CAPITULO 1 VECTORES EN R 3

Transcripción

1 CPITULO Nuestrs lms, cuys fcultdes puede compreder l mrvllos rqutectur del mudo, y medr el curso de cd plet vgbudo, ú escl trs el coocmeto fto Chrstopher Mrlowe. ECTORES EN R. Mgtudes esclres y vectorles.. Sstem coordedo trdmesol, gráfco de putos e R.. Álgebr ectorl; sum, producto de u esclr por u vector, propeddes..4 Defcoes mporttes del Álgebr Lel..5 Producto tero, propeddes, proyeccoes y plccoes..6 Producto extero, propeddes y plccoes..7 Productos trples, plccoes.

2 CPITULO ectores e R. MGNITUDES ESCLRES Y ECTORILES Imgémoos que queremos mer el desplzmeto de u puto e el plo. Co u poco de cretvdd podrímos compreder que el rreglo, b serí sufcete pr mer este desplzmeto; dode el úmero rel represetrí l sombr del desplzmeto sobre u ee horzotl cotrol horzotl del desplzmeto y el úmero rel b l sombr de este desplzmeto sobre u ee vertcl cotrol vertcl del desplzmeto; de est form covemos que el pr ordedo, b represet l poscó de u puto y solo uo e R Flosofí de Descrtes. Co gul rzometo u rreglo, b, c represetrí l poscó de u puto e R y sí podrímos coclur que u rreglo,,,.., represet l poscó de uo y solo u puto e R. Mgtudes, como el desplzmeto de u puto e u espco culquer, que ecest de u rreglo umérco pr su detfccó, se llm MGNITUDES ECTORILES y el rreglo umérco que ls represet es l TERN del vector, los úmeros reles que compoe el rreglo so ls coordeds del vector, bo este crtero e Físc teemos mgtudes vectorles como l fuerz, velocdd, celercó, etc. que ecestrí de u ter pr su totl detfccó. Ls mgtudes que co u smple vlor umérco qued totlmete detfcds, como cutro estudtes, dos árboles, cco edfcos, so MGNITUDES ESCLRES y o ecest de u ter pr su detfccó. U puto, u vector o u ter l detfcremos como u mgtud vectorl. Empleremos l sguete otcó pr l rect rel, el plo, el espco trdmesol y el espco dmesol: R o smplemete R pr l rect rel R pr todos los pres ordedos x, y R pr tods ls ters ordeds x, y, z R pr tods ls ters ordeds x, x, x,., x Eemplo - L ter,, -6; represet u vector o puto e R. L ter -, 4, -, 8, 0; represet u vector o puto e R 5. Covemos co los lectores e usr letrs myúsculs pr represetr mgtudes vectorles excepto,, k que se us pr represetr los vectores utros e R y e que usremos pr represetr vectores utros e R, y músculs pr represetr mgtudes esclres. Co este crtero escrbremos l vector e R como: x, y, z o l vector e R como: x, x, x,., x recordr que e l ter el orde de los úmeros reles que l compoe o puede cmbr.

3 . Mgtudes Esclres y ectorles Decmos que dos vectores x, y, z y x, y, z so gules s, y solo s: x x, y y, z z. So prlelos s, y solo s: x x y y z z Propeddes de l guldd vectorl C C Reflexv Smétrc Trstv EL ECTOR CERO, que lo desgremos como φ, será: φ 0,0 Є R φ 0, 0, 0 Є R φ 0, 0, 0,.., 0 Є R NORM DE UN ECTOR Se,,,... Є R II II... L orm de u vector será sempre u úmero rel o egtvo, l orm del vector φ es cero. ECTOR UNITRIO S es u vector utro etoces II II Todo vector, que o se el vector cero, puede hcerse utro dvdédolo pr su orm:

4 4 CPITULO ectores e R,,,... Є R Â Â Los vectores utros so mporttes pr dr l crcterístc vectorl culquer mgtud esclr. Eemplo - Ecotrr u vector utro e l dreccó del vector, -4,, 4, 4 Solucó:, 4,, 4,. SISTEM COORDENDO TRIDIMENSIONL, GRÁFICO DE PUNTOS EN R. Los putos e el espco R puede represetrse de mer álog como se lo hce e el plo crteso. Pr relzr est represetcó escogemos tres rects drgds perpedculres etre sí que se corte e u puto comú del espco, ests rects se ls cooce como: ee x, ee y, ee z, y el puto comú de corte se lo llm orge, como se muestr e l fgur -. Se defe u escl decud sobre cd uo de los ees y se represet los úmeros reles de l ter x, y, z de tl form que el vlor de x se lo represet sobre el ee x, postvos delte del orge y egtvos trás, el vlor y, sobre el ee y, postvos l derech del orge y egtvos l zquerd, el vlor z, sobre el ee z, postvos rrb del orge y egtvos bo es comú llmr este couto de ees como Sstem de Coordeds Crtess e el Espco, l crcterístc de este sstem es que exste u correspodec buívoc etre los putos del espco R y l ter x, y, z.

5 . Sstem Coordedo Trdmesol 5 z y x Fgur - L fgur - represet el gráfco de los putos, -, 5, -,, 6 y, 5, -4 Fgur -

6 6 CPITULO ectores e R. ÁLGER ECTORIL SUM ECTORIL Ddos los vectores:,,,..., R, b, b, b,..., b R, el vector sum ; es el vector defdo por: b, b, b,..., b R CONDICIÓN: Pr que exst l sum vectorl los vectores sumr debe perteecer l msmo espco. Se y dos vectores culquer e R, C es u vector que cerr el polígoo formdo por los vectores y fgur - colocdos uo cotucó de otro, el vector será l dferec etre los vectores C y ; esto es el vector poscó etre los putos C y. Etoces ddos dos putos P x, y, z y P x, y, z el vector poscó etre estos putos o vector P P es: P P x x, y y, z z C Fgur - Propeddes:. Comuttv. C C soctv. φ Idétco dtvo 4. φ ; es el vector opuesto de Cceltv

7 .4 Defcoes Importtes del Álgebr Lel 7 Eemplo - Ddos los vectores, -6,, -, 0, -5 Solucó: -, -6 0, -5, 4, -4 PRODUCTO POR UN ESCLR α Ddo el esclr α R y el vector,,,..., R, el producto por u esclr est defdo por: α α, α, α,..., α R - : opuesto de Propeddes:. α α Comuttv. α β αβ soctv. α β α β Dstrbutvs α α α 4. 0 φ Cceltv Eemplo -4 Ddos los vectores, 5, -, -, -, 7, ecotrr - Solucó:, 5, - --, -, 7 6, 5, -6 6,, -4, 7, -0.4 DEFINICIONES IMPORTNTES DEL ÁLGER LINEL pesr de que o es uestro obetvo estudr los tópcos del Álgebr Lel, es mportte que lcemos certs defcoes de est rm de ls mtemátcs que se cosder mporttes pr l meor smlcó de los coceptos del Cálculo ectorl:

8 8 CPITULO ectores e R ESPCIO ECTORIL Imgémoos que u club uvel orgz u fest pr óvees de mbos sexos etre 8 y 8 ños l cul se le mpoe ls codcoes de cudr e pre y e tre forml, co u poco de esfuerzo podemos otr que e este eemplo hy u couto que so los óvees de mbos sexos etre 8 y 8 ños, y dos codcoes: el teer que cudr e pre y vestr tre forml; como podemos ver est estructur de u couto y dos codcoes defe est fest uvel. De gul form se defe u espco vectorl ; como u couto de obetos que se los llm vectores, uque e lguos csos puede ser mtrces o fucoes, y dos codcoes que so: U opercó deotd co que pr cd pr de vectores, e el espco soc otro vector que tmbé perteece l espco, llmdo sum. U opercó llmd multplccó por u esclr, que pr cd esclr α perteecete R y cd vector perteecete l espco soc u vector α que tmbé perteece l espco. L estructur lgebrc {,,α} defe u espco vectorl. } elemetos ; ; α 44 codcoes SUESPCIO ECTORIL Es todo subcouto de u espco vectorl que cumple co ls msms codcoes de sum y multplccó por u esclr. COMINCIÓN LINEL α α α,..., α Se,,,..., R,, R dcó de l form, culquer lel de los vectores e R. α α α... α se llm combcó

9 .4 Defcoes Importtes del Álgebr Lel 9 Eemplo -5 Escrbr -, 5, -5 como combcó lel de los vectores -,, 0, 0,, - y, 0, Solucó: Ecotremos vlores c, c, c tles que: -, 5, -5 c -,, 0 c 0,, - c, 0, de quí: - -c c 5 c c -5 -c c ; que d como solucó c, c, c - -, 5, -5 DEPENDENCI E INDEPENDENCI LINEL Dd l combcó lel del vector cero: φ α α α... α S α 0 tl que l combcó lel teror, del vector cero, se cumpl,,..., so vectores lelmete depedetes. α, De lo cotrro s l combcó lel teror del vector cero solo es posble 0, etoces se dce que los vectores so lelmete depedetes. Eemplo -6 Demostrr que los vectores, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, so lelmete depedetes. Solucó: 0, 0, 0 α, 0, 0 α 0,, 0 α 0, 0, 0, 0, 0 α, 0, 0 0, α, 0 0, 0, α 0,0,0 α, α, α

10 0 CPITULO ectores e R SE DE UN ESPCIO ECTORIL U bse de u espco vectorl l costtuye el meor úmero posble de vectores lelmete depedetes cpz de geerr todo el espco vectorl, los vectores, 0, 0, 0,, 0, k 0, 0, costtuye u bse de R y se l llm bse cóc de R, e, 0, 0,.,0, e 0,, 0,., 0,. e 0, 0, 0,, costtuye l bse cóc de R. Eemplo -7 Demostrr que los vectores,, k, costtuye u bse e R Solucó:, b, c R, b, c,0,0 0, b,0 0,0, c, b, c,0,0 b 0,,0 c 0,0,, b, c b ck Por lo tto culquer vector e R puede expresrse como u combcó lel de,, k sí:,,4 4k L myor ctdd de vectores lelmete depedetes que se puede defr e u Espco ectorl determ l dmesó del espco..5 PRODUCTO INTERNO, PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCLR Coocdo como o tmbé ; Se:,,,..., R b, b, b,..., b R b b b b R,..., Etoces b

11 .5 Producto Itero Propeddes: b C C Comuttv Dstrbutv de l sum vectorl c φ 0 Cceltv d e Desguldd de Swrtz Demostrcó de l propedd d :,...,... Demostrcó de l propedd e : Se y R IIII IIII cos cos 0 Cos θ por lo tto θ θ IIII IIII El lector debe probr demostrr ls propeddes, b, c. Eemplo -8 Solucó: Ecotrr el producto esclr de los vectores -, 4, -7 y 4 - k - x 4 x 4-7 x -

12 CPITULO ectores e R INTERPRETCIÓN GEOMÉTRIC DEL PRODUCTO ESCLR: E l fgur -4, plcdo l ley del coseo los ldos del trágulo que so ls orms de los vectores, teemos: θ cos plcdo l propedd d del producto esclr: IIII IIII θ cos plcdo l propedd dstrbutv θ cos Como el producto esclr es comuttvo IIII IIII θ cos IIIIIII cos θ θ Fgur -4

13 .5 Producto Itero PLICCIONES. El producto esclr srve pr determr s dos vectores so ortogoles o o. k k k k 0 k k S 0. El producto esclr srve pr ecotrr el águlo que form dos vectores. θ cos Pr ecotrr proyeccoes: Esclr ectorl θ D Proyeccó ectorl D D Proyeccó Esclr Fgur -5 D cos θ D D D D D D Proyeccó Esclr

14 4 CPITULO ectores e R D D Proyeccó ectorl Eemplo -9 Determr l proyeccó del vector, -, 7 e l dreccó P P, dode P,, 4 y P :, 5, - Solucó: D -, 5 -, ,, -5 D,, 5 0 D D ,, 5 4,84, , 7 7 D 5, COSENOS DIRECTORES DE UN ECTOR EN R S es u vector culquer e el espco fgur -6 R, etoces, Como se observ e l γ β Cos α Cos β Cos γ So los coseos drectores del vector α Fgur -6 Esto mplc que: Cos α Cos β Cos γ k

15 .6 Producto Extero 5 Se sugere l lector demostrr ls expresoes de los coseos drectores del vector. Eemplo -0 Demostrr que pr culquer vector: Cos α Cos β Cos γ Solucó: Se,, v v v v ; Cos α v v, v, v ; v v v k v v v Cos γ ; Cos β v v v v.6 PRODUCTO EXTERNO, PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO ECTORIL. R el producto extero, producto cruz o Se y dos vectores del espco producto vectorl deotdo por x, es u vector que tee como módulo o orm: x Se θ Su dreccó es perpedculr l plo formdo por los vectores y y su setdo sgue l regl de l mo derech o del torllo. Propeddes: No es comuttv b C C soctv; sempre que o se cmbe el orde

16 6 CPITULO ectores e R c C C Dstrbutv d 0 φ Cceltv e S es prlelo 0 PLICCIONES:. Pr ecotrr el vector orml otros dos plccó mportte. Pr hllr el áre del prlelogrmo que form vectores. k b b b b b b b b b bk b b k k k b k b k b k b b b k b b b bk b b k b b b,,,, b b b k x k x k k x x -k k x - x k - x x k x k 0 k Fgur -7

17 .7 Productos Trples 7 Eemplo - Determe el producto vectorl de los vectores,, 4;, -, - Solucó:,, 4 x, -, - x k 4 -,, -5 Α x Β represet o mde el áre del prlelogrmo que form los vectores ;, ver fgur -8 θ h IIII se θ re bse x h IIII x IIII seθ II x II Fgur -8.7 PRODUCTOS TRIPLES x C Producto Trple Esclr x x C Producto Trple ectorl C No Exste Cosderdo ls propeddes de los productos esclr y vectorl; exste 6 forms posbles del trple producto esclr, ests so: x C x C x C C x C x C x

18 8 CPITULO ectores e R Probemos que culquer de estos trples productos esclres es u determte; por eemplo el producto x C, b, b b C c, c c,,, C bc bc bc bc bc bc k C b c b c b c b c b c b c C c b b c b c S cmbmos el orde lo úco que ocurre es que se permut dos fls del determte y este cmb de sgo. x C o cmb e tods ls forms posbles, y represet el volume del prlelepípedo formdo por los vectores xc θ θ h C h Cosθ ol. rebse h rebse C ol. C Cosθ ol. C C Fgur -9 EJERCICIOS Pr los prmeros dez problems usr los vectores e R : 4; k; C 4k. Ecotrr IIII, IIII, IICII. ; C; - 5C

19 Eerccos Cpítulo 9. II CII 4. Co qué vlores de α es IIα II? 5. Obteg los vectores utros que teg l msm dreccó de, y C 6. Tomdo y C como vectores poscó de los putos respectvos, grfque dchos putos y compruebe gráfcmete el vector sum C 7. Determe el águlo que form los vectores co ; co C y co C 8. Ecuetre ls proyeccoes esclres y vectorles de sobre y C 9. Ecuetre los coseos drectores de, y C 0. Clcule el áre del prlelogrmo formdo por los vectores y C y el volume del prlelepípedo formdo por, y C. Determe todos los vectores utros perpedculres l plo XZ. Escrb el vector P P como combcó lel de los vectores,, k; s P :,4,7; P : 4,-,6. Se: k, - k y. Determe los esclres s, t, y r; tles que 4 6 k s t r 4. Cuáles so los coseos drectores del vector k? 5. Demuestre l detdd cos cos β cos γ 6. Ddo los vectores 4 6k;,-,, ecotrr u vector perpedculr utro estos dos. 7. Ddos los vectores,, C e b c C C R, dcr cuál de ls sguetes es fls: d / es el áre del trágulo formdo por,. e C C C

20 0 CPITULO ectores e R 8. Hllr el águlo formdo por l dgol prcpl de u cubo y u de sus crs. 9. Clcule el áre del trgulo que tee sus vértces e los putos,,4 ;,,7 ; 4,,6. 0. Ecuetre u vector de compoetes postvs, mgtud y águlos drectores gules.. S l proyeccó vectorl de u vector e l dreccó de u vector utro e es 4e, y l proyeccó vectorl de e l dreccó de e es 5e. Cuál es? : L compoete esclr de sobre e. b L proyeccó vectorl de - sobre e. c L compoete esclr de sobre e.. vergur s los vectores,0; 0,;,- so o o lelmete depedetes.. vergur s los vectores, -, 0; 0,, ;, -5, - costtuye o o u bse de R. 4. vergur s los vectores, 0, ; -,, ; 0,, - costtuye o o u bse e R. 5. Demuestre que, geerlmete, tres vectores e R so sempre lelmete depedetes. 6. Demuestre que culquer couto de vectores que coteg l vector φ es lelmete depedete.