CURIOSIDADES MATEMATICAS EL TRIANGULO DE PASCAL GENERALIZADO

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1 CURIOSIDADES MATEMATICAS EL TRIANGULO DE PASCAL GENERALIZADO JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO GRUPO DE INVESTIGACIÓN PIRÁMIDE LÍNEA MEDIOS EDUCATIVOS EN MATEMÁTICAS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA. REFERENTE HISTÓRICO Segú Je Pul Collette e su libro Histori de ls mtemátis, plte que el ml llmdo Triágulo de Psl, relmete se le tribuye l mtemátio hio Zhou Jijie (hi 8-), uy obr priipl fue el texto Espejos preiosos de los utro elemetos dedido ls euioes simultáes y ls euioes elevds poteis t lts omo l deimourt. E l meiod obr, Zhou Jijie e sus primers págis plte u triágulo ritmétio (figur ) dode se euetr los oefiietes del biomio hst l otv potei. FIGURA.Profesor Asoido, UPTC. Lieido e Mtemátis. Espeilist e Mtemáti Avzd. Mgister e Eduió.

2 . EL POLINOMIAL: Ddos los úmeros eteros,...,, myores o igules ero, tles que..., se defie el poliomil omo:! )! )!( )!( ( )! )!( (! Ejemplo : Determir el vlor del triomil. )!()! )!( (! ()!()!()!! Ejemplo : Determir el vlor del petomil 8. 8 )! )!( )!( )!( (8 8! ()!()!()!()!()! 8! 8. El oepto de poliomil surge de u pliió suesiv de biomiles. Tomdo omo bse el ejemplo se tiee: x! )! (! x! )! (! )!()!()! (!

3 . PRESENTACIÓN DEL TRIANGULO DE PASCAL GENERALIZADO. TRIANGULO CON COEFICIENTES PARA EL BINOMIO El triágulo de Psl usul (hst séptimo ivel) se preset o biomiles, de l siguiete mer: FIGURA E formto umério: FIGURA

4 . TRIANGULO CON COEFICIENTES PARA TRINOMIOS Se preset el triágulo hst quito ivel: FIGURA Utilizdo los triomiles: FIGURA

5 . TRIANGULO CON COEFICIENTES PARA TETRANOMIOS El triágulo hst quito ivel, se preset sí: FIGURA Utilizdo los tetromiles, se tiee FIGURA

6 . TRIANGULO CON COEFICIENTES PARA POLINOMIOS DE TÉRMINOS ( ) El triágulo geerlizdo es:... FIGURA 8

7 CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE PASCAL GENERALIZADO, SIN UTILIZACIÓN DE POLINOMIALES... CONSTRUCCIÓN DEL TRIANGULO CON COEFICIENTES PARA BINOMIOS Es u ostruió muy ooid, presetd e los textos de lgebr elemetl y e los de grdo otvo de Eduió Bási. Se tiee e uet que d ivel iii o y termi o. El ivel siguiete se obtiee sumdo los térmios respetivos del ivel terior, sí: S e obtiee de sumr los dos térmios del ivel terior respetivos. FIGURA 9 Se dest que este triágulo dej leer el úmero de térmios que debe teer él y los demás triágulos e d ivel. Pr moomios Pr biomios Pr Triomios. Pr tetromios Pr petomios. Pr heptomios. Pr hexomios FIGURA Pr este triágulo, e l figur 9 obsérvese l segud digol (verde), se tiee l suesió:, quiere deir que e el primer ivel tiee térmio, e el segudo ivel térmios, e el terer ivel, e el urto, e el quito y sí suesivmete, omo se puede orroborr e l mism figur. Pr el triágulo orietdo triomios, figur 9 terer digol (zul), se observ l suesió:, se tiee pues que el primer ivel tiee térmio, el segudo ivel tiee térmios, el terer ivel, el urto ivel, e el quito y se sigue o el mismo proeso. Se puede omprr mirdo el triágulo pr triomios (figur ).

8 Pr el triágulo ostruido pr hexomios, sext digol (egro), se preset l suesió, es deir, e el primer ivel tiee térmio, e el segudo ivel térmios, e el terer ivel y se sigue.. CONSTRUCCIÓN DEL TRIANGULO CON COEFICIENTES PARA TRINOMIOS Pr l ostruió de los demás triágulos, se tiee e uet el triágulo de orde terior y se sepr por grupos de l siguiete mer: Grupo ero Grupo uo Grupo dos Grupo tres Grupo utro Grupo io FIGURA Grupo ero: Siempre es de u ifr y es Grupo uo: Su primer fil, es l fil dos del triágulo usul (figur ), es deir. Teiedo e uet el triágulo de psl, e su digol pr biomios dode pree l suesió y tomdo omo pivote l fil, se multipli est primer fil por el úmero respetivo e l suesió pr obteer ls demás fils, es deir, l fil uo del grupo se multipli por y qued el mismo vlor ( ), pr l segud fil se multipli por, queddo ( ), pr l terer por obteiédose ( ) y sí suesivmete se obtiee ls fils que se eesri e este grupo. Grupo dos: Su primer fil, es l fil tres del triágulo usul (figur ), es deir. Teiedo e uet el triágulo de psl, e su digol pr triomios dode pree l suesió, y tomdo omo pivote l fil, se multipli est primer fil por el úmero respetivo e l suesió pr obteer ls demás fils, es deir, l fil uo del grupo se multipli por y qued el mismo vlor ( ), pr l segud fil se multipli por, queddo ( ), pr l terer por obteiédose ( ), pr l urt por resultdo ( ) y sí suesivmete se obtiee ls fils que se eesri e este grupo.

9 Grupo tres: Su primer fil, es l fil utro del triágulo usul, es deir. Teiedo e uet el triágulo de psl (figur ), e su digol pr tetromios dode pree l suesió, y tomdo omo pivote l fil, se multipli est primer fil por el úmero respetivo e l suesió pr obteer ls demás fils, es deir, l fil uo del grupo se multipli por y qued el mismo vlor ( ), pr l segud fil se multipli por, queddo ( ), pr l terer por obteiédose ( ), pr l urt por resultdo ( ) y sí suesivmete se obtiee ls fils que se eesri e este grupo. Grupo utro: Su primer fil, es l fil io del triágulo usul, es deir. Teiedo e uet el triágulo de psl (figur ), e su digol pr petomios dode pree l suesió, y tomdo omo pivote l fil, se multipli est primer fil por el úmero respetivo e l suesió pr obteer ls demás fils, es deir, l fil uo del grupo se multipli por y qued el mismo vlor ( ), pr l segud fil se multipli por, queddo ( ), pr l terer por obteiédose ( 9 ), pr l urt por resultdo ( ) y sí suesivmete se obtiee ls fils que se eesri e este grupo. Grupo io: Su primer fil, es l fil seis del triágulo usul (figur ), es deir. Teiedo e uet el triágulo de psl, e su digol pr hexomios dode pree l suesió, y tomdo omo pivote l fil, se multipli est primer fil por el úmero respetivo e l suesió pr obteer ls demás fils, es deir, l fil uo del grupo se multipli por y qued el mismo vlor ( ), pr l segud fil se multipli por, queddo ( ), pr l terer por obteiédose ( ), pr l urt por resultdo ( 8 8 ) y sí suesivmete se obtiee ls fils que se eesri e este grupo. Si es eesrio diior más grupos, se proede de idéti form l igul que pr hllr sus fils respetivs.. CONSTRUCCIÓN DEL TRIANGULO CON COEFICIENTES PARA TETRANOMIOS Pr l ostruió de los demás triágulos, se tiee e uet u proeso similr, es deir, pr obteer d primer fil de grupo se tiee e uet el triágulo terior (e este so el triágulo pr triomios, figur ), pr obteer ls fils de d grupo se tiee e uet el triágulo de Psl usul (figur ):

10 Grupo ero Grupo uo Grupo dos Grupo tres FIGURA Grupo ero: Siempre es de u ifr y es Grupo uo: Su primer fil, es l fil dos del triágulo pr triomios (figur ), es deir. Teiedo e uet el triágulo de psl usul (figur ), e su digol pr biomios dode pree l suesió y tomdo omo pivote l fil, se multipli est primer fil por el úmero respetivo e l suesió pr obteer ls demás fils, es deir, l fil uo del grupo se multipli por y qued el mismo vlor ( ), pr l segud fil se multipli por, queddo ( ), pr l terer por obteiédose ( ) y sí suesivmete se obtiee ls fils que se eesri e este grupo. Grupo dos: Su primer fil, es l fil tres del triágulo pr triomios, es deir. Teiedo e uet el triágulo de psl usul, e su digol pr triomios dode pree l suesió, y tomdo omo pivote l fil, se multipli est primer fil por el úmero respetivo e l suesió pr obteer ls demás fils, es deir, l fil uo del grupo se multipli por y qued el mismo vlor ( ), pr l segud fil se multipli por, queddo ( ), pr l terer por obteiédose ( ), pr l urt por resultdo ( ) y sí suesivmete se obtiee ls fils que se eesri e este grupo. Grupo tres: Su primer fil, es l fil utro del triágulo pr triomios, es deir. Teiedo e uet el triágulo de psl, e su digol pr tetromios dode pree l suesió, y tomdo omo pivote l fil, se multipli est primer fil por el úmero respetivo e l suesió pr obteer ls demás fils, es deir, l fil uo del grupo se multipli por y qued el mismo vlor ( ), pr l segud fil se multipli por, queddo ( ), pr l terer por obteiédose ( ), pr l urt por resultdo ( ) y sí suesivmete se obtiee ls fils que se eesri e este grupo. Grupo utro: Su primer fil, es l fil io del triágulo pr triomios, es deir. Teiedo e uet el triágulo de psl, e su digol pr petomios dode pree l suesió

11 , y tomdo omo pivote l fil, se multipli est primer fil por el úmero respetivo e l suesió pr obteer ls demás fils, es deir, l fil uo del grupo se multipli por y qued el mismo vlor ( ), pr l segud fil se multipli por, queddo ( ), pr l terer por obteiédose ( ), pr l urt por resultdo ( ) y sí suesivmete se obtiee ls fils que se eesri e este grupo. Si es eesrio diior más grupos, se proede de idéti form l igul que pr hllr sus fils respetivs. Además, los triágulos pr poliomios e geerl se ostruye de form similr. APLICACIÓN DEL TRIÁNGULO DE PASCAL GENERALIZADO AL DESARROLLAR POTENCIAS ENTERAS POSITIVAS DE POLINOMIOS. DESARROLLO DE POTENCIAS DE BINOMIOS Es l pliió típi del triágulo de Psl, e dode iterviee dos térmios, el primero iii o l máxim potei y el segudo o l míim, uo v dismiuyedo l potei y el otro l v umetdo. Ejemplo: desrrollr ( + b) Soluió: Mirdo el triágulo de Psl pr biomios (figur 8 o 9), e el grdo se tiee l suesió y pr el desrrollo se tiee: ( + b) b + b + b + b + b + b + b + b Ddo que los térmios, y b, l respuest se d ormlmete de l form: ( + b) + b + b + b + b + b + b + b Obsérvese que el térmio iiió o su máximo expoete y suesivmete fue dismiuyedo u uidd, mietrs que el otro térmio b, iiió o el expoete ero y fue iremetdo u uidd e d pso, teer e uet que l sum de los expoetes de los térmios siempre es l potei que estmos determido, e este so.

12 Ejemplo: Desrrollr ( x + y) Soluió: Del triágulo de psl usul, se determi que los oefiietes de l urt potei so:, se tiee que: ( x + y ) x + x (y ) + x (y ) + x(y ) + (y Por lo tto el resultdo es: ) 8 ( x + y ) x + 8x y + x y + xy + y. DESARROLLO DE POTENCIAS DE TRINOMIOS Se desrroll de u mer similr que los biomios teiedo e uet dos detlles, e primer lugr hy que utilizr el triágulo pr triomios y e segudo lugr hy que order ls térmios utilizr, es deir pree iiilmete el primer térmio, luego el segudo y filmete el terero. Obsérvese el proeso e el ejemplo siguiete: Ejemplo: Expdir ( + b + ) Soluió: Se v sumir el orde, primero el térmio, segudo b y terero el térmio. Observdo el triágulo pr triomios (figur ) e el grdo tres, se tiee l siguiete suesió:, sí el desrrollo es: ( + b + ) + b + + b + b + + b + b + b +, Observe que pree elevd l máxim potei, luego dismiuye u uidd e el expoete y pree b, luego o el mismo expoete pree. Luego dismiuye uevmete u uidd y se ombi priorizdo b sobre, udo despree, se he l ombiió usul etre b y. Ejemplo: Expdir ( + b + ) Soluió: Observdo el triágulo pr triomios(figur ) e el grdo quito, se euetr l suesió:, por lo tto l expsió será:

13 ( + b + ) + b + b + + b + + b + b b b + b + b + b + + b + b + + b + b + b. DESARROLLO DE POTENCIAS PARA POLINOMIOS Se utiliz el mismo proeso que e el terior, teiedo siempre e uet el orde de ls vribles y el triágulo respetivo. Ejemplo: Expdir ( + b + + d) Soluió: Observdo el triágulo pr tetromios e l urt potei se tiee l suesió, luego l expsió será: ( + b + + d) bd d + d d + d + bd + + b + b + + b + b + + b + b + d + d + b d + b d + b + d d + b + b + d + b + + bd + bd d + b d bd + + b + + b d De mer similr se trbj ulquier poliomio, elevdo u potei eter positiv. BIBLIOGRAFIA: APOSTOL, Tom M. Clulus Volume I. Ed. Reverte S. A. ed. Segud, Brelo, 98. COLLETTE, Je Pul. Segud, Méxio, 98. Histori de ls Mtemátis. Ed. siglo veitiuo editores, ed STANLEY, A. Smith et lter. Algebr, Trigoometrí y Geometrí Alíti. Ed. Perso Eduió, ed. Primer, Méxio, 998.