TEMA 2. Métodos iterativos de resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

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1 TEMA : Métodos tertvos de resolucó TEMA. Métodos tertvos de resolucó de Sstems de Ecucoes Leles. Métodos tertvos: troduccó Aplcr u método tertvo pr l resolucó de u sstem S A = b, cosste e trsformrlo e lo que se deom u sstem de puto fjo, que se equvlete l ddo y cuy solucó se prom pso pso. Pr obteer el sstem de puto fjo equvlete l ddo se elge u mtrz M que se fácl de vertr y se escrbe l mtrz A como: A = M + (A M) Etoces el sstem A = b se trsform e: (M + (A M)) = b M = (M A) + b S desgmos N = M-A, qued M = N + b (*). L promcó k-ésm de l solucó,, se obtee, e l tercó k, prtr de l promcó teror (k-) : Es decr: M = N (k-) + b = B (k-) + c Sedo B = M - N = M - (M-A) y c = M - b. Cudo este proceso es covergete el límte de ls promcoes cudo k es l solucó del sstem de puto fjo pltedo y, e cosecuec, del sstem S cl. Los métodos tertvos so más decudos que los métodos drectos pr grdes sstems A = b co mtrz de los coefcetes dspers y que e los métodos drectos los elemetos de l mtrz A se v modfcdo y elemetos que er ulos dej de serlo lo lrgo del proceso de resolucó, metrs que e los métodos tertvos sólo se hce uso de l mtrz orgl A. El error de redodeo o tee tt mportc quí como e los métodos drectos. L solucó obted es promd y hy que estblecer u crtero de prd, depededo de l precsó requerd, del tpo: (k ) E cd tercó, el sstem (*) es fácl de resolver s M es dgol o trgulr, o e geerl fáclmete versble. Est cuestó es fudmetl e l práctc pues, uque o hy que clculr M -, sí es precso resolver sstems leles e los que M es l mtrz de los coefcetes. Ls tres opcoes pr M que preset mejores resultdos so: Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS

2 TEMA : Métodos tertvos de resolucó M = D, dode D es l mtrz dgol cuy dgol es l de A (Método de Jcob) M = L+D, dode L+D es l prte trgulr feror de A (Método de Guss-Sedel) M = L+D/, dode es u úmero elegdo pr podercó (Método de Sobrerreljcó) El Método de Guss-Sedel es u cso prtculr del de Sobrerreljcó cudo se tom =. El método de Sobrerreljcó co 0 < <, se utlz pr obteer l covergec cudo Guss-Sedel o coverge. Se tom < < pr celerr l covergec cudo Guss-Sedel coverge. S w < 0 ó w >, el método de Sobrerreljcó dverge. Observcoes: L precsó de l solucó obted por u método tertvo depederá del úmero de tercoes y de l covergec del método. Todos los métodos tertvos requere u estmcó cl que desgmos por (0) pr comezr l tercó. (0) puede ser culquer vector (-úpl) rbtrro pero s se dspoe de u bue estmcó cl el proceso de covergec se celer. E cso de o dspoer de u bue estmcó cl se puede tomr (0) como el vector 0.. Covergec de los métodos tertvos Como se h dcdo terormete los métodos tertvos solo se puede plcr quellos sstems de ecucoes leles cuys propeddes grtce l covergec, lo que o sempre es posble...defcó Se dce que u sucesó de vectores { } coverge respecto de cert orm y se escrbe lm, (o be, s k ) cudo: k lm 0 k, (o be, 0 s k ) s k respecto de l orm, s y solo s, lo hce compoete compoete, es decr,,,, cudo k. Ls epresoes escrts so depedetes de l orm elegd... Teorem de crcterzcó de l covergec So equvletes:. El método tertvo coverge. Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS

3 TEMA : Métodos tertvos de resolucó Not:. B, pr B = M - N = M - (M-A). 3. B, pr l meos lgu orm mtrcl subordd. El coste opercol de cd pso e los métodos tertvos es del orde de opercoes. Recordemos (tem ) que l resolucó por métodos drectos collev u úmero de opercoes del orde de 3 por lo que los métodos tertvos result retbles s l solucó puede hllrse e bstte meos de psos. 3. Método de Jcob Ddo u sstem S A = b, el método de Jcob cosste e terr el sstem de puto fjo D = (D A) + b, es decr, D = (D A) (k-) + b dode D es l mtrz dgol cuyos elemetos so los de l dgol de A. Observemos que equvle despejr ls cógts de los elemetos de l dgol e S. b 33 b b 33 b S b b Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 3 El método de Jcob se plc sguedo l sguete secuec de psos: Prmer pso: se susttuye e el segudo membro ls cógts por l estmcó cl,,,,, Los vlores obtedos e el prmer membro costtuye l prmer promcó () () =,,, 3, Segudo pso: se susttuye e el segudo membro ls cógts por l promcó obted e el pso teror,,,,, 3 3 Los vlores obtedos e el prmer membro costtuye l segud promcó ()

4 TEMA : Métodos tertvos de resolucó () =,,, 3, y sí sucesvmete. E geerl: k k k k b 33 k k k k b 33 k b k k k Cuádo prmos?: Crtero de covergec (crtero de prd) Se utlz como crtero u cot de l dferec e orm etre dos promcoes (terdos) cosecutvs. (k) Tol (tolerc) O be (k) Tol Como orm hbtul se us l orm del supremo má (k ) (k), es decr Ejercco: Pr el sstem lel Se pde clculr ls dos prmers tercoes pr el método de Jcob, tomdo como estmcó cl (0) =(,,) (Usr 3 cfrs decmles pr redodeo e ls opercoes) 4. Método de Guss-Sedel Ddo S A = b, el método de Guss-Sedel cosste e terr el sstem de puto fjo Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 4

5 TEMA : Métodos tertvos de resolucó (L+D) = (L+D A) + b, Obsérvese que A-(L+D) es l mtrz trgulr superor cuyos elemetos o ulos so los que está por ecm de l dgol superor, es decr, A-(L+D) = U = Luego, l ecucó teror qued de l form (L+D) = -U + b, y ls sucesvs tercoes se obtee medte (L+D) = U (k-) + b b 33 b b 33 b S b b L secuec de psos es semejte l segud e el método de Jcob co l dferec de que los vlores obtedos pr j, j =,,, se utlz pr promr +. Prmer pso: se susttuye e l prmer ecucó del segudo membro ls cógts e egro por l estmcó cl,,, pr obteer, 3 3 A cotucó, se susttuye e l segud ecucó pr obteer,,, Segudmete sustturímos e l tercer ecucó,, ,, pr obteer 3 y sí sucesvmete hst obteer () =,,,, 3 Segudo pso: se procede ecucó por ecucó del sstem de mer álog l prmer pso pr obteer () =,,, 3, y sí sucesvmete. E geerl: Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 5

6 TEMA : Métodos tertvos de resolucó b b (k) (k) (k) 3 3 (k) (k) 3 3 b Se utlz el msmo crtero de covergec (o de prd) que e el método de Jcob. 4.. Teorem S A es u mtrz estrctmete dgolmete domte, etoces pr culquer estmcó cl (0), ls tercoes de Jcob y de Guss-Sedel coverge l solucó del sstem cl S A = b. S A es u mtrz smétrc defd postv, Guss-Sedel coverge sempre l solucó del sstem cl S A = b. 5. Método de Sobrerreljcó S pr u sstem determdo, S A = b, el método de Guss-Sedel coverge, etoces h de verfcrse, e geerl, que cd promcó de cd cógt estrá más cerc de l solucó que pr cd =. (k ) El método de sobrerreljcó se bs e l de de que el proceso de covergec puede (k ) celerrse poderdo l dferec etre los vlores y pr cd =, es decr, = (k ) + d pr cd =, dode d ˆ (deotdo por l promcó obted por el método de (k ) sobrerreljcó y por Susttuyedo y operdo, qued: = (k ) + d = ˆ l que se obtedrí plcdo Guss-Sedel) (k ) (k ) + ˆ ω ωˆ pr cd = (k) = El proceso cosste, e cosecuec, e hllr cd tercó de Guss-Sedel y poderrl co el elegdo. L secuec de psos es l sguete: Prmer pso: prtedo de l estmcó cl (0) se obtee l prmer tercó de Guss-Sedel como se h eplcdo terormete y se l desg Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 6

7 TEMA : Métodos tertvos de resolucó ˆ ˆ, ˆ, ˆ,,ˆ () 3 A cotucó, se hll l prmer tercó de sobrerreljcó segú l fórmul de dcho método ω ω ˆ ω ω ω ω ˆ () (0) () () (0) () ˆ () (0) () 3 segud tercó co Guss-Sedel y l deotmos ˆ () ˆ, ˆ ˆ ˆ, 3,, Segudo pso: co est promcó obted () =,,,, se clcul l y se plc l fórmul de sobrerreljcó pr obteer l segud tercó () =,,,, 3 ω ω ˆ ω ω ω ω ˆ () () () () () () ˆ () () () y sí sucesvmete. Es decr, e geerl: ω ω ˆ ω ω ˆ ω ω ˆ (k) (k) (k) ( ) Y desrrolládol completmete: (k) (k) (k) (k) b 33 ω ω (k) (k) (k ) b ˆ 33 ω ω b ˆ ˆ ˆ (k) ω ω L ecucó mtrcl del método se obtee prtr de l ecucó de sobrerreljcó () Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 7

8 TEMA : Métodos tertvos de resolucó k (k) = ˆ ω ω L solucó Operdo: ˆ de Guss-Sedel se obtee l despejr (L+D) = U (k-) + b e l ecucó L + D = U (k-) + b D = - L U (k-) + b k = = D - (- L U (k-) + b) k k (k) ω ω D ( L U b) k D = k k (k) Dω ω DD ( L U b) D k ω = ω ω k k (k) D L U b D ω ω ω k (k) L DU b El crtero de covergec (o de prd) es el msmo que e los métodos terores. 5.. Teorem S A es u mtrz smétrc defd postv y 0 < <, etoces pr culquer estmcó cl (0), ls tercoes obteds co el método de sobrerreljcó coverge l úc solucó del sstem cl S A = b. 5.. Estmcó del error Prtedo del sstem A = b, se costruye el sstem de puto fjo M = N+b. Despejdo = M - N + M - b y desgdo por B = M - N qued = B + M - b y e cd tercó = B (k-) + M - b co k=. Restdo membro membro: k k B Y, álogmete, k k B( ) Aplcdo que e geerl b b, se verfc: k k k k k k k k k B( ) B Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 8

9 TEMA : Métodos tertvos de resolucó k k k k B Clculdo est últm epresó: k 0 B k k k k k k k k B C B C B B Susttuyedo rrb, se tee: k k k k 0 k 0 B B B B Sempre que B 0, es decr, B. k k B 0 B Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 9