ÁLGEBRA LINEAL Ingenierías ÁLGEBRA II. Unidad Nº 3 LM - PM. Espacios Vectoriales. FCEyT - UNSE

Transcripción

1 ÁLGEBA LINEAL Igeerís ÁLGEBA II LM - PM Udd Nº 3 Espcos ectorles CEyT - UNSE

2 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Udd Nº 3:.- ESPACIOS ECTOIALES Defcó Se A y K, * es Ley de Composcó Exter (L.C.E.) e A co operdores e K s y sólo s * es fcó co domo e el prodcto crteso K A y tom vlores e A, e símolos *: K A A ( α, ) α * Otr form de expresr qe * es L.C.E es: α K, A α A Defcó Se coto o vcío de elemetos llmdos vectores, (,, ) cerpo cyos elemetos se llm esclres y dos opercoes llmds sm de vectores y l mltplccó por esclres (es decr mltplccó de esclr por vector) represetds por y respectvmete. L ter (,, ) es espco vectorl sore cerpo (,, ) s y sólo s se verfc los sgetes xoms:. (, ) es grpo elo, es decr: ), v ; v ( es LCI e ) ), v, w ; ( v) w ( v w) ( es soctv) c) d) : ; (v es elemeto etro), : ( ) ( ) (- es el opesto de ) e), v ; v v ( es comttv)., ; ( es LCE e co esclres e ) 3.,, v ; ( v) v ( es dstrtv respecto l sm de vectores) 4.,, ; ( ) ( es dstrtv respecto l sm de esclres) 5.,, ; ( ) ( ) (soctvdd de l mltplccó por esclres) 6. ; ( es l dd del cerpo ) Nots S (,, ) es espco vectorl sore cerpo (,, ),.- Se expres smplemete dcedo es espco vectorl defdo sore cerpo, y pr smplfcr l otcó se escre Udd

3 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE.- Los vectores de se sele desgr co ls últms letrs del ecedro (e., v, w). 3.- Los esclres del cerpo slmete se desg co ls prmers letrs del ecedro (e.,, c), o ls prmers letrs del lfeto grego (e. α, β, γ). 4.- L sm de vectores es ley de composcó ter e, esto es : (, v) v 5.- L mltplccó por esclres es ley de composcó exter e co esclres e el cerpo. : (, ) A est ley tmé se le deom prodcto por esclres o prodcto de esclr por vector 6.- S e tto l ley de composcó ter e como l ley de composcó ter e se smolz co, ésts represet opercoes dferetes e geerl. Eemplos ) El coto de vectores del plo crteso, represetdos por los pres ordedos de úmeros reles, es espco vectorl sore el cerpo de los úmeros reles (,, ). Dode l sm de vectores del plo rel vee dd por : dode x y v x y (, ) (, ), (, ) y v v def (, ). v x x y y y el prodcto de úmero rel por vector del plo rel está defdo por: : e dode, (, ) def, ( x, y) y ( x, y). Iterpretcó geométrc de l sm y de l rest e el espco vectorl Geométrcmete, cd pr ordedo de úmeros reles (x, y) se pede terpretr como pto del plo crteso, y tmé como vector cyo orge es el orge de coordeds y s extremo el pto (x, y). Por lo tto l sm de dos vectores ( x, y) y v ( x, y) de, vee defdo por el vector v ( x x, y y), el cál geométrcmete represet l dgol del prlelogrmo de ldos y v qe cotee l orge de mos vectores, como se pede oservr e l gr. Co respecto l rest de vectores, e todo grpo está defd por v (-v). Udd

4 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE E est stcó, como ( x, y) y v ( x, y), y el opesto de v es v ( x, y), se tee v ( v) ( x, y ) ( x, y ) ( x x, y y ) Así, l dgol del prlelogrmo de ldos y v qe e los extremos de mos vectores, represet l vector lre v co orge e el extremo del vector v y extremo e el extremo del vector, como se pede oservr e l gr. (,3), v (, ) gr Iterpretcó geométrc de prodcto de esclr por vector El prodcto de esclr x y (, ). x y, por vector (, ) vee ddo por el vector El vector tee dstts crcterístcs segú se el vlor del esclr. E l Tl, se descre el comportmeto del vector pr los posles vlores de. es gl l vector lo (,) es gl l vector < < gl setdo y dreccó de, pero de meor logtd qe > gl setdo y dreccó de, pero de myor logtd qe Udd 3

5 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE - < < < - gl dreccó, pero setdo cotrro y meor logtd qe gl dreccó, pero setdo cotrro y myor logtd qe Eemplo Los vectores v (, ), geométrcmete e l gr Tl v (4, ) y v (-, - ) se pede vslzr gr ) El coto 3 {( x, y, z) / x, y, z } de vectores del espco, represetdos por los ters ordeds de úmeros reles, es espco vectorl sore el cerpo de los úmeros reles (,, ). L sm de vectores de 3 es ley de composcó ter dd por : (, v) v e dode ( x, y, z) y v ( x, y, z) 3 y l sm de y v está defd por def v ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x x, y y, z z ) y el prodcto de esclr rel por vector de 3 es ley de composcó exter co esclres e el cerpo de los úmeros reles dd por : x 3 3 (, ) E dode ( x, y, z) 3 y el prodcto de esclr y el vector está defd por Udd 4

6 Not def ( x, y, z) ( x, y, z) Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE E l gr 3 se mestr l represetcó de vector (,, c ) 3 gr 3 c) E geerl, pr N, el coto de ls -pls ordeds de úmeros reles es espco vectorl sore el cerpo de los úmeros reles (,, ) co l sm de -pls y el prodcto de úmero rel por -pl. E Símolos: {(,,, )/,,,, } veces L sm de -pls es ley de composcó ter defd del sgete modo, : x (, v) v v, se defe s (,,, ), (,,, ) def v,,,,,,,,, ( ) ( ) ( ) El prodcto de esclr por -pl es ley de composcó exter : ( α, ) α defd como sge Udd 5

7 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE s α ( ), α α ( ) ( α α α ),,,, def,,,,,, Oservcó Es clro qe pr, es espco vectorl, es el espco vectorl del coto de los reles sore el cerpo de los úmeros reles. Geométrcmete los vectores de este espco vectorl se represet e l rect rel. m d) El coto de ls mtrces reles qe tee m fls y colms es espco vectorl sore el cerpo de los reles (,, ) co l sm de mtrces y l mltplccó de úmero rel por mtrz. E símolos: L sm de mtrces es ley de composcó ter e defd del sgete modo, s A, B : m m m ( A, B) A B m, def A B, m esto es, L mltplccó de esclr rel por mtrz es ley de composcó exter defd por : m m ( α, A) αa, s α, A m, se defe def α Aα α e) Se cerpo y se X coto o vcío. Se el coto X formdo por ls fcoes co domo X y co vlores e, esto es X {f / f : X } Ls sgetes opercoes defe sore X cerpo (,, ) Sm:, Prodcto: f f g X ( )( ) ( ) ( ), f g x f x g x x X X ( )( ) ( ), estrctr de espco vectorl sore el f x f x x X Es clro qe l sm y el prodcto está e defdos, y qe f, g X f g X f X f X Udd 6

8 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Es decr qe l sm es ley de composcó ter e X, y qe el prodcto es ley de composcó exter e X co esclres e el cerpo. Es fácl mostrr qe efectvmete el coto X co ests opercoes es espco vectorl sore el cerpo (,, ) POPIEDADES DE LOS ESPACIOS ECTOIALES Proposcó Se espco vectorl sore cerpo El esclr, mltplcdo por clqer vector de es gl l vector lo de. E símolos, ; Demostrcó Se α y, etoces α ( α ) () α α () α α (3) (4) eferecs: () El es elemeto etro dtvo e el cerpo. () Por Axom 4 de espco vectorl. (3) El vector lo es el elemeto etro dtvo e el espco vectorl. (4) le l ley cceltv e el grpo elo (, ). Proposcó Clqer esclr del cerpo mltplcdo por el vector lo de es gl l vector lo de. E símolos, α ; α Demostrcó Se α y, etoces α α ( ) () α α α () α α α (3) α (4) eferecs: () El vector lo es elemeto etro dtvo e el espco vectorl. () Por xom 3 de espcos vectorles. (3) El vector lo es el elemeto etro dtvo e. (4) le l ley cceltv e el grpo elo (, ) Udd 7

9 Proposcó 3 Clesqer se α y, se verfc ( α ) α ( ) α ( ) Demostrcó ) Se α y, etoces Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE α, lego por ser (, ) grpo se tee - (α ) y se verfc Además De (I) y (II) reslt α [- (α )] [- (α )] α α (-α) (I) ( ) (α (-α)) ( ) ( 3) (II) α (-α) α [- (α )] y por l ley cceltv e el grpo (, ) es, (-α) - (α ) eferecs: () Por el xom 4 de espco vectorl. () E el grpo elo (,), elemeto más s opesto es gl l esclr cero. (3) Por Proposcó. ) Se α y, etoces α, lego por ser (, ) grpo se tee - (α ) y se verfc Además De (I) y (II) reslt α [- (α )] [- (α )] α α α (- ) ( ) α ( (- )) ( ) α α α (-) α [- (α )] Y por l ley cceltv e el grpo (, ) es, α (-) - (α ) (I) ( 3) (II) eferecs: () Por xom 3 de espco vectorl. () E el grpo elo (,): elemeto más s opesto es gl l vector lo. (3) Por Proposcó. Proposcó 4 Clqer se se verfc (-) - Demostrcó Por proposcó 3, s se tom α - se tee (-) - ( ) - Udd 8

10 Proposcó 5 Clesqer se α y, se verfc qe α α Demostrcó Se α y tles qe α α, etoces Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE α α α α α α ( ) ( ) () () (3) (4) eferecs: () Y qe α, exste α -. Se mltplc e mos memros por α - () Por xom 5 de espco vectorl y por Proposcó. (3) E el grpo elo (-{}, ), cd elemeto por s verso es gl l dd (4) Por xom 6 de espco vectorl Proposcó 6 Clesqer se α y, v, se verfc qe α ( v) α α v. Demostrcó Se α y, v, etoces α ( v) α ( ( v)) α α ( v) α ( α ( v)) α α v () () (3) (4) eferecs: () Por defcó de rest de vectores () Por xom 3 de espco vectorl (3) Por Proposcó 3 (4) Por defcó de rest de vectores. - SUBESPACIOS ECTOIALES Defcó Se espco vectorl y se S scoto o vcío de ( S S ). S es sespco vectorl de s y sólo s S co l ley de composcó ter y l ley de composcó exter defds e pero restrgds S es espco vectorl. Eemplos Se el espco vectorl. So sespcos vectorles de : Los cotos {(,)} y. Tod rect qe cotee l orge. Por eemplo: El ee OX, qe vee represetdo lítcmete por { } S X ( x, y) / y Udd 9

11 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE El ee OY, qe vee represetdo lítcmete por T Y {( x, y) / x } L prmer sectrz, qe está represetd lítcmete por {( x, y) y x} H / Nots.- S S es sespco vectorl de, se deotrá S..- S S es sespco vectorl de, los cotos { } trvles de. v y so sespcos vectorles Proposcó Se espco vectorl y se S scoto o vcío de. So codcoes ecesrs y sfcetes pr qe S se sespco vectorl de, qe S se cerrdo pr sm de vectores y pr el prodcto por esclres. E símolos Demostrcó S ) ) ) Ls codcoes so ecesrs., v S v S α S α S ), v S v S S ) α S α S Por hpótess S es sespco vectorl de, etoces por Defcó reslt qe S es espco vectorl. Por lo tto ) l sm es ley de composcó ter e S, es decr qe se verfc ). ) el prodcto por esclres es ley de composcó exter e S co esclres e, por lo tto se verfc ). ) Ls codcoes so sfcetes. Hpótess espco vectorl S S ), v S v S ) α S α S Udd

12 Tess : S Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE ) S ) S 3) ( S, ) es grpo elo 4), S; S 5),, v S; ( v) v 6),, S; ( ) 7),, S; ( ) ( ) 8) S; E efecto ) S, por hpótess ) S, por hpótess 3) (S, ) es grpo elo. E efecto L codcó ) os dc qe es ley de composcó ter e S. es soctv, y qe se verfc por herec pesto qe S. S : S; E efecto, por hpótess ) α S α S, etoces pr α S se tee S S. Prop de Esp ect S; S : ( ) ( ) Por hpótess ) α S α S Lego tomdo α S, reslt ( ) S S. Prop 4 Espect es comttv e S. Se verfc por herec, pes S. 4), 5), 6), 7) y 8) se verfc por herec, pes S. Q.E.D. OPEACIONES CON SUBESPACIOS ECTOIALES Proposcó Se espco vectorl y se S, S dos sespcos vectorles de etoces S S es tmé sespco vectorl de. Udd

13 Demostrcó Por defcó, def { / } S S v v S v S Este coto es sespco vectorl de, e efecto,. S S por defcó de S S.. S S, y qe: Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE S S S S S S 3., v S S v S S E efecto,, v S S, v S, v S () () v S v S v S S () (3) eferecs: Complete el lmo () () (3) α S S α S S 4. α S S α S S () () α S α S α S S () (3) eferecs: Complete el lmo () () (3) Lego por.,., 3., y 4. se tee qe S S es sespco vectorl de. Q.E.D. Proposcó 3 Se espco vectorl y se S y S dos sespcos vectorles de. Etoces l sm de S y S es tmé sespco de. E símolos, S S S S Demostrcó def Se defe S S { v / v v v, v S v S } Udd

14 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Es decr, el coto S S está formdo por todos los vectores de qe se pede descompoer como sm de dos vectores v S y v S.. S S por defcó de S S S S S S v. S S, pes v v v v v, v S S v S S 3. E efecto, v v S S v v co, v S, v S v ) ( v ), co, v S, v S ( v v v ) ( ), co v S v S α ( v 4. S S S S E efecto, α, S α α ( S α ) α α α, v S S co α, co S α S S Lego α S S De.,., 3. y 4. se tee qe S S es sespco vectorl de. S Q.E.D. Oservcó: L ó de sespcos vectorles e geerl o es sespco vectorl. Cotreemplo: Se el espco vectorl, y se los sespcos vectorles {( ) } y S {( x, y) / y } S x, y / y x etoces l ó de estos dos sespcos es el coto Es clro qe, S S {( ) } S S x, y / y x y, por defcó de S S, S S, pes (,) S S Pero, S S o es cerrdo pr l sm de vectores, y qe (, ) S S (, ) S S, s emrgo (, ) (, ) (, ) S S Por lo tto S S o es sespco vectorl de. Udd 3

15 COMBINACIONES LINEALES DE ECTOES Defcó Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Se espco vectorl y se A scoto (fto o fto) o vcío de. Se,,, vectores de A dferetes etre sí y α, α,, α elemetos clesqer del cerpo. Se deom comcó lel de vectores del coto A co esclres del cerpo l expresó α α α α () Es clro qe l efectr ls opercoes dcds e () se otee como resltdo vector del espco vectorl. Se v tl vector, es decr v α α α α Al vector v se le llm vlor de l comcó lel. Tmé se dce qe v se h otedo por medo de l comcó lel de vectores del coto A. S se cosder ev seleccó de esclres β, β,, β se pede formr otr comcó lel de los vectores,,,, esto es β β () β S es el vlor de est comcó lel se tee β β β Tmé se pede formr l sgete comcó lel Est comcó lel de los vectores,,, se deom comcó lel trvl l cl ovmete tee el vlor Eemplo Se el espco vectorl, y se {(, )(,,3 )(,,) } A. S se cosder los esclres,, -, se pede formr l sgete comcó lel de vectores del coto A (, ) (,3) ( ) (, ) (, ) ( 4,6) (,) ( 3,7) E dode (3, 7) es el vlor de l comcó lel. Udd 4

16 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Comcoes Leles Idétcs Defcó 3 Dos comcoes leles so détcs s tee los msmos térmos o trvles.. Por eemplo so comcoes leles détcs., 3,, Es clro qe ls comcoes leles détcs tee el msmo vlor. De cerdo este cocepto, ddo coto A y comcó lel de vectores de A α α α se pede spoer sempre qe es comcó lel de todos los vectores de A, pes strá completrl co térmos trvles. Así por eemplo, s A {v, v, v 3 }, l comcó lel v v es comcó lel de todos los vectores de A, pes es détc l comcó lel v v v 3 Oservcó Aú cdo A se coto fto, comcó lel o trvl de ss vectores tedrá sempre (por l form e qe fe defdo el cocepto) úmero fto de térmos o trvles. SUBESPACIO ECTOIAL GENEADO PO UN CONJUNTO DE ECTOES Se espco vectorl y A A. Se desg co A l coto de todos los vectores de qe se otee por medo de comcoes leles de vectores del coto A. E símolos A v / v, A,,,, Not El coto A se lee A rr Proposcó 4 El coto A es sespco vectorl de. Udd 5

17 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Udd 6 Demostrcó. A, se cmple por defcó de A.. A, pes v A, y qe A,,,,, v Es decr, v es comcó lel de vectores del coto A 3. A v A v, E efecto, v A v, co A,,,,, Lego ( ) c v ) ( Co c,,,, Así, v es comcó lel de vectores de A. Por lo tto A v 4. A A α α Es clro qe A co A,,,, lego, α ( ) c ) (α α α co c,,,, α es decr qe α es comcó lel de vectores del coto A. Por lo tto A α. Etoces de.,., 3. y 4. se tee qe A es sespco vectorl de. Q.E.D Defcó 4 ) Al sespco vectorl A se le deom sespco vectorl geerdo por el coto A. ) Dremos tmé qe A es geerdor del sespco vectorl A, pes todo vector de A es comcó lel de vectores del coto A. Not Es fácl pror qe A A

18 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Eemplos ) Se el espco vectorl 3 y se A {(,, ), (,, )}, el sespco geerdo por A es 3 A {(x, y, z) / (x, y, z) (,, ) (,, ) co, } Todo vector de A se expres como (x, y, z) (,, ) (,, ) (x, y, z) (,, ) (,, ) co, (x, y, z) (,, ) Como y represet clqer úmero rel etoces l codcó pr qe (x, y, z) se comcó lel de vectores de A es qe z es decr, (x, y, z) A z por lo tto, el sespco vectorl de 3 geerdo por el coto A {(,, ), (,, )} es A {(x, y, z) 3 / z } Así, por eemplo, el vector (5, -, ) es comcó lel de los vectores de A, pes (5, -, ) 5 (,, ) (-) (,, ) ) Se el espco y el coto A {(, )}. El sespco geerdo por el coto A es {( x, y) /( x, y) (,) } A Es decr todo vector de A tee l form (, y ) (, ) x co ( x, y) (, ) lego, ( x, y) A x y y (, ) es decr ( x, y) { y x} A / O x L represetcó geométrc de A es l rect de eccó y x (es l prmer sectrz). Pr geerr este sespco vectorl stó sólo vector el (, ). Udd 7

19 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Defcó 5 Ddo espco vectorl y scoto o vcío A de, se dce qe A geer l espco s y sólo s A, es decr qe todo vector de es comcó lel de vectores del coto A. Not E est stcó ls sgetes expresoes so eqvletes ) A es geerdor de ) El espco vectorl es geerdo por el coto A c) A geer d) Todo vector de se comcó lel de vectores de A Eemplo Se el espco y el coto A {(, ), (,)}. El sespco geerdo por el coto A por defcó vee ddo por esto es eqvlete decr qe {( x, y) /( x, ) α (, ) β (, )} A y (x, y) A α, β : ( x, y) α (,) β (, ) Prtedo de l gldd y relzdo ls opercoes dcds se tee (,) β (, ) ( x, y) α, ( α, α ) ( β, ) ( x, y) ( α β, β ) ( x, y) α β x β y Uo de los modos de resolver este sstem de dos eccoes leles co dos cógts es empledo el Método de Gss (o Método de Elmcó Gss) Udd 8

20 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE x y f ( ) f ( ) f x x y y x y Es clro qe rg A rg A º cógts y por Teorem de oché-roes y s Corolro, el sstem es comptle determdo. Es decr, clesqer se x e y, exste y so úcos los esclres α, β tles qe (, y) α (,) β (, ) x. Lego A, es decr A es geerdor del espco, o e todo vector de se pede expresr como comcó lel de vectores del coto A. Oservcó Proposcó 5 Todo espco vectorl es geerdor de sí msmo. Se espco vectorl y se A y B dos scotos de o vcíos tles qe A B, etoces el sespco geerdo por A está cldo e el sespco geerdo por B. E símolos, A B A B Demostrcó Se A {,,, } y B {,,,,,,, m }. Es clro qe Pror qe A B eqvle pror qe A B. E efecto A B m Esto es porqe reslt comcó lel de los elemetos de B. A B ESPACIO ILA DE UNA MATIZ Se mtrz M de tpo m co elemetos e cerpo (,, ). M m m m m Es clro qe los vectores fl de l mtrz M so vectores del espco vectorl () () El espco vectorl es el de ls mtrces co elemetos e el cerpo y qe tee fl y colms. Udd 9

21 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE [ ] [ ] f f... fm [ m m m ] S es el coto de los vectores fl de l mtrz M, es clro qe es scoto del espco vectorl x {f, f,, f m } Defcó El Espco l de l mtrz M, deotdo por S f (M), es el sespco vectorl geerdo por el coto de ls fls de l mtrz M, es decr es el sespco geerdo por el coto {f, f,, f m }. E símolos, Sf ( M) E otrs plrs, el Espco l de l mtrz M, es el coto de todos los vectores del espco x qe se expres como comcó lel de los vectores fl de l mtrz M, esto es Es decr, m α S f (M) {f / f f,,,..., m; f flde M α } S f (M) {f / f α f α f α m f m,,,, m; α f fl de M} ESPACIO COLUMNA DE UNA MATIZ Se mtrz M de tpo mx co elemetos e cerpo (,, ). M m m m m Es clro qe los vectores colms de l mtrz M so vectores del espco vectorl c m, c, c m m, m m () S deotdo co C l coto de los vectores colms de l mtrz M, reslt qe C es scoto del espco vectorl mx () m El espco vectorl es el de ls mtrces co elemetos e el cerpo y qe tee m fls y colm. Udd

22 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE m C {c, c,, c } Defcó El Espco Colm de l mtrz M, deotdo por S c (M), es el sespco vectorl geerdo por el coto de ls colms de l mtrz M, es decr es el sespco geerdo por el coto C {c, c,, c } mx. E símolos, Sc ( M) m C. E otrs plrs, el Espco Colm de l mtrz M, es el coto de todos los vectores del espco mx qe se expres como comcó lel de los vectores colms de l mtrz M m S c (M) {c / Esto es, c α c,,,..., ; c colm de M }. α m S f (M) {c / c α c α c α c,,,, ; α c colm de M}. INDEPENDENCIA LINEAL DE ECTOES Defcó Se espco vectorl y se A A El coto A es lelmete depedete s y sólo s el úco modo de oteer el vector lo como comcó lel de vectores de A es trvés de l comcó lel trvl. E símolos, A es lelmete depedete def v,,, ; Eemplos 3. E el espco vectorl, el coto A {(,, -5)} es lelmete depedete. E efecto, se tom comcó lel de vlor (,, ) del úco vector de A operdo se tee (,, -5) (,, ) (,, -5) (,, ) Por gldd de ters ordeds, se otee el sgete sstem de eccoes leles homogéeo (SELH) 5 Udd

23 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Este sstem tee tres eccoes leles co cógt. Es evdete qe se trt de sstem comptle determdo, e el cl l úc solcó es (solcó trvl). Lego el coto A es lelmete depedete.. E el espco vectorl, el coto A {(, ), (, )} es lelmete depedete. Procededo de mer álog l eemplo precedete se tee α (, ) β (, ) (, ) (α, α) (β, β) (, ) (α β, α β) (, ) α β α β Aqí se tee sstem homogéeo (SELH) de dos eccoes leles co dos cógts y se se qe todo SELH es comptle, es decr tee l meos l solcó trvl. est vergr s es determdo o determdo. esolvedo el sstem por el método de elmcó gss, f ( ) f ( ) f Es evdete qe rg A rg A º cógts, y segú el Teorem de oché-roes y s Corolro, el SELH es comptle determdo, lego l úc solcó es l trvl, esto es α β. Lego por defcó, el coto A es lelmete depedete. c. E el espco vectorl, el coto D {(, ), (, 4)} o es lelmete depedete. E efecto, procededo de mer álog l eemplo precedete, se tom comcó lel de vectores del coto A qe teg vlor cero vector, Udd

24 α (, ) β (, 4) (, ) Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE operdo ( α, α ) ( β, 4β ) (, ) ( α β, α 4β ) (, ) e gldo se otee el SELH sgete α α β 4β Se tom l mtrz mpld del sstem y se determ el rgo de l mtrz de coefcetes 4 rg A º cógts Se trt de SELH comptle determdo cyo coto solcó es { α, β / αβ } S o ( ) De modo qe exste fts solcoes o trvles de l form ( β, β ), como por eemplo α y β -, por lo qe el vector lo se pede escrr como comcó o trvl de los vectores de D (, ) (-) (, 4) (, ) y como exste l meos comcó lel o trvl de vectores de D de vlor se tee qe el coto o es lelmete depedete. Defcó Se espco vectorl y se A A. El coto A es lelmete depedete s y sólo s exste comcó lel o trvl de vlor v. E símolos, A es lelmete depedete def,,, : { } v Oservcó: A es lelmete depedete s y sólo s A o es lelmete depedete Udd 3

25 Eemplo El coto D del eemplo c. precedete, es lelmete depedete. Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE POPIEDADES DE LOS CONJUNTOS LINEALMENTE DEPENDIENTES Se espco vectorl y Proposcó A A S el vector lo perteece l coto A, etoces A es lelmete depedete Demostrcó S perder geerldd, se pede spoer qe A, etoces l sgete comcó lel de vectores de A, co,,,, A es comcó lel o trvl de vlor. Lego A es Lelmete depedete. Q.E.D. Eemplos. E el espco vectorl depedete. 3. E el espco vectorl, el coto A lelmete depedete 3, el coto A {(,, -5), (,-, 4), (,, )} es lelmete 3, es Proposcó El coto A es lelmete depedete s y sólo s exste vector de A qe es comcó lel de los resttes vectores de A. Demostrcó ) L codcó es ecesr S A es lelmete depedete etoces exste vector de A qe es comcó lel de los resttes vectores E efecto, por hpótess A es lelmete depedete, etoces por Defcó exste comcó lel o trvl de vectores de A de vlor, es decr {,,, } tl qe y, dode A,,,, Udd 4

26 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Udd 5 lego Como, exste, etoces pre-mltplcdo por e mos memros de l gldd precedete se tee ( ) operdo (α) Se ;,,,, l reemplzr e (α), se tee qe lego es comcó lel de los resttes vectores de A. ) L codcó es sfcete S exste vector de A qe es comcó lel de los resttes vectores de A, etoces A es lelmete depedete Se A tl qe, es comcó lel de los resttes vectores de A. Esto es, es decr smdo e mos memros (- ) (-) ) ( v reordedo los térmos v ( ) Est es comcó lel o trvl (o de los esclres es ) de vectores de A de vlor. E cosecec, el coto A es lelmete depedete. Q.E.D. Proposcó 3

27 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Se A scoto o vcío del espco vectorl y tl qe A { }. El coto A es lelmete depedete s y sólo s exste scoto propo de A qe geer el msmo sespco qe geer A. E símolos A es lelmete depedete A ' A A ' A : A ' A Demostrcó ) L codcó es ecesr A es lelmete depedete A ' A A ' A : A ' A Por hpótess A es lelmete depedete y A { }, etoces por Proposcó A : (β) co A,,,,. Se A A { } etoces, es clro qe exste A A A A Ahor se dee pror qe A ' qe por defcó de gldd de cotos eqvle demostrr qe A A' A A A' ) Como A' A, se sge qe A' A, ( por Proposcó 5 de sespcos vectorles) ) Se dee pror qe A A' Se A, etoces es comcó lel de vectores del coto A. Es decr, Pero como es comcó lel de los resttes vectores de A por (β), etoces Operdo se tee ( ) y plcdo xoms de l estrctr de espco vectorl y grpdo coveetemete se lleg l expresó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lego es comcó lel de vectores del coto A, esto sgfc qe A '. ) L codcó es sfcete Udd 6

28 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE A' A A' A : A' A A es lelmete depedete Spógse qe exste A scoto propo de A tl qe A A' v A A' v A ' A v demás como v A, etoces v A y como por hpótess v A ' A. Etoces A' A A' reslt qe Por lo tto v es comcó lel de los vectores de A. Pero los vectores de A so vectores de A pes A' A, por lo tto v es comcó lel de los vectores de A, excepto él msmo. Y como v A exste vector de A qe es comcó lel de los resttes vectores de A, etoces por Proposcó el coto A es lelmete depedete. Proposcó 4 Todo coto qe cotee scoto lelmete depedete es lelmete depedete. E símolos, Demostrcó A' A A' es lelmete depedete A es lelmete depedete Se A' A y A ' lelmete depedete. Etoces exste comcó lel de vectores de A ' o trvl de vlor. Pero tod comcó de vectores de A' es comcó de vectores de A, pes A' A. Lego A es lelmete depedete. POPIEDADES DE LOS CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES Se pede ecr ls propeddes referds cotos lelmete depedetes tomdo los cotr-recíprocos de los codcoles de ls propeddes de los cotos lelmete depedetes. Proposcó S el coto A es lelmete depedete, etoces el vector lo o perteece l coto A. Proposcó El coto A es lelmete depedete s y sólo s gú vector de A es comcó lel de los resttes vectores de A. Proposcó 3 El coto A es lelmete depedete s y sólo s gú scoto propo de A geer el msmo sespco qe el qe geer A. Proposcó 4 Todo scoto o vcío de coto lelmete depedete es lelmete depedete. Udd 7

29 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE ANGO DE UNA MATIZ Defcó3 m El rgo de mtrz M es el myor úmero de vectores fls (o colms) lelmete depedetes qe tee l mtrz M. Notcó El rgo de l mtrz M se deot co rg M. BASE DE UN ESPACIO ECTOIAL Defcó 4 Se espco vectorl y se B scoto o vcío y ordedo de. El coto B es se del espco vectorl s y sólo s, ) B es Lelmete Idepedete ) B es Geerdor del espco vectorl Nots Cosderremos e delte sólo espcos vectorles qe tee ses fts. emrcmos qe el orde e qe está ddos los elemetos de tod se es cestó my mportte, este hecho podremos oservrlo más delte. Eemplo Se el espco vectorl y cosdérese el coto ordedo E {E, E,, E } dode E represet l -pl cy -ésm compoete es y ls resttes so. Esto es El coto E es se del espco vectorl ) E es lelmete depedete {(,,,),(,,,),,(,,,)} E, e efecto Se,,, tles qe E E E (,,, ) Es decr, (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) Por gldd de -pls ordeds de úmeros reles reslt,, Udd 8

30 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE ) E es Geerdor del espco vectorl Se (x, x,, x ) s exste esclres,,, tles qe Not (x, x,, x ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) etoces dee ocrrr qe x, x,, x De ) y ) se sge qe es se del espco vectorl. A l se E se le deom se cóc, oservemos qe tee elemetos. E prtclr, s, l se cóc del espco vectorl es B ( ) ; s, l se cóc del espco vectorl s 3, l se cóc del espco vectorl { } {,,, } {,,,,,,,, } es B ( ) ( ) ; es ( ) ( ) ( ) 3 B. Eerccos m ) Pree qe e el espco vectorl de ls mtrces reles de tpo m, se es el coto ordedo co m elemetos ddo por B,,, Not: Est se es l se cóc del espco vectorl E prtclr l se cóc del espco vectorl m es B,,, ) Pree qe e el espco vectorl P [ x] de los polomos co coefcetes reles e l vrle x de grdo meor o gl qe (e dode se clye el polomo lo el cl o tee grdo sgdo), se es el coto ordedo co elemetos ddo por {,,,, } B x x x Not: Est se es l se cóc del espco vectorl P [ ] P 3 [ x] E prtclr e, el espco vectorl de los polomos co coefcetes reles e l vrle x de grdo meor o gl qe 3 (e dode se clye el polomo lo), l se cóc es Udd 9 x

31 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE 3 {,,, } B x x x. Proposcó 5 Se espco vectorl. S B es se de, etoces todo vector del espco vectorl se escre de modo úco como comcó lel de vectores de l se dd B. Demostrcó Se B {,..., } se de. Se prorá qe, Por ser B {,..., } v! α, α,, α : v α α α,, geerdor del espco vectorl se tee: v α, α,, α : v α α α se dee pror qe los esclres α, α,, α so úcos. pr ello spógse qe, v estdo - memro memro: β, β,, β : β β β ( β β β ) ( α α α ) β β β α α α ( β α ) ( β α ) ( β α ) Como B es lelmete depedete y ést es comcó lel de vectores de B de vlor v etoces est comcó lel dee ser l trvl, es decr los esclres dee ser smltáemete cero Lego, los esclres so úcos. β α β α β α β α β α β α Q.E.D. Defcó 5 A los úcos esclres α, α,, α, qe permte escrr l vector v como comcó lel de vectores de se B {,,, }, se les deom coordeds del vector v co respecto l se B de y se deot co, Udd 3

32 [ v ] Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE B α α α Es clro qe los esclres α, α,, α crcterz l vector v, e el setdo de qe so los úcos posles qe permte expresrlo e térmos de los vectores de l se dd B. Eemplo E el espco vectorl cosdere el coto (, ),(,), ) Mestre qe B es se de, { } B. ) Determe ls coordeds de clqer vector de co respecto l se B. ) esolcó ) B es geerdor de. E efecto, ) ( x, y ), α, β : ( x, y ) α (, ) β (,) ( α, ) (, β ) ( x, y ) ( α, β ) ( x, y ), α β Sstem de eccoes leles co dos cógts α y β. Es evdete qe rg A rg A º cógts por lo tto el sstem de eccoes leles es comptle determdo, lego exste y so úcos los esclres qe permte escrr todo vector del espco vectorl como comcó lel de vectores del coto B. E est stcó los esclres cocde co ls props compoetes de todo vector (x, y). B es LI Pr ello tomremos comcó lel de vlor (, ) de vectores del coto B. α (, ) β (,) (,) ( α,) (, β ) (,) ( α, β ) (,) α β Es clro qe l úc solcó de este sstem es l trvl, por lo tto el coto B es lelmete depedete. x y, Udd 3

33 Lego por ) y ) B es se del espco vectorl ) esolcó El vector de coordeds de todo vector ( ) Por eemplo, Eemplo E el espco vectorl, ) Mestre qe A es se de Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE. Es más B es l se cóc de x, y respecto de l se B vee ddo por ( x, y) x y B (,5 ) B 5 { } cosdere el coto (, ),(, ), A. ) Determe ls coordeds del vector de clqer vector de, respecto l se A. ) esolcó ) A es geerdor de. E efecto, ( x, y ), α, β : ( x, y ) α (,) β (, ) ( α, α ) ( β, ) ( x, y ) ( α β, α ) ( x, y ) () ) A es lelmete depedete α α β α (,) β (, ) (, ) ( α, α ) ( β, ) (, ) ( α β, α ) (, ) () x y α β α () y () so dos sstems de eccoes leles qe tee l msm mtrz de coefcetes, lego es posle plcr el método de Gss-Jord l mtrz mpld co l colm de térmos depedetes del sstem () y co l colm de térmos depedetes del sstem () de l sgete mer x y f (-)f Udd 3

34 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE x y x x x - y (-)f y f (-)f x - y S se lz ls mtrces redcds de ls mtrces mplds de cd sstem se oserv, e mos csos, qe rg A rg A º cógts (*) ) (*) sgfc qe el sstem () es comptle x, y, es decr qe clesqer se x, y,, : ( x, y) (,) (, ) α β α β, lego A es geerdor de. ) (*) sgfc qe el sstem () es comptle determdo, es decr qe l úc solcó es l trvl, lego A es L.I. Por ) y ) A es se de. ) El vector de coordeds de todo vector ( x, y) respecto de l se A vee ddo por, ( x, y) α A β. y reformldo el sstem () α x β x y se otee y ( x, y) A x y Por eemplo, (,5 ) 5 A 4 Oservcoes. S l se es l cóc, ls coordeds de todo vector so ls compoetes del vector.. Como podemos oservr e los dos eemplos precedetes, e msmo espco vectorl ls coordeds de msmo vector respecto de se vrí s cmmos de se. Udd 33

35 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE No reslt evdete qe ddo espco vectorl clqer, éste pose se. Ahor veremos qe e reldd es posle determr por lo meos se. Teorem de Exstec de ses Todo espco vectorl { } dmte l meos se. Demostrcó Se G {,,, r } geerdor de, etoces sempre exste scoto de G qe es lelmete depedete. E efecto, ddo qe { }, etoces el coto G dee teer por lo meos elemeto (pes de otro modo geerrí sólo { } { } qe es lelmete depedete. ). Por lo tto, G cotee l meos l coto Se hor B el coto qe tee el myor úmero posle de vectores de G y qe es lelmete depedete. Podemos spoer s pérdd de geerldd qe B Not {,,, } (α) Sempre es posle determr l coto B ordedo coveetemete los elemetos del coto G. Es fácl ver qe vectores resttes de G, es decr los vectores,,, r so comcoes leles de los vectores del coto B. Pes s por eemplo, o fer comcó lel de los vectores de B, etoces el coto B { } {,,,, } es lelmete depedete e vrtd de l Proposcó de Idepedec lel; y etoces el coto B o tee el myor úmero de vectores lelmete depedetes de G, lo qe reslt cotrdccó. Por tto k,..., r ; (β) k pero etoces todo vector del espco vectorl es comcó lel de elemetos de B. E efecto, por ser G geerdor de se tee v,,, / v Pero e vrtd de (β), es es decr r r r v r c. v... (... )... ( c c... c ) r. Udd 34

36 Es evdete qe v es comcó lel de, geerdor de. Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE,,, co lo cl promos qe B es Y como demás B es lelmete depedete, por (α), etoces B es se de. Oservcoes Q.E.D.. Co el teorem precedete se mestr qe todo geerdor de espco vectorl { v } cotee se. Notemos qe l de sycete es qe, ddo geerdor del espco, pede r elmádose de él los vectores reddtes qe pose hst qedr co coto lelmete depedete qe sg geerdo l espco.. No deemos perder de vst qe espco vectorl pede teer más de se. Por eemplo ses del espco vectorl so los cotos ordedos {(, ), (, )}, {(, ), (, )}, {(, ), (, )}, etc. Eemplo El coto {(, ), (, ), (, ), (, ) } G es geerdor del espco vectorl y G cotee l coto {(,),(,)} qe es lelmete depedete y tmé es geerdor del espco vectorl, es decr es se del espco vectorl. Teorem Se espco vectorl. S el coto X es lelmete depedete y G es geerdor de, tles qe X G, etoces exste B se de tl qe X B G. Ide de l demostrcó Cosste e r gregdo l coto X vectores v, v, etc., de G X de tl modo qe los X v ', X v ', v '',etc. se tmé lelmete scesvos cotos qe se oteg { } { } depedete hst logrr coto B qe se lelmete depedete y demás qe geere l espco. G es geerdor de G * * * B * G * v v X v X X * * * * * X es L.I. B es L.I. y ge de Not De cerdo co el ecdo por este teorem, podemos coclr tmé qe todo coto lelmete depedete pede ser mpldo se del espco. E otrs plrs, ddo coto lelmete depedete, exste se qe lo cotee. Udd 35

37 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Eemplo E el espco vectorl 3, cosderemos los sgetes cotos X {(,, )}, G {(,, ), (,, ), (,, ), (,,) } Es clro qe X es lelmete depedete y G es geerdor del espco vectorl y demás X G A prtr de {(,, )} Y X gregdo vector de G X cosegmos {(,, ), (,, ) } Agregmos Y otro vector de G Y, y oteemos {(,, ), (,, ), (,,) }, este coto es lelmete depedete pero o geer B, este coto es lelmete depedete y geer el 3 3 espco, por lo tto es se de. Además verfc l codcó X B G qe dc el teorem. 3. Proposcó 6 (S demostrcó) Se espco vectorl. S X es scoto lelmete depedete de y G geerdor de, etoces el úmero de elemetos de X es meor o gl qe el úmero de elemetos de G. E símolos, X lelmete depedete G geerdor de # X # G. Proposcó 7 Tod se de espco vectorl tee el msmo úmero de elemetos. Demostrcó Se B y B ses de, etoces Por ser B lelmete depedete y B geerdor de, es # B # B (α) Por ser B lelmete depedete y B geerdor de, es Lego de (α) y (β) se tee Eemplos E el espco vectorl E el espco vectorl m # B # B (β) # B # B tod se tee elemetos. tod se tee m elemetos. Q.E.D. Udd 36

38 E el espco vectorl P [ x] tod se tee elemetos. E el espco vectorl C tod se tee dos elemetos. Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE DIMENSIÓN DE UN ESPACIO ECTOIAL Ddo qe tod se de espco vectorl tee el msmo úmero de elemetos podemos cosderr este úmero como propedd del espco. Defcó 6 L dmesó de espco vectorl, l qe deotremos co dm, es el úmero de elemetos de se clqer de. Defcó 7 L dmesó del espco vectorl { v } es. Esto es dm { v }. Not E vrtd de l Defcó 6, s se clqer de espco vectorl tee elemetos, etoces l dmesó de es, esto es Eemplos dm dm dm dm dm 3 3 m m dm P [ x ] dm dm sm ( 3) 6, dmesó el espco de mtrces smétrcs de orde 3. dm TS ( 3) 6, dmesó del espco de mtrces trglr speror de orde 3. dm Dg ( 3) 3, dmesó del espco de mtrces dgoles de orde 3. Oservcoes S espco vectorl de dmesó ft, etoces: - Todo geerdor de tee l meos elemetos (pes todo geerdor cotee se). Por lo tto se tee l meor l meor ctdd de vectores qe geer el espco vectorl. Udd 37

39 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE - Todo coto lelmete depedete e tee lo smo vectores (pes todo coto lelmete depedete pede mplrse se). Por lo tto tod se de tee l myor ctdd de vectores lelmete depedetes. El sgete ecdo estlece relcó etre ls dmesoes de espco vectorl y sespco vectorl clqer del msmo. Teorem Se espco vectorl de dmesó ft. S S es sespco vectorl de, etoces ) dm S dm ) S dm S, etoces S Demostrcó ) E efecto, S S { v } es clro qe dm S Spogmos etoces qe S { v } y se X se de S. Por ser X lelmete depedete e S es tmé scoto lelmete depedete de ; por lo qe tee lo smo vectores, por lo tto: lego dm S # X dm dm S dm ) S S es tl qe, dm S dm, etoces tod se X de S, tee elemetos. Por lo tto X es tmé se de, y qe l ser X scoto lelmete depedete de qe tee elemetos, geer l espco. ) Es clro qe, s X o geer el espco, por ser X lelmete depedete exste B se de tl qe X B X B y de cerdo co esto exste se de co más de vectores, lo qe cotrdce l hpótess dm. Por lo tto X es geerdor de (es decr X ), pero X es tmé geerdor de S ( X S ) de lo qe se dedce qe S. Eemplo E el espco vectorl cosderemos l coto S {(x, y) / y x}. Q.E.D. Se se qe dm y qe S es sespco vectorl de geerdo por el coto {(, )} y qe es ovmete lelmete depedete. Por lo tto {(, )} es se de S y de llí qe dm S < dm Geométrcmete, el sespco vectorl S pede represetrse por rect qe cotee l orge del sstem de coordeds Udd 38

40 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE y S x DIMENSIÓN DE LOS ESPACIOS ILA Y COLUMNA DE UNA MATIZ Se l mtrz m M M m m m m Los vectores colms de l mtrz M so vectores del espco vectorl c m, c, c m m, m m Deotdo co C l coto de los vectores colms de l mtrz M, reslt qe C es m scoto del espco vectorl C {c, c,, c } m Y por lo tto el Espco Colm de l mtrz M, es el sespco vectorl de geerdo por el coto C de ls colms de l mtrz M. E otrs plrs el Espco Colm de l mtrz M, es el sespco vectorl de formdo por tods ls comcoes leles de vectores del coto C {c, c,, c }. Smólcmete Sc M /,,,.., ; m m ( ) C c c β c β c C Es clro etoces qe m ( ) d m S M d m m C m, m, Udd 39

41 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE Es decr, l dmesó del Espco colm de l mtrz M es meor o gl qe el úmero de fls de l mtrz. Por otro ldo, los vectores fl de l mtrz M so vectores del espco vectorl [ ] [ ] f f [ ] f m m m m S es el coto de los vectores fl de l mtrz M, es clro qe es scoto del espco vectorl x {f, f,, f m } x Y por lo tto el Espco l de l mtrz M, es el sespco vectorl de el coto de ls fls de l mtrz M. E otrs plrs, el Espco l de l mtrz M, es el sespco vectorl de por tods ls comcoes leles de vectores fl del coto {f, f,, f m } E símolos, m Sf M /,,,..., ; geerdo por formdo x ( ) f f α f m α f Es clro etoces qe ( ) dm S M dm. Es decr, l dmesó del Espco fl de l mtrz M es meor o gl qe el úmero de colms de M. ANGO DE UNA MATIZ Defcó 8 Se llm rgo colm de l mtrz M l dmesó del espco colm de M. C C ( ) rg M dms M m Defcó 9 Se llm rgo fl de l mtrz M l dmesó del espco fl de M. ( ) rg M dms M Defcó Udd 4

42 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE El rgo de mtrz M, l qe deotremos co rg M, es gl l rgo colm y l rgo fl de M. rg M rg M rg M C Oservcó S M m, etoces el rgo de l mtrz M es meor o gl qe el más chco de los úmeros m y. Esto es rg M m m, ( ) Eemplos 4 8, S rg ( M ) 4 M. S 5, rg ( M ) M. 6, S rg ( M ) M. S 6, rg ( M ) M. Nots. L mtrz l tee rgo cero.. El hecho de qe ls dmesoes de dos espcos se gles o sgfc qe los espcos se gles. DIMENSIÓN DE LA SUMA Teorem (s demostrcó) Se espco vectorl. S S y S so sespcos vectorles de, etoces d m ( S S ) d m S d m S d m ( S S ) Oservcó etoces dm( S S ) dm S dm S S S S { } v Proposcó 8 (s demostrcó) Se espco vectorl y se S y S dos espcos vectorles de. S B es se de S y B es se de S etoces B B es geerdor de S S. Oservcó Udd 4

43 Álger II (LM-PM) - Álger Lel (Igs.) -.C.E. y T.- UNSE E l Proposcó 8, s e B B es geerdor de S S esto o mplc ecesrmete qe B B se lelmete depedete. Es decr qe B B pede o o ser lelmete depedete. Proposcó 9 (s demostrcó) Se espco vectorl y se S y S dos espcos vectorles de. S B es se de S S y se mplí hst cosegr se B de S y se B de S, etoces B B es se de S S. Udd 4