INDICE. Operaciones básicas. Matrices. Matriz cuadrada. Traza de una matriz. Suma y resta de matrices. Producto de matrices.

Transcripción

1 Fculltd de Cencs Agrrs - MATERIIALL PPREPPARADO PPOR LL cc Mss Scc Abbbb tttt Noorr IInngg Aggrr.. Mss Scc.. Boocc Teerreess IInngg Zoooott.. FFeerrnnáánnddeezz Edduurrddoo IInngg.. Aggrr.. Mss Scc.. PPeerreerr Ann

2 INDICE Opercones báscs Mtrces Mtrz cudrd Trz de un mtrz Sum rest de mtrces Producto de mtrces Mtrz dgonl Mtrz dentdd Mtrz trnspuest Mtrz nvers Mtrces vectores Producto esclr de vectores Mtrces, cudrd, trnspuest...

3 Autovlores utovectores Dstrbucon Norml Multvrd Medds de dstnc Dstnc Eucldn Dstnc de Mhlnobs Modelos estdstcos lneles Estmcon mnm cudrtc ordnr ecucones normles Propeddes del vector β Vlores predchos de Vrnz del error Prtcón de l Sum de Cudrdos Totl

4 MATRICES, OPERACIONES BASICAS Mtrz Un Mtrz es un rreglo rectngulr de números encerrdos por un pr de corchetes. Ls opercones con mtrces tenen sus props regls. Ejemplos: 7 5 b en tenemos l mtrz de coefcentes del sguente sstem de ecucones lneles: 7z 5z Dd l mtrz: A mn m m j m n n mn los números o funcones j se llmn elementos. El prmer subíndce ndc l fl el segundo subíndce l column en que está ubcdo el elemento. elemento correspondente l tercer fl l segund column Un mtrz de m fls n columns se dce que es del orden mn. Cundo m n, A es cudrd se denomn mtrz cudrd de orden n. A n n n n n nn 4

5 5 En un mtrz cudrd los elementos nn son elementos de l dgonl. TRAZA L sum de los elementos de l dgonl de un mtrz cudrd A es l trz de A. n T SUMA Y RESTA DE MATRICES S [ ] j A [ ] b j B son dos mtrces de orden mn, l sum AB (A-B es l mtrz [ ] c j C de orden mn, donde cd elemento de C es l sum de los elementos correspondentes A B. Luego [ ] j b j B A. 4 ; ; ; 7 5 C B A C B A B A L sum de k mtrces A es un nuev mtrz del msmo orden de A. Cd uno de sus elementos es k veces el correspondente elemento de A. k es un esclr

6 PRODUCTO Dds ls mtrces [ ] A m m A el producto m, en ese orden, es un mtrz m B [ ] m L opercón es fl por column. B [ b b b ] C m m m b b b b b m b b m [ ] m b b b b m m b k k k Ejemplo: El producto [ 4 5 6] [ 4( 5( 6( ] [ 7] B A D m m mm l opercón es fl por column 6

7 b b b b m [ ] m b b b bm b b b b m b b b b m m m m m B A [ 4 5 6] (4 (4 (4 (5 (5 (5 (6 8 (6 ( A B C S PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES Sen A, B, C mtrces n m. Luego: A B B A ( le conmuttv A (B C (A B C (le soctv Este un mtrz cero : O mn tl que pr cd mtrz A: 7

8 A A A 4 Pr cd mtrz A este un únc mtrz A denomnd negtv de A, tl que:a (-A b Sen A B mtrces n m de números reles r, s números reles, luego: r(a B ra rb (rs A ra sa (r s A r (s A 4 A A c Sen A, B, C mtrces de orden propdo, tl que ls opercones ndcds puedn relzrse. Luego: (A B C A (B C (Le soctv. A (B C A B A C (Le dstrbutv l zquerd (A B C A C B C (Le dstrbutv l derech 4 r(a B (r A B A (r B pr culquer número rel r 5 A A MATRIZ DIAGONAL L mtrz D nn es un mtrz dgonl. ( D dg. nn Cundo los elementos de l mtrz dgonl son todos gules: 8

9 9 k nn D es un mtrz esclr. MATRIZ IDENTIDAD Cundo k tenemos l mtrz dentdd I n. ; I I MATRIZ TRANSPUESTA Se llm mtrz trnspuest A l mtrz de orden nm que se obtene por el ntercmbo de fls columns de un mtrz A de orden mn. Ejemplo: ' ; A A el elemento ( j en A es el elemento ( j en A. Regls ( ( ( ' ' ' ' ; ' ' ' ; ' ' ' A B C ABC A B AB B A B A

10 MATRIZ INVERSA En álgebr de mtrces l dvsón no este. El concepto de dvdr por un mtrz A se reemplz por el concepto de multplcr por un mtrz llmd l nvers de A (A -. El producto de (A - por l mtrz orgnl A es l mtrz dentdd: AA - I S A B son mtrces cudrds, tl que AB BA I, luego B es l nvers de A. A B - (BA - (AB - B - A - Ejemplo: A.B I 6 4 Ejemplos de uso Ejemplos de I.A A.I I.A.I A (A Condcón de estenc de l Mtrz Invers Un mtrz cudrd A n tene nvers s sólo s es no-sngulr - El determnnte de A A - L nvers de un mtrz cudrd no sngulr es únc S A es no-sngulr, luego AB AC B C L nvers de un trspuest es l trspuest de l nvers (A - (A - L nvers de un mtrz A dgonl no-sngulr

11 44 A es l mtrz A - cuos elementos son l nvers de los elementos de l mtrz orgnl 44 A Ddo el sstem de ecucones d m d m d m m d m m qué vlores tomn m, d? Escrbmos ls ecucones en notcón mtrcl Y β ( 6 4 d m mtrz de ncdenc (o dseño o modelo β vector de prámetros estmr Y vector de ls observcones Pr resolver el sstem pre multplcmos mbos membros de ( por ( -

12 ( ( ( ( Y Y I Y β β β 6 4 d m 4 d m 4 d m Ecucón Lnel de n vrbles Es quell que tene l sguente form:... n n b donde los ( de n son constntes reles, ls ( de n son vrbles b es un constnte rel. Sstem de ecucones Lneles Es un conjunto de ecucones lneles. Por ejemplo, un sstem de m ecucones n vrbles es:

13 m m n n... mn n n b n b b m Clsfccón de los sstems de ecucones lneles sobre l bse de su resolucón S el sstem no tene solucón, se lo denomn Inconsstente, s tene solucón únc se dce que es determndo s tene nfnts solucones se lo llm ndetermndo. Sstem de ecucones lneles epresdo en form mtrcl Al sstem nteror lo podemos escrbr como: A mn n b m, donde A es l mtrz de coefcentes de orden m por n, es el vector de ncógnts de orden n por b es el vector de térmnos ndependentes de orden m por. Epresdo con todos sus elementos genércos tenemos:.. m.. m..... n n.. mn b b.... b n m Invers de un mtrz Se A un mtrz cudrd de orden nn, se conoce como nvers de A l mtrz A - de orden nn que se cumple con lo sguente: A - AA A - I nn

14 Donde I es l mtrz dentdd que se crcterz por poseer unos en l dgonl prncpl ceros en el resto de l mtrz. S A - este, se dce que A es un mtrz NO SINGULAR o INVERSIBLE, s A - no este, se dce que A es un mtrz SINGULAR o NO INVERSIBLE. Un mportnte plccón de l nvers de un mtrz, es en l resolucón de sstems de ecucones lneles. Ejemplo: S se dese despejr del sstem lnel A b debemos premultplcr mbos ldos de l ecucón por mtrz A - de mner que tenemos: A - A A - b como A - A I nos qued I A - b Además I, entonces A - b Propeddes de ls mtrces Inverss S l nvers de un mtrz este, es únc. S A B son no sngulres de orden nn, entonces: (A.B - B -.A - S A es no sngulr, luego A - es no sngulr: (A - - A 4 S A es no sngulr, entonces A es no sngulr: (A - (A - 5 S A es no sngulr r es un esclr dstnto de cero, luego: (r A - (/r. A - 6 S A es no sngulr k es un entero postvo, entonces A k es no sngulr : (A k - (A - k Invers Determnnte de un mtrz S A nn tene un fl (o column un fl de ceros, entonces A es sngulr. S A nn tene dos fls (o columns déntcs, entonces A es sngulr. S A nn tene un fl (o column un fl de ceros, entonces el det(a. S A nn tene dos fls (o columns déntcs, entonces el det(a. S A nn es no sngulr, luego el det(a el det(a - /(det(a Se A nn. Luego A - este s solo s el det(a 4

15 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES S tenemos un conjunto de vectores {, 4... n } un conjunto de esclres {,,, 4,... n,}, luego : n n es llmd combncón lnel (C.L. del conjunto de n vectores. Un C. L. De vectores es sempre un vector. Ejemplo: ; VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES: El producto es un C. L. De ls columns de : n n, donde, 4... n son ls columns de S este un vector, tl que n n donde nnguno de los, n, son nulos, luego esos vectores se dcen LINEALMENTE DEPENDIENTES VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES: S un vector es el únco vector pr el cuál n n demás nnguno de los es nulo pr n, entonces esos vectores son lnelmente ndependentes. Ejemplos: Determnr s los sguentes vectores so L.I. o L. D. 5

16 u 6 5 u u 9 5 S es cudrd los sguentes puntos son equvlentes: ls columns de son L.D. se cumple pr lgún vector es sngulr ( - no este MÁIMO NÚMERO DE VECTORES L.I.: Un conjunto de vectores L.I. de orden n no puede contener más que n de tles vectores NÚMERO DE FILAS (COLUMNAS L.I. EN UNA MATRIZ El número de fls L. I. En un mtrz es el msmo que de columns L.I. RANGO DE UNA MATRIZ Defncón: El rngo de un mtrz es el número de fls (columns L.I. en l mtrz Notcón: rngo de A r(a r A Cálculo del rngo: El número de vectores fl dstntos de cero en l form esclond de un mtrz es el rngo de dch mtrz. RANGO Y CONSISTENCIA DE ECUACIONES 6

17 Ddo el sstem: A (rs (s Y (r El sstem es consstente sí solo sí r(a r ([AY] S r(a Número de ncógnts, l solucón es únc. S el sstem es consstente el r(a < Número de ncógnts, esten nfnts solucones. PROPIEDADES r(a pq # p # q. Es menor o gul l número más pequeño entre p q r(a pq # n Cundo r(a pq n, luego A es no sngulr. 4 r(a pq p < q, se dce que A tene rngo completo fl 5 r(a pq q < p, se dce que A tene rngo completo column. 6 r(a pq n, se dce que A tene rngo completo demás es no sngulr. 7 r(a B # l menor rngo entre r(a r(b 8 r(a pq q < p, luego: r(a r(a r(a A q 9 S A es dgonl, entonces r(a número de elementos en l dgonl. S A es multplcdo por un mtrz B no sngulr r(a r(a B TRANSFORMACIONES ORTOGONALES Se Y (n, (n A (nn Un trnsformcón lnel de se escrbe: 7

18 A, donde A es l mtrz de coefcentes que efectú l trnsformcón. L trnsformcón lnel es uno uno solo s A es no sngulr. Entonces l trnsformcón nvers de es: A - S AA - I, se dce que l trnsformcón A es un trnsformcón ortogonl. PROYECCIONES Es un cso especl de un trnsformcón. El objetvo serí trnsformr, que está en un espco de n dmensones, en ŷ pertenecente un subespco tl que ŷ esté lo más cerc posble de Ejemplo: ŷ P Es un proeccón s solo s P es dempotente smétrc AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UNA MATRIZ. Dd A un mtrz cudrd smétrc, puede nteresr trnsformrl en un mtrz dgonl (con ceros fuer de l dgonl prncpl λ es un utovlor de A (pp e su correspondente utovector normlzdo (longtud, s: A e λ e Not: A e λ e A e - λ e A e - λ Ie (A - λ I e Este sstem tene un solucón dstnt de cero sí solo sí : 8

19 9 det (A - λ I Pr encontrr los vlores de λ debemos resolver l ecucón: A - λ I Ejemplo : se 4 A (4 ( 4 λ λ λ λ λi A det (A - λ I ( - λ (4 - λ (- 4 - λ -4λ λ -5λ λ 6 λ ; λ Ahor podemos clculr los utovectores socdos los λ λ A - λ 4 4 un vector podrí ser A - λ 4 4 un vector podrí ser

20 PROPIEDADES DE LOS AUTOVALORES S A es un mtrz kk, los utovlores de A son todos reles S A es un mtrz kk C kk es ortogonl, luego los utovlores de C AC son los msmos utovlores de A S A es un mtrz kk smétrc, los utovlores socdos con utovlores dstntos de A, son ortogonles. 4 Los utovlores de mtrces dempotentes son cero o unos PRODUCTO INTERNO (PRODUCTO ESCALAR Sen los vectores u [, b ] v [, b ], el producto nterno <u, v > u.v es el esclr: <u, v > b b LONGITUD DE UN VECTOR (NORMA, MAGNITUD Se v (, b, entonces su norm es: ' v b vv Λ p p λ λ λ p p p s λ > decmos que A es defnd postv P [ e e... e p ] S A p p es defnd postv, su determnnte es el producto de los utovlores tene nvers: A - p p P p p Λ - p p P' p p

21 Tpos de Forms Cudrátcs - Defnds Postvs: A es un form cudrátc defnd postv s A > pr todo. - Semdefnds Postvs: A es un form cudrátc semdefnd postv s A pr todo, sendo A pr lgún. S un form cudrátc es defnd postv (o semdefnd postv, se dce que su mtrz es defnd postv ( o semdefnd postv. Tpos de Forms Cudrátcs mtrces smétrcs - Un mtrz smétrc A es defnd postv s solo s, todos sus utovlores son postvos. - Un mtrz smétrc A es semdefnd postv s solo s, todos sus utovlores son no negtvos l menos uno de ellos es cero. Dferenccón de forms cudrátcs - Se z, donde es un vector de esclres. Entonces: z /. - Se z. Entonces: z /. - Se z A donde A es de orden k k. Entonces: z / A A' Espernz Vrnz de vectores letoros Espernz Se un vector de vrbles letors:... k

22 Consdere que l espernz de es E[ ] pr,,...,k. Luego, l espernz de se defne de l sguente mner: E( E( E(.. E( k.. k Regls pr el cálculo de l espernz Sen: - un vector de números reles (constntes. - k un vector letoro con espernz. - A un mtrz de orden nk. Entonces: E( E( E( E(A AE( A Vrnz Se h eplcdo que l espernz de un vector es otro vector (. L vrnz de un vector, en cmbo, es un mtrz de vrnzs covrnzs. Se un vector de vrbles letors:. con Vr( σ σ (con,...,k., cov(,j σ j (con j E[]. k Luego se defne l vrnz de como:

23 V( V kk E[(-.(- ] Regls pr el cálculo de vrnzs Sen: - un vector de números reles (constntes. - k un vector letoro. - A un mtrz de orden nk. Entonces: Vr( Vr( V Vr(A AVr(A AVA Espernz de un form cudrátc E( A tr(av A Dstrbucón de lguns forms cudrátcs prtculres S k N (, I, entonces: χ k, λ, donde k son los grddos de lbertd λ/ es el prámetro de no centrldd. S n N (, I A nn es smétrc, entonces: A χ k, λ con λ/ A s solo s A es dempotente de rngo k S n N (, I A nn es smétrc, entonces: A χ s solo s A es dempotente de rngo k k 4 S n N (,σ I con σ > A nn es smétrc, entonces:

24 (/σ A χ k, λ con λ/ σ s solo s A es dempotente de rngo k Dstrbucón Norml Multvrd Defncón: S n N (, I C nn es no sngulr, entonces: zc tene un dstrbucón Norml Multvrd (Nm Dstrbucón Norml Multvrd Forms cudrátcs S n Nm (, A nn es smétrc, entonces: A χ k, λ con λ/ A s solo s A es dempotente de rngo k S n Nm (, A nn es smétrc, entonces: A χ s solo s A es dempotente de rngo k k S n Nm (, A χ k, λ con λ/ - Independenc de forms cudrátcs Sen: - n Nm (, - A nn smétrc de rngo r - B nn smétrc de rngo r S A B mplc que A es ndependente de B demás s A es ndependente de B, luego A B. 4

25 Independenc entre un form cudrátc un vector Sen - n Nm (, - A nn smétrc - B nn S B A mplc que A es ndependente de B. Además s A es ndependente de B mplc que B A MODELOS ESTADISTICOS LINEALES Los modelos de regresón nálss de vrnz son csos especles de modelos lneles. En un modelo lnel l respuest es un combncón lnel de prámetros desconocdos un térmno letoro de error. Un ejemplo es el modelo de regresón lnel smple (líne rect: β β n ( donde d(, σ L vrcón en l respuest que no es eplcd por el modelo se llm error letoro lo ndcmos. El supuesto más común es que los errores son vrbles letors ndependentes e déntcmente dstrbuds. Esto sgnfc que los errores de tods ls unddes epermentles son todos muestrs de un msm dstrbucón de probbldd. Este supuesto nclue lo sguente: los errores tenen med cero, l vrnz es l msm pr tods ls unddes epermentles, 5

26 6 ls unddes epermentles son tods ndependentes entre sí, lo que mplc no estr correlconds L ecucón ( es l representcón de n ecucones, un por cd un de ls n observcones. n n n β β β β β β Culquer modelo lnel estándr con errores d, puede ser escrto en notcón mtrcl como: ( I Y, ; σ β En el cso de regresón lnel smple ls mtrces son: n n n Y β β β ; ; ; L mtrz es l mtrz de dseño o del modelo. El vector β contene todos los prámetros en el modelo. L mtrz de dseño tene un column por cd prámetro en β. Otro ejemplo de un modelo lnel es el modelo de nálss de vrnz un fctor: (, donde σ d j j j t trtmentos ; n j observcones por trtmento Pr el cso de j

27 7 ( es el prámetro que represent el efecto de trtmento, donde l defncón técnc de efecto es: un efecto es un desvcón desde un prámetro común. n j j n En notcón mtrcl el sstem ( es: β Y ESTIMACIÓN MÍNIMA CUADRÁTICA ORDINARIA Y ECUACIONES NORMALES El método clásco de juste de modelos lneles dtos es el método de mínmos cudrdos. Los prámetros estmdos de est form son nsesgdos

28 tenen l vrnz más chc de todos los posbles estmdores lneles. El estmdor que posee ests dos propeddes es el mejor estmdor lnel nsesgdo (best lner unbsed estmtor BLUE. El estmdor mínmo cudrdo ordnro (OLS es el vector βˆ, que mnmz l sum cudrdo error o resdul SCE n ( ˆ En notcón mtrcl: SCE ( Y ˆ β '( Y ˆ β Y β Ε(, Vr( Iσ Ε (Y Ε ( β Ε (Y β L SCE es mnmzd tomndo ls dervds con respecto β e gulndo cero. SCE ' ( Y β ( ' Y β ( Y' β' ' ( Y β Y' Y Y' β β' ' Y β' ' β Y' Y β' ' Y β' ' β δ SCE δβ ' Y ' β ' Y ( ' β ( ' β ' Y Ls ecucones resultntes son ls ecucones normles. ' ˆ β ' Y 8

29 9 El vector de prámetros estmdo βˆ ( ( ( ( Y Y ' ' ˆ ' ' ' ' β β Pr el cso de trtmentos observcones por trtmento el modelo es: ;, ;,, j j j En notcón mtrcl: ls ecucones normles Y ' ˆ ' β ˆ ˆ ˆ ˆ 6

30 ' ( ' / Este sstem de ecucones tene nfnts solucones, ( ' no puede ser nvertd no h un únco estmdor pr β. Un ví de solucón es usr l nvers generlzd. L nvers generlzd de ( ' no es únc se ndc ( '. L sum cudrdo error tods ls sums de cudrdos, en el nálss de vrnz, no son fectds por l eleccón de l nvers generlzd. Est poderos mner de cálculo es usd por pquetes estdístcos tles como SAS. Propeddes del vector β Ddo el modelo Y β d (, Iσ β es estmdo como ( ' ˆ β ˆ β G' Y ' Y Usndo el operdor Espernz tenemos Ε( Y Ε ( β Ε( Y β Ε( Y Ε( Y β L mtrz de vrncs covrncs de los [ Ε( ]' [ Ε( ] Ε( ' I V ( Ε σ El vector βˆ es nsesgdo en el modelo de regresón

31 Ε Ε [ ] ( ˆ β Ε ( ' ' Y ( ˆ β ( ' ' Ε( Y ( ' ' β β L mtrz de vrncs covrncs de βˆ es: Vr( ˆ β Ε [ ˆ β Ε( ˆ β ][ ˆ' β Ε( ˆ' β ] ( ' Gσ σ Vlores predchos de Pr obtener los vlores estmdos (o predchos ŷ se utlzn los βˆ estmdos ˆ ˆ bˆ bˆ bˆ ˆ k k El vector de predchos Yˆ es Vrnz del Error Yˆ ˆ β Yˆ ˆ β ( ' Vr( Yˆ vr ˆ β ' G ' Y Vr( Yˆ vr ˆ β ' ' Y ( ' G ' σ ' σ L sum de cudrdos de ls desvcones de los vlores observdos con respecto sus vlores predchos ŷ es l sum cudrdo error (SCE:

32 SCE SCE SCE n ( ˆ ( Y Yˆ ' ( Y Yˆ un número Y '[ I ( ' '] Y ( β ' ' [ I ( ' ']( β Operndo plcndo espernz SCE ' Ε( CME Ε Ε ( CME ˆ σ [ I ( ' '] ' I ( ' [ [ ] ] ( n k σ CME n k ; Ε( ; Vr( Iσ ˆ σ estmdor nsesgdo de σ PARTICIÓN DE LA SUMA DE CUADRADOS TOTAL Un form de probr hpótess sobre los prámetros es clculndo el juste del modelo completo comprándolo con el juste de un modelo reducdo. L sum de cudrdos error es SCE ( Y ˆ β ' ( Y β SCE Y ' Y ˆ' β ' Y donde Y ' Y Sum de cudrdos totl sn corregr por l med ˆβ Sum de cudrdos del modelo completo ' 'Y

33 L sum de cudrdos totl corregd SCT donde ( C Y ' Y ; N # totl de observcones ( N N es el térmno de correccón En un nálss de vrnz lo prmero que queremos probr es s h lgún efecto de trtmento dstnto de cero, L sum cudrdo trtmento es H :, t ( / SCTrt R ˆ β Y Bjo el supuesto, luego pr probr H H t ' : : t N TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANCIA Fuentes SC Med ( R ( Trtmentos / Error R( t ( N ˆ β ' ' Y N Y ' Y ˆ' β ' Y

34 Totl ( Y ' Y ( N DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIVARIADA Es un generlzcón de l dstrbucón norml unvrd, cu funcón de densdd es: f ( π σ e - ( - - < < en el cso multvrdo: f ( ( π p / / e - ( - - ( - - < < Los contornos de densdd constnte pr un dstrbucón norml p-vrd son elpsodes defndos por de tl modo que: - ( - c ( estos elpsodes están centrdos en tenen ejes ± c λ e, con (λ, e utovlores utovectores de Σ (o (/λ, e utovlores utovectores de Σ -. 4

35 Pr un norml bvrd con σ σ σ > C σ σ C σ - σ S c χ (α el percentl superor de un dstrbucón Ch Cudrdo con p g.l. tenemos contornos que contenen el (-% de probbldd Contornos del 5% del 9% (s s s > 5

36 DISTANCIA Muchs técncs multvrds se bsn en el concepto de dstnc Dstnc euclíde: (, P d en p dmensones: d (, P... s P/(,..., p Q/(,..., p: d (P,Q ( - ( -...( p - l dstnc euclíde no es stsfctor pr l morí de los propóstos estdístcos pues cd coordend contrbue l cálculo de l dstnc. Cundo ls coordends representn medcones que están sujets fluctucones letors de mgntud, es deseble dr menor peso ls coordends sujets mor vrbldd. p p d (, P d (,Q c d (, P s s DISTANCIA DE MAHALANOBIS: Tene en cuent ls dferencs en vrbldd l presenc de soccón lnel (mtrz Σ o S dˆ (P - Q S - (P - Q d e (P,Q > d e (Q, d M (P,Q < d M (Q, 6