RAÍCES COMPLEJAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: INTERPRETACIÓN GRÁFICA

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1 RAÍCES COMPLEJAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: INTERPRETACIÓN GRÁFICA Hydeé Blnco Insttuto Superor del Profesordo "Dr. Joquín V. González" Buenos Ares (Argentn) RESUMEN En este rtículo se present un form de grfcr l práol conocendo sus ríces complejs. Ls funcones cudrátcs, f(x) x + x + c, sendo, y c números reles (con dstnto de 0) tenen por gráfcos curvs plns llmds práols. Ests curvs se pueden grfcr confecconndo un tl de vlores, o en llegndo l expresón cnónc de l msm, y.(x - h) + 0, de l cul se otenen sus ceros (ríces) y vértce. Ls ríces de un ecucón cudrátc x + x + c 0 se clculn con l fórmul: Ls ríces se otenen con: y con + c c c S c 0 ls ríces son números reles pues el resultdo d un número rel. Por lo tnto en el gráfco l práol cort l eje de ls x. En cmo s c < 0 ls ríces de l ecucón son números complejos (pues el cálculo se remte l ríz cudrd de un número negtvo). En el gráfco, oservmos que l práol no cort l eje de ls x. 37

2 Dremos contnucón un nterpretcón gráfc de ls ríces complejs de l ecucón cudrátc. Semos que ls ríces complejs son números complejos conjugdos, es decr, s un ríz es z + l otr es z L nterpretcón consste en ser como grfcr l práol conocendo sus ríces complejs. Oservmos: S l práol no tene ríces reles, no cortrá l eje de ls x (estrá por encm o por dejo del eje, según s el vlor del coefcente prncpl es postvo o negtvo, respectvmente). Pero l práol smétrc l dd respecto del vértce sempre cortrá l eje en dos ríces. Por lo tnto, grfcmos l práol smétrc que tene ríces y luego l tomr l smétrc ést respecto del vértce, encontrmos l práol uscd. Propedd: S ls ríces complejs son + y -, entonces l práol smétrc respecto del vértce tendrá ls ríces reles + y -. Oservmos que como l coordend x del vértce: x v está en el punto medo entre ls ríces, tendremos que: ( + ) + ( ) x v. Conocendo l coordend x del vértce, se hll l coordend y del vértce: y v reemplzndo l x v en l expresón dd. De est form se conoce el vértce de l práol uscd. Con este dto más ls ríces podemos grfcr l práol uxlr y l tomr l smétrc respecto del vértce otenemos el gráfco uscdo. 38

3 39 Ejemplo: Grfcmos y x x + 5 Hllmos los ceros de l práol encontrndo ls ríces de l ecucón x x Aplcmos l fórmul: c y otenemos: + + Luego ls ríces son + y su conjugd.

4 L prte rel es y l mgnr 1 y 1. Entonces grfcmos l práol que tene ríces reles + y o se y El vértce de ést es V (x v ; y v ) con x v y l coordend y v se clcul: y v. + 5 entonces, V (; 1). Luego tommos su smétrc respecto del vértce y otenemos l gráfc de l práol desed. En el segundo gráfco, grfcmos: y x + x + 5 y su smétrc. DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD Semos que un cudrátc cuyo gráfco no cort l eje x tene l form y.(x - h) + 0 con y mos postvos (por encm del eje) o mos negtvos (por dejo del eje). Vmos demostrrlo pr mos postvos. L demostrcón es nálog pr mos negtvos. Ls ríces complejs surgen l resolver.(x h) + 0. Despejndo: esto d un número complejo ( x h) x h x h x h ó x h x h + ó x h 0

5 Entonces l prte rel de ls ríces es h y l mgnr: y. Además, oservmos que l tomr el punto medo entre ls dos ríces se otene que l coordend x v es h concdendo con l prte rel de ls ríces. Ahor, l práol smétrc y. (x h) + respecto del vértce es: y -. (x h) +. Est nuev práol tene ls sguentes ríces reles: - (x h) + 0 x h ( x h) x h x h ó x h + ó Esto es lo que querímos mostrr ddo que h y ls ríces de l práol orgnl. x h son ls prtes rel e mgnr de CONCLUSIÓN El ojetvo del tem es otener l práol con ríces complejs fáclmente, grfcndo su práol smétrc con ríces reles, que el lumno trj con myor hldd 1