MATEMÁTICAS Y CULTURA B O L E T Í N No. 262 COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

Transcripción

1 MTEMÁTIC Y CULTUR O L E T Í N..009 No. COORDINCIÓN DE MTEMÁTIC MTEMÁTIC MTEMÁTIC OPERDORE: DJUNTO Y NORML En n espco V con prodcto nterno cd operdor lnel tene n operdor llmdo s djnto tmén lnel qe representmos con es tl qe pr tod prej de ectores de V. Est defncón está sd en el prodcto nterno por lo qe el operdor djnto depende del prodcto nterno consderdo es decr el operdor tene tntos djntos como prodctos nternos se consderen pero pr cd no el djnto es únco. Otendremos el djnto del operdor en en R prodcto pnto. operdor lnel esto es: δ. R tl qe con respecto l prodcto sl deemos determnr δ qe defnen l regl del δ. consdermos otro prodcto nterno en djnto de es otro qe llmremos con esto llegmos : δ es decr R por ejemplo el defndo por lo otenemos contncón: 4 δ. δ δ Y qe δ δ se tene: δ δ. el

2 δ δ 4 esto es: 4 δ δ de donde δ Por lo tnto. Un propedd del operdor djnto en nestro ejemplo es qe l mtrz socd él referd n se ortonorml de V es l trnspest s V es rel o l conjgd-trnspest s V es complejo de l mtrz referd l msm se socd l operdor orgnl en nestro ejemplo. Un se ortonorml de R respecto l prodcto pnto es l cnónc { } 0 0 ls mtrces socds son respectmente: M T M M Pr el prodcto nterno en R defndo por con el cl n se ortonorml de R es 0. L mtrz socd referd tene por colmns los ectores de coordends respecto de ls mágenes de los elementos de. Esto es: M ] 0] Ls coordends de todo elemento pertenecente R respecto son tles qe: 0 ; ] 0] 0 ] 0 ] Por lo qe 0 M M

3 M 0] ] 0] ] ; 8 0 ] ] 0 Por lo qe M 0 Del operdor en el espco complejo C tl qe z w z w z w s djnto prodcto sl en es: C esto es: z w z w z δ w donde δ C. ; δ δ δ respecto l De glr con : δ δ. Consderndo el prodcto sl n se ortonorml de M M se consder el prodcto nterno en { } C es 0 0 M h] l cnónc: Respecto ell:... I C defndo por 4 0 δ δ De glr con z w z w z w Un se ortonorml de M : C respecto l prodcto defndo por I es:

4 Ls coordends del elemento w z respecto de son tles qe w z 0 0 ; w z L mtrz socd referd l se es: M ] 0 0] 0] 4 ] 0 M El mtrz socd referd es: M ] 0 0] 0] 4 ] 0 M ] M es decr es l conjgd-trnspest de l socd referd l se. Otro operdor qe qí presentmos es el llmdo operdor norml. Éste se defne como qel c composcón con s djnto es conmtt esto es: T es norml s T T T T o o. Dedo qe pr cd prodcto nterno consderdo el djnto es dferente n operdor pede ser norml respecto n prodcto nterno no serlo respecto otro. Un ejemplo de operdor norml en R respecto l prodcto pnto es K tl qe K pes como pede comprorse K se tene 7 7 K K K K o o M

5 Operdores como K qe tene n djnto déntco él selen llmrse todjntos. n emrgo respecto otro prodcto nterno como el defndo por: el djnto de K es K con el cl K o K 8 ; K o K. Dedo qe K o K K o K el operdor K no es norml respecto l prodcto consderdo. Otro ejemplo de operdor norml en el espco complejo C respecto l prodcto sl es c regl se defne con: z w z w z w ; s djnto es z w z w z w pr el cl o z w z w o z w por lo qe es norml. El msmo respecto l prodcto consderdo nterormente o o. M no es norml pes Como últmo ejemplo tenemos l operdor J en el espco complejo C c regl es J z w w z z w. El djnto J respecto l prodcto sl en C es: J z w w z z w reslt: J o J z w z w z w z w J o J z w Por lo qe J es n operdor norml respecto l prodcto nterno sl en C. LED PEZILE N VICENTE PROFEOR DE L FCULTD DE INGENIERÍ UNM MTEMÁTIC MTEMÁTIC REEÑ ITÓRIC ORE L ECUCIONE DIFERENCILE PRTE EGUND Lenz descró l técnc de seprcón de rles en 9: Mostró cómo se resele l eccón dferencl d f g d. De gl mner redjo en el msmo ño l eccón homogéne d d f n eccón de rles seprles de prmer orden del modo sl: con el cmo. En 94 Lenz plcó l resolcón de l eccón d p q d. En 94 Lenz Jen ernoll estdron el prolem de encontrr l fml de crs qe cortn con n ánglo ddo n fml de crs dds. Jen ernoll señló qe este prolem es mportnte pr determnr ls trectors de los ros de lz qe recorren n medo no nforme porqe dchos ros cortn ortogonlmente los llmdos frentes de lz. El prolem fe reselto de form generl e

6 M ndependente por Lenz por Jen ernoll en 98. El método empledo se sge sndo ctlmente. Jen ernoll plnteó el prolem de determnr el momento de n proectl en n medo c resstenc es proporconl n potenc de l elocdd. L eccón dferencl es en este cso d n m mg k. dt Tmén feron dentfcds ls eccones dferencles de prmer orden ects es decr ls eccones M d N d 0 pr ls cles este n fncón z z tl qe dz Md Nd. Clrt en 79 do l condcón M N ; est msm condcón fe dd de form ndependente por Eler en 74. se tene dz M d N d 0 como remrcron Eler Clrt l solcón es z cte. Cndo n eccón de prmer orden no es ect es posle mchs eces mltplcrl por n fncón llmd fctor ntegrnte qe l conert en ect. nqe se hí sdo est técnc en lgns eccones fe Eler en 74 qen se do cent qe este concepto proporcon n método de ntegrcón e ntrodjo ls epresones qe ctlmente se sn. Clrt mpló l teorí poco más trde. c 740 se conocín los métodos elementles de resolcón de ls eccones dferencles de prmer orden. Ntrlmente el estdo de dersos fenómenos modeldos por eccones dferencles no se redjo ls de prmer orden como se descrrá en l tercer últm prte.. Contnrá MRGRIT RMÍREZ GLINDO PROFEOR DE L FCULTD DE INGENIERÍ UNM Referencs: Eccones Dferencles con plccones nots hstórcs. George F mmons. Ed. McGrw-ll El pensmento mtemátco: de l ntgüedd nestros dís. lnz Unersdd. Eccones Dferencles.Edtorl Cenc Técnc L n. erk0@serdor.nm.m Por rzones de sterdd prtr de este ejemplr el trje del oletín se redce l mtd. e grdece los lectores s comprensón se les nt str l págn WE donde encontrrán todos los ejemplres plcdos desde rl de 98.

7 M

8 M