Cálculo Numérico (0258) TEMA 5 DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA. Semestre

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1 Cálculo Numérco (58) Semestre - TEMA 5 DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA Semestre - Septemre

2 Dfereccó e Itegrcó Numérc U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Ls ots presetds cotucó tee como úco f, el de prestr poyo l estudte y fcltr su etedmeto e el tem de dfereccó e tegrcó umérc. L guí cotempl u pequeño resume de l teorí correspodete que srve de repso los cotedos teórcos que compoe el tem. Se preset ejerccos resueltos y propuestos, lguos so orgles, otros se tomdo de guís redctds por profesores, tmé y ejerccos tomdos de exámees y de lguos textos. Se trtdo de ser lo más ddáctco posle y se esper prestr u poyo l eseñz del Cálculo Numérco e Igeerí. Agrdezco ls oservcoes y sugerecs que me pued cer llegr e l mejor del presete mterl, ls msms puede ser evds l sguete dreccó de correo: quterodvl@otml.com.

3 INDICE GENERAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc 5.. Itroduccó 5.. Dfereccó umérc 5.3. Dfereccó ví terpolcó poloml 5.4. Itegrcó umérc sd e terpolcó 5.5. Itegrcó ví terpolcó poloml 5.6. Regl del trpeco 5.7. Método de los coefcetes determdos 5.8. Regl de Smpso 5.9. Cmo de tervlos 5.. Ejerccos resueltos 5.. Ejerccos propuestos

4 INTRODUCCIÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 4 de INTRODUCCIÓN S se proporco los vlores de u fucó f e certos putos, por ejemplo x, x,..., x, se puede usr est formcó pr oteer u estmcó de cómo es su dervd e u puto, f '(c) o u tegrl f(x)dx? L respuest es u sí rotudo. Se empez este álss cometdo que s se prte exclusvmete de los vlores f(x ), f(x ),..., f(x ) es mposle decr muco cerc de f, meos que tmé se sep que f form prte de u fml reltvmete pequeñ de fucoes. Así, s se permte que f se u más e l fml de tods ls fucoes cotus de vrle rel, coocer los vlores f(x ) result cs rrelevte. Por otr prte, s se se que f es u polomo de lo más grdo, etoces los vlores e + putos determ completmete f, segú se vó e l teorí de terpolcó presetd e el tem teror. E este cso se recuper f exctmete, y se puede etoces clculr co solut certez f '(c) o f(x)dx. S emrgo, e l myor prte de ls stucoes que se peg l reldd, l formcó que se tee dspole o determ completmete f, y culquer estmcó umérc de su dervd o de su tegrl deerá tomrse co esceptcsmo, meos que veg compñd de lgu cot pr los errores compreddos. 5.. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Se lustrrá este prtdo lzdo u fórmul pr l dfereccó umérc que surge de mer drect de l defcó e térmos de límte de f '(x): f(x + ) f(x) f '(x). ()

5 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 4 de 6 Pr u fucó lel, f(x) x +, l proxmcó que expres l fórmul () result exct; esto es, proporco el vlor correcto de f '(x) pr culquer vlor de dstto de cero. Tmé e otros csos l fórmul puede ser exct, pero esto ocurre sólo de mer fortut. Se procede por lo tto cer u estmcó del error socdo est fórmul de dfereccó umérc. El puto de prtd es el teorem de Tylor e l form: f(x + ) f(x) + f '(x) + f ''( ξ ). () E este cso ξ es u puto e el tervlo erto etre x y x +. Pr que l ecucó () se váld, f y f deerí ser cotus e el tervlo cerrdo etre x y x +. y f '' deerí exstr e el tervlo erto correspodete. U recomodo de los térmos de l ecucó () llev : f(x + ) f(x) f '(x) f ''( ξ ). (3) L ecucó (3) es más útl que l ecucó (), dedo que pr u clse mpl de fucoes, se cuet, demás de l fórmul umérc ásc, co u térmo que cutfc el error y que se cooce como térmo de error. Dése cuet de que el térmo de error cost de dos prtes: u potec de y u fctor que cotee cert dervd de orde superor de f. Este últmo costtuye u dcdor de l clse de fucoes pr l cul l estmcó del error result váld. L presec de e el térmo de error ce que tod l expresó coverj cero coforme tede cero. U vstzo l ecucó (3) muestr que pr clculr f '(x) co precsó, el tmño del pso dee ser pequeño. Co esto e mete se puede llevr co u expermeto e el que coverge cero psdo por u sucesó de vlores, y co dcos vlores se clcul ls proxmcoes correspodetes f '(x). Se preset u pseudocódgo pr estos cálculos (ver lgortmo ). Ls fórmuls de dfereccó umérc tee su plccó más mportte e l solucó umérc de ecucoes dferecles. U estrteg muy comú cosste e reemplzr ls dervds por proxmcoes semejtes l que se expres medte l ecucó (). Co frecuec l precsó de dcs fórmuls de dfereccó umérc se juzg prtr de l potec de que prece e el térmo de error. Cuto myor se l potec de mejor es l proxmcó, y que sempre es u úmero pequeño. E est evlucó, y dedo l potec de, l fórmul () tee u pore desempeño. U fórmul más coveete es:

6 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 4 de 6 co leer (M,,c) F f(c) desde st M cer F f(c + ) d F F r d escrr (,, F, F, d, r) s etoces stop f_desde f Algortmo. Dfereccó umérc f(x + ) f(x ) f '(x). (4) Est se deduce de dos csos del teorem de Tylor, ser: 3 f(x + ) f(x) + f '(x) + f ''(x) + f '''( ξ ) (5) 6 3 f(x ) f(x) f '(x) + f ''(x) f '''( ξ ) (6) 6 Restdo u expresó de l otr, se otee: f(x + ) f(x ) f '(x) [f '''( ξ ) + f '''( ξ )]. (7) Dedo l térmo e el error, éste es u resultdo más fvorle. S emrgo, y que cosderr l presec del térmo f ''' e el error. Este térmo de error se puede usr s f ''' exste. El térmo de error e l ecucó (7) se puede smplfcr s se ce l suposcó dcol de que l fucó f ''' es cotu e [x,x + ]. Tome M y m como los vlores myor y meor respectvmete de f ''' e [x,x + ]. Etoces f '''( ξ), f'''( ξ ) y c [f '''( ξ ) + f '''( ξ )] se ecuetr e el tervlo [m, M]. Y que f ''' es cotu, tom el vlor c e lgú puto ξ e [x,x + ]. Por ede, f '''( ξ ) [f '''( ξ ) + f '''( ξ )].

7 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 43 de 6 Cudo est expresó se susttuye e l ecucó (7) el resultdo es f(x + ) f(x ) f '(x) f '''( ξ ). 6 U fórmul mportte pr clculr seguds dervds se otee ñdedo u térmo más ls ecucoes (5) y (6) y sumdo los resultdos. Después de u recomodo de térmos y de utlzr el método teror, se otee (4) f(x + ) f(x) + f(x ) f ''(x) f ( ξ ), pr lgu ξ (x, x + ). Est fórmul se utlz co frecuec e l solucó umérc de ecucoes dferecles de segudo orde. A cotucó se resume u sere de fórmuls por dferecs dvdds fts. Prmer dervd: f(x + ) f(x) f(x + ) + 4f(x + ) 3f(x) f '(x), f'(x), f(x) f(x ) 3f(x) 4f(x ) + f(x ) f '(x), f'(x), f(x + ) f(x ) f '(x), f'(x) f(x + ) + 8f(x + ) 8f(x ) + f(x ) Segud dervd: f(x + ) f(x + ) + f(x) f ''(x), f(x + 3) + 4f(x + ) 5f(x + ) + f(x) f ''(x),

8 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 44 de 6 f(x) f(x ) + f(x ) f ''(x), f(x) 5f(x ) + 4f(x ) f(x 3) f ''(x), f(x + ) f(x) + f(x ) f ''(x), f ''(x) f(x + ) + 6f(x + ) 3f(x) + 6f(x ) f(x ) 5.3. DIFERENCIACIÓN VÍA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL L terpolcó poloml puede utlzrse como puto de prtd de u procedmeto geerl pr efectur tegrcoes y dfereccoes umércs. Supog que se cuet co + vlores de u fucó f e los putos x, x,..., x. U polomo que terpole f e los odos x puede represetrse e l form de Lgrge. Al clur el térmo del error de terpolcó se otee: (+ ) x ( + )! (8) f(x) f(x )l(x) + f ( ξ )w(x). E este cso se tomdo w(x) (x x ). Dervdo los térmos que prece e l ecucó (8) se lleg : ' (+ ) d (+ ) f '(x) f(x )l(x) + f ( ξ x)w'(x) + w(x) f ( ξx) ( + )! ( + ) dx

9 DIFERENCIACIÓN VÍA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 45 de 6 S x es uo de los odos, dgmos x w(x α ) y el resultdo es x α, l expresó teror se smplfc, ddo que ' (+ ) α α + ξx α. ( + )! f '(x ) f(x )l(x ) f ( )w'(x ) oserve que S se clcul w'(x ), α puede su vez ser ojeto de u smplfccó. Pr prorlo sí que j j w'(x) (x x ) α j. j j α w'(x ) (x x ) α j L fórmul de dfereccó fl, cludo el térmo de error, qued como: ' (+ ) α α + ξx α ( + )! α j j α f '(x ) f(x )l(x ) f ( ) (x x ) INTEGRACIÓN NUMÉRICA BASADA EN INTERPOLACIÓN L tegrcó umérc es el proceso por medo del cul se geer u vlor umérco pr l tegrcó de u fucó sore u cojuto. He quí lguos ejemplos de tegrles que puede clculrse medte el dseño y puest e mrc de ruts computcoles decuds: x e dx, x se(xye )dxdy, x x tg(xy )dydx

10 INTEGRACIÓN NUMÉRICA BASADA EN INTERPOLACIÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 46 de 6 Estos prolems de tegrcó o so trtles co ls téccs predds e los cursos áscos de cálculo. Ests téccs depede de ecotrr l tdervd. Por ello, pr ecotrr medte el cálculo elemetl el vlor de f(x)dx, se dee prmero ecotrr u fucó F co l propedd de que F' f. Etoces result que f(x)dx F() F(). U estrteg muy poderos pr clculr el vlor umérco de l tegrl f(x)dx, cosste e reemplzr f por otr fucó g que proxm f de mer decud y es fácl de tegrr. E este cso smplemete se dce que prtr de que f g, se deduce que f(x)dx g(x)dx. E este mometo u ue ocurrec serí que los polomos so ueos cddtos pr el ppel de g y, de eco, g puede ser u polomo que terpol f e certo cojuto de odos. Es evdete que y otrs forms de oteer u proxmcó poloml de f, por ejemplo, trucdo u sere de Tylor. S emrgo, es desele teer procedmetos geerles que sólo requer evlucoes del tegrdo. Los métodos sdos e terpolcó stsfce ese deseo. Tmé se puede recurrr los sples pr terpolr f, y provecr que ls tegrles de éstos so fáclmete clculles.

11 INTEGRACIÓN VÍA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 47 de INTEGRACIÓN VÍA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL E est seccó se trtrá l terpolcó poloml. Supog que se dese clculr l tegrl f(x)dx. Se puede elegr odos x, x,..., x e [,] e cr u proceso de terpolcó de Lgrge. Se defe j j x xj l(x) ( ) x x j Estos so los polomos fudmetles de terpolcó. El polomo de grdo que terpol f e los odos es: p(x) f(x )l(x). Aor, como se mecoó co terordd, smplemete se escre f(x)dx p(x)dx f(x ) l(x)dx. De est mer se otee u fórmul que se puede utlzr pr culquer f y que tee l sguete form: dode f(x)dx Af(x ), (9) A l(x)dx.

12 INTEGRACIÓN VÍA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 48 de 6 S los odos está uformemete espcdos, u expresó como l que precó e (9) rece el omre de Fórmul de Newto-Cotes REGLA DEL TRAPECIO El cso más secllo ocurre cudo y los odos so x polomos fudmetles pr l terpolcó so y x. Etoces los x x l (x), l(x). Y como cosecuec de lo teror, A l (x)dx ( ) l (x)dx A. L fórmul de cudrtur correspodete es f(x)dx [f() + f()]. Est expresó se cooce como regl del trpeco. Proporco u resultdo excto pr todos los polomos de grdo lo sumo. más ú, su térmo de error es ( ) 3 f ''( ), ξ dode ξ (,). S e el tervlo [,] se ce u prtcó como l sguete x < x <... < x, etoces se puede plcr l regl del trpeco cd uo de los sutervlos. E este cso los odos o se ecuetr ecesrmete espcdos de mer uforme. Es sí como se otee l regl del trpeco compuest,

13 REGLA DEL TRAPECIO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 49 de 6 x x f(x)dx f(x)dx (x x )[f(x ) + f(x )]. (Se geer u regl compuest cudo se plc u fórmul de tegrcó sore u tervlo cd uo de los sutervlos e que se dvddo el tervlo.) Tmé prece l regl del trpeco compuest s se susttuye l tegrdo por u sple terpolte de grdo ; es decr, por u líe querd. Co el espcmeto uforme geerdo por ( ) y x trpeco compuest dopt l form: f(x)dx f() + f( + ) + f(). +, l regl del El térmo de error pr l regl del trpeco compuest es: ( ) f ''( ), ξ dode ξ (,). Ejemplo. S e el procedmeto de Newto-Cotes se tom y [,] [,], se otee l fórmul f(x)dx f() + f( ) + f() Est fórmul se puede oteer clculdo prmero los tres polomos fudmetles pr los odos,,. Estos so: l (x) (x )(x ), l (x) 4x(x ), l (x) x(x ). Etoces y sí sucesvmete. A l (x)dx, 6

14 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 5 de MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS A prtr de l mer como se dedujo l fórmul (9) se ve de medto que es exct pr todos los polomos de grdo. Por otr prte, supog que se proporco l fórmul (9) y se dce que es exct pr todos los polomos de grdo. Es correct l sguete ecucó? A l(x)dx. L respuest es sí, y se costt prtr del eco de que l fórmul (9) dee tegrr correctmete culquer l j (x). Por ede, j j j l (x)dx Al (x ) A. Ls oservcoes precedetes permte llegr fórmuls como l (9), medte el llmdo método de los coefcetes determdos REGLA DE SIMPSON Cálculos smlres los ecos pr deducr l regl del trpeco pr u tervlo rtrro [,] coduce l coocd regl de Smpso: + f(x)dx f() + 4f f(). 6 + () A prtr de l mer como se dedujo se se que l regl de Smpso es exct pr todos los polomos de grdo. Tmé es, esperdmete, exct pr todos los polomos de grdo 3. El térmo de error socdo l regl de Smpso es dode ξ (,). ( ) 5 f (4) ( ), ξ 9

15 MÉTODO DE SIMPSON U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 5 de 6 Co frecuec se utlz u regl de Smpso compuest usdo u úmero pr de tervlos. Se u úmero y se: x + ( ) ( ). Etoces, x x x x 4 f(x)dx f(x)dx + f(x)dx f(x)dx f(x)dx x x x x - Al plcr l regl de Smpso () e cd uo de los sutervlos se otee l sguete expresó: f(x)dx [f(x ) + 4f(x ) + f(x )]. 3 Co el f de evtr que los térmos se rept, se dee efectur los cálculos correspodetes l ldo dereco de l ecucó, segú se dc cotucó: f(x ) f(x ) 4 f(x ) f(x ). 3 El térmo de error pr est fórmul es ( ) 4 f (4) ( ), ξ 8 pr lgú ξ (,) CAMBIO DE INTERVALOS A prtr de u fórmul pr l tegrcó umérc e u tervlo se puede deducr u expresó pr culquer otro tervlo medte u cmo de vrle lel. S l prmer fórmul es exct pr polomos de u certo grdo, lo msmo será certo pr l segud. Se verá cómo se llev esto co.

16 CAMBIO DE INTERVALOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 5 de 6 Supog que se cuet co u fórmul de tegrcó umérc: d f(t)dt Af(t ). () c No mport el orge de est fórmul. S emrgo, supog que es exct pr todos los polomos de grdo m. S se ecest u fórmul pr lgú otro tervlo, por ejemplo [,], se defe prmero u fucó lel λ de t, tl que s t recorre [c,d], etoces λ (t) recorrerá [,]. L expresó explíct de l fucó λ es d c λ (t) t +. () d c d c Por otr prte, e l tegrl f(x)dx, se ce el cmo de vrle x λ (t). Etoces dx λ '(t)dt ( )(d c) dt, y por lo tto se tee: λ () d d c d c λ () c f(x)dx f( λ(t))dt A f( λ(t )). Por ede, d c f(x)dx Af t. d c + d c d c (3)

17 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 53 de EJERCICIOS RESUELTOS. Se l fórmul de dfereccó umérc f(x) f(x + ) + f(x + ) f ''(x).. Usdo seres de Tylor deduzc el térmo de error. Solucó. f(x + ) f(x) f '(x).f ''(x).f '''( ξ) f(x + ) f(x) + f '(x) +.f ''(x) +..f '''( ξ) f(x + ) + f(x + ) f(x) + f ''(x) + f '''( ξ) 3 f(x) f(x + ) + f(x + ) f ''(x) + f '''( ξ) f(x) f(x + ) + f(x + ) f ''(x) f '''( ξ) Por lo tto, el térmo de error es f '''( ξ ).. Utlce l fórmul pr clculr l segud dervd de f(x) cos(x) e.. Solucó. π π π f( ) f( +.) + f( +.) π f ''( ) c. Estme el error cometdo l utlzr l fórmul y compre co el error rel. Solucó. Estmcó.. Error <.. π 4 x co. Se p (x) el polomo de terpolcó pr f(x) e x,,.. Utlce p (x) pr deducr u fórmul de tegrcó I pr 3 f(x)dx. Solucó. Usdo el método de los coefcetes determdos se tee:

18 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 54 de 6 De ls dos últms ecucoes se otee ecucó se deduce que. Aplque I l cso Solucó. E este cso, y por lo tto: 3 Aor: dx A + A + A xdx A + A x dx A 4 A 9 A 9, A f(x)dx [f() + 3f()]. 4 dx. x. Susttuyedo e l prmer A. Por lo tto l fórmul de tegrcó qued como f(x)dx [f() + 3f( )]. 4 3 dx x Determe k, k, k 3 y k 4 de form tl que l proxmcó f(x)dx kf() + kf() + k3f '() + k4f '(), se exct pr los polomos de más lto grdo posle. Solucó. Usdo el método de los coefcetes determdos, se tee: dx k + k, xdx k + k + k x dx 4k + 4k, x dx 8k + k 4 De ls últms dos ecucoes se tee que k y k. De l prmer ecucó se 4 3 tee que k y susttuyedo todos los vlores coocdos e l segud ecucó se tee que k. 3 3.

19 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 55 de 6 Co estos vlores se segur excttud pr todos los polomos de grdo 3. Costruyedo otr ecucó y susttuyedo estos vlores se tee que x dx 6k + 3k De modo que el grdo más lto posle es Hlle A, A y α ( α > ) de form tl que 4 x f(x)dx Af( α ) + Af( α), - se exct pr los polomos de más lto grdo posle. Solucó. Usdo el método de los coefcetes determdos se tee: x dx A A 4 x.xdx α(a A ) 4 5 α + α x.x dx (A A ) A A Myor grdo posle gul 3. x.x dx α (A A ) se stsfce α x.x dx (A A ). o se stsfce

20 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 56 de EJERCICIOS PROPUESTOS. Utlce l fórmul f(x + ) f(x) f '(x) π pr clculr l dervd de f(x) cos(x) e x y co.. Estme el error cometdo l utlzr l fórmul. 4. Usdo seres de Tylor deduzc el térmo de error pr l proxmcó 3f(x) + 4f(x + ) f(x + ) f '(x). 3. Usdo los desrrollos de Tylor pr f(x + ) y f(x + k) deduzc l sguete proxmcó de f '(x): k f(x + ) f(x + k) + ( k )f(x) f '(x). (k )k 4. Oteer u estmcó de f ''() empledo u polomo de tercer grdo sdo e los putos de l sguete tl: x...3 f(x) Se d los putos de coordeds P (,5) y P (,5). Oteer u estmcó pr f '() y f ''(), sedo que f(). 6. Sedo 3 x f(x) x e se(x), proxmr f '(.9) utlzdo tres putos y co.. 7. Deduzc l fórmul de Newto-Cotes pr f(x)dx, usdo como odos,,, Compruee que l sguete fórmul es exct pr polomos de grdo 4 : f(x)dx [7f() + 3f( ) + f( ) + 3f( ) + 7f()].

21 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 57 de 6 9. A prtr de l fórmul del ejercco teror, oteg u expresó pr f(x)dx que se exct pr todos los polomos de grdo 4.. Clcule u vlor proxmdo de l() plcdo l fórmul del ejercco teror dx x. + Compre su respuest co el vlor correcto y clcule el error.. Ecuetre l fórmul f(x)dx A f() + A f() que result exct pr tods ls fucoes de l form x f(x) e + cos( π x ).. Ecuetre u expresó de l form π f(x)dx A f() + A f( π) que se exct pr culquer fucó que teg l form f(x) + cos(x). 3. Demuestre que l fórmul resultte e el ejercco teror es exct pr culquer fucó de l form k k. k f(x) [ cos((k + )x) + se(kx)] 4. Utlce l terpolcó poloml de Lgrge pr deducr l expresó de l form f(x)dx Af( ) + Bf( ). 3 3 Trsforme l fórmul teror e u que srv pr tegrr sore [,]. 5. Usdo el polomo de grdo mímo que terpol f(x) e x y x, deduzc u fórmul de tegrcó umérc pr

22 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 58 de 6 x 3 f(x)dx. x No supog u dstrucó uforme etre los elemetos de l prtcó. E este cso x < x < x < x Deduzc u fórmul pr proxmr 3 f(x)dx, e térmos de f(),f(),f(4). Est expresó deerá proporcor resultdos exctos pr polomos de grdo. 7. Deduzc l fórmul de Newto-Cotes pr f(x)dx, usdo polomos de terpolcó de Lgrge co odos e, y. Use este resultdo pr evlur l tegrl cudo f(x) se( π x). 8. Determe l regl de tegrcó umérc compuest que se poy e l secll regl del rectágulo del ldo dereco f(x)dx f(). Supog u espcmeto desgul ddo por x < x <... < x. 9. Deduzc l regl compuest pr f(x)dx que se poy e l regl del puto medo: f(x)dx f(). Proporcoe fórmuls tto pr u espcmeto uforme como pr uo o uforme de los odos.. Exste u expresó de l form f(x)dx α [f(x ) + f(x )],

23 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 59 de 6 que tegre correctmete todos los polomos cudrátcos?. Ecuetre u fórmul de cudrtur f(x)dx c f(x ), que se exct pr todos los polomos cudrátcos. Cosdere dstrucó smétrc respecto l orge.. S l fórmul de tegrcó f(x)dx f( α ) + f( α), v ser exct pr todos los polomos cudrátcos, qué vlor de α deerá utlzrse?. Respod l msm pregut cosderdo el cso de los polomos cúcos. 3. Pr qué vlores de α result exct pr polomos cúcos l sguete fórmul f(x)dx f( α ) + f( α)? 4. Determe los coefcetes A, A y A que ce que l fórmul f(x)dx A f() + A f() + A f(), se exct pr todos los polomos de grdo Usdo solmete f(), f '(-), f ''(), clcule u proxmcó f(x)dx que se exct pr todos los polomos cudrátcos. Es exct est proxmcó pr polomos de grdo 3?, por qué sí o por qué o? 6. Ecuetre los vlores de A, B y C usdo el método de los coefcetes determdos e l sguete regl, l cul deerá proporcor resultdos exctos pr polomos de grdo : f(x)dx [Af() + Bf( ) + Cf( )]. 3

24 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (58) - TEMA 5 Dfereccó e Itegrcó Numérc Pág.: 6 de 6 7. Determe e cd cso, el úmero de evlucoes de f(x) que se requere pr llr u proxmcó de 5. dx x 4. + co u error que o exced de xl(x)dx c. 4 plcdo:. L regl del puto medo compuest. L regl del rectágulo compuest c. L regl del trpeco compuest x e se(3x)dx 8. Ecuetre u proxmcó pr el áre de l regó cotd por l curv orml (x/ σ) / f(x) e σ π y el eje x e el tervlo [ σ, σ ] plcdo. L regl del puto medo compuest co 5 odos equespcdos. L regl del rectágulo compuest co 4 odos equespcdos c. L regl del trpeco compuest co 3 odos equespcdos