Tema 9. Determinantes.

Transcripción

1 Uidd.Determites Tem. Determites.. Coeptos previos, permutioes. Defiiió geerl de determites. Determite de mtries de orde y orde.. Determite mtries udrds de orde. Determite mtries udrds de orde. Determite de lgus mtries espeiles. Propieddes de los determites. Otros métodos de lulr los determites. Determite de mtriz de orde. Por djutos. Hiedo fils o olums ero. Determite de Vdermode. Cálulo de l mtriz ivers.. Rgo de u mtriz Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

2 Uidd.Determites. Itroduió históri El determite, omo veremos es u operió de ls mtries udrds. Prdójimete se utilizó tes de que ests se desurier. Su ojetivo er el álulo de ls soluioes de los sistems de euioes. El primero e utilizrlo fue el mtemátio Crmer Siglo XVIII), siedo Guss el primero e drle el omre que hoy ooemos. Otros persojes histórios importtes pr el desrrollo de los determites y sus propieddes fuero Vdermode y Cuhy siglo XVIII).. Coeptos previos. Permutioes tes de estudir el determite vemos primero lo que sigifi permutr, oepto de l omitori, que os v servir pr luego defiir el determite. Defiiió: ddo elemetos diferetes, permutioes so ls distits posiles ordeioes de estos elemetos. El ojuto de tods l permutioes se deot omo S y el úmero totl de permutioes es de!-)-) Ejemplos: El ojuto de permutioes de tres elemetos, S, viee defiids por ls siguietes! permutioes: σ id, σ, σ, σ, σ, σ. Defiiió: el ídie de u permutió es el míimo úmero de modifiioes que deemos relizr sus elemetos pr llegr l permutió idetidd, dode todos los elemetos está ordedos de meor myor ejemplo σ id e S ). Se deot omo iσ) dode σ es l permutió Ejemplos: σ iσ ) σ iσ ) permutdo el y el oteemos l permutió idetidd σ iσ ) permutdo el y el, y luego el y el oteemos l permutió idetidd. Defiiió geerl de determite Defiiió: Se ij u mtriz udrd de orde M R)) defiimos omo determite de y se deot omo o det) l siguiete úmero rel: i σ ) det ) ) σ ) σ ) l sum tiee! térmios) σ S Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

3 Uidd.Determites. Determite de Mtries de orde y E este prtdo vmos ver prtir de l defiiió del prtdo terior el vlor del determite de ls mtries y Determite de mtries udrs de orde. Se l mtriz M defiid de form geéri omo prtir de l defiiió:, se umple det ) σ S ) i σ ) σ ) σ ) ) i σ ) ) i σ ) Ejemplos: ) ) B B ) Determite de mtries udrds de orde. De l mism form que e el prtdo terior vemos omo lulr el determite de ls mtries udrds de orde. E este so el úmero de sums será!. Veremos u regl emotéi, regl de Srros, pr reordr omo lulrlo. Se M R) defiido de form geéri omo. tes de plir l defiiió de determite vemos ls permutioes y sus ídies: σ iσ ) pr σ iσ ) impr σ iσ ) pr σ iσ ) impr σ iσ ) pr σ iσ ) pr Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

4 Uidd.Determites Tem elordo por José Luis Lorete rgó De est form: ) ) ) ) ) ) ) ) Regl de Srrus : Ejemplos: ) ) ) ) [ ] [ ] ) ) ) ) ) ) ) ) Ejeriios : Ejeriio pg : ) ) d) ) g) ) ) ) ) )

5 Uidd.Determites Ejeriio pg : ) [ ] [ ] ) [ ) ) ] [ ) )] m e) [ m ) m ) ) ] [ ) ) ) m m] m m m. Determite de lgus mtries espeiles E este prtdo lulremos de form seill el vlor de los determites de lgus mtries udrds espeiles.. Determite de l mtriz ul L mtriz udrd ul es quell e l que todos los oefiietes so ero, se deot omo. ij i,j {,,,} i σ ) ) ) ) σ S σ σ. Determite de l mtriz idetidd Reordemos que l mtriz idetidd es quell dode todos los elemetos fuer de l digol so ulos y los de l digol vle. Id Es fáil ompror que el vlor del determite idetidd es l uidd, veámoslo prtir de l defiiió de determite: Id i σ ) ) ) ) ) σ S σ σ Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

6 Uidd.Determites. Determite de l mtriz digol Mtries digoles so quells dode los elemetos fuer de l digol so ulos, pudiedo vler ulquier vlor los elemetos de l mism. D Es fáil de ver que el vlor del determite de l mtriz digol es igul l produto de los elemetos de l digol. Es fáil demostrrlo prtir de l defiiió de determite. D i σ ) ) σ ) σ ) ) σ S. Determite de l mtriz trigulr Reordemos l defiiió de mtriz trigulr superior e iferior: T s T i El vlor del determite de ls mtries trigulres, tto superior omo iferior, es igul l produto de los elemetos de l digol. L demostrió es más omplid que ls teriores. T s T i. Propieddes de los determites E este prtdo veremos ls propieddes más importtes de los determites, prtir de ls ules será fáil lulr el vlor de los determites de lgus mtries. Pr este prtdo usremos l siguiete otió: M R) formdo por fils,, ) o i fil i-ésim formdo por olums C,,C ) o C i l olum i-ésim. Ejemplo:,, ); C,C,C ) dode y C ), C ) y C ),, Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

7 Uidd.Determites Propiedd : el determite de u mtriz es igul l determite de de l mtriz trspuest: det)det t ) Importte: prtir de est propiedd tods ls propieddes de los determites que relioe olums se ierts tmié pr ls fils y l revés. Propiedd : si los elemetos de u fil o olum) de u mtriz se le multipli por u úmero el determite de l uev mtriz qued multiplido por diho úmero: det,,,k i,, ) kdet,,, i,, ) detc,c,,c i,,c ) kdetc,c,,c i,,c ) Ejemplo: B C B C- Propiedd : Si u mtriz M R) l multiplimos por u úmero k Bk) el determite de l uev mtriz, B, es k vees el determite de : detk)k det) Demostrió: prtir de l propiedd es fáil de ver est propiedd: detk)detkc,kc,,kc )kdetc,kc,,kc ) k detc,c,,kc ) k detc,c,,c ) Ejemplo: B B Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

8 Uidd.Determites Tem elordo por José Luis Lorete rgó Propiedd : Si los elemetos de l olum i-esim o u fil) de u mtriz udrd se puede desompoer omo sum de olums o fils), su determite será igul l sum de los determites de ls mtries que tiee ls demás olums fils) igules y l i-ésim de d uo de ells u de ls olums de l sum det,,, i i,, ) det,,, i,, ) det,,, i,, ) detc,c,,c i C i,,c ) detc,c,,c i,,c ) detc,c,,c i,, C ) Ejemplos: detc,c C,C ) detc,c,c ) detc,c,c ) Propiedd : El determite del produto de mtries udrds es igul l produto de los determites de ms mtries. detb)det)detb) Ejemplo: Propiedd : Si u mtriz permute dos olums fils) su determite mi de sigo. det,,, i,, j,, ) -det,,, j,, i,, ) detc,c,,c i,, C j,,c ) -detc,c,,c j,, C i,,c ) Ejemplos:

9 Uidd.Determites Propiedd : Si u mtriz tiee u fil o u olum formd por eros su determite es ero. det,,,,, ) detc, C,,,, C ) Ejemplo: Propiedd : Si e u mtriz dos fils o olums so igules o proporioles su determite es ero: det,, i,,k i,, ) detc,, C i,,kc i,,c ) Ejemplos : det,, ) ; det,, ) ; detc,c,c ); det-c,c,c ) Propiedd : Se u mtriz udrd dode los elemetos de u fil olum) so omiió liel de ls resttes fils olums) etoes su determite es ero: det,,, λ λ λ i- i- λ i i λ,, ) il i detc, C,, λ C λ C λ i-c i- λ ic i λ C,, C ) Colum i Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

10 Uidd.Determites Ejemplos: det, -,, )det,,, ) det,,, ) det,-,, ) detc,c C -C,C,C )detc,c,c,c )detc,c,c,c )detc,-c,c,c ) Propiedd : si e u mtriz su determite es ero, etoes u fil olum) es omiió liel del resto de fils olums). det) i λ λ λ i- i- λ i i λ C i λ C λ C λ i-c i- λ ic i λ C Colusió: de l propiedd y u fil olum) omiió liel del resto Propiedd : El determite de l mtriz - es / det - ) det ) Se puede demostrr fáilmete prtir de l propiedd : - Id det - )det)det - )detid) det - ) det ) Propiedd : Si los elemetos de u fil olum) se les sum u omiió liel de otrs fils olums) su determite o vrí. det,,, i,, )det,,,λ λ λ i- i- i λ i i λ,, ) Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

11 Uidd.Determites PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES P : det)det t ) P : det,,,k i,, ) kdet,,, i,, ) detc,c,,c i,,c ) kdetc,c,,c i,,c ) P : detk)k det) o M P : det,,, i i,, ) det,,, i,, ) det,,, i,, ) detc,c,,c i C i,,c ) detc,c,,c i,,c ) detc,c,,c i,,c ) P : detb)det)detb) P : det,,, i,, j,, ) -det,,, j,, i,, ) P : det,,,,, ) detc, C,,,, C ) P : det,, i,,k i,, ) detc,, C i,,kc i,,c ) P : det,,, λ λ λ i- i- λ i i λ,, ) il i detc, C,, λ C λ C λ i-c i- λ ic i λ C,, C ) Colum i P : P : det) i λ λ λ i- i- λ i i λ C i λ C λ C λ i-c i- λ ic i λ C det - )/det) P : det,,, i,, )det,,,λ λ λ i- i- i λ i i λ,, ) Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

12 Uidd.Determites Tem elordo por José Luis Lorete rgó Ejeriios ) Clul el determite de ls siguietes mtries: ) ) B B- ) C C- d) D.... D-)- trigulr) ) Clulr el vlor de los siguietes determites prtir de ooer el determite de : det) ) B detb) ) ) C C )

13 Uidd.Determites ) D d) E ) D ) E ) Se,,, ), uyo determite es det)-, lulr el vlor del determites de ls siguietes mtries: ) B,,, ) detb)det,,, )- ) C -,,, ) detc)-det,,, )- det,,, ) - ) D D d) E,,-, ) dete)det,,-, ) det,,-, )-) det,,, ) -)det,,-, )- Ejeriios,,,,,), pg ) ) ) P ) P ) P ) d d d P d d P d d P d d) P d d P d) d P ) ) Si se umple que etoes sus determites so igules:. Por propiedd, - y Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

14 Uidd.Determites Tem elordo por José Luis Lorete rgó ) Si se umple que t Id etoes sus determites so igules: t Id. Por l propiedd y de los determites: t t Id, - ) kk l ser M. ) Si e u determite el úmero de permutioes es pr etoes el determite o mi de vlor. Si el úmero de permutioes es impr etoes el determite mi de sigo. ) Por l propiedd omo M R) etoes ) Si B - por l propiedd B// ) ) P P P Eme de l P..U.: Septiemre C-. Prue Clulr siedo que -Id -Id ) ) ) de ) y de ), sustituyedo e ) - ierto

15 Uidd.Determites Eme de l P..U.: Juio C-. Prue C,C ) B: B CC C,C ) detc)detc C,C )detc,c )detc,c )detc,c ) detbc - )detb)detc - )B/C// Eme de l P..U.: Septiemre C-. Prue M R) B B ) Eme de l P..U.: Juio C-. Prue MC,C,C ) M -C,C C,C ) det-c,c C,C ) det-c,c,c ) det-c,c,c ) -detc,c,c ) detc,c,c ) -detc,c,c )- - -/. Métodos de álulo del determite. Determite de orde. Si queremos lulr el vlor del determite de u mtriz M R) por l defiiió teemos! produtos y si seguro que os equivoremos. Tedremos que usr lgú otro método pr lulr su vlor. Pr eso podemos plir ls propieddes vists e el prtdo terior. Por djutos Pr lulr el determite de u mtriz u método es el de los djutos. El método osiste e tomr u fil o olum, multiplir d elemeto de l fil olum) por el djuto, determite que se otiee elimido l fil y olum de diho oefiiete, multiplido por - si es u elemeto impr filolumº impr) Pr ver omo lulrlo veámoslo o u ejemplo, que desrrollremos por l primer olum y l segud fil: ) ) ) -)----) - ) --) - ) ) Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

16 Uidd.Determites Tem elordo por José Luis Lorete rgó Ver tividdes resuelts del liro pg º Hiedo u fil o u olum de eros Podemos utilizdo l propiedd y her e u fil o u olum todos los elemetos meos uo pivote) se ulos, desrrolldo los determites por djutos sólo otriuye el del pivote, y que el resto multiplidos por. Pr mtizr esté método vemos u ejemplo, luldo el determite de l mism mtriz del ejemplo del prtdo.. Vmos utilizr omo pivote el elemeto, y que vle l uidd que simplifi los álulos) y hremos ero todos los demás elemetos de l primer olum. ) ) Ejeriio: lulr por lguo de los dos métodos teriores Cluládolo - Determite de Vdermode Se llm mtriz de Vdermode tod mtriz de l siguiete form Pr este tipo de mtries se umple - ) - ) - - ) - ) Ejemplo: z y z y z-)z-y)y-)

17 Uidd.Determites Tem elordo por José Luis Lorete rgó Ejeriio y,), ) pg ) ) ) ) ) P P ) ) ) ) ) ) ) ) Vdermode ) ) P ) ) )-). Clulo de l Mtriz Ivers Medite l defiiió de determite y l mtriz djut se puede lulr de form seill l mtriz ivers, e espeil l ivers de l mtries. Proposiió: U mtriz se die regulr, es deir, tiee ivers si su determite o es ero. E so otrrio l mtriz es sigulr: regulr - sigulr / -

18 Uidd.Determites Tem elordo por José Luis Lorete rgó Cálulo de l mtriz ivers, usremos omo ejemplo: ) Clulmos el determite ) Trspoemos t ) djut de l trspuest: t ) d ) Mtriz ivers es ) ) d t Vemos u ejemplo de u mtriz ) ) t ) ) d t ) Ejeriio pg ) )

19 Uidd.Determites Tem elordo por José Luis Lorete rgó d) e) Ejeriio. Clulr que he sigulr l mtriz ) - -, -- ), C Septiemre de. Prue B P P P P- - No soluió R eiste l mtriz ivers de C Septiemre de. Prue B BmId m m B Bm m- m- ± m R-{-,-- } mtriz regulr y por tto eiste B -. Rgo de u Mtriz Defiiió: Meor de orde k de u mtriz M m R) es tod sumtriz o k fils y k olums perteeietes l mtriz Ejemplo:

20 Uidd.Determites Meor de orde Meor de orde, Meor de orde, Meor de orde,,, Defiiió de rgo de u mtriz M m R) es el orde del myor meor o ulo de l mtriz. Es deir el orde del myor meor que o es ulo. Como oteer el rgo de u mtriz: ) Clulmos todos los meor de myor dimesió kmim,)) de l mtriz... Si lgú meor es distito de ero rg)k.. Si todos los meores igules ero rg)<k ) Clulmos los meores de dimesió k-.. Si lgú meor es distito de ero rg)k-. Si todos los meores so ulos rg)<k- ) Esto termi udo lgú meor es distito de ero siedo los luldos tes de myor dimesió ero. Ejemplo: Clulr el rgo de. Clulmos los meores de orde mi,): rg)<. Clulremos meores de orde rg) Tem elordo por José Luis Lorete rgó loretejl@gmil.om)

21 Uidd.Determites Tem elordo por José Luis Lorete rgó C Septiemre de. Prue. Clulr el rgo e fuió de Si -/ y rg) Si /, omo rg)