M É T O D O S N U M É R I C O S

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1 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos M É T O D O S N U M É R I C O S OBJETIVOS GENERALES: Desrrollr lgortmos estetes y útles pr l resolucó de prolems que se preset e el estudo de l Igeerí. Propeder l mplemetcó de certos lgortmos, que srve pr relzr ejerccos de plccó medt, medte el uso de u leguje de progrmcó de lto vel, plcdo u mcro computdor.. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ERRORES U lgortmo es u procedmeto que descre s gu mgüedd, u sucesó ft de psos relzrse e u orde específco. Pr oteer resultdos cofles, es ecesro mpoer crteros que grtce que el lgortmo se muev e u mrco de estldd. Así por ejemplo, u crtero que se mpoe u lgortmo, es que cmos pequeños e los dtos cles, produzc correspodetemete cmos pequeños e los resultdos fles, llmádose este tpo lgortmos ESTABLES, lo que mplc u cumulcó de error ceptle; metrs que s o se cumple dcho crtero se tee lgortmos INESTABLES, los msmos que provocrí u cumulcó egerd del error co l cosecuec de teer respuests fuer de l reldd. U form de lzr el tpo de error, que puede provocr u lgortmo, es medte u fucó que detecte el comportmeto de dcho error, esto es trvés del cálculo de l mgtud del msmo e cd proceso umérco. Así, supoedo que E represet l fucó que determ el crecmeto del error después de opercoes susecuetes, se puede defr los sguetes modelos de fucoes de error: ) S: E Cε, dode C es u costte depedete de. Est epresó señl u crecmeto LINEAL del error. ) S: E K ε, pr lgu K > E este cso se tee u crecmeto EXPONENCIAL del error. Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

2 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos E Crecmeto epoecl ε o o o o Crecmeto lel o o o Ejemplo: Evlur l fucó dd por l epresó, pr. y,,,.. f e ( )! !! ( )!! El rzometo lógco es que pr R, el límte de f ( ) pr es. Así etoces, u form de evlur f ( ) vee dd por l sguete epresó: f e ( ) ( )! , dode!! ( )!! f e ( ) ( )! !! ( )! f ( ) f ( ),... Est últm epresó correspode l lgortmo pr evlur f ( )., por lo que L tl que se muestr cotucó, permte ver los vlores que v tomdo f ( ) coforme v crecedo, medte el lgortmo correspodete l epresó dd y el vlor verddero. Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

3 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos ƒ () verdder ƒ () lgortmo... 9.,78,788,4656,969...,99,99.,78,78,466, ,74 66,4. Coclusó: A medd que umet, ƒ () tmé umet, por lo que se trt de u lgortmo estle. Además se puede deducr que el error depede eclusvmete del lgortmo y o de ls promcoes provocds por l máqu de cálculo. E geerl, u proceso umérco volucr errores, que depederá de l cpcdd umérc de l máqu de cálculo, del cmo de se y del tpo de lgortmo. Así, se tee el llmdo ERROR POR REDONDEO, orgdo por l cpcdd umérc de l máqu, lo que mplc u represetcó promd de los úmeros eteros o reles verdderos. Además se cosder el ERROR POR TRUNCAMIENTO, el msmo que es orgdo e prte por el cmo de se e l represetcó de los úmeros detro de l máqu y fudmetlmete dedo l modelo del lgortmo. U form de lzr este tpo de errores, es medte l represetcó ormlzd de los úmeros reles, coocd co el omre de ARITMÉTICA REAL, esto es: ±.d d d...d k epoete mts se decml dode: d 9 d 9,..., k Etoces, culquer úmero rel postvo Y puede ser ormlzdo e l sguete form: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

4 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Y.d d d... d k d k+ d k+... Ahor, supoedo que Y esté represetdo detro del rgo umérco de l máqu, etoces se puede presetr los sguetes csos: ) Elmdo los dígtos d k+ d k+..., se tee que Y Y*.d d... d k, dode se provoc el error por trucmeto. ) Elmdo los dígtos d k+ d k+..., u vez que se plque uo de los crteros ddos cotucó: (*) S d k+ 5 se greg d k redodeo hc rr. (**) S d k+ < 5 se retr d k+ d k+... redodeo hc jo. Se ve que: Y Y*.δ δ... δ k, dode se preset error por redodeo. Ejemplo: Represetr π e form ormlzd co 5 dígtos de promcó. π Etoces:.45 preset u error por trucmeto..46 preset u error por redodeo. El trtmeto de vlores umércos, e lo reltvo u comprcó, puede ser hecho e se los coceptos de u ERROR ABSOLUTO o de u ERROR RELATIVO. Así, s Y* es u promcó de Y, etoces se tee lo sguete: ε Y - Y* ERROR ABSOLUTO ε r (Y - Y*)/Y ERROR RELATIVO Tomdo l form ormlzd de los úmeros reles, el error reltvo vedrá ddo por: k k+ ε r. d d... d d.... d d... dk. d d... d d... k k+, dode k. dk+ dk+... ε r. dd.... dk+ dk+... k. dd... De cuerdo l últm epresó y puesto que d, etoces el mímo vlor del deomdor es., metrs que el umerdor está cotdo por, por lo que se tee: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 4

5 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos k ε r. ε r -k+ error reltvo por trucmeto. Se puede demostrr tmé que ε r k + error reltvo por redodeo. Sugerec: S d k+ < 5 Y*.d d... d k S d k+ 5 Y*.d d... d k + -k Por otro ldo, el uso cotuo de l rtmétc rel de redodeo, llev l sguete proposcó: El úmero Y* prom Y co k CIFRAS O DÍGITOS SIGNIFICATIVOS s k es u etero postvo, pr lo cul: (Y-Y*)/Y < 5 -k Así, u promcó de Y* Y co 4 cfrs sgfctvs, de ls ctddes umércs propuests, vedrá ddo por: ) Y Y * < Y* <.5 ) Y Y * < Y* < 5 c) Y < Y* < 5.5 d) Y < Y* < Pr: ) y ) hy u cocordc co l defcó de cfrs sgfctvs, metrs que c) y d) puede o correspoder co l de tutv de cfrs sgfctvs. E l sguete tl se lst los ejemplos terores y otros más cosderdo l mím cot superor de Y - Y* deotdo por m Y - Y*, cudo Y* cocuerd co Y e cutro cfrs sgfctvs, esto es: Y m Y-Y* Flmete, es posle tmé estudr el error desde el puto de vst estdístco, e rzó de que el cálculo del error cumuldo l fl del proceso es muy complejo (sólo e certos csos puede cosderrse como u sum de errores). Así, l ecucó de trsmsó de error vee ddo por: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 5

6 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos ƒ[ ] ƒ(,,,..., ), dode: so ls vrles. El error de ƒ[ ] dedo l error de cd vee ddo por: Error soluto: ε ε Error reltvo: εr f [ ] [ ] f ε r [ ] f dode: vlor esperdo o más prole.. EVALUACIÓN DE UN POLINOMIO Y SUS DERIVADAS EN AR- GUMENTO REAL Cosderdo el polomo de grdo e l vrle : p ( ) dode:,,,... R. Dcho polomo puede ser evludo e o R de ls sguetes forms: ) p ( ) El úmero de opercoes pr llegr evlur p ( ) será: sums ( + ) L productos ) p ( ) dode el úmero de opercoes será: sums L + + ( ) productos Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 6

7 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos c) ( ) + ( ) p + ( + ( ) ) + ( + ( + ( ( + ) ) )...) pr lo cul se requere : sums productos L últm form de evlucó se le cooce co el omre de EVALUACIÓN ENCESTADA, l msm que result ser l más decud por cosderr el meor úmero de opercoes. Aplcdo el PROCESO RECURSIVO e l últm epresó, se tee que: X X + + X (-), (-),...,, + X p ( X ).. ALGARITMO DE HORNER Bsdo e l técc de l DIVISIÓN SINTÉTICA de p () ( - X ), por lo tto: - - l X X X X X X + X + X + X + X l Coefcetes de p ( ) q ( ) - - R X resduo p ( ) R etoces: q -( ) +, dode: p ( ) ( - X) q -( ) + R X X pr : X p ( X ) R X + l Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 7

8 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Reptedo l dvsó pr q - (), se tedrá lo sguete: - - c X c X c X c X c X - + +c X +c X +c X +c X +c X c c - c c c Coefcetes de q ( ) γ ( ) - - R c resduo X : q -( ) dode X R γ - ( ) + q- ( ) ( -X ) γ - ( ) + R X pr : X q ( X ) R c + c X - Reptedo cosecutvmete el proceso de l dvsó, hst gotr co el grdo del polomo, se tedrá lo sguete: p () ( - X ) q - () + R q - () ( - X ) γ - () + R γ - () ( - X ) S - () + R S - () ( - X )t -4 () + R.. Ec. Ec. Ec. Ec.4 Ahor, susttuyedo Ec. e Ec.: p () ( - X ) [( - X )γ -() + R ] + R ( - X ) γ - () + ( - X )R + R I I dervdo: p ( ) ( - X ) γ - ( ) + ( X ) γ () + R I pr X p ( X ) q ( X ) c E geerl, susttuyedo Ec., Ec., Ec.4, e Ec. se tee que: p ( ) ( - X ) R + ( X ) R +...+( - X ) R + ( - X ) R + R - Dervdo sucesvmete est últm epresó y evludo e X, se tee: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 8

9 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos p ( X ) R I p ( X ) q ( X ) R - II - p ( X )! γ ( X )! R III p ( X )! S ( X )! R IV - p ( X ) 4! t ( X ) 4! R M ( ) -4 4 p ( X )! R,,..., M p ( X )! R R ( ) RESUMEN: Evlucó de p ( ) y sus dervds e X. Etrd: (grdo del polomo), (coefcetes), X (rgumeto rel) ( k Sld: Zk p ) ( X ) k,,..., ALGORITMO: Cosderr: ( Clculr: Z p ) ( X )! Pr: k,,,..., - Hcer: -, -,..., k Clculr: + + X ( k Clculr: Z k p ) ( X ) k! k.. IMPLEMENTACIÓN Uo de los procedmetos pr l mplemetcó del Algortmo de Horer es trvés de u rreglo mtrcl, esto es: A [ j ] (+) (+) Mtrz de coefcetes dode: Prmer colum: e - (, ) >,,..., + Ultm fl: e (+, j) > j,,..., + Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 9

10 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Elemeto geerl: e - (, j) (, j-) + (+,j) X dode: j,,..., +, -,..., j- ( k ) Evlucó: p ( X ) ( k )! k,,..., + ( k, k + ) j + R R c c 4 c X c + c + X c c - + c R Ejemplo.- Evlur p 4 () y sus dervdos e X o - j R R R R 5 R4 dode: p 4 (-) R y tods ls dervds: p I ( ) R 49 p p p 4 ( )! R 9 II 4 ( )! R 96 III 4 ( ) 4! R 48 IV 4 4 Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

11 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Ejemplo.- Descrr u proceso de lmcemeto de los coefcetes de p ( ) y de todos los resduos de ls dvsoes stétcs, e u vector de logtud + Coefcetes de p (): (+,) Coefcetes de l prmer dvsó stétc:,,,..., + C (+-) (,) [( + ) -,] + [(+)-+,] X o + +, +,., Coefcetes de ls sguetes dvsoes stétcs: Pr k, -,..., + R - R - R + + Hcer: +, +,..., k Clculr: C (+-) (, ) + (-, ) X Resduos de ls dvsoes stétcs: R R (+ -, ),,,..., R R R - + Evlucó de p () y sus dervds: ( ) p ( X )! ( +, ),,,...,. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE Se trt de u úsqued de ríces, determdo vlores de l vrle que stsfg l ecucó f(). U solucó de l ecucó se le cooce co el omre de ríz de f() Los métodos de determcó de ríces se s e PROCESOS ITERATIVOS, que cosste e promcoes, pso pso, hc l ríz de l ecucó... MÉTODOS ITERATIVOS DE UNIÓN Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

12 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos So métodos que se s e el sguete procedmeto: Vlor cl: Apromcoes: + ε + ε ε -,,...hst que stsfg culquer codcó de tolerc. Codcoes de tolerc: < ε f ( ) < ε < ε Se trt de métodos smples, los msmos que grtz covergec. Depede eclusvmete de u decud eleccó del tervlo dode se ecuetr l ríz y de l codcó de tolerc que se le mpog. Así, s f() es cotu e [, ] y demás cumple que f()f() <, etoces S (, ), tl que f(s) (Cosecuec del Teorem del Vlor Itermedo). f r... ALGORITMO DE BISECCIÓN Es u método que dvde, repetdmete, e l mtd los sutervlos de [, ], desechdo e cd pso l mtd de sutervlo que o coteg l ríz (como es lógco). Geométrcmete se tee lo sguete: f() f() 4 f() S (ríz) Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

13 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Asì: I o [, ] tervlo cl dode está l ríz (S). I o - cho del tervlo cl. Cometro: + puto medo del tervlo cl. f ( ) f ( ) <? f ( ) f ( ) <? codcó pr eleccó del uevo tervlo (sutervlo) I [, ] uevo tervlo I cho del uevo tervlo + puto medo del uevo tervlo f ( ) f ( ) <? codcó pr eleccó de otro tervlo f ( ) f ( ) <?.. sí sucesvmete hst u k-ésmo tervlo I k [ k-, k ], cuyo cho est ddo por:, el msmo que dee cumplr co u codcó de tolerc. I k k RESUMEN: Evlucó de f() ENTRADA: [, ] (tervlo), ε (tolerc), k (mámo # de tercoes). SALIDA : (solucó promd) S o u mesje de frcso. ALGORITMO: Pr:,,.., k Hcer: Clculr: + Pror s: f( - )f( ) < - y de lo cotrro: y - Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

14 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Chequer s: - < ε ó f( ) < ε f U form promd de determr el úmero de tercoes que se dee hcer pr que se cosg u promcó co u tolerc ε, puede ser otedo e se l sguete relcó: I k k ε k l l ε dode k represet u cot del úmero de tercoes. Ejemplo: Determr u ríz (vlor promdo) de l ecucó f() + 4 -, medte Bseccó, cosderdo u tolerc ε r < -4. Defcó del tervlo: s f() -5 f() 4 Etoces el tervlo: I [, ] cotee l meos u ríz de l ecucó. El cudro de vlores presetdo cotucó, muestr los cálculos correspodetes l proceso tertvo. I - - f( ) ε r ( - - )/ * -5 dode:.655 S f( ) Así el vlor correcto de S (ríz) co cfrs sgfctvs es:.65. Etoces tee u promcó correct co 4 CIFRAS SIGNIFICATIVAS. Por otro ldo, clculdo el úmero de tercoes (k) que llev u promcó de l ríz co 4 cfrs sgfctvs, se tee que: k l 4 Itercoes l Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 4

15 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Lo que cocuerd co l tl de vlores teror. Pr el msmo ejemplo, s se quere u promcó l ríz co u tolerc de -5, etoces: k l 5 7 Itercoes l... ALGORITMO DE FALSA POSICIÓN Coocdo tmé como lgortmo de REGULA FALSI, el msmo que está sdo e el crtero geométrco de l pedete de l secte. Etoces geométrcmete se tee: f() f() B f() m m m S A D ríz C Dode: I [, ] tervlo cl dode hy l meos u ríz m f ( ) f ( ) f ( ) pedete de l secte AB dode: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) prmer promcó Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 5

16 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos f ( ) f ( ) <? f ( ) f ( ) <? codcó pr eleccó del uevo tervlo I [, ] uevo tervlo m f ( ) f ( ) f ( ) pedete de l secte CB f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) uev promcó f ( ) f ( ) <? f ( ) f ( ) <?... codcó pr eleccó del uevo tervlo sí sucesvmete hst u k-ésmo tervlo I k [ k-, k ] dode: k + k f ( k) k f ( k ) f ( k) f ( k ) que es u promcó que dee cumplr co u codcó de tolerc. E este método es posle oteer u meor úmero de tercoes que e el método teror. Los modelos de tolerc pr este cso, so los msmos que se plc sempre, esto es: - < k+ k ε k + k + k < ε r f( k+ ) < ε f Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 6

17 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos RESUMEN: Evlucó de f() ENTRADA : Itervlo [, ], tolerc ε, # mámo de tercoes k SALIDA : S ó mesje de frcso ALGORITMO: Pr:,,.., k Hcer: Clculr: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Pror s: f( - )f( ) < - y de lo cotrro: y - Chequer s: - < ε ó f( ) < ε f Ejemplo.- Determr u ríz promd de l ecucó f() Cos() -, medte el lgortmo de Fls Poscó, cosderr u tolerc e l fucó ε f < -5. Defcó del tervlo: Pr f() f() Por lo tto el tervlo cl es: I [, ] Aplcdo el lgortmo se otee los resultdos presetdos cotucó. I - - f( ) ε f > E > E > E E-5 > E E-7 < E-5 dode: S f( 5 ) Así, el vlor correcto de S (ríz) co 8 cfrs sgfctvs es:.7985., por lo que 5 tee u promcó correct co 5 CIFRAS SIGNIFICATIVAS. Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 7

18 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos.. MÉTODOS ITERATIVOS DE PUNTO FIJO Se trt de determr l solucó de u ecucó de l form: g() A u solucó de est ecucó se le cooce como PUNTO FIJO de l fucó g(). Así, s g() es cotu e [, ] y demás es dferecle e (, ), etoces S (, ) tl que: S g(s) Geométrcmete se tee lo sguete: y y g(s) y g() S Ls ríces de f(), so ls solucoes que correspode precsmete los putos fjos de g(), puesto que de f() se puede oteer y g(), esto es: f() - g() g() El proceso tertvo, e estos métodos, cosste e r evludo vrs veces hst teer u ue promcó l ríz, sádose e l ecucó g(). Así: * Vlor cl: * Apromcoes: g( ) g( )... g( - ),,.., hst que se cumpl co u codcó de tolerc (error). * Codcoes de Tolerc: - - < ε < ε r - g( ) < ε f Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 8

19 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Estos procesos o sempre coverge, por lo que se requere de lgu codcó que e certo grdo grtce u cercmeto l ríz. Además l eleccó de g() dee ser tl que hg l covergec t efectv como se posle. Ls gráfcs presetds cotucó señl l covergec y l o covergec del proceso tertvo. y g( o ) g( ) y g(s) g( ) y g() S (ríz) y g( o ) y g(s) g( ). y g() s (ríz)... CONDICIONES DE CONVERGENCIA EN LOS LÍMITES DEL INTERVALO U tercó -ésm dd por: S + ε, tmé: S + ε dode: S es l ríz y ε l tolerc. Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 9

20 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Es evdete etoces, que pr l covergec, se cumpl co u codcó de cercmeto l ríz, lo cul se puede epresr, e fucó de los errores e cd pso tertvo, de l sguete form: ε < ε... < ε < ε < ε codcó ásc de covergec. Por otro ldo, dedo l crtero de puto fjo, se tee que: ε ε g( ), etoces: S + g( S + ), cuy epsó e SERIES DE TAYLOR de l fucó g lrededor de S, vee dd por:,,,,,, g ( S) g ( S) S + ε g( S) + g ( S)[( S + ε ) S] + [( S + ε ) S] + [( S + ε ) S] +...!!,,,,,, g ( S) g ( S) Sedo que se cumple S g(s), etoces:ε g ( S) ε + ε + ε +...!! Est últm epresó puede ser sometd u sere de codcoes, esto es: Codcó N g (S) ε - pequeño,,... ε ε pr lo cul : ε g ( S) ε dode: ε g ( S) ε pero ε < ε, por lo tto: ε g ( S) ε < ε, dode: g ( S) Por lo tto e los vlores límtes del tervlo (, ) se tee que: g ( ) y g ( ) codcoes de covergec de prmer orde Codcó N g (S) g (S) ε - pequeño g S etoces: ε ( ) ε! ε g ( S) ε < ε, dode: g ( S) <! Por lo tto e los vlores límtes del tervlo (, ) se tee que: ε! g ( ), g ( ) y g ( ) Codcó N g (S) g (S) g (S) ε codcoes de covergec de segudo orde. Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

21 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos ε - pequeño g S etoces : ε ( ) ε! ε g ( S) ε < ε, dode: g ( S) <! Por lo tto e los vlores límtes del tervlo (, ) se tee que: ε!! g ( ) g ( ), g ( ) y g ( ) ε codcoes de covergec de tercer orde Así sucesvmete, s emrgo dee señlrse que los procedmetos tertvos que cumple co l codcó de covergec de segudo orde so los más decudos.... ALGORITMO DE PRIMER ORDEN Se trt de u proceso tertvo de puto fjo que cumple co ls codcoes de covergec de prmer orde. Es decr que g() dee ser defd de mer que por lo meos cumpl co ls codcoes: g ( ) y g ( ), puesto que S es descoocdo. RESUMEN: Evlucó de g() que cumple co ls codcoes de covergec de prmer orde. ENTRADA: Vlor cl (, ), Tolerc ε, úmero mámo de tercoes k SALIDA: S o mesje de frcso. ALGORITMO: Pr:,,..., k Clculr: g( - ) Chequer s: < ε ó f ( ) < ε f Ejemplo: Pr l ecucó f() que tee u ríz e [, ], defr 5 forms dferetes de g() s pror gu codcó de covergec de prmer orde. Asumr pr todos los csos.5 y oteer l ríz. Escrr ls coclusoes de cuerdo los resultdos otedos. Defcoes de g() Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

22 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos I) g () II) g () 4 III) g () ( ) / / IV) g 4 () 4 + / + 4 V) g 5 () + 8 l tl de vlores preset ls 5 ltertvs de g() y los cálculos correspodetes ls promcoes l ríz I II III IV V,5,5,5,5,5 -,875,865,8695,484,7 6,7,9969,454,678, ,7 (-8,65) /,4546,6496,65 4,E+8,757,556,65 5,69, ,654,65 5,65,65,65,65 Coclusó: Sedo l ríz rel S.65, ls ltertvs III, IV y V h ddo eceletes resultdos, metrs que el cso I provoc dvergec y el cso II se tor defdo. Así, pr el cso (I) g () g () e [ y ] pero:. g, (. ) >.999 g, ( 999. ) > demostrádose que o se cumple co l codcó de covergec de prmer orde.... ALGORITMO DE SEGUNDO ORDEN Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

23 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Se trt de u proceso tertvo de puto fjo que cumple co ls codcoes de covergec de segudo orde. Uo de los lgortmos más coocdos y poderosos e l úsqued de ríces de l ecucó f() es el llmdo ALGORITMO DE NEWTON - RAPHSON, el cul defe u fucó g() que cumple co ls codcoes de covergec de segudo orde. Así, s f() es cotu y dferecle e [, ] y demás sedo - u ue promcó l ríz S, tl que f ( - ), etoces f() epdd e Seres de Tylor lrededor de S vee dd por: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + f ( )[ ] + [ ] + [ ] +...!! sumedo demás que: S, etoces f(s) f( - ) + f ( - )[ - - ], dode: f ( ) g( f ) ( ) l últm epresó puede ser oted de l sguete gráfc f() o S f ( ) f ( ) Prmer tgete (e ) f ( ) f ( ) prmer promcó Segud tgete (e ) f ( ) f ( ) f ( ) segud promcó f ( ) Así sucesvmete hst que se cumpl co u crtero de covergec. f ( ) E geerl se puede sumr u fucó de puto fjo de l form: g( ) f ( ) Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

24 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos l msm que cumple co los crteros de covergec de segudo orde, como se demuestr cotucó: f ( ) g( ) f ( ) [ f ( )] f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g ( ) [ f ( )] [ f ( )] pr: S g ( S) f ( S) f ( S) puesto que f(s) y f (S) [ f ( S)] [ f ( )] f ( ) f ( ) + [ f ( )] f ( ) f ( )[ f ( )] f ( ) Tmé g ( ) 4 [ f ( )] f pr: S ( S) g ( S) puesto que f (S) y f (S) f ( S) demás: g ( S) f ( S) < f ( S) ε L efcc del lgortmo de Newto - Rphso rdc e l ue eleccó del vlor cl. L covergec es reltvmete rápd comprd co los métodos terores. RESUMEN: Evlucó de l ecucó g() que cumple co ls codcoes de covergec de segudo orde. ENTRADA: Vlor cl (, ), Tolerc ε, # m. de tercoes k. SALIDA: S o mesje de frcso. ALGORITMO: Pr,,..., k Chequer s f ( - ) Clculr: Pror s: - - f f ( -) ( ) - < ε ó f ( ) < ε f Ejemplo: Determr u ríz de l ecucó Cos() medte Newto - Rphso, cosderdo u tolerc ε < 4 y Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 4

25 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos y y Cos o S π/ E l gráfc se oserv que e el tervlo [, π/] este u puto fjo S. Etoces: f() Cos() - f () -(Se() +) Cos dode : + Se + L tl de vlores preset los cálculos de ls promcoes, oteds e se l modelo de l últm epresó tertv. - f( ) ε o E E E-.7757E-5 Por tto: S f( 4 )..4. ALGORITMO DE LA SECANTE Se s e Newto - Rphso y Fls Poscó. Es u método que de lgu mer evt l evlucó de f () e cd promcó. Además l eleccó del vlor cl o es t crítc. Así, prtedo de: f lm f ( ) f ( ) ( ) y sumedo que: - es u ue promcó l ríz. Etoces: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) puesto que: f ( ) f ( ) f ( ) g(, ) Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 5

26 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos L fucó g(, ) o es cotu, por lo que este método relmete o es de puto fjo, s emrgo cumple co ls codcoes de covergec, esto es: S g(s) y demás es posle demostrr que: ε f ( S) f ( S) ε ε f ( s) f ( s) ε ε ε < ε dode: f ( S) f ( S) < ε, codcó precd l del método de Newto - Rphso. Gráfcmete se puede oservr ls promcoes del método de l Secte f() o S 4 ) Apromcoes covergetes f() o S 4 ) Apromcoes dvergetes Ejemplo: Determr l ríz de f() Cos() - medte el método de l Secte, cosderdo ε < -4 Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 6

27 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Apromcoes cles: o.5 π/4 ( )( Cos ) demás: ( Cos ) ( Cos ) dode: f ( ) Cos L tl de vlores preset los cálculos correspodetes l ejemplo. f( ) ε π/ * * -8.7* -5 dode: 4 S f( 4 ).. SOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINOMIALES Pese que e el cpítulo teror (Solucó de Ecucoes de u vrle) se volucr l ecucó polómc, o está por demás hcer u álss más detlldo del modelo poloml, e cuto tee que ver co el álss de ls crcterístcs de sus ríces sí como tmé de l uccó e el plo complejo y sore todo el desrrollo de Algortmos específcos pr determr dchs ríces. El álss se s e l cosdercó de l ecucó poloml del tpo ddo por: p ( ) { } R Segú el Teorem Fudmetl del Alger, u ecucó poloml p () tee costtes úcs: γ, γ, γ,., γ k (reles y/o complejs) y eteros postvos m, m, m,, m k, tl que: k m (grdo del polomo) y demás se tee: m m m p ( ) ( γ ) ( γ ) L ( γ ) k sedo ls costtes: γ k ls ríces de p () y m k l multplcdd de l ríz Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 7

28 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Además se tee que: γ k γ k ( ) o y Tmé se h demostrdo que tods ls ríces de p () se hll loclzds e el llo complejo ddo por: δ + ρ + { } { } δ m dode: ρ m Ejemplo: Determr el llo complejo dode se uc tods ls ríces del polomo ddo por p ( ) + 5 dode: {,, } {,, } δ m 5 5 ρ m 5 5 etoces: y /7 6 Por otro ldo, u form de reducr el áre del llo complejo, es medte l mpulcó de los coefcetes del polomo de tl mer que se oteg u polomo ormlzdo equvlete l orgl, sí ddo el polomo: p ( ) + + K + + dode: p ( ) K etoces el polomo ormlzdo vee ddo por: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 8

29 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos q ( ) + A + K + A + A A,, K, dvdedo el polomo ormlzdo pr l costte h,se tee: q ( ) + h h A h A + K + h h A + h h cosderdo: A h, etoces: q ( ) q B h h + h B + K + + h h q ( y) y + B + K + B + y h A B,,, K h El polomo q ( y) es equvlete l polomo p ( ), por lo que el llo complejo vee ddo por: ρ δ + + δ m{, B, B, K, B } y, dode ρ m{ B, B, K, } y demás se tee que: γ k γ k ( ) B y Ejemplo: Trsformr el polomo del ejemplo teror de mer que teg l meos u ríz meor que l udd. p( ) 5 h h h + h h h h dode: h por lo que: h h h q ( y) y. 8y + 5. y ( ) ( ) δ m,. 8, ρ m. 8, 5., 5. etoces el llo complejo vedrá determdo medte los límtes ddos por: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 9

30 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos y h Es coveete teer u de del tpo de ríces que tee u polomo, sí, segú l REGLA DE DESCARTES es posle lzr ltertvs e cuto l úmero de ríces reles postvs y/o egtvs, segú el sguete crtero: Se procede order el polomo, respecto l potec de, e form scedete o descedete, sí, cosderdo: p ( ) + + K + + se procede cotr el úmero de veces que cm el sgo de los coefcetes, sguedo u recorrdo e el msmo setdo, etoces: q # de cmos de sgo e p (), q, # de cmos de sgo e p (-) co lo cul se form los cojutos de vlores pres: (q - r),,., q (q, - r, ),,., q, dode se otee: r # de ríces reles postvs de p () r, # de ríces reles egtvs de p () flmete se hrá tods ls comcoes etre los vlores de r y r, pr lzr ls ltertvs de ríces reles proles que tedrá el polomo p (). Ejemplo: Alzr ls ltertvs proles de ls ríces reles del polomo ddo por: 4 p ( ) Puesto que el polomo está ordedo, etoces: q 4 demás: p ( ) dode q, 4 etoces: ( - r) r ( - r, ), r,, por lo tto, ls ltertvs proles será: I) ríz rel postv y ríces reles egtvs II) ríz rel postv y ríz rel egtv Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

31 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos dode l crcterístc comú, e ls dos ltertvs, es que el polomo tedrá l meos ríz rel postv y ríz rel egtv. E efecto, el polomo descompuesto e sus fctores, vee ddo por: 4 p ( ) ( + )( )( + + ) 4 dode se puede cofrmr l crcterístc comú lzd.... ALGORITMO DE NEWTON - HORNER Es u método pr determr ríces reles de u polomo p () Pr plcr este método es coveete que el polomo teg l meos u ríz rel y que el vlor cl o se elemeto del llo complejo. El proceso cost de los sguetes psos: vlor cl, p ( ) p ( ) evlucó medte Horer p ( ) p ( ), evlucó medte Newto M Así sucesvmete se v determdo uevs promcoes l ríz. Ce señlr que el proceso es sem - tertvo, por lo que dee cumplr co u de ls codcoes de prd (codcó de error o tolerc). Por otro ldo, s se tee u polomo ormlzdo: p ( ), dode, u form de elegr u vlor cl que esté detro del llo complejo, es medte el álss de l crcterístc comú, oted de plcr l Regl de Descrtes, l msm que señlrá s l ríz rel es postv o egtv, pr lo cul se elge el sgo correspodete e l sguete relcó: ± RESUMEN: Evlucó de p ( ) ormlzdo. ENTRADA: Coefcetes, Tolerc ε, # mámo de tercoes k, Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

32 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos SALIDA: vlor cl ± r o Mesje de frcso. ALGORITMO: Pr,,, k ' Chequer s: p ( ). Clculr: p p ( ) '. ( ) Pror s: < ε ó p ( ) < ε p. 4 Ejemplo: Determr ls ríces reles de l ecucó: + 6 4, cosderr u tolerc ε p <. 4 Vlor cl:, ' Evlucó de p ( ) p ( ) medte HORNER: 4 4 j p 4 ( ) ' p 4 ( ) Prmer promcó medte NEWTON: ' Evlucó de p4 ( ) p4 ( ) medte HORNER: j p 4 ( ) ' p 4 ( ) Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

33 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Segud promcó: ' Evlucó de p ( ) p ( ) j < p ( ) cumple co l tolerc mpuest Segú esto y o hce flt el cálculo de p ríz h termdo. ( ), puesto que el proceso de úsqued de l 4 Por lo tto: es u promcó l ríz rel. S se procede DEFLACIONAR l ecucó dd, se tee lo sguete: p ( ) ( )( ). 4 Reptedo el proceso teror pr l ecucó cúc, se tee: Vlor cl: co lo cul se tee: p ( ) p ( ) <. DEFLACIONANDO uevmete, se tee flmete que: ( )( )( ). E térmos reles, l descomposcó e fctores de l ecucó es: p4 ( ) ( + )( )( + + ).... ALGORITMO DE NEWTON - BAIRSTOW Es u método pr determr ríces reles y/o complejs de u polomo p ( ). Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _

34 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Este método defe u FACTOR CUADRATICO de l form: u v, cuys ríces puede ser reles o complejs, depededo de los vlores de u, v. Cosderdo el polomo de l form: p ( ). y medte u dvsó stétc de p ( ) pr u v, se tee lo sguete: p ( ) ( u) q ( ) u v + + u v, co lo que p ( ) ( u v) q ( ) + ( u) + 4 dode: q ( ) sí, reemplzdo q ( ) e p ( ), se tee que: p ( ) ( u v ) + ( u v ) ( u v ) + ( u ) + segú lo cul se otee ls sguetes relcoes recursvs: + u + u + v M j j + u j+ + v j+ j,..., M + u + v f ( u, v) + u + v g( u, v) Etoces el método pr l otecó de ríces reles y/o complejs, cosste e determr vlores de u v tles que hg que se gules cero, co lo que: p ( ) ( u v) q ( ). Por lo tto dee resolverse el sstem de ecucoes: f ( u, v) g( u, v) Pr resolver el sstem de ecucoes se us el ALGORITMO DE NEWTON e vrles ddo por el sguete desrrollo: S f ( u, v) g( u, v) so fucoes cotus y dferecles e el tervlo [, ] y demás se u v ues promcoes ls ríces s t respectvmete, tles que f `( u, v ) g`( u, v ), etoces l epsó e seres de Tylor de ls fucoes f ( u, v) g( u, v) lrededor del puto (s, t) vee dd por: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 4

35 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 5 f u v f u v f u u u f v v v g u v g u v g u u u g v v v (, ) (, ) [ ] [ ] (, ) (, ) [ ] [ ] L L dode: f u u f u v g u u g u v (, ) (, ) demás: f v v f u v g v v g u v (, ) (, ) Por otro ldo cosderdo: u u s v v t, etoces: f s t f u v u u f u v v f v g s t g u v u u g u v v g v (, ) (, ) ( ) ( ) (, ) (, ) ( ) ( ) dode: { u v u v f u f v g u g v f u v g u v W W J H W (, ) (, ) ( ) etoces: W W J H W ( ) ecucó mtrcl tertv de puto fjo de segudo orde, coocdo como NEWTON e vrles. J : Jcoo. Ahor, dervdo ls epresoes de j, detro de u proceso tertvo, se tee que: u u u u u + ( )

36 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 6 u u u v u + + ( ) M j j j j u u u v u j ( ),..., M u u u v u f u u u u v u g u ( ) ( ) Tmé : v v v v u v + ( ) v u v v v ( ) M j j j j v u v v v j ( ),..., M v u v v v f v v u v v v g v ( ) ( ) cmdo de vrles, se tee : u c u c u c + ( ) ( )

37 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 7 u c u c v c + + ( ) ( ) ( ) M j j j j j u c u c v c j ( ) ( ) ( ) ( ),,..., M u c u c v c f u ( ) ( ) ( ) ( ) Ec. u c u c v c g u + + ( ) ( ) ( ) ( ) Ec. Tmé, y puesto que : v, etoces : v c v c u c + ( ) ( ) v c u c v c ( ) ( ) ( ) M j j j j j v c u c v c j ( ) ( ) ( ) ( ),,..., M v c u c v c f v ( ) ( ) ( ) ( ) Ec. v c u c v c g v ( ) ( ) ( ) ( ) Ec. 4 Por lo tto, reemplzdo ls epresoes Ec., Ec., Ec. y Ec.4 e l ecucó mtrcl tertv de puto fjo de NEWTON, se tee lo sguete: u v u v c c c c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

38 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos dode: c c u u J( ) c c v v + J( ) ( ) ( ) ( ) J( ) [ c ] c c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El proceso tertvo vzrá hst que se cumpl co u codcó de tolerc, como: u v u v u u ( ) u f u v r H (, ) v v g u v ε, ε, ε, ε ( ) (, ) v sí, el polomo tom l sguete form: ( ) p ( ) ( u v ) q ( ), dode: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q ( ) K Etoces q - () es u polomo otedo de l deflcó de p () trvés del fctor cudrátco ( - u - v ). Por otro ldo, s p () etoces pr el cso de ríces complejs, el fctor cudrátco tedrá l form dd por: ( α + jβ)( α jβ ) dode: α + ( α + β ) u α v α β Además u promcó cl de (u, v ) dee ser lo más cerc (s, t) RESUMEN: Evlucó de l ecucó p ( ) ENTRADA: Coefcetes, Apromcó cl (u, v ), Tolerc ε, # mámo de tercoes k. SALIDA: (u, v ) (s, t) ó Mesje de frcso. ALGORITMO: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 8

39 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Pr,,..., k ( ) ( ) Cosderr: c Clculr: + u c + u c Hcer: j,, K, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + u Hcer: j,, K, Clculr: c ( ) ( ) ( ) j j j+ j+ ( ) ( ) ( ) ( ) j j j+ j+ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) + v + u c + v c Chequer s: J c c c Clculr: u u v ( ) ( ) ( ) ( ) [ c c ] J( ) v + J ( ) Pror s: u u v v ε o W f ( u, v ) g( u, v ) ε H ( ) ( ) ( ) ( ) [ c c ] Ejemplo: Determr ls ríces del polomo p () medte el Algortmo de Newto - Brstow, cosderr (u, v ) (.5, -.5) y u tolerc ε H < -. coefcetes: c -,, - etoces: ( ) ( ) ( ) + u c + u c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + u + v c + u c + v c + u + v ( ) ( ) ( ) demás: c c u u J( ) c c v v + J( ) ( ) ( ) ( ) J( ) [ c ] c c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por lo tto, el resume de cálculos se preset e l sguete tl: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 9

40 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos J (-) µ υ ,5 -,5 (-) C (-) (-) (-) C (-) -,5, -,75 -,65 -,5,5 -, -,75 -, -,44444,56 -,995,959,998 -,4458 -, ,4458 -,8964,5,89 -,75 4,7956 -,5755 -, ,5755 -,75,779, -,85657,7984 -,5 -, ,5 -,764, -,4 -,875,7876 -,5 -,47797 Etoces: u v s t Así: p () ( )( -.5) r j.8 r j.8 r.5... EVALUACIÓN DE POLINOMIOS Y SUS DERIVADAS EN AR- GUMENTO COMPLEJO Como u cosecuec del método Newto - Brstow, se puede evlur polomos y sus dervdos e rgumeto complejo. Así, cosderdo el rgumeto complejo de l form: δ α + jβ, etoces se puede teer culquer de ls sguetes ltertvs: ) S: δ r (ríz del polomo p ()) ) S: δ r Además s se form u fctor cudrátco cuys ríces se α ± jβ, etoces medte el crtero de l dvsó stétc, se tee lo sguete: p () ( - u - ν)q - () + ( - u) + dode: p (δ) (δ - u) + (α + jβ - α) + δ α + jβ u α p (δ) ( - α ) + jβ Por otro ldo, sedo: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 4

41 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos p () ( - u - ν)q - () + ( - u) +, etoces: p () ( - u)q - () + ( - u -ν)q - () +, dode: q - () ( - u - ν)θ -4 () + ( - u)c + c por lo que s δ es ríz del fctor cudrátco ( - u - ν), etoces: p (δ) (δ - µ) [(δ - µ)c + c ] + p (δ) ( - β c ) + j(βc - αβc ) Ejemplo: Evlur el polomo p () y su dervd e δ - j4. dode: α µ α 6 β -4 v - α - β -5 demás: c -6-6 etoces: + µ * c + µc + 6* 6 tmé: + µ + v -4 + µ + v -9 por lo tto, reemplzdo los vlores otedos e ls fórmuls del polomo y su prmer dervd, se tee respectvmete lo sguete: p ( - j4) ( - ) - j4 (-9 - (-4)) - j4(-4) j56 p ( - j4) ( - (-4) c ) + j((-4)c - ()(-4) c ) (-4 - ) + j( ) j4 4. SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 4

42 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Se h desrrolldo métodos drectos pr l solucó de sstems leles, y métodos tertvos pr l solucó de sstems tto leles como o leles. U sstem lel de ecucoes vee epresdo e l sguete form: E : E : : : E : E u sstem lel, es posle plcr u secuec de opercoes que permt trsformr l sstem orgl e otro que coteg el msmo cojuto de solucoes. Ls opercoes áscs, puede ser ls sguetes: (λ E ) (E ) λ (E + λe j ) (E ) (E ) (E j ) (E ) E form mtrcl, u sstem lel vee ddo por: M M M { { A X B dode: AX B A es u mtrz cudrd (#ecucoes # cógts) X es u vector de cógts B es u vector de térmos depedetes (B pr solucó úc) Por otro ldo u sstem o lel, vee epresdo e l sguete form: f (,,..., ) f (,,..., ).. f (,,..., ) F(X) dode: f, f,..., f se llm fucoes coordeds de F. 4.. MÉTODOS DIRECTOS PARA LA SOLUCIÓN DE UN SISTE- MA DE ECUACIONES LINEALES Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 4

43 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 4 So métodos que proporco u respuest e u úmero fjo de psos y se hll sujetos fudmetlmete errores de redodeo ALGORITMO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA Es u método trvés del cul se cosgue trgulrzr el sstem lel, oteédose: E E E,,,,,,,,,,,, : : : L L M Por lo tto el sstem orgl: AX B se trsform e AºX Bº, dode: Aº es u mtrz trgulr superor. El proceso de trgulrzcó pso pso es el sguete: k Sstem orgl: fls () y colums (j) E E E E L L L M L M M M k Elmcó de l prmer colum (j ) prtr de l segud fl (,, ) Pr: E E E E L L L M L M M M dode: [ ] E E E pr,,., k Elmcó de l segud colum (j ) prtr de l tercer fl (, 4, )

44 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 44 Pr: E E E E L L L M L M M M dode: [ ] E E E pr, 4,., Así, sucesvmete hst completr co tod l trgulrzcó del sstem lel, esto es: Pr: kk k E E E E L L L M L M M M dode: [ ] E E E k k k kk k k k k pr: k,,.., - k+, k+,.., Ahor hcedo u susttucó hc rr, se tee lo sguete: ( ),, ( ),,, ( )... j j j + ( ) pr -, -,.., Flmete, segú l epresó: [ ] E E E k k k kk k k k k se deduce ls sguetes epresoes válds:

45 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos k j k k k k j k kk k k k k kk k kj k k dode: k,, L, k +, L, j k, L, RESUMEN: Solucó de u Sstem Lel AX B ENTRADA: (# de ecucoes # de cógts), j (coefcetes), (térmos depedetes) SALIDA:,,.., ó mesje de que el sstem lel o tee solucó úc. ALGORITMO: Cosderr: A ( j ) * B ( ) * Pr: k,,.., - Pror sí: kk k Hcer: k+, k+,.., Hcer: j k, k+,.., Clculr: ( ) Clculr: k j k k k k j k kk k k k k kk k kj k k Pr: -, -,.., Clculr: ( j j ) j + Ejemplo: Resolver el sstem lel, medte Elmcó Guss, usdo rtmétc de redodeo cfrs sgfctvs Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 45

46 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Dode: { { A X B Cosderdo l mtrz mpld (A B) C y efectudo opercoes cosecutvs, se tee lo sguete: C 4 4 M 9 M M 5 M M 9 E [ E ] E E [ E ] E E prmer elmco C M 9 M M 9. 5 M M E E [ E ] E E segud elmco C M 9 M M 9. 5 M M 9 E E E 4 4 tercer elmco etoces: ( ). ( 9). 9 ( ). 5 ( (. 9)). Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 46

47 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos ( ) 4 ( 9 (. ) (. 9)). L solucó ect del sstem es: X 4... ALGORITMO DE GAUSS - JORDAN Es u método sdo e el de Elmcó Guss. L mtrz A es trsformd e mtrz detdd, oteédose lo sguete: E : E : M E dode: AX B A X B A I Asumedo el sstem orgl como sgue: L L M M M L M M M M C C L C C C L C M M M C C L C MC MC M MC ( + ) ( + ) ( + ) C Etoces: Pr k Normlzcó de l prmer fl ( ) co C C L C C C L C M M M C C L C MC MC M MC ( + ) ( + ) ( + ) dode: C C j pr: j,,..., + C j Elmcó de elemetos de l prmer colum (j ) ecepto el elemeto de l prmer fl ( ) Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 47

48 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos C L C L M M M C L C C C MC MC M MC ( + ) ( + ) ( + ) C dode: C C C C pr:,,..., j j j j,,, + Pr k Normlzcó de l segud fl ( ) co C dode: C C L L M M M C L C C C MC MC M MC ( + ) ( + ) ( + ) C j pr: j,,..., + C j Elmcó de elemetos de l segud colum (j ) ecepto el elemeto de l segud fl ( ) L L M M M L C C C MC MC M MC ( + ) ( + ) ( + ) C dode: C C C C pr:,, 4,..., j j j j,,, + Así, sucesvmete hst completr co l elmcó de elemetos. E geerl se tee lo sguete: ( k Pr: k,,..., co C ) kk Normlzcó: C ( k ) kj C C ( k ) kj ( k ) kk j k, k+,..., + k k k Elmcó: C C C C Además: ( ) C + ( ) ( ) ( ) ( k ) j j kj k ( ),,,..., ( k) j k, k+,..., +,,..., Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 48

49 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Ce señlr que este método requere de u myor úmero de opercoes, respecto l de Elmcó Guss, por lo que los errores de promcó será myores. RESUMEN: Solucó de u sstem lel AX B ENTRADA: (#de ecucoes # de cógts), C j (Coefcetes de mtrz umetd). SALIDA:,,..., o Mesje de que el sstem lel o tee solucó úc. ALGORITMO: Cosderr: C () ( ) ( ) Pr: k,,..., C j ( + ) ( k Pror s: ( C ) kk ) Hcer:,,..., ( k) Pr: j k, k+,..., + Clculr: C ( k ) kj C C ( k ) kj ( k ) kk Pr:,,..., k k k C C C C ( ) ( ) ( ) ( k ) j j kj k Clculr: X C ( ) ( + ) Ejemplo: Resolver el sstem lel medte Guss - Jord, usdo rtmétc de redodeo dígtos. 4 X + X + X 9 X + 4 X X 5 X + X X C Efectudo opercoes cosecutvs de elmcó de elemetos, se tee lo sguete: Efectudo opercoes cosecutvs de elmcó de elemetos, se tee lo sguete: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 49

50 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos C 4 4 M 9 M M 5 M M 9 E E C C [ E ] E C E C [ E ] E C E prmer elmco C M. M M 9. 4 M M C E E E C E E C C [ E ] E E C segud elmco C M. 9 M M. 7 M M 9 C E E C E C E E C E E E C tercer elmco por lo tto: C M. M. M. 9 dode: C. 4 C. 4 C ALGORITMO DE FACTORIZACIÓN Es u método por medo del cul l mtrz A se descompoe e el producto de dos mtrces, u trgulr feror y otr trgulr superor, sí: AX B A LU, dode: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 5

51 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos L ( lj ) lj,..., j +,...,,..., j,..., Mtrz trgulr feror U,..., uj j,..., ( U j ),..., j,..., Mtrz trgulr superor etoces: AX B LUX B, dode: LY B Y UX Y X Así, etoces el método cosste e fctorzr l mtrz A y luego despejr de cd sstem los vectores Y y X e form cosecutv. Por lo tto:.. l.. u u.. u.. l l.. u.. u l l.. l.. u segú lo cul se tee + cógts y solmete ecucoes oteds l plcr el producto mtrcl, ddo por: j k lk ukj Bjo est comptldd, se sume uo de los sguetes crteros váldos: ) l l... l Crtero de DOOLITTLE ) l u, l u,..., l u Crtero de CHOLESKI c) u u... u Crtero de CROUT Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 5

52 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Asumedo el crtero de DOOLITTLE, se tee: dode:.... u u.. u.. l.. u.. u l l.... u u u... u l u l u + u... l u + u.... l u l u +l u... l u + l u u Por lo tto: l,..., u u j j j,..., demás pr: k,..., y u kk, etoces : k lk k lmumk k +,..., ukk m k ukj kj lkmumj j k,..., m Por otro ldo, segú el sstem LY B, se tee lo sguete: y y lj y j,..., j Flmete, de cuerdo l sstem UX Y, se tee que: ( y ) u y uj j,..., u j + Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 5

53 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos RESUMEN: Solucó de u sstem lel AX B ENTRADA: (# de ecucoes # de cógts), j (coefcetes), (térmos depedetes). SALIDA:,,..., ó Mesje de que el sstem lel o tee solucó úc: ALGORITMO: Cosderr u Pr: k,..., Asumr: u k k Clculr: l k k / u Pr k,..., Hcer: j k,..., k Clculr: u l u kj kj km mj m Pror s: u kk Hcer: k +,..., Clculr: l k u kk k l u k m mk m Asumr: y Pr:,..., Clculr: y l y j j j Asumr: y / u Pr: -,..., Clculr: y u u j j j + Ejemplo: Resolver el sstem lel de ecucoes medte fctorzcó usdo el crtero de DOOLITTLE y rtmétc de redodeo dígtos. Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 5

54 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos A 4 dode: 4 u u u 4 l u u l l u sí: 4 u u u l u 4 l u + u - l u + u l u l u + l u - l u + l u + u por lo que: LY B dode: y 9 y 9 5. y y 9 y (-5 -.5y ) -9.5 y (-9 -.5y -.y ) demás: UX Y dode: ( ) 9... ( ). 5. ( ) PIVOTACIÓN Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 54

55 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos E los lgortmos lzdos, se requere efectur dvsoes pr térmos como kk o C kk, los msmos que e los procesos umércos dee ser de vlores tles que o ltere los resultdos y se oteg solucoes ceptles. Así, s estos térmos so de jo vlor, l dvsó drá como resultdo u vlor lto, co el cosguete error de redodeo. E los procesos umércos se trt de evtr dvsoes pr térmos de jo vlor, por ser custes de provocr cumulcoes ecesvs de redodeo. Etoces, es coveete uscr térmos de u vlor reltvmete lto, pr evtr que el error de redodeo rese los límtes permtdos. El térmo de vlor reltvmete lto se llm PIVOTE y el proceso de úsqued y reordemeto del pvote se llm PIVOTACIÓN. L úsqued y reordemeto del pvote puede ser hecho de ls sguetes forms: Medte movmeto de fls y colums (Pvotcó Complet). Medte movmeto de fls (Pvotcó Prcl). Pr el cso de pvotcó prcl, el pvote dee ser uscdo detro de l colum y ucdo e el sto dode se lo requer. El ejemplo epuesto cotucó poe de mfesto el efecto de l pvotcó. Ejemplo: L solucó ect del sstem lel es:. Medte Elmcó Guss, determr l solucó promd usdo rtmétc de redodeo 4 dígtos y cosderdo: ) El rreglo orgl, ) Pvotcó Prcl. E : E : ) M59. 7 M M E 5. 9 E ( ) E λ. 764 E Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 55

56 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos segú lo cul se otee: M M44 dode. se puede oservr que l solucó o cocuerd co l verdder, esto se dee l vlor lto del térmo dvsor. ) PIVOTE: 5. 9, pr lo cul: E E Etoces: M M M597. E. E ( ) E 567 λ E segú lo cul se otee: M M59. 4 dode.. Est solucó cocuerd co l verdder, por lo tto, l solucó ceptle es l que se plc pvotcó. U ue eleccó de l ecucó que coteg el verddero PIVOTE, pr cudo se plc pvotcó prcl, se hce por medo de l técc de PIVOTEO ESCALONADO EN COLUMNA. Báscmete est form de ecotrr el verddero PIVOTE, se plc S.E.L. cuys ecucoes h sufrdo ltercoes e su escl, perdédose de es mer l referec comú del Sstem. Así, cosderdo:,,., S m j j,..., etoces, sedo k l colum de pvotcó, l relcó: m est e l ecucó E k, dc que el pvote s Pr el cso de Elmcó Gus se tee: k,,., - k,., Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 56

57 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos S m j j k,..., k etoces: m s dc que el pvote está e l ecucó E e l colum k e l cul se plc pvotcó. Ejemplo: Resolver el sstem lel medte Elmcó Gus, rtmétc de redodeo 4 dígtos y pvotcó prcl. ) PIVOTE. E: E : M597 M M segú lo cul se otee: E 5. 9 E ( ) E λ E. 594 M 597 4M44 dode. se puede oservr que l solucó o cocuerd co l verdder, esto se dee que o es u PIVOT VERDADERO. ) Aplcdo pvotcó esclod e l prmer colum, se tee: E : S m{., 594} 594 E : S m{5.9, 6.} 6. dode: s s etoces: m,. 86 S S, que dc que E tee el pvote verddero e l prmer colum. Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 57

58 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos Por lo tto, hcedo cmo de fls: E E, se tee: M M M597 E. E ( ) E 5 67 λ E segú lo cul se otee: M M594 dode.. Est solucó cocuerd co l verdder, por lo tto, l solucó ceptle es l que se plc pvotcó esclod por colum. Todo esto es justfcle, puesto que l ecucó E es l msm que l del ejemplo teror fectd por el fctor 4, lo cul o cm l crcterístc del sstem lel, pero ocult l verdder referec del Sstem de Ecucoes SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES MAL CONDICIO- NADO U sstem ml codcodo es quel e el cul, l hcer lgeros cmos e los térmos, se provoc grdes dferecs e l solucó. El ejemplo que se desrroll cotucó, muestr l crcterístc de u sstem ml codcodo. Ejemplo: Determr l solucó de los sstems, medte fctorzcó. ) ) Pr los dos sstems, se tee lo sguete: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 58

59 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos 8 4. u u u 6 6. l u u 6 4. l l u dode: etoces: u 6 l u 6 l u 8 u 6 l u + u 4 l u + l u 4. u. l u + u. l u + l u + u L U Así pr el sstem ) se tee que: y y y. 4 y 4. 6 y y Pr el sstem ) se tee: y 4 y y y y y Segú los resultdos, se puede deducr que pequeños cmos e u sstem provoc grdes dferecs e ls solucoes. Por lo tto el sstem resuelto es u sstem ml codcodo (ILL - CONDITIONED). Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 59

60 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos ANÁLISIS DEL ERROR EN SISTEMAS DE ECUACIONES LI- NEALES Es ecesro hcer u álss cutttvo del error, pr teer u de clr del grdo de promcó l solucó rel. Así, el sstem lel: AX B, tedrá u vector solucó promd X y u vector solucó rel X r, pr lo cul se defe ls sguetes codcoes: E X X Vector de errores solutos r γ AX B Vector de errores resdules Además, se tee que: AX terores se lleg lo sguete: E A γ r B, co lo que l reemplzr e ls defcoes Por otro ldo, pr teer u de del cercmeto etre vectores o mtrces, es ecesro usr defcoes de NORMAS, co lo cul se puede hcer u álss del error l trjr co vectores o mtrces. NORMA VECTORIAL Es u fucó represetd por. que tee ls sguetes propeddes: X pr X R X X αx α X pr α R X R X + Y X + Y pr Χ Υ R Se defe tpos de Norms Vectorles que cumple co ls propeddes terores, esto es: Norm : X Norm ó Eucld: X E [ ] Norm Ifto: X m Por lo tto, los vlores X r X estrá cercos etre sí medd que X u vlor pequeño o lo sufcetemete cerco u tolerc estlecd. / r X se de Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 6

61 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos NORMA MATRICIAL Es u fucó correspodete l teror co ls sguetes propeddes: A A A α A α A A + B A + B AB A B dode A B so mtrces E este cso ls orms se defe de l sguete mer: Norm A m j mámo de l sum solut de c/colum Norm Eucld: A Norm Ifto: A j E j j / m mámo de l sum solut de c/fl j j Tmé, ls mtrces A B está cercos etre sí, cudo A B es pequeñ. Por otro ldo se defe el NÚMERO DE CONDICIÓN de l mtrz A medte l sguete epresó: Cod( A) A A AA sí, de cuerdo l tpo de orm, se tee: AA, Cod ( A) AA Cod ( A) E Ahor, retomdo l epresó: E X r - X - A - γ y plcdo NORMAS, se tee: X X A γ () r Tmé: A X B r A X r B X Multplcdo () () memro memro se otee lo sguete: r A B () Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 6

62 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos X r X γ A A X r B Cod(A) εr γ etoces: εr Cod( A) COTA SUPERIOR DEL ERROR RELATIVO B E geerl los límtes o cots del error reltvo vee ddos por: γ Cod( A) B γ εr Cod( A) B L evlucó de estos límtes o cots de error depede fudmetlmete del cálculo de A -, lo cul está sujeto errores de redodeo depedetes del grdo de precsó co que se efectúe ls opercoes mtemátcs. Se h demostrdo que usdo rtmétc de redodeo t dígtos medte Elmcó Guss, el vector resdulγ pr u promcó X, vee ddo por: γ A X t demás l cosderr el sstem: - AE ϒ, dode: E X r -X y sumedo u solucó promd E, etoces: ( ) E A γ A AX B A B A AX 4 4 t por lo tto: E X r X A A A γ γ ( A X ) X r t X X Cod( A) dode: Cod(A) t E X relcó que o depede del cálculo de A - Ejemplo: Determr l cot superor del error reltvo provocdo e el sstem lel ddo, medte Elmcó Guss y rtmétc de redodeo 5 dígtos Cosderdo el cso crítco e el que se provoque u myor error, esto es s hcer pvoteo esclodo de colum, se tee lo sguete: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 6

63 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos. 59. M M M M M M M M M dode: X Además: ϒ AX - B γ dode: γ γ.74 Cosderdo el sstem lel: AE -ϒ y resolvedo medte Elmcó Guss y rtmétc de redodeo 5 dígtos, se tee:. 59. M M M E dode: E.8 Etoces: ( ) Cod A E X. co lo que l cot superor del error reltvo vee ddo por: X r X X r γ εr Cod ( A) B ε r Tmé es posle oteer l cot superor del error reltvo, medte l epresó: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 6

64 Fcultd de Igeerí Eléctrc Métodos Numércos ε r A A γ B dode: A A demás: A 594, etoces Cod(A) (594)(.4) 5999, vlor stte promdo l teror, por lo que o será ecesro vertr l mtrz A. Flmete: ε r SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TÉRMINOS COMPLEJOS Cosderdo el modelo sguete: + j + j L + j + j + j L + j M M L M + j + j L + j Seprdo l prte rel e mgr, se tee: + + M + j j j y c + y c + M y c + d j d j j d L L L L j M M L M + M M L M M + L L ( ) ( ) X j dode: [( j ) + j( j )][X + jy] [C + jd] j y c y c j M + M y c Y C d d j M d D flmete relzdo opercoes mtrcles y resumédols e u form mtrcl mpld, se tee: Ig. Oscr E. Ceró A. OECA _ 64