TEMA 2. Métodos iterativos de resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

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Esteban Maestre Ríos
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1 TEMA : Métodos tertvos de resolucón TEMA. Métodos tertvos de resolucón de Sstems de Ecucones Lneles. Métodos tertvos: ntroduccón Aplcr un método tertvo pr l resolucón de un sstem S A b, consste en trnsformrlo en lo que se denomn un sstem de punto fjo, que se equvlente l ddo y cuy solucón se prom pso pso. Pr obtener el sstem de punto fjo equvlente l ddo se elge un mtrz M que se fácl de nvertr y se escrbe l mtrz A como: A M + (A M Entonces el sstem A b se trnsform en: (M + (A M b M (M A + b S desgnmos N M-A, qued M N + b (*. L promcón -ésm de l solucón,, se obtene, en l tercón, prtr de l promcón nteror (- : Es decr: M N (- + b B (- + c Sendo B M - N M - (M-A y c M - b. Cundo este proceso es convergente el límte de ls promcones cundo es l solucón del sstem de punto fjo plntedo y, en consecuenc, del sstem S ncl. Los métodos tertvos son más decudos que los métodos drectos pr grndes sstems A b con mtrz de los coefcentes dspers y que en los métodos drectos los elementos de l mtrz A se vn modfcndo y elementos que ern nulos dejn de serlo lo lrgo del proceso de resolucón, mentrs que en los métodos tertvos sólo se hce uso de l mtrz orgnl A. El error de redondeo no tene tnt mportnc quí como en los métodos drectos. L solucón obtend es promd y hy que estblecer un crtero de prd, dependendo de l precsón requerd, del tpo: ( ε En cd tercón, el sstem (* es fácl de resolver s M es dgonl o trngulr, o en generl fáclmente nversble. Est cuestón es fundmentl en l práctc pues, unque no hy que clculr M -, sí es precso resolver sstems lneles en los que M es l mtrz de los coefcentes. Ls tres opcones pr M que presentn mejores resultdos son: M D, donde D es l mtrz dgonl cuy dgonl es l de A (Método de Jcob Undd Docente de Mtemátcs de l ETSITGC Asgntur: Cálculo II

2 TEMA : Métodos tertvos de resolucón M L+D, donde L+D es l prte trngulr nferor de A (Método de Guss-Sedel M L+D/ω, donde ω es un número elegdo pr pondercón (Método de Sobrerreljcón El Método de Guss-Sedel es un cso prtculr del de Sobrerreljcón cundo se tom ω. El método de Sobrerreljcón con 0 < ω <, se utlz pr obtener l convergenc cundo Guss-Sedel no converge. Se tom < ω < pr celerr l convergenc cundo Guss-Sedel converge. S w < 0 ó w >, el método de Sobrerreljcón dverge. Observcones: L precsón de l solucón obtend por un método tertvo dependerá del número de tercones y de l convergenc del método. Todos los métodos tertvos requeren un estmcón ncl que desgnmos por (0 pr comenzr l tercón. (0 puede ser culquer vector (n-úpl rbtrro pero s se dspone de un buen estmcón ncl el proceso de convergenc se celer. En cso de no dsponer de un buen estmcón ncl se puede tomr (0 como el vector 0.. Convergenc de los métodos tertvos Como se h ndcdo nterormente los métodos tertvos solo se pueden plcr quellos sstems de ecucones lneles cuys propeddes grntcen l convergenc, lo que no sempre es posble...defncón Se dce que un sucesón de vectores { } converge respecto de cert norm y se escrbe lm, (o ben, s cundo: lm 0, (o ben, 0 s s respecto de l norm, s y solo s, lo hce componente componente, es decr,,,, n n cundo. Ls epresones escrts son ndependentes de l norm elegd... Teorem de crcterzcón de l convergenc Son equvlentes:. El método tertvo converge. ρ B <, pr B M - N M - (M-A.. 3. B <, pr l menos lgun norm mtrcl subordnd. Undd Docente de Mtemátcs de l ETSITGC Asgntur: Cálculo II

3 TEMA : Métodos tertvos de resolucón Not: El coste operconl de cd pso en los métodos tertvos es del orden de n opercones. Recordemos (tem que l resolucón por métodos drectos conllev un número de opercones del orden de n 3 por lo que los métodos tertvos resultn rentbles s l solucón puede hllrse en bstnte menos de n psos. 3. Método de Jcob Ddo un sstem S A b, el método de Jcob consste en terr el sstem de punto fjo D (D A + b, es decr, D (D A (- + b donde D es l mtrz dgonl cuyos elementos son los de l dgonl de A. Observemos que equvle despejr ls ncógnts de los elementos de l dgonl en S. ( b 3 3 n n nn b ( b 33 n n nn b S n + n + + nnn b n n n n n ( b nn n El método de Jcob se plc sguendo l sguente secuenc de psos: Prmer pso: se susttuye en el segundo membro ls ncógnts por l estmcón ncl,,,,, n n Los vlores obtendos en el prmer membro consttuyen l prmer promcón ( ( (,, 3,,n Segundo pso: se susttuye en el segundo membro ls ncógnts por l promcón obtend en el pso nteror,,,,, 3 3 n n Los vlores obtendos en el prmer membro consttuyen l segund promcón ( En generl: ( (,, 3,,n y sí sucesvmente. nn Undd Docente de Mtemátcs de l ETSITGC Asgntur: Cálculo II 3

4 TEMA : Métodos tertvos de resolucón ( b 33 nn n ( b 33 nn ( bn n n nn n nn Cuándo prmos?: Crtero de convergenc (crtero de prd Se utlz como crtero un cot de l dferenc en norm entre dos promcones (terdos consecutvs. ( Tol < (tolernc O ben ( < Tol Como norm hbtul se us l norm del supremo (, es decr má ( ( n Ejercco: Pr el sstem lnel Se pde clculr ls dos prmers tercones pr el método de Jcob, tomndo como estmcón ncl (0 (,, (Usr 3 cfrs decmles pr redondeo en ls opercones 4. Método de Guss-Sedel Ddo S A b, el método de Guss-Sedel consste en terr el sstem de punto fjo (L+D (L+D A + b, Obsérvese que A-(L+D es l mtrz trngulr superor cuyos elementos no nulos son los que están por encm de l dgonl superor, es decr, Undd Docente de Mtemátcs de l ETSITGC Asgntur: Cálculo II 4

5 TEMA : Métodos tertvos de resolucón 0 n 0 0 n A-(L+D U Luego, l ecucón nteror qued de l form (L+D -U + b, y ls sucesvs tercones se obtenen mednte (L+D U (- + b ( b 3 3 n n nn b ( b 33 nn nn b S n + n + + nnn b n n ( b n n n nn n L secuenc de psos es semejnte l segud en el método de Jcob con l dferenc de que los vlores obtendos pr j, j,,, se utlzn pr promr +. Prmer pso: se susttuye en l prmer ecucón del segundo membro ls ncógnts en negro por l estmcón ncl,,, pr obtener, 3 3 n n nn A contnucón, se susttuye en l segund ecucón pr obtener,,, n n Segudmente sustturímos en l tercer ecucón,, ,,n n pr obtener 3 y sí sucesvmente hst obtener ( (,, 3,,n Segundo pso: se procede ecucón por ecucón del sstem de mner nálog l prmer pso pr obtener ( (,, 3,,n y sí sucesvmente. En generl: ( ( ( ( b 33 nn n ( ( ( b 33 nn ( bn n n nn n nn Undd Docente de Mtemátcs de l ETSITGC Asgntur: Cálculo II 5

6 TEMA : Métodos tertvos de resolucón Se utlz el msmo crtero de convergenc (o de prd que en el método de Jcob. 4.. Teorem S A es un mtrz estrctmente dgonlmente domnnte, entonces pr culquer estmcón ncl (0, ls tercones de Jcob y de Guss-Sedel convergen l solucón del sstem ncl S A b. S A es un mtrz smétrc defnd postv, Guss-Sedel converge sempre l solucón del sstem ncl S A b. 5. Método de Sobrerreljcón S pr un sstem determndo, S A b, el método de Guss-Sedel converge, entonces h de verfcrse, en generl, que cd promcón de cd ncógnt estrá más cerc de l solucón que ( pr cd n. El método de sobrerreljcón se bs en l de de que el proceso de convergenc puede ( celerrse ponderndo l dferenc entre los vlores y pr cd n, es decr, ( + ω d pr cd n, donde d ˆ (denotndo por ( sobrerreljcón y por Susttuyendo y operndo, qued: ( + ω d l promcón obtend por el método de ˆ l que se obtendrí plcndo Guss-Sedel ( ( + ω ( ˆ ω + ωˆ pr cd n ( El proceso consste, en consecuenc, en hllr cd tercón de Guss-Sedel y ponderrl con el ω elegdo. L secuenc de psos es l sguente: Prmer pso: prtendo de l estmcón ncl (0 se obtene l prmer tercón de Guss-Sedel como se h eplcdo nterormente y se l desgn ( 3 n ˆ ˆ, ˆ, ˆ,,ˆ ( A contnucón, se hll l prmer tercón de sobrerreljcón según l fórmul de dcho método ω + ω ˆ ω ω ( ω + ω ˆ ( (0 ( ( (0 ( ˆ + ( (0 ( n n Undd Docente de Mtemátcs de l ETSITGC Asgntur: Cálculo II 6

7 TEMA : Métodos tertvos de resolucón Segundo pso: con est promcón obtend ( (,, 3,,n segund tercón con Guss-Sedel y l denotmos ˆ ( ( ˆ, ˆ ˆ ˆ, 3,,n se clcul l y se plc l fórmul de sobrerreljcón pr obtener l segund tercón ( (,, 3,,n ω + ω ˆ ω + ω ˆ ( ω + ω ˆ ( ( ( ( ( ( ( ( ( n n y sí sucesvmente. Es decr, en generl: ω + ω ˆ ω + ω ˆ ( ω + ω ˆ ( ( ( n n ( Y desrrollándol completmente: ( ( ( ( b 33 nn ( ( ω + ω ( ( ( ( ˆ b 33 nn ( ω + ω ( b ˆ ˆ ( n n n nn ˆ n n ( ω n + ω nn L ecucón mtrcl del método se obtene prtr de l ecucón de sobrerreljcón ( ( ( ˆ ω + ω L solucón Operndo: ˆ de Guss-Sedel se obtene l despejr (L+D U (- + b en l ecucón L + D U (- + b D - L U (- + b ( D - (- L U (- + b ( ( ( ω ω D ( L U b + + Undd Docente de Mtemátcs de l ETSITGC Asgntur: Cálculo II 7

8 TEMA : Métodos tertvos de resolucón ( D ( ( + + ( D ω ω DD ( L U b D ( ω ω ω ( ( + ( D L U b D ω ω ω ( L+ D U + b El crtero de convergenc (o de prd es el msmo que en los métodos nterores. 5.. Teorem S A es un mtrz smétrc defnd postv y 0 < ω <, entonces pr culquer estmcón ncl (0, ls tercones obtends con el método de sobrerreljcón convergen l únc solucón del sstem ncl S A b. 5.. Estmcón del error Prtendo del sstem A b, se construye el sstem de punto fjo M N+b. Despejndo M - N + M - b y desgnndo por B M - N qued B + M - b y en cd tercón B (- + M - b con n. Restndo membro membro: ( ( B Y, nálogmente, ( + ( B( Aplcndo que en generl b + b, se verfc: ( ( + ( ( + ( ( ( + ( ( + B( B ( ( ( + ( B Clculndo est últm epresón: ( 0 ( + B C B C B B B Susttuyendo rrb, se tene: 0 0 B B B B Undd Docente de Mtemátcs de l ETSITGC Asgntur: Cálculo II 8

9 TEMA : Métodos tertvos de resolucón Sempre que B > 0, es decr, B <. B 0 ( B Undd Docente de Mtemátcs de l ETSITGC Asgntur: Cálculo II 9

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