Matrices. Matrices especiales

Transcripción

1 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI tries triz: ojuto de eleetos ordedos e fils y olus os eleetos puede ser úeros reles o oplejos E este urso solo se osider tries o eleetos reles O s tries so deotds por letrs yúsuls del lfeto (,,, et.) d triz est soido u úero de fils y olus, por ejeplo: de, es deir, l triz de regloes y olus Notió: ] [ ij Dos tries so igules si tiee el iso úero de fils y olus y los eleetos orrespodietes so igules. tries espeiles rigulr Superior rigulr Iferior Digol K K O K O K ero Siétri K Idetidd O K triz rspuest triz trspuest se otiee udo se iteri ls fils por ls olus. trspuest de l triz de orde, os d u triz de orde U triz es siétri si K GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

2 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI K Ejeplos rigulr superior rigulr iferior Digol Idetidd Siétri triz rspuest Operioes eleetles Su de tries Pr poder relizr lo su de dos tries y es eesrio que ests se del ISO ORDEN y d eleeto de lo prier triz se surá o el orrespodiete eleeto de l segud triz lrreos lo terior o l siguiete defiiió: ] [ ] [ ij ij Ejeplo: dds ls tries y efetur su su. GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

3 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI Propieddes: ( ij ij ij ij ij ij [ ] [ ]) [ ] [ ] ([ ] [ ]) () () soitiv [ ij ij ij ij ] [ ] [ ] [ ] outtiv Produto de u triz por u eslr U triz de orde puede ser ultiplid por u úero diferete de ero ddo oo resultdo otr triz del iso orde: El produto de u triz de orde por u ostte o ul α es l triz α de orde que se otiee l ultiplir d eleeto de por l ostte k ddo oo resultdo: α α ij Si α y Propieddes α α ( ) α α ( α β ) α β ( ) α( β) distriutiv αβ soitiv o α R, β R ultipliió de tries Pr ultiplir dos tries y es REQUISIO ( eesrio ) que el úero de olus de l prier triz se igul l úero de fils de l segud triz, oteiedo u triz resultte que estrá ford o el úero de fils de l prier triz y o el úero de olus de l segud triz. Si es el produto de * etoes: * p p GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

4 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI O p p p O p p p O k kj ik ij Ejeplo: lulr el produto de ls tries * de ser posile. Propieddes: ( ) distriutiv ( ) ( ) soitiv ultipliió de tries o es outtiv GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

5 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI Vetores so espeil de tries dode: > y, es deir, est ford por u sol olu, ó y >, es deir, por u sol fil (regló). [ ] trspuest de u vetor fil es u vetor olu y vievers [ ] Su y rest de vetores [ ] [ ] [ ], [ ] - El setido del Vetor - siepre es hi el Vetor que es Positivo. Ejeplo: Ddos los Vetores [ ] y [ ] deterir y [ ] [ ] [ ] GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

6 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI ultipliió de vetores oo so espeil de tries, los vetores sigue s iss regls de ultipliió. Por ejeplo: [ ] { * ultipliió e el orde iverso result: { [ ] O * Ejeplo [ ] y [ ] oteer * y * [ ] ()( ) ( )( ) ( )( ) * [ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ()() ()() ()() * Ejeplo ultiplir * si y [ ] GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

7 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI [ ] [ * ] Note que el produto o puede ser efetudo, pero el produto si puede ser efetudo { { * { { * Ejeplo ultiplir ls siguietes tries: { ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ()() ()() ()() Produto puto de vetores (produto eslr) Ddos dos vetores o el iso úero de eleetos (por ejeplo ), el produto puto de los vetores y deotdo por es u úero rel ddo por: [ ] [ ] Propieddes ( ) ( ) ( ) [] y solo si si positiv defiid distriutiv outtiv α α Ejeplo: Si [ ] [ ] [ ],, Deuestre que ( ) GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

8 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI ( ) ogitud de u vetor Se u vetor de dos eleetos, su logitud deotd por, es el úero o egtivo: [ ] logitud de puede re-esriirse edite el produto puto oo: Nor de u vetor, es l logitud del vetor y está dd por Ejeplo: Si [ ], euetre su or.. Águlo etre vetores Si y Y so dos vetores o opoetes y distitos del vetor ero, el oseo del águlo etre ellos se defie oo: os ( θ ) Y Y GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

9 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI Si el produto puto de los vetores y Y es ero Y, el águlo etre los vetores es ó. Ejeplo: lule el águlo etre los vetores y Y. [ ] y Y [ ] Y os ( θ ). θ. Y Disti etre vetores disti etre dos vetores y Y es l logitud del vetor -Y Y -Y disti etre dos vetores y Y de opoetes est dd por l siguiete epresió: [ ] y Y [ y y y ] d ( Y ) Y ( y ) ( y ) ( ) y, Ejeplo: lule l disti etre los vetores y Y: [ ] Y [ ] Y ( ) ( ) d (, Y ) Y ( ) ( ) ( ) ( ). GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

10 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI ojutos ortogoles de vetores Dos vetores de igul úero de eleetos so ortogoles o perpediulres si el oseo del águlo etre ellos es ero, es deir, dos vetores so ortogoles si y solo si el produto puto etre ellos es ero: Y Ejeplo: Deterie si los vetores [ ] y [ ] so ortogoles. ( )( ) ( )( ) por lo tto so perpediulres Ejeplo: Es el siguiete ojuto ortogol?, [ ] [ ], [ ] GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

11 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI Sistes de euioes lieles E geerl, u siste de euioes lieles e iógits está ddo por: odos los oefiietes y so úeros reles. El prole es eotrr todos los ojutos de úeros, deotdos por ( (,,, ) que stisfg d u de ls euioes Pr el siste geerl hy tres posiiliddes: hy u soluió, hy u úero ifiito de soluioes, o o hy soluioes. étodo de Guss-Jord étodo pr eotrr tods ls soluioes (si eiste) de u siste de euioes lieles o iógits. Resuelv el siste de euioes Esriiedo el siste de euioes e for triil iee l for de Dode l triz es l triz de oefiietes, l triz es l triz de iógits y l triz es l triz de térios idepedietes. Esriiedo el siste oo u triz uetd El étodo de Guss-Jord osiste e reduir l triz de oefiietes l for eslod reduid. GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

12 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI Dividios el prier regló por ultiplios el prier regló por - y se lo suos l segudo; después ultiplios el priero por - y se lo suos l terero Dividios el segudo regló por - ultiplios el segudo regló por - y se lo suos l priero; después ultiplios el segudo regló por y se lo suos l terero. Dividios el terer regló por ultiplios el terer regló por - y se lo suos l segudo, después suos el terer regló o el priero. Est triz está e l for eslod reduid. úi soluió l siste de euioes serí GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

13 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI Ejeplo: Deostrr que el siste de euioes tiee ifiito úero de soluioes. Soluió:, Ejeplo: Deostrr que el siste de euioes o tiee soluió. Eliiió gussi Redue l triz de oefiietes l for eslod, se resuelve pr l últi iógit y luego se us l sustituió hi trás pr resolver pr ls otrs iógits Pr el ejeplo terior Hst quí, el proeso es el iso que se hizo teriorete. ultiplios el segudo regló por y se lo suos l terero. uego dividios el terer regló por De est últi s euioes os quedrí: Resolviedo ests euioes GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

14 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI Sistes de euioes lieles hoogéeos El siste de euioes lieles e iógits se ooe oo hoogéeo si tods ls osttes so ero. ),,, ( Pr el siste geerl hoogéeo siepre es u soluió (lld soluió trivil o l soluió ero), solete hy dos posiiliddes: l soluió ero es l úi soluió o hy u úero ifiito de soluioes deás de l soluió ero. (s soluioes distits de l soluió ero se ooe oo ls soluioes o triviles. Ejeplo: Resuelv el siste hoogéeo triz uetd () ) ( ) ( () ) (,,,, triz uetd está e for eslod reduid y, evideteete, hy u úero ifiito de soluioes dds por ( ),,. GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

15 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI triz Ivers Ivers de u triz. Defiiió: Se die que u triz udrd es ivertile, si eiste u triz o l propiedd de que I Siedo I l triz idetidd. Deoios l triz l ivers de y l deotos por. I étodo de Guss pr eotrr l ivers de u triz Pr lulr l triz ivers de, se esrie l triz uetd [ ] I, y se utiliz l reduió por regloes pr forr l triz idetidd e el lugr de l triz, etoes l triz que se for l dereh de l rr será l triz ivers de. Ejeplo Eotrr l triz ivers de. Priero se ostruye l triz uetd [ ] I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, Por lo que l triz ivers de es l triz del ldo dereho oproió I GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ

16 UNIVERSIDD UÓNO DE NUEVO EÓN FUD DE INGENIERÍ EÁNI Y EÉRI GER INE.. JOSÉ NUE ROH NÚÑEZ.. EIZEH GPE. R HERNÁNDEZ