TEMA III ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA MATRICIAL

Transcripción

1 TE III EEENTS DE ÁGER TRICI E este tem vmos repsr los coocmetos de mtrces que predmos e cursos terores y que vmos ecestr e est sgtur. I.- TRICES Qué es u mtrz? U mtrz es u dsposcó de úmeros pr l cul este u omecltur determd. m m k k mk ( ),..., m,..., k trces co omre propo. trz cudrd: U mtrz rece l deomcó de mtrz cudrd cudo el úmero de fls que posee es gul l úmero de colums, es decr, que k m. trz rectgulr: Se cooce como mtrz rectgulr tod quell mtrz que pose dstto úmero de fls que de colums, es decr, que k m. trz vector: Es quell que está formd por u sol colum, es decr, que k. trz fl: Es quell que se compoe de u sol fl, es decr, m. trz smétrc: U mtrz es smétrc cudo sus elemetos está studos détcmete respecto de l dgol, como por eemplo... s mtrces smétrcs tee l peculrdd de que so gules t su trspuest, es decr, que. trz trspuest: U mtrz se cosder que es l trspuest de otr cudo es el resultdo de her cmdo ls fls por ls colums, por eemplo...

2 t trz dgol: Decmos que u mtrz es dgol cudo todos sus elemetos so meos los de l dgol, es decr... U mtrz dgol tmé es smétrc. trz esclr: Se trt de u cso cocreto de mtrz dgol, cudo todos los elemetos de l dgol so gules, por eemplo... trz detdd: Es el cso de u mtrz esclr e l que todos los elemetos de l dgol demás de ser gules, so gules, es decr... percoes. E el couto de ls mtrces se puede defr opercoes SU: Se puede defr l sum de dos mtrces sempre y cudo ls dos mtrces teg el msmo orde, es decr, que ms teg el msmo úmero de fls y el msmo úmero de colums, o quere esto decr que se cudrds, so que m m y. sum mtrcl se defe del sguete modo.. Μ m Μ m Μ m ( ) ( ) ( c ) c Eemplo: C,

3 sum de mtrces cumple ls sguetes propeddes: Elemeto eutro puesto Comuttv soctv PRDUCT DE TRICES: El producto de mtrces solo se cosder opercó cudo se trt de l multplccó de dos mtrces cudrds del msmo orde, pero u o trtádose de u opercó se puede multplcr cudo l prmer mtrz teg u umero de colums, que cocd co el úmero de fls de l segud mtrz. o Cso.- trces cudrds del msmo orde. S es u opercó. El producto de dos mtrces se relz de l sguete form: m k c etodologí: Eemplo: Este producto de mtrces cumple ls sguetes PRPIEDDES: Estec del elemeto eutro, que e este cso se trt de l mtrz detdd. I I. soctv: C C

4 Dstrutv respecto de l sum: ( C) C No cumple l propedd comuttv: o Cso.- Producto de dos mtrces s trtrse de u opercó. Como y cometmos l prcpo del epígrfe, s trtrse de u opercó sempre y cudo cocd el úmero de colums de l prmer mtrz co el úmero de fls de l segud. El procedmeto es el msmo que e el cso teror. PRDUCT DE UN ESCR PR UN TRIZ. E el couto de ls mtrces se puede defr est tercer opercó, que se desrroll del sguete modo: Eemplo: R Μ m Μ m ( ) ( c ), c ESPCI VECTRI: Se llm espco vectorl l couto formdo por: { Μ, } m, II.- DETERINNTES Y PRPIEDDES DEFINICIÓN DE DETERINNTE. FT PRPIEDDES DE S DETERINNTES. El determte de u mtrz es gul l de su trspuest, '. l permutr dos líes el vlor del determte cm de sgo. S todos los elemetos de u líe se multplc por u úmero rel, el vlor del determte qued multplcdo por dcho úmero. S todos los elemetos de u líe so ulos el determte tmé lo es. S dos líes so gules el vlor del determte es cero. S dos líes so proporcoles el determte tmé es ulo.

5 S todos los elemetos de l -ésm colum (o fl) de u determte represet u sum de dos sumdos el determte se puede descompoer del sguete modo: c El determte será gul l sum de dos determtes e los que tods ls fls (o colums) cocde co el determte cl ecepto l -ésm, metrs que l -ésm de uo de ellos cost e l c y l otr de. S u determte se le sum u múltplo rtrro rel de otr líe el determte o cm su vlor. CÁCU DE DETERINNTES. Regl de Srrus. Por el método de Srrus el determte de u mtrz se clcul del sguete modo...vmos hcer el desrrollo pr u determte de orde, álogmete se hrí co los demás órdees. Este método suele ser usdo pr el cálculo de determtes de orde o, es decr, pr orde,, como mucho,. Eemplo: Cálculo por dutos. El cálculo por dutos es u método totlmete dferete l teror. Este método se llev co trvés de u fl o colum del determte y sus dutos., sedo u duto o complemeto lgerco. Clculo de los dutos: ( ) α, sedo α, l sumtrz complemetr de os dutos, e l práctc se clcul como sgue:

6 Pr clculr el duto l mtrz le tchmos l fl y l colum y clculmos el determte de lo que os qued, que es el meor complemetro de. Eemplo: Eemplo de Cálculo de determtes por dutos: [ ] [ ] [ ] III.- TRIZ INVERS E el couto de ls mtrces cudrds su puede oteer l mtrz vers [ ] de u dd [ ]. Pr que [ ] se l mtrz vers de [ ], se tee que cumplr que: I I Cudo, se dce que l mtrz es sgulr, y crece de vers. Cálculo de l mtrz vers.

7 Se y se d. vers de se defe como: t ( d. ) t Se cumple que ( ) ( ) t IV.-TRIZ PRTICIND V.- RNG DE UN TRIZ S e u mtrz culquer cosdermos que cd fl es u vector, llmmos rgo por fls l úmero de vectores lelmete depedetes de todos.. Del msmo modo llmmos rgo por colums l úmero de colums lelmete depedetes de ls demás que tee u mtrz cosderdo que cd colum es u vector. Se puede demostrr que el rgo por fls es gul l rgo por colums e culquer mtrz. El rgo de u mtrz se defe como el orde del meor myor dstto de. TERE DE HDEY. El rgo del producto de dos mtrces es sempre meor o gul que el mímo del rgo de ls dos mtrces, es decr: ( ) m{ rg rg } rg, VI.- RICES Y VECTRES CRCTERÍSTICS. DIGNIZCIÓN DE UN TRIZ. os vectores crcterístcos so quellos que verfc que l multplcrlos por u mtrz oteemos el msmo resultdo que s lo huésemos multplcdo por u esclr, es decr, so quellos que cumple que:.

8 I ( I ) I Y I, d lugr l polomo crcterístco. Desrrollo mtemátco del polomo crcterístco:, I polomo crcterístco ( ) ( ) ( ) ± ( ) ( ) S hor desrrollmos el teror de l ríz cudrd y estudmos el cso cocreto de u mtrz smétrc, se puede geerlzr dcedo que e el cso de mtrces smétrcs, tods ls ríces so reles. mtrz smétrc ( ) ( ) ( ) f Se,, ls ríces crcterístcs, ( ) ( )

9 mtrz de los vlores crcterístcos está formd por los vectores crcterístcos de módulo udd. Clculr los vectores crcterístcos de módulo udd se hce como sgue: - Susttumos cd u de ls ríces e l sguete epresó: De est epresó scmos us ecucoes que os v permtr desper ls vrles e fucó de u prámetro α, est solucoes, e fucó de α, se le llm solucoes prmétrcs. legdo este puto dmos α u vlor y ls solucoes oteds ls dvdmos por su módulo, oteedo sí los vectores crcterístcos, cd vector vee de l susttucó de u ríz crcterístc. Eemplo: I s solucoes de este polomo so z y z y S gulmos z α, oteemos l sguete solucó prmétrc:, co lo cul el prmer vector crcterístco de módulo utro serí: z y α α. S repetmos est opercó pr el resto de ríces crcterístcs vemos que l mtrz de vlores crcterístcos es:

10 X DIGNIZCIÓN Prtmos de u mtrz y decmos que: X X ' TRIZ IDEPTENTE: Se dce que u mtrz es dempotete cudo l multplcrse por ell msm es gul es ell msm, es decr, que. S l mtrz que estmos dgolzdo es dempotete, los vlores crcterístcos o puede tomr culquer vlor. Demostrcó uego s teemos u mtrz dempotete,

11 ' ó ó ó X X. TRZ DE UN TRIZ. trz de u mtrz es l sum de todos los elemetos de su dgol prcpl. Eemplo: trz trz E el cso de u mtrz dempotete el rgo de l mtrz es gul l trz e gul, su vez, úmero de uos de l dgol prcpl. PRPIEDDES de l trz de u mtrz. trz trz trz trz trz Demostrcó:...como lo úco que fluye e l trz es l dgol prcpl... trz trz k k k k k k C trz C trz C trz

12 E el cso de u mtrz dempotete y smétrc, rg rg( X ' X ) trz( X ' X ) trz( X ' X ) trz(). VII.- FRS CUDRÁTICS. TRICES DEFINIDS PSITIVS. Dd u mtrz smétrc culquer,, de orde, os permte defr u plccó del espco vectorl. R R ' form cudrátc Sedo: y. ( ) ( ) ( ) polomo homogéeo de grdo Se dce que u form cudrátc es defd postv s se cumple que: ' f. os msmo se dce pr u mtrz smétrc, es decr, que u mtrz smétrc es defd postv s lo es su form cudrátc. Se dce que u form cudrátc es semdefd postv s se cumple que '. PRPIEDDES DE FRS CUDRÁTICS DEFINIDS PSITIVS: I. S es u mtrz defd postv, su determte es dstto de cero. Demostrcó: Vmos demostrr est propedd usdo el método de reduccó l surdo, pr lo cul vmos supoer que el determte de es cero, y como veremos, llegmos u solucó mposle, por lo cul podremos ceptr que el determte de u mtrz defd postv sempre es dstto de cero.. f II. S teemos u mtrz cudrd,, de orde defd postv y otr mtrz, de orde s, cuyo rgo es s, etoces s s Cs s, tmé será defd postv pr todo y, es decr, que: y y' ' y. Demostrcó:

13 os prmero que deemos hcer es dvdr l mtrz e u mtrz de } s s dos sumtrces, del sguete modo:. Hecho esto vemos que: }( s) s y, y, por lo que pr que el vector se cero se tee que cumplr que l sumtrz y, y como cosecuec de que el determte, esto sólo se produce cudo y, y por tto y y f. III. S es defd postv, su mtrz vers tmé lo es. Demostrcó: Est propedd se puede cosderr u cso cocreto de l teror, l cso e el que, y que. IV. mtrz detdd es u mtrz defd postv. Demostrcó: Pr demostrr est propedd vmos utlzr el cso cocreto de l mtrz detdd de orde. I, I ( ) f Este cso se puede geerlzr pr los demás órdees. V. S es u mtrz defd postv, tods sus ríces so postvs. VI. S es u mtrz defd postv, etoces su determte es myor que cero. Demostrcó: Λ( mtrz dgol) S clculmos el determte X X f, por lo tto, podemos decr que: X X f, y como X X I X X, co lo cul podemos coclur que f. VII. Teorem de tke: este teorem permte estmr el modelo cudo o se de ls codcoes del etoro Guss-rcov. S tego u mtrz que es defd postv, l puedo epresr como el producto de dos mtrces cuyo determte se dstto de cero. PP, P

14 , por ser defd postv, tods ls ríces crcterístcs so úmeros postvos, por tto podemos costrur u mtrz D defd sí: Λ X X D, co lo cul, D X XD I D X XD, por lo tto, I X XD D. hor llmmos Q l mtrz XD, es decr, I Q Q XD Q. S os fmos e los determtes, podemos oservr que: { { D X XD Q IQ Q Q QQ Q. Y y estmos e codcoes de frmr que:, y por últmo, llmdo, y s podemos coclur que Q Q Q P PP. VIII.- CCU DIFERENCI EN NTCIÓN TRICI. El cálculo de dervds e otcó mtrcl se hce como sgue: Demostrcó:

15 Y e el cso de forms cudrátcs el procedmeto es álogo:. Demostrcó: