CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas 8.2. Cálculo del área en

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1 CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.. Cálculo de áres e coordeds crtess 8.. Cálculo del áre e coordeds prmétrcs 8.3. Cálculo del áre e coordeds polres 8.4. Cálculo del vlor medo de u fucó Iterpretcó geométrc Vlor medo de u fucó 8.5. Cálculo de l logtud de curv e coordeds crtess Dferecl de u rco de curv Comprcó del rco y de su cuerd 8.6. Cálculo de l logtud de curv e coordeds prmétrcs 8.7. Cálculo de l logtud de curv e coordeds polres 8.8. Cálculo del volume de u cuerpo 8.9. Cálculo del volume de u cuerpo de revolucó Método de dscos Método de ls rdels Método de ls evolvetes clídrcs (cortezs) 8.. Cálculo del áre lterl de u cuerpo de revolucó 8.. Cálculo del trjo medte l tegrl defd 8.. Coordeds del cetro de grvedd 8... Cetro de grvedd de u curv pl 8... Cetro de grvedd de u fgur pl 8.3. Cálculo de mometos de erc medte l tegrl defd Mometo de erc de u curv mterl Mometo de erc de u rr homogée de logtud L respecto su etremo Mometo de erc de u crcuferec mterl de rdo r respecto l cetro Mometo de erc de u círculo homogéeo de rdo r respecto l cetro

2 Cpítulo 8 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd f() d

3 Cpítulo 8 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 8.. Cálculo de áres e coordeds crtess E est seccó vmos trtr de clculr el áre de fgurs pls lmtds por fucoes cotus epresds e coordeds crtess trvés del cálculo de certs tegrles defds. Dstguremos vros csos, de meor myor complejdd, hst llegr l stucó más geerl. ) S l fucó y f() está defd y es cotu e el tervlo [,], verfcdo que f() [,], etoces, como y semos, el áre del trpeco curvlíeo lmtdo por l curv y f(), el eje OX y ls rects vertcles, es gul : A f ) S l fucó y f() está defd y es cotu e el tervlo [,], verfcdo que f() [,], etoces el áre del trpeco curvlíeo lmtdo por l curv y f(), el eje OX y ls rects vertcles, es gul : A Notemos que e est stucó, dedo que f() es o postv e el tervlo de tegrcó, el vlor del áre es o egtvo, por l propedd de mootoí de l tegrl. c) S y f() está defd y es cotu e el tervlo [,] y cm de sgo u úmero fto de veces e el segmeto [,], etoces podemos descompoer l tegrl lo lrgo del tervlo [,] e sum de tegrles lo lrgo de ttos sutervlos como se ecesro pr segurr que e cd uo de ellos l fucó permece co sgo costte. El vlor de l tegrl ( ) f ( ) d d

4 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 43 defd será postv e los sutervlos dode f(), y egtv e quellos dode f(). Así, el áre del trpeco curvlíeo lmtdo por l curv y f(), el eje OX y ls rects vertcles, se clculrá como sum de tegrles defds de l form vst e los csos terores ) o ), segú el sgo costte que pose l fucó e cd sutervlo cocreto. Est stucó puede resumrse e l sguete fórmul geerl, que eglo los csos terores como prtculres: A f ( ) d d) S se dese clculr el áre de l regó lmtd por ls curvs y f(), y g(), cotus e el tervlo [,], y ls rects vertcles,, prmero se clculrá todos los putos e que se cort ls dos fucoes f(), g() detro del tervlo [,]. Etoces, e cd uo de los sutervlos determdos por esos putos de terseccó se comprue qué gráfc se ecuetr por ecm de l otr y se plc e cd uo de ellos l fórmul: A j ( curv que v por rr curv que v por dejo) Este cso es el más geerl, y todos los terores se puede ver como stucoes prtculres de él. L fórmul, escrt e térmos de ls fucoes, quedrí como: d A f ( ) g( ) d Not A veces es tereste cmr los ppeles de ls vrles e y. Co u estudo smlr, el cso geerl d), podrí escrrse e est stucó como: A j ( curv de l derech curv de l zquerd ) dy

5 44 Itroduccó l cálculo tegrl dode hor l tegrcó se relzrá co respecto l vrle y, sedo, por lo tto, los vlores de los límtes de tegrcó vlores de est vrle. Sempre que se pued es recomedle relzr el dujo de l gráfc, lo que os servrá e l myorí de los csos pr decdr l tegrcó que os terese, e respecto l vrle, e respecto l y. Ejemplos ) Clculr el áre de l regó lmtd por l susode y se y el eje OX, cudo π Solucó: Puesto que se pr π, y se pr π π, es ecesro clculr el áre como l sum de dos tegrles defds, segú dchos tervlos. Es decr: A π d se π π se d [ ] π cos + [ ] π π cos ( )+(+) 4 ) Clculr el áre de l regó lmtd por ls curvs y, y

6 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 45 Solucó: Resolvedo el sstem formdo por: y, y, oteemos los putos de corte (,), (,). Además, y v por ecm de y pr vlores de e el tervlo (,). Por tto: A ( ) d 3 [ ] 3/ 3 3 [ ] Cálculo del áre e coordeds prmétrcs Clculemos el áre de u trpeco curvlíeo lmtdo por u curv dd ϕ( t) por sus ecucoes prmétrcs:, cudo, de modo que el y ψ( t) prámetro t vríe etre α t β, co ϕ(α), ϕ(β). Supogmos que ls ecucoes prmétrcs defe u fucó y f() e el tervlo [,]. Por tto, el áre del trpeco curvlíeo lmtdo por est fucó, el eje OX, y ls rects vertcles,, puede ser clculd segú l fórmul:

7 46 Itroduccó l cálculo tegrl d y d Pr clculr el vlor de est tegrl defd, provechmos ls ecucoes prmétrcs pr relzr el cmo de vrle ddo por ells, es ϕ t, de dode d ϕ ( t)dt. Así pues, llevdo este cmo de decr, ( ) A f ( ) vrle l tegrl defd que os proporcorá el vlor del áre y recorddo que y f ( ) f [ ϕ( t) ] ψ( t), de ls ecucoes prmétrcs, llegmos : A β αψ ( t ) ϕ ( t) dt Ést es l fórmul pr clculr el áre de u trpeco curvlíeo lmtdo por u curv dd e coordeds prmétrcs. Ejemplos ) Clculr el áre del domo lmtdo por l elpse, cuys ecucoes cost prmétrcs vee dds por: y set Solucó: Clculremos sólo el áre de l mtd superor de l elpse y l duplcremos, dedo l smetrí estete. Este hecho se utlzrá mucho lo lrgo del presete cpítulo. Como l vrle vrí desde hst, el prámetro t

8 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 47 vrí desde π hst, respectvmete. Por tto, l tegrl defd que os drá el vlor del áre uscd será: π A ( set)( set) dt se t dt π π π cost dt t set 4 π se π π t dt ) Clculr el áre de l regó lmtd por el eje OX y u rco de l cclode ( t set) cuys ecucoes prmétrcs vee dds por: y ( cost) Solucó: Puesto que vrí desde hst π, t vrrá desde hst π. Así, l tegrl defd que os proporcorá el vlor del áre, u vez relzdo el cmo de vrle ddo por ls ecucoes prmétrcs, vee epresd por: π π A ( cost) ( cost) dt ( cost) π π π dt cost dt + cos t dt dt [ t set] π +

9 48 Itroduccó l cálculo tegrl t + π + cos dt π + π + π 3π + t set 4 π 8.3. Cálculo del áre e coordeds polres Se ρ f(θ) l ecucó de u curv e coordeds polres, dode f(θ) es u fucó cotu pr α θ β. Determemos el áre del sector OAB, lmtdo por l curv ρ f(θ) y los rdos vectores θ α y θ β. Sguedo u proceso smlr l relzdo e el cpítulo, dvdmos l regó de l cul queremos clculr el vlor del áre e prtes medte los rdos vectores α θ, θ, Κ, θ β, formdo de est mer ls prtcoes que result llí. Desgemos por θ, θ, Κ, θ los águlos formdos por estos rdos vectores; y se ρ l logtud de u rdo vector correspodete u águlo α culquer, compreddo etre θ, θ. Cosderemos el sector crculr de rdo ρ y águlo cetrl θ. El áre de este sector es gul : A ρ θ y será u promcó umérc del vlor del áre del msmo sector determdo por l fucó ρ f ( θ). S repetmos este proceso de promcó pr todos los sectores e que hemos dvddo el sector orgl OAB, oteemos u promcó del áre totl, s más que sumr tods ests promcoes prcles:

10 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 49 A ρ θ f ( α ) θ Puesto que l sum dcd es u sum correspodete l fucó ρ f ( θ) e el tervlo α θ β, su límte cudo má θ y, por tto, el vlor del áre uscd será l tegrl defd: A β α ρ dθ Not Clculdo el áre del sector curvlíeo medte trpecos curvlíeos, otedrímos el msmo resultdo. Así, el áre del sector OAB será gul : Ejemplos A ρ dθ ) Clculr el áre ecerrd por l lemsct ρ cos θ. Solucó: β α Como recomedmos terormete, relzmos u dujo de l fucó, pr determr vsulmete l regó de l cul queremos clculr el áre. Los vlores de θ vrrá e los tervlos [,π/4], y [3π/4,π], dode l fucó cosθ es o egtv. Además, como l fucó cosθ es smétrc

11 5 Itroduccó l cálculo tegrl respecto l águlo (cosθ cos(θ)), l gráfc dee presetr dch smetrí. Dremos vlores l águlo detro de su domo, dode, demás, l fucó es cotu, queddo su represetcó como se ve e l fgur. A l vst de l gráfc de l fucó, st co clculr el áre de l curt prte que se ecuetr e el prmer cudrte y multplcrl por cutro. E es curt prte, el águlo θ vrí desde hst π/4, y, por cosguete, por tto, π 4 A 4 / ρ d θ π / 4 cosθ dθ A seθ π 4 4 ) Clculr el áre del círculo cuy ecucó e coordeds polres es: ρ R. Solucó: Est fucó es cotu pr culquer vlor del águlo; por tto, θ vrrá e el tervlo [,π]. E vst de l gráfc, plcdo smetrís, A 4 π / dt R / R [ ] t π π R

12 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd Cálculo del vlor medo de u fucó Se y f() u fucó defd y cotu e el tervlo [,]. Desgmos por m el vlor más pequeño que tom f() cudo recorre el tervlo [,]. Aálogmete, se M el vlor más grde. E ests codcoes m f() M, pr todo e el tervlo [,]. Dvdmos [,] e sutervlos, es decr, geermos u prtcó del msmo trvés de los sguetes vlores, < < < < Κ oteedo ls desgulddes: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c M c f m c M c f m c M c f m Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Sumdo memro memro: ( ) ( ) ( ) ( ) M c f m Cudo, se demuestr que l sere tede l tegrl defd ( ) d f. Así, hcedo el límte e ls tres prtes de l desguldd: ( ) ( ) ( ) M d f m Ests desgulddes muestr que el vlor de l tegrl defd es el producto de, logtud del tervlo de tegrcó, por u úmero N compreddo etre m y M, de dode: ( ) ( ) N d f

13 5 Itroduccó l cálculo tegrl Como l fucó y f() es cotu e [,], este l meos u vlor c de l vrle tl que N f(c). Se tee sí: f ( ) d ( ) f ( c) Iterpretcó geométrc Supogmos l fucó y f() cotu e el tervlo [,], de modo que, como hemos vsto terormete, l tegrl defd I f ( ) represet el áre lmtd por l gráfc de l fucó, el eje OX, y ls rects vertcles,, s supoemos, s pérdd de geerldd, que l fucó es o egtv lo lrgo de todo el tervlo. Por ejemplo: d E este cso, el resultdo teror os dce que f(c) es l ltur del rectágulo HA'B'K de se A'B' y de áre gul I.

14 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd Vlor medo de u fucó El vlor teror f ( c) f ( ) d, rece el omre de vlor medo de l fucó f() e el tervlo [,]. Dch otcó se justfc vedo que est fórmul del vlor medo de u fucó o es más que u geerlzcó de l ocó de med rtmétc. Pr ello, descompoemos u vez más el tervlo [,] trvés de u prtcó, < < Κ < <, y cosdermos l sguete sum ft: como U [ f ( ) + f ( ) + + f ( ) f ( ) ] Κ + U I cudo, se deduce que: I [ f ( ) f ( ) + Κ + f ( ) + f ( ) ] f ( c) +, cudo El vlor medo de u fucó prece como el límte de l med f,,...,. rtmétc de ( ) Not El vlor medo de u fucó puede ser postvo o egtvo. S >, el sgo de f(c) es el msmo que el de I f ( ) fucó puede ser ulo s l tegrl defd I es ul. d. El vlor medo de u 8.5. Cálculo de l logtud de curv e coordeds crtess Se y f() l ecucó de u curv pl e coordeds crtess. Busquemos l logtud del rco AB de est curv, compredd etre ls rects vertcles,. Pr ello, como hemos relzdo terormete, costruremos u prtcó del tervlo [,], ecotrremos u

15 54 Itroduccó l cálculo tegrl promcó l logtud de l curv e cd uo de los sutervlos que proporco l prtcó, sumremos tods ess promcoes pr oteer u promcó l logtud complet uscd y, flmete, psremos l límte cudo l logtud del myor sutervlo de l prtcó tede cero, pr ecotrr l fórmul que os permt clculr l logtud de u rco de curv trvés del cálculo de lgu tegrl defd determd. Comezremos, como sempre, relzdo u dujo de l fucó, que podemos supoer, s pérdd de geerldd, o egtv e todo el tervlo [,]. Geermos l prtcó del tervlo [,] tomdo sore el rco AB los putos A, M, M,..., M,..., M, B, cuys scss so, respectvmete,,,...,,...,,. Trcemos ls cuerds AM, M M,..., M B, cuys logtudes desgremos por S, S,..., S, respectvmete. Oteemos sí u líe polgol AM M... M B scrt e el rco AB. L logtud de es polgol que será u promcó l logtud del rco de curv uscd es gul : S S.

16 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 55 El límte l cul tede l logtud de l polgol scrt, cudo l logtud de su ldo myor tede cero, se llm logtud del rco AB, y es el vlor que uscmos, es decr: S S, cudo má S Veremos hor que, s l fucó f() y su dervd f '() so cotus e el tervlo, este límte este y otedremos l fórmul que os permtrá clculr l logtud de curv. Pr ello, troduzcmos l sguete otcó: y f ( ) f ( ) S ( ) + ( y ) + ( y ) ( ) Ahor plcmos el teorem de Lgrge o teorem del vlor medo pr dervds: y f ( ) f ( ) f ( c ), dode < c < Por tto, S + [ f ( c )] De este modo l logtud de l polgol scrt es: S S + [ f ' ( c )] Como por hpótess l fucó f '() es cotu e el tervlo [,], l fucó [ f ' ( )] + tmé será cotu e el msmo tervlo. E

17 56 Itroduccó l cálculo tegrl cosecuec, l sum tegrl escrt tee límte cudo el mámo de los vlores de ted hc cero. Este límte será l tegrl defd: S + [ f ' ( ) ] d Así, hemos otedo l fórmul pr clculr l logtud de u rco de curv: S [ f' ( )] + d + ( dy) ( d) Dferecl de u rco de curv d Prtedo de l fórmul teror, se puede oteer l dervd de l logtud del rco respecto l scs. Cosderdo que el límte superor de tegrcó es vrle y desgádolo por (s cmr l vrle de tegrcó), oteemos l logtud del rco S e fucó de : S() ( dy) + ( d ) d Dervdo est tegrl respecto del límte superor de tegrcó: ds ( dy) + ( ds ) ( ) ( ) d ( d) d + dy ds ( d) + ( dy ) Comprcó del rco y de su cuerd Cosdermos sore el rco AB de l fgur teror dos putos M, N. Nos propoemos comprr l logtud del rco, S, y de su cuerd, C, cudo se hce teder N hc M. Ls compoetes del vector MN (como cuerd) sore los ejes so (, y) C ( ) + ( y).

18 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 57 S es l scs de M el rco AM S( ), y el rco AN S(), de dode se deduce que l logtud del rco MN es: S S() S( ) S. Así, el cocete etre el cudrdo de l logtud del rco y el de l logtud de l cuerd será: R ( ) ( S ) + ( y) S ( ) ( ) ( y) + ( ) S Además, cudo, se tee que y codcoes y. Co todo esto: como querímos demostrr. [ S' ( )] R + y' ds, y e ls msms d Ejemplos ) Clculr l logtud de l crcuferec + y R. Solucó:

19 58 Itroduccó l cálculo tegrl dy d ds + d y y L logtud totl se otee, por smetrí, clculdo l logtud del trozo de crcuferec que se ecuetr e el prmer cudrte, cudo vrí etre y R, y multplcádol por 4. Es decr, R + L 4 + d y 4 y d y R 4 d R R R d 4 R { R set d R cost dt} R π / Rcost 4 π / dt 4R Rcost π dt 4R πr R R se t Rcost R ) Ecotrr l logtud del rco de curv cuy ecucó es correspodete l tervlo 3. 3 y 8, Solucó:

20 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 59 y 3 / dy d 3 / 3 L + 8 d ( 8 ) / d [ 55 9 ], / [( 8) ] 3 + 3) Ecotrr l logtud del rco de curv cuy ecucó es y 8, correspodete l tervlo 4. Solucó: y 8 dy d L + d d + 8 Relzmos el cmo de vrle:

21 6 Itroduccó l cálculo tegrl + t d t 4t ( t ) dt Co este cmo, los vlores que tom l uev vrle de tegrcó so: 3 4 t, t Por tto, L 3 t 4 dt ( t ) 4 3 t ( t ) dt que result ser u cocete de polomos. Utlzmos, pues, el método de descomposcó e frccoes smples, dedo l turlez de los ceros del deomdor: 4t poedo deomdor comú: A + ( t ) t ( t ) t + ( t + ) B ( )( t + ) + B( t + ) + C( t + )( t ) + D( ) 4t A t t Dmos hor vlores l vrle t: t 4 4B B t 4 4D D t A + B + C + D C A t 6 9A + 9B + 3C + D C + 3A + C + D Resolvedo, result que: A, B, C, D, co lo cul:

22 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 6 L dt dt + + t t + ( t ) t + ( ) dt dt Log t t t Log + 4, Log t t t Cálculo de l logtud de curv e coordeds prmétrcs Se ϕ(t), y ψ(t) (α t β), ls ecucoes e prmétrcs de u fucó, dode ϕ(t), ψ(t) so fucoes cotus co dervds cotus e el tervlo ddo, tl que ϕ'(t) e dcho tervlo. E este cso ls ecucoes prmétrcs determ u cert fucó y f() cotu, co dervd cotu de l form: dy ψ ( t) d ϕ ( t) Se ϕ(α), ϕ(β), los vlores etre los que vrí l vrle. Relzmos el sguete cmo de vrle e l tegrl defd que otuvmos pr el cálculo de l logtud de rco e el cso de u fucó dd e coordeds crtess, vst e el prtdo teror: ( t) d ( t) dt ϕ ϕ co lo que, recorddo que y ψ( t), llegmos : L β α [ ψ' ( t) ] [ ϕ' ( t) ] + ϕ ( t) dt β α o L ϕ' ( t) + ψ' ( t) dt

23 6 Itroduccó l cálculo tegrl Oservcó Se puede demostrr que est fórmul coserv su vldez pr ls curvs que so cortds por rects vertcles e más de u puto (e prtculr pr ls curvs cerrds) co l codcó de que ϕ'(t), ψ'(t) se cotus e todos los putos de l curv. Ejemplos ) Clculr l logtud de l hpocclode (strode) cuys ecucoes prmétrcs so: Solucó: 3 cos t 3 y se t Puesto que l curv es smétrc respecto de los dos ejes de coordeds, clculemos l logtud del rco perteecete l prmer cudrte. E él se tedrá: d dt 3cos tset, dy 3se tcost dt

24 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 63 Además, t vrrá etre y π. Por tto, l logtud totl L se clculrá trvés de l tegrl defd: L 4 π / cos tse t + 9 se tcos t dt π / 3 cos se t( cos t + se t) π / 3 set cost dt 3 t dt se t π 3 L 6 ) Clculr l logtud de l cclode geerd por u círculo de rdo. Solucó: Ls ecucoes e prmétrcs de l cclode, cudo el rdo del círculo que l geer es, vee dds por: t set, y cost co t vrdo de π, es decr, cudo el círculo geerdor d u vuelt complet sore sí msmo. Por tto, l logtud de u rco de l cclode será: L π ' + y' π dt ( cos ) π + se t dt π t ( cos ) t dt 4se ( t / ) 4 se( t / ) 4 [ ( ) ] π dt π / dt cos t 8

25 64 Itroduccó l cálculo tegrl Notemos que, s el rdo del círculo que geer l cclode es e geerl dstto de uo, R /, etoces l logtud de u rco de l cclode vee epresd como L 8R. cost 3) Clculr l logtud de l elpse de ecucoes prmétrcs: y set dode el prámetro t vrí etre y π ( > ). Solucó: Dedo l smetrí de l elpse cetrd e el orge co respecto los dos ejes coordedos, clculremos l curt prte del rco, es decr, l logtud del rco que correspode l vrcó del prámetro e el prmer cudrte, desde t hst t π/. L 4 π / se t + cos t π / dt k cos t dt dode k <.

26 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 65 π / Por lo tto, L 4 k cos t dt. Est tegrl o l podemos epresr medte fucoes elemetles, y se puede clculr úcmete por medo de métodos de cálculo umérco por promcó (por ejemplo, utlzdo l fórmul de Smpso). Oservcó S teemos u curv e el espco, dd por sus coordeds prmétrcs ϕ(t), y ψ(t), z θ(t) (α t β), l logtud de uo de sus rcos se defe (de mer smlr que pr u curv pl), como el límte l cul tede l logtud de u líe querd scrt cudo l logtud de su ldo myor tede cero. S ls fucoes ϕ(t), ψ(t), θ(t) so cotus y tee dervds cotus e [α, β], etoces l curv tee u logtud determd (es decr, este el límte dcdo rr), que se clcul medte l fórmul: L β α ϕ' ( t) + ψ' ( t) + θ' ( t) dt Admtmos este últmo resultdo s demostrcó. Ejemplo Clculr l logtud de u rco de l hélce cuys ecucoes e prmétrcs vee epresds como cos t, y set, z mt y dode el prámetro t vrí etre y π. Solucó: Clculmos ls dferecles de ls tres vrles e térmos de l dferecl del prámetro: d se t dt, dy cost dt, dz m dt Por lo tto, susttuyedo e l fórmul:

27 66 Itroduccó l cálculo tegrl L π se t + cos t + m dt π + m dt π + m 8.7. Cálculo de l logtud de curv e coordeds polres ρ f l ecucó de u curv e coordeds polres, dode ρ es el rdo polr y θ el águlo polr. Escrmos ls fórmuls de pso de coordeds polres crtess: Se ( θ) ρcosθ, y ρseθ Al susttur ρ por su epresó, e fucó de θ, oteemos ls ecucoes: ( θ) cosθ, y f ( θ) θ f se Ests ecucoes se puede cosderr como ls ecucoes prmétrcs de l curv y plcr el resultdo teror pr el cálculo de l logtud de u rco de curv. Hllemos, pr ello, ls dervds de, y respecto del prámetro θ: d ( θ ) cosθ f ( θ ) se θ dθ f, dy ( θ ) seθ + f ( θ ) cos θ dθ f d dθ dy + dθ [ ( θ) ] + [ f ( θ) ] ρ + ρ f Ejemplos L ρ' +ρ dθ ) Hllr l logtud del círculo ρ R costte, co t vrdo etre y π.

28 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 67 Solucó: L π R dt ) Clculr l logtud de l crdode ρ ( + cosθ). Solucó: ρ' seθ; por lo tto,

29 68 Itroduccó l cálculo tegrl ( + cosθ) + se θ θ ( + cosθ) dθ ds d cos(θ/) dθ oretdo l curv e el setdo de los θ crecetes, pr < θ < π. Se puede hcer vrr θ de π, y dolr pr teer l logtud totl, porque l curv es smétrc respecto l eje OX. Así, π L cos( θ / ) dθ 8 [ ( ) ] π se 8 θ 8.8. Cálculo del volume de u cuerpo Ddo u cuerpo T, supogmos que se cooce el áre de tod seccó rtrr de este cuerpo por u plo perpedculr l eje OX.

30 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 69 Este áre depede de l poscó del plo secte, es decr, es fucó de, A A(). Supogmos que A() es u fucó cotu de, y clculemos el volume del cuerpo ddo. Trcemos los plos,,,. Estos plos dvde l cuerpo e frjs. E cd tervlo, eljmos u puto rtrro c, y pr cd vlor de,..., costruymos u cuerpo clídrco cuy geertrz se prlel l eje OX y se poye sore el cotoro de l seccó del cuerpo T por el plo c. El volume de tl cldro elemetl, co el áre de l se gul A( c ) (co c ), y l ltur, es gul A( c ). El volume totl de todos los cldros es: V ( ) A c El límte de est sum, s este, cudo má, se llm volume del cuerpo ddo: A ( c ) V, cudo má Puesto que V represet, evdetemete, u sum tegrl correspodete u fucó cotu A() e el segmeto, etoces, el límte dcdo este y se epres por l tegrl defd: V A ( ) d Ejemplo Clculr el volume del elpsode y + + z c

31 7 Itroduccó l cálculo tegrl Solucó: L seccó del elpsode cortdo por u plo prlelo l plo OYZ que se y ecuetre l dstc de éste últmo d l elpse equvletemete, z + c o, y + c z de semejes, c c Pero, como el áre de dch elpse es gul π c, etoces, A() π c De dode se sgue que el volume del elpsode será:

32 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 7 V π c d π c π c Notemos que s c, etoces el elpsode o es d más que u 4 esfer, de volume V π Cálculo del volume de u cuerpo de revolucó S u regó R e el plo OXY se hce grr e toro u eje del plo, geerrá u sóldo llmdo sóldo de revolucó Método de dscos Cosderemos el cuerpo de revolucó egedrdo por u trpeco curvlíeo l grr lrededor del eje OX. E este método supodremos que el trpeco está lmtdo por l curv y f() cotu e el tervlo [,], el eje OX, y ls rects vertcles,. Bjo ests hpótess, tod seccó rtrr del cuerpo por u plo perpedculr l eje de scss es u círculo de áre A πy π [f()]. Aplcdo l fórmul geerl vst e el prtdo teror pr el cálculo de volúmees e geerl, e este cso prtculr otedremos l fórmul del método llmdo de dscos:

33 7 Itroduccó l cálculo tegrl V π y d π [ f ( ) ] d Ejemplo Hllr el volume del cuerpo de revolucó egedrdo por l rotcó de / / y e + e lrededor del eje OX, e el tervlo l cter ( ) compreddo desde hst. Solucó: L cter es u fucó cotu pr todo úmero rel que tom vlores postvos s supoemos que >. Por tto, podemos plcr el método de dscos pr clculr el volume que se pde: / / V π ( e + ) e 4 d / / π ( e + + ) e 4 d π 4 e + e 3 π / / ( e ) e 8 + π

34 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 73 Not El método de dscos se puede eucr tmé cmdo los ppeles de ls vrles e y; es decr, el volume del sóldo de revolucó geerdo por l regó pl lmtd por l gráfc de g(y), el eje OY, y ls rects horzotles y c, y d, l grr lrededor del propo eje OY, vedrá epresdo por: V d π [ g( y) ] c dy Método de ls rdels Cosdermos hor el cso e que l regó cotd por ls rects vertcles, y por ls gráfcs de dos fucoes cotus y f(), y g(), co f() g() pr todo vlor de e el tervlo [,], gr lrededor del eje OX. Etoces, s g() > e todo el tervlo [,], el sóldo tee u hueco o gujero cetrl. El volume V puede clculrse plcdo el método de dscos teror, restdo el volume del sóldo geerdo por l regó pequeñ del volume geerdo por l regó más grde. V π ( ) [ f ( ) ] d π [ g( ) ] d π [ f ( ) ] [ g( ) ] d

35 74 Itroduccó l cálculo tegrl Aálogmete, como e el método de dscos, se puede cmr los ppeles de ls vrles s se hce lrededor del eje OY. Ejemplo Clculr el volume del sóldo de revolucó egedrdo por l rotcó de l regó ecerrd por ls gráfcs Solucó: y, y, lrededor del eje OX. 4 V π ( ) d π 5 5 π 5 3π Método de ls evolvetes clídrcs (cortezs) El volume de u evolvete clídrc de rdo eteror r, de rdo teror r y ltur h es: πr h πr h π ( r + r )( r r ) h π r + r ( ) r r h r Se + r r el rdo medo de l cortez. Etoces, el volume de l cortez es:

36 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 75 V πrh r Se y f() cotu y o egtv e el tervlo [,] pr <. Etoces, el volume del sóldo de revolucó geerdo l grr l regó cotd por l gráfc de y f(), ls rects vertcles,, y el eje OX, lrededor del eje OY, es: V π f ( ) d Ejemplo Oteer el volume V del sóldo formdo hcedo grr l regó lmtd por ls gráfcs de y Solucó: V π 4, y, 4, e toro l eje OY. 5 d π 5 [ ] 4 8π 5

37 76 Itroduccó l cálculo tegrl 8.. Cálculo del áre lterl de u cuerpo de revolucó Dd u superfce egedrd por l revolucó de l curv y f() lrededor del eje OX, clculemos el áre lterl de est superfce de revolucó e el tervlo. Supogmos que l fucó y f() es cotu y tee dervd cotu e todos los putos del tervlo [,]. Trcemos ls cuerds AM, M desgmos por S, S,..., S M,..., M B, cuys logtudes. E su rotcó, cd cuerd de logtud S (,, ) descre u troco de coo, cuy superfce lterl es: P y π + y S Pero, ( ) + ( y ) S ( y ) ( ) +. Aplcdo el teorem de Lgrge, otedremos: Por tto: y f ( ) f ( ) ( ) c f, < c <

38 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 77 S + f ( c ) π + f ' ( c ) P y + y L superfce descrt por l líe polgol es gul : y + y P π + f' ( c ) π [ f ( ) + f ( ) + ' ( c ) ] f () etedd tods ls cuerds de l polgol. El límte de est sum, cudo el ldo myor de l polgol tede cero, se llm áre lterl de l superfce de revolucó. El proceso segudo se puede oservr e l sguete fgur, dode se h dujdo u sóldo de revolucó prtculr, que os srve pr lustrr fáclmete el desrrollo segudo pr l otecó de l fórmul correspodete.

39 78 Itroduccó l cálculo tegrl Nótese que l sum teror o es u sum tegrl de l fucó ( ) + f ' ( ) π f () puesto que e el sumdo correspodete l tervlo [, ] fgur vros putos del msmo, ser,,, c. S emrgo, se puede demostrr que el límte de l sum () es gul l de l sum tegrl de l fucó (), es decr: P π P π [ f ( ) + f ( )] + f' ( c ) f, cudo má ( c ) + f ' ( c ), cudo má Por tto, l superfce lterl uscd, que deotremos por S, es: S o π f + ( ) f ' ( ) Not Ést es l fórmul pr el cálculo del áre lterl de u sóldo de revolucó cudo se rot l regó lmtd por l gráfc de y f() (cotu y co dervd cotu e [,]), el eje OX, y ls rects vertcles,, lrededor del eje OX. S se hce el msmo cálculo grdo l msm regó lrededor del eje OY, l fórmul correspodete es: d S oy π + f ' ( ) d l cul se lleg sguedo u proceso smlr l desrrolldo e el cso teror, cosderdo hor el troco de coo que se geer e l rotcó lrededor del eje OY co ses perpedculres l propo eje OY, y cuy geertrz cocde co l del cso teror.

40 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 79 Ejemplos ) Determr l superfce lterl del prolode egedrdo por l revolucó lrededor del eje OX del rco de l práol y p, correspodete l vrcó de desde hst. Solucó: y p, p y y' + p p S π + p p d π p + p d 3 π p ( p) 3 / + π p [( + p) p ] Nótese que sólo se h elegdo l prte superor de l práol pr clculr l superfce lterl del sóldo egedrdo, y que l grr u vuelt eter lrededor del eje OX geer el sóldo completo. S cosdermos l práol eter, otedrímos, ovmete, el dole de dch superfce lterl. Por últmo, ótese que, s p <, el sóldo egedrdo es el msmo, sólo que colocdo l práol e l otr prte del plo. Por tto, se puede cosderr s pérdd de geerldd el cso e que p >, como se h hecho.

41 8 Itroduccó l cálculo tegrl ) Clculr l superfce lterl de u coo. Solucó: L ecucó de l curv que egedr u coo grdo lrededor del eje OX es l de u rect de ecucó y, dode R R pedete tg α, y. h h Así: h R R R h + R S π y + y' d π + d π h h d h h h h como L h + R es l logtud de l geertrz del coo, πr S h L h πr h L h π R L

42 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd Cálculo del trjo medte l tegrl defd Supogmos que, jo el efecto de u fuerz F, el puto mterl M se desplz lo lrgo de l rect OS y que l dreccó de l fuerz cocde co l del movmeto. Se dese determr el trjo producdo por l fuerz F l desplzr el puto M desde l poscó s hst l poscó s. ) S F es costte, el trjo W se epresrá como W F( ). ) Supogmos que F vrí de form cotu e fucó de l poscó del puto mterl, es decr, es u fucó F(s), cotu e el segmeto s. Dvdmos el tervlo [,] e prtes rtrrs de logtudes s, s,..., s. Elegmos e cd segmeto prcl [ s, s ] u puto rtrro c y susttumos el trjo de l fuerz F(s) e el cmo (,...,) s por el producto F( c ) s. Esto sgfc que e cd tervlo prcl dmtmos como costte l fuerz F, es decr, F F( c ). E tl cso, l epresó F( c ) s pr s sufcetemete pequeño drá u vlor promdo del trjo de l fuerz F lo lrgo del cmo s, y l sum W F ( ) c s será l epresó promd del trjo de l fuerz F e todo [,]. Es evdete que W represet u sum tegrl de l fucó F F(s) e el tervlo [,]. El límte de est sum cudo má s este y epres el trjo de l fuerz F(s) lo lrgo del cmo desde el puto s hst el s. Así: Ejemplos W F ( s) ds ) L compresó S de u muelle helcodl es proporcol l fuerz plcd F. Clculr el trjo de l fuerz F l comprmr el muelle 5 cm, s es precso plcr u fuerz de kp pr comprmrlo cm.

43 8 Itroduccó l cálculo tegrl Solucó: Segú l hpótess, l fuerz F y el desplzmeto s está lgdos por l ecucó F k s, dode k es u costte. Epresmos s e metros y F e klopodos. S s,, etoces F, es decr, k,, de dode k, es decr, F s. Aplcdo l fórmul teror se tee. W 5 s ds. 5 s 5 (,5),5 kpm ) L fuerz F de repulsó etre dos crgs eléctrcs q, q del msmo sgo, qq dspuests u dstc r, se epres medte l fórmul F k, r dode k es u costte. Determr el trjo de l fuerz F pr desplzr l crg q desde el puto A, que se ecuetr l dstc r de q, l puto B, que se hll l dstc r de q. Solucó: Supogmos que q se ecuetr e el puto tomdo como orge. Así: Pr r r W r qq k dr r kq q r kq q r r r r, se tee W qq k r r dr k qq r. S, demás, q, teemos W k crg q ). q r (potecl del cmpo credo por l

44 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd Coordeds del cetro de grvedd Ddo e el plo OXY u sstem de putos mterles P (, y ), P (, y ),..., P (, y ), cuys mss so respectvmete m, m,..., m, los productos m e y m se llm mometos estátcos de l ms m respecto los ejes OY y OX. Desgemos por c, yc ls coordeds del cetro de grvedd (rcetro) del sstem ddo. Ests coordeds se clcul medte ls fórmuls: c m m m (3) m m m y c ym y m y m (4) m m m Utlzremos ests fórmuls pr uscr los cetros de grvedd de dversos cuerpos y fgurs. Se demuestr que, s u sstem de putos se puede sudvdr e u certo úmero de prtes dsjuts, su cetro de grvedd se otedrá prtr de los cetros de grvedd de ls prtes mterles, cd u de ls cules está fectd por l ms totl de l prte correspodete Cetro de grvedd de u curv pl Supogmos que l ecucó y f(),, defe u curv mterl AB. Se d l desdd lel (ms de l udd de logtud de l curv dd, que supodremos gul e todos los putos de l curv) de est curv mterl. Dvdmos l curv e prtes de logtudes s,..., s. Ls mss de ests prtes será gules los productos de sus logtudes por l desdd lel

45 84 Itroduccó l cálculo tegrl m d s. Tomemos u puto rtrro de scs c e cd porcó de l curv s. Tomdo e cd s u puto mterl P [ c, f( c )] de ms d s y susttuyedo e ls fórmuls (3), (4) e y por los vlores c, f( c ), sí como m por d s, otedremos ls fórmuls promds pr determr el cetro de grvedd de l curv: c c d s d s y c f ( c ) d s d s S l fucó y f() es cotu, l gul que su dervd, etoces ls sums del umerdor y del deomdor de cd frccó, prmá s, tee sus límtes gules los límtes de ls sums tegrles correspodetes. De este modo ls coordeds del cetro de grvedd de l curv se epres por medo de ls tegrles defds: c ds ds + + f ' f ' ( ) ( ) d d, y c f ( ) ds f ( ) + f ' ( ) ds + f ' ( ) d d Ejemplo Hllr ls coordeds del cetro de grvedd de l semcrcuferec + y, stud por ecm del eje OX. Solucó: y, dy, d ( dy ) ( d ) ds + d d

46 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 85 c d d [ ] [ rcse ( / ) ] π y c π d [ ] π π π 8... Cetro de grvedd de u fgur pl, y, y ls rects vertcles,, represet u fgur pl mterl. Cosderemos que l desdd superfcl (ms de u udd de áre de l superfce) es costte e gul D e tod l fgur. Dvdmos l fgur dd medte ls rects,,...,, e ds Supogmos que l fgur dd, lmtd por ls curvs y f( ) f ( ) prlels cuys churs so,,...,.

47 86 Itroduccó l cálculo tegrl L ms de cd d será gul l producto de su áre por su desdd superfcl D. Al susttur cd d por u rectágulo de se y ltur + f ( c ) f ( c ), dode c promdmete gul : m D [ ( c ) f ( )] f c, l ms de est d será,,,...,. El cetro de grvedd de est d se ecuetr, promdmete, e el cetro del rectágulo correspodete: f c + f c ( ) c c, ( ) c y ( ) ( ) Loclzdo l ms de cd d e su cetro de grvedd, ecotremos el vlor promdo de ls coordeds del cetro de grvedd de l fgur: c c D D [ f ( c ) f ( c )] [ f ( c ) f ( c )] yc f ( c ) + f ( c ) D [ f ( c ) f ( c )] [ f ( c ) f ( c )] D Psdo l límte cudo, otedremos ls coordeds ects del cetro de grvedd de l fgur dd, covrtédose ls sums fts e sums tegrles:

48 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 87 c [ f ( ) f ( ) ] [ f ( ) f ( ) ] d d, y f c ( ) + f ( ) [ f ( ) f ( ) ] [ f ( ) f ( ) ] Ests fórmuls so válds pr tod fgur pl homogée (es decr, quell co desdd costte e todos sus putos). Como vemos, ls coordeds del cetro de grvedd o depede de l desdd D (pues se h elmdo e el cálculo). Ejemplo Determr ls coordeds del cetro de grvedd del áre ecerrd por l práol y, y l rect vertcl. Solucó: d d f ( ), ( ) f c d d [ ] 3 [ ] 5 3

49 88 Itroduccó l cálculo tegrl y c, puesto que el segmeto es smétrco respecto l eje OX Cálculo de mometos de erc medte l tegrl defd Mometo de erc de u curv mterl P, y P, cuys mss so respectvmete m, m, como semos por Mecác, el mometo de erc de u sstem de putos mterles respecto l puto se determ del modo sguete: Ddo e el plo OXY u sstem de putos mterles (, y ) P (, ),..., (, y ) m,..., I ( + y ) m o I r m co r + y (5) Se l curv AB dd por su ecucó y f(),. Supogmos que est curv es mterl y que su desdd lel es costte e gul d. Dvdmos u vez más l líe e putos de logtudes s,..., s, dode ( ) + ( y ) s Ls mss de ests porcoes so gules los productos de sus logtudes por l desdd lel, es decr, m d s. Tomemos u puto rtrro de scs c e cd porcó de l curv. L orded e ese puto será p f( c ). El mometo de erc de l curv respecto del orge O será, promdmete, segú (5): ( c + p ) m I (6)

50 Aplccoes geométrcs y mecács de l tegrl defd 89 S l fucó y f() y su dervd f '() so cotus, prmá s, l sum (6) tee límte, que se epres como u tegrl defd, determdo el mometo de erc de l líe mterl: [ + f ( ) ] f ' ( ) I d + d (7) Mometo de erc de u rr homogée de logtud L respecto su etremo Colocmos u rr de logtud L sore el eje OX, de tl form que uo de sus etremos cocd co el orge ( L ). E este cso s, m d, r L fórmul (7) tom l form de: I L 3 L d d d (8) 3 S coocemos l ms M de l rr, etoces l desdd lel se puede M epresr como d, y (8) se trsform e: L I ML (9) Mometo de erc de u crcuferec mterl de rdo r respecto l cetro Puesto que los putos de l crcuferec se ecuetr l dstc r del cetro y su ms es m π r d, etoces: I r 3 mr d π ()

51 9 Itroduccó l cálculo tegrl Mometo de erc de u círculo homogéeo de rdo r respecto l cetro Se d l ms de u udd de áre del círculo o desdd superfcl. Dvdmos el círculo e llos. Cosderemos uo de esos llos. Se r su rdo teror y r + r su rdo eteror. L ms m de este llo, clculdo u error ftésmo de orde superor r, será m d π r r. E vrtud del prtdo teror, el mometo de erc de su ms respecto l cetro será promdmete gul : ( I ) d π r r r d π El mometo de erc de todo el círculo, cosderdo como el cojuto de todos los llos, se epresrá medte: 3 r r I 3 d πr r () Psdo l límte, pr má r, otedremos el mometo de erc del áre del círculo respecto su cetro: I R 4 3 R d π r dr π d () S coocemos l ms M del círculo, etoces, l desdd superfcl d se M puede epresr como d. πr Itroducedo este vlor e (), otedremos e deftv: I M R