a es la parte real, bi la parte imaginaria.

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1 CAPÍTULOIX 55 NÚMEROS COMPLEJOS Coocmetos Prevos Supoemos coocdo que: ) El cojuto de úmeros complejos está e correspodec buívoc co el cojuto de los putos de u plo. b) U úmero complejo expresdo e form boml o rectgulr es: N = b = b = b = b = (, b) sedo y b dos úmeros reles, e u símbolo llmdo udd mgr. es l prte rel, b l prte mgr. c) rep reset l bscs y b l orded del puto P del plo que correspode l úmero complejo N. d) L poscó de u puto e el plo puede represetrse e form polr r θ FIG. IX-1 dode r es el m ódulo (dstc l orge) y θ el rgumeto (águlo x r). e) L correspodec etre putos del plo y coordeds polres de los msmos y o es buívoc pr - < θ < puesto que s r θ correspode u puto P, tmbé r θ K π (θ e rdes) o r θ K x 360º ( θ e grdos) represet el msmo puto (s K es etero). A ls dferetes coord eds polres que represet u msmo puto ls llmremos equvletes. f) Dos úmeros complejos so gules s represet el msmo puto del plo: N1 = b N = ' b' N1 = N = '. ; b = b'

2 g) Llmremos r θ úmero complejo e form polr. Lo cosdermos gul exge que: o tmbé r = = r 56 b cudo represet el msmo puto, lo que cos θ b = r se θ ; b = r (cos θ se θ ) b b b ; θ = rc se ; θ = rc tg b h) Dos úmeros complejos so cojugdos cudo tee prtes reles gules y prtes mgrs opuests: b, - b ) L sum y rest de úmeros complejos e form boml se efectú como s fuer expresoes lgebrcs corretes e que fuer u vrble: ( b ) c d = c (b d) j) L multplccó de úmeros complejos e form boml se efectú de cuerdo ls regls usules del álgebr, cosder como u vrble, y substtuyedo por - 1: ( b) (c d) = c d bc bd = = c bd (d bc) Corolro: el producto de complejos cojugdos sólo tee prte rel: ( b) ( - b) = - b = b Corolro: l multplcr úmeros complejos se obtee otro úmero complejo (que puede crecer de prte mgr o de p rte rel) k) L dvsó de úmeros complejos es u opercó vers de l multplccó; por tto el cocete multplcdo por el d vsor es gul l dvdedo: c b = x y d (c d) (x y) = b lo que permte obteer los vlores de x e = y = c x cy dx - dy = b cx cy dy = dx = b c bd x = c d bc d y = c d

3 resultdo l que tmbé se lleg multplcdo umerdor y deom dor por cojugdo del deomdor: b c d ( b)( c d) = ( c d)( c d) c bd ( bc d) = c d 1) Además de represetr u úmero complejo por u puto P del plo, puede represetrse tmbé por el vector OP, que ue el orge co P. Por ello puede hblrse tmbé del vector de u complejo. 57 Propeddes de ls Opercoes co Complejos Teorem IX -1: L sum de dos o más complejos tee u vector que es l sum vectorl de los vectores de los sumdos. Dem.: Se dos complejos N1 = b; N = c d L sum vectorl, trslddo prlelmete el vector de N de form que su orge cocd co el extremo de N 1, os d el vector S cuyo complejo es ( c) (b d) o se l sum de los comple jos. L demostrcó se extede 3 ó más complejos (lo dejmos crgo del lector). Corolro: L dferec de complejos tee u vector que es l dferec vectorl de los vectores de muedo y substredo,

4 58 o be l sum vectorl del vector del muedo co el opuesto del vector del substredo. Teorem IX -: El producto de dos o más complejos tee como módulo el producto de los módulos de los fctores; y como rgume to, l sum de rgumetos de los fctores (o u vlor equvlete). Dem.: Supogmos fctores: N 1 = b = r1 (cos θ 1 se θ 1 ) N = c d = r (cos θ se θ ) N 1N = r 1 r [cos θ 1 cos θ - se θ 1 seθ (seθ 1 cos θ cos θ 1 se θ )] = r 1 r [cos (θ 1 θ ) se (θ 1 θ ) = r 1 r θ 1 θ L demostrcó se extede fáclmete tres o más fctores. Corolro: El cocete de dos complejos tee como módulo el cocete de los módulos y como rgumeto l dferec de rgumetos de dvdedo y dvsor. Teorem IX -3: L potec - sm de u complejo ( rel) es otro complejo, cuyo módulo es l potec eésm del módulo de l bse, y cuyo rgumeto es veces el rgumeto de l bse (u otro equvlete). Dem.: S es turl, e vrtud del teorem teror: ( b) = ( b) ( b)...( b) = r θ Admtremos, s demostrcó, que el teorem se cumple pr culquer vlor rel de. Corolro: b = r θ Porque b = ( b) 1 / Teorem IX - : S es u úmero turl, hy ríces eésms dferetes de u úmero complejo. Dem.: b = r θ ( b) r θ / =

5 59 pero e lugr de θ puede hber culquer vlor equvlete θ K π sedo K etero. El rgumeto de l ríz es: θ Kπ θ K θ θ = = π (e rdes; e grdos: º ) 360 K el segudo sumdo puede tomr los vlores dferetes o equvle tes o 1 π sguete π π π 1 o se vlores. El vlor y es equvlete 0. Todos los demás vlores posbles so equvletes lguo de los expuestos. Ejemplo: ríces curts de -1-1 = - 1 O = º módulo de l ríz 1 = 1 Argume tos de l ríz 180 = = 5º 90º = x360 = 5º x90º = x360 = 5º 3x90º = 315 1º) 5º º) º 3º) º º) º Ríz 1ª 1 5 º = Ríz ª º = - Ríz 3 ª 1 5 º = Ríz ª º = Teorem IX - 5: Ls ríces eésms del úmero rel (cosderdo como complejo O), se puede obteer multplcdo l ríz eésm rel del vlor bsoluto de, por cd u de ls ríces eésms de ± 1 ( ó meos segú el sgo de ).

6 Dem.: Se post vo ; eésms dferetes. r = e el cmpo rel = S es egtvo, l demostrcó es álog. 60 r 1 lo que drá ríces Teorem IX - 6: (Fórmul de Movre): (cos x se x) m = cos m x se mx Dem.: el rgumeto de l bse es x, el módulo es 1. L pote c tee (teor. IX -3) módulo 1 m = 1 y rgumeto mx, por tto e form boml es el º membro de l guldd. Relcó etre Fucó Expoecl y Fucoes Trgoométrcs Teorem IX -7: (fórmul de Euler): X e x = cos x se x Admtremos est fórmul s demostrcó. Puede comprobrse usdo los desrrollos e sere de: e x ; sex y cos x. Corolros: ) S K es turl e π K = 1 b) e (K 1) π - 1 Amplcó de l defcó de Logrtmo Como b = r (cos x se x) = re x = e 1r x y por otr prte N = e 1N, podemos defr que 1 ( b) = 1r x sedo r el módulo y x el rgumeto del complejo b.

7 Complejo elevdo complejo Estmos e codcoes de elevr u úmero complejo b = r x u expoete complejo; obteemos como resultdo u potec que es tmbé u úmero complejo: ( b) c d = (e 1 r x ) (c d) (1 r x) (c d) = e = e m = M N 61 Ejerccos propuestos 1. Hllr ls ríces sexts de 6 y de ; -1 ± 3 ; (R: de 6: ± ; 1 ± de - 6: ± ; 3 ± ; - 3 ± ). Hg los dgrms polres de ls solucoes terores. 3. Hllr tods ls ríces de l ecucó x - x 16 = 0 y represetrls e el plo complejo.