ½ + si = etoes = si * < etoes = y = si * < etoes = y = Métodos Numérios 7 ALGORITMO DE BISECCION ENTRADA:,, Es: rel; m: etero SALIDA : : rel o mesje VARIABLES: iter: etero PASO : iter = ; + / PASO : MIENTRAS iter m > Es iter iter + SI * > etoes + / PASO : SI iter > m ENTONCES ESCRIBIR No overge e, m, iter. ESCRIBIR Riz =, PASO: PARAR Teorem error soluto máimo del Método de Biseió Se :[,] R, otiu y suoiedo * <. Etoes or T.V.I. Ǝ l meos u e [,] / =. Se, =,;.. l suesió de roimioes oteids medite el Metodo de Biseio y se e = -, r =,,.. Etoes e / + Métodos Numérios 7 Métodos Numérios 7 5 Métodos Numérios 7 6

2 Métodos Numérios 6/9/7 METODO REGULA FALSI ALGORITMO REGULA FALSI Se : [,] R, otiu y suogmos que * <. Etoes or T.V.I Ǝ l meos u e [,], tl que =. Cosiderdo = y = y = Métodos Numérios 7 7 ENTRADA:,, Es: rel; m: etero SALIDA : : rel o mesje VARIABLES: iter: etero PASO : iter = ; - / - PASO : MIENTRAS iter m > Es iter iter + SI * > etoes + / - PASO : SI iter > m ENTONCES ESCRIBIR No overge e, m, iter. ESCRIBIR Riz =, PASO: PARAR Métodos Numérios 7 8 Métodos Numérios 7 9 Ejemlo: = e [,] 5 METODO DE LA SECANTE Trj o l ret sete l uió, dodo l otió de l ríz Método de Biseió: =.775 = =.78 =.9. 6 Método Regul Flsi 6 =.77 6 = = 6 = 5 Métodos Numérios 7 Métodos Numérios 7 Métodos Numérios 7

3 Métodos Numérios 6/9/7 ALGORITMO DE LA SECANTE METODO DE NEWTON-RAPHSON ENTRADA:,, Es: rel; m: etero Trj o l ediete de l ret tgete SALIDA : + : rel o mesje VARIABLES: iter: etero + / PASO : iter, -,, PASO : MIENTRAS + > Es iter m / iter iter + PASO : SI iter > m ENTONCES ESCRIBIR No overge e, m, iterioes ESCRIBIR Riz =, + PASO: PARAR Métodos Numérios 7 Métodos Numérios 7 Métodos Numérios 7 5 ALGORITMO DE NEWTON RAPHSON ENTRADA : ; Es: rel ;m: etero SALIDA : : soluió o mesje de error VARIABLES: iter: etero PASO : iter =, + * Es PASO: MIENTRAS iter m > Es - / iter iter+ PASO : Si iter > m ENTONCES ESCRIBIR No overge e, m, iterioes ESCRIBIR Riz =, PASO : Prr METODO DE NEWTON-RAPHSON Otr orm de derivr el método es rtir de serie de Tylor i i i i...! Si i+ es ríz etoes i+ = i i i i i i i / i Métodos Numérios 7 6 Métodos Numérios 7 7 EJEMPLO: = e [,] 5 5-5,5,5,5 Método de Sete X =, =, 7 = = Método Newto Rso X =, =.78 = Métodos Numérios 7 8

4 Métodos Numérios 6/9/7 Vetjs Desvetjs METODO DE NEWTON Veloidd de overgei Permite el álulo de ríes omlejs Neesidd de ooer Vlor iiil dee ser róimo l riz No y u riterio geerl de overgei r este método Métodos Numérios 7 9 Ej. = Vlor iiil Vlor luldo Iterioes Prolems l usr Newto-Rso Métodos Numérios 7 Métodos Numérios 7 =, divergei M o mi lol, osilioes Slt de u riz otr muy lejd. U derivd d error ITERACION DE PUNTO FIJO Método que se s e l orm de l uió: = = g + = g =,,... Deiiió: Dd g: [,] R, g otiu y si g =, r lgú [,] etoes g tiee u uto ijo e [,] Si es uto ijo de g es ero de ues g = Ej: = -+ = g= +/ = si = g= si + = e - - = g= e - Métodos Numérios 7 Iterió overgete Métodos Numérios 7 Iterió o overgete Métodos Numérios 7

5 Métodos Numérios 6/9/7 Teorem eistei y uiidd del uto ijo Si g C [,] y g [,] [,]. Si demás g eiste e,, es otiu y g K < [,]. Si [,] etoes l suesió deiid + = g, overge l úio uto ijo [,]. Corolrio : Si g stise ls iótesis del teorem, ls ots de error r roimr está dds or: y or - K m, - K m K Ejemlo: Teorem eistei y uiidd del uto ijo i = g = =,, = -, g = < si < / ii = + g = + ½ g =.5+ -/ < vle si > g o verii teorem g =.7 y g =.6 g verii teorem Por ej. =, = - g g g Métodos Numérios 7 5 Métodos Numérios 7 6 Métodos Numérios 7 7 g i i. =. =.66. =.75. =.9 5. = =.8 Coverge = g i i. =. =.5. = -6. = = = = = = -.5 Coverge = - g i i. =. = 6.5. = = 9.7 No Coverge Algoritmo de Iterió de Puto Fijo ENTRADA : ; Es: rel ;m: etero SALIDA : : rel o mesje de error VARIABLES: iter: etero PASO : iter =, + * Es PASO: MIENTRAS iter m > Es g iter iter+ PASO : Si iter > m ENTONCES ESCRIBIR No overge e m iterioes ESCRIBIR Riz =, PASO : Prr Métodos Numérios 8 7 Métodos Numérios 7 9 Métodos Numérios 7 5

6 Métodos Numérios 6/9/7 ORDEN DE CONVERGENCIA Deiiió: Suogmos que { } es u suesió que overge y que e = r d > Si eiste osttes ositivs, tl que + - e + lim = lim = e deimos que { } overge o orde, o u ostte de error sitótio. Por lo tto: = : método liel = : método udrátio = =.6 = ORDENES DE CONVERGENCIA método de iseió método Regul Flsi iterió de uto ijo método de l sete método de Newto-Rso Métodos Numérios 7 Métodos Numérios 7 Métodos Numérios 7 = e - i i Fi Newto-Rso vs. Iterió de Puto Fijo X+ = e X + e +,5,6566,566,5,56765,965E-7,5679 6,9E- X+ = e - i i Fi,,,7888,67879,7679,69,5975,57,98 5,66,7877 6,5596, ,5796,5758 8,565, ,57,996,56879,9559 Métodos Numérios 7 Ejemlo: α = Ddo X = = e Métodos Numérios 7 5 DE AITKEN Suógse que { } overge lielmete l limite y que, r vlores suiietemete grdes de, > Etoes, l suesió ˆ Coverge o orde udrátio Aeler l overgei de ulquier suesió de orde liel. Métodos Numérios 76 6

7 Métodos Numérios 6/9/7 METODO DE STEFFENSEN Se otiee l lir Aitke l suesió geerd o iterió de uto ijo: Ddo, =g, =g ˆ s,,, y = se RAICES DIFICILES y = E resume: - Los métodos umérios r resolver ríes se divide e iertos y de itervlo - Métodos que us itervlos, eesit dos vlores iiiles que oteg l ríz, tiee grtizd l overgei. Pero so letos Métodos iertos do l otió de l ríz, gdo e veloidd; ero uede diverger. L overgei deede de u ue eleió de los vlores iiiles Métodos Numérios y = - + Métodos Numérios 7 y= Métodos Numérios 7 9 CEROS DE POLINOMIOS Ddo u oliomio, de orde, o oeiietes i, i =,..,... Reordemos: Pr u orde, y ríes reles o omlejs, o eesrimete distits. Si es imr, y l meos u ríz rel. Si ls ríes omlejs eiste, eiste u r ojugdo. Teorem de Aotió de Ríes: Todos los eros de u oliomio se ll e el diso errdo uyo etro está e el orige del lo omlejo y uyo rdio es :, siedo: m Ej: si tommos el oliomio Clulmos: k 6 6 E uió de este vlor ls ríes está el itervlo -, k Método de Horer Métodos Numérios 7 Métodos Numérios 7 Métodos Numérios 7 7

8 Métodos Numérios 6/9/7 8 Algoritmo r lulr P y P Métodos Numérios 7 Método de Newto Rso Ddo el oliomio,, se lul: usdo Horer r lulr y. Medite el roeso de delió odemos lulr todos los eros del oliomio,,,,... ' / Métodos Numérios 7... Método de Muller Clul ls ríes del oliomio,, dode es el orde del oliomio y ls so oeiietes osttes. Este método es u geerlizió del método de l sete, trj o l ráol que iterset l oliomio ddo Ríz estimd X X X X Ríz Práol Métodos Numérios 7 5 Suogmos usr ls ríes de Cosiderdo ddos P, P y P, [, ], [, ] y [, ], etoes: vemos que Métodos Numérios 7 6 Si deiimos: Al reemlzr e el sistem terior: Teiedo omo resultdo los oeiietes: Métodos Numérios 7 7 Pr el álulo de l ríz, : r reveir error de redodeo Este método tmié ermite lulr ríes omlejs, y es más estle que Newto, siedo su orde de overgei.8 Métodos Numérios 7 8