Los vectores y sus operaciones

Transcripción

1 lasmatematcas.e edro Castro rtega Los ectores ss operacones Un ector qeda determnado por dos pntos, el orgen, el etremo. Un ector qeda completamente defndo a traés de tres elementos: módlo, dreccón sentdo. Módlo de n ector es la dstanca entre. Se desgna ponendo el ector entre arras:. Dgamos qe el módlo es a n ector lo qe el alor asolto es a n número real. Dreccón de n ector es la dreccón de la recta qe lo contene o en la qe se encentra el ector, así como la de todas ss paralelas. Sentdo. Cada dreccón admte, natralmente, dos sentdos opestos. En la fgra de arra el ector tene sentdo opesto qe el ector. Dos ectores son gales cando tenen el msmo módlo, la msma dreccón el msmo sentdo. Cando qeremos hacer so de n ector, podemos tomar, en s lgar, calqera de los qe son gales a él. Dos ectores gales tamén se llaman eqalentes. l connto formado por todos los ectores gales o eqalentes se le llama ector lre se selen desgnar así:, entonces, ' ', '' '',, w,,, etcétera. Es decr, s, ' ', '' '',, son todos ectores gales, es n ector lre. S decmos qe estamos tlzando el ector, lo qe qeremos decr es qe estamos tlzando calqera de los del connto anteror, lo llamaremos representante de la clase. Ha dos tpos de magntdes físcas. Unas son las magntdes escalares, en las qe para ndcar s alor asta con ndcar n número s ndad correspondente (la masa, el tempo, el olmen, la temperatra, la densdad, etc.) Sn emargo, otras son magntdes ectorales, en las qe no asta ndcar n número (módlo) na ndad, sno qe tamén hará qe dar nformacón sore en qé dreccón an, en qé sentdo (elocdad, ferza, aceleracón, etc.) rodcto de n número por n ector Dado n ector n número real k, k msmo sentdo qe ; s k 0, k es la sgente: k k. Dcho de otra manera, el módlo de k eces el de. sí por eemplo, el sentdo del ector eces el módlo de. 3 es otro ector qe tene la msma dreccón qe. S k 0, k tene el tenen sentdos opestos. demás, la relacón entre los módlos de de k es es opesto al de, s módlo es tres k 3 Sma, resta comnacón lneal de ectores ara smar dos ectores, se procede del sgente modo: se stúa a contnacón de, de manera qe el orgen de concda con el etremo de. La sma es el ector co orgen es el de etremo el de. ara restar dos ectores de. :,, se le sma a, el opesto S colocamos con orgen común completamos n paralelogramo, entonces la dagonal co orgen es el de es el ector sma,. La dagonal qe a del etremo de al etremo de es la resta. Dados dos ectores, dos números reales a, el ector a se dce qe es na comnacón lneal de. or eemplo, 3, 5 7, son comnacones lneales de. Vectores ágna 1

2 lasmatematcas.e edro Castro rtega Coordenadas de n ector Un mportante resltado es qe, dados dos ectores,, con dstntas dreccones, calqer ector se pede poner como comnacón lneal de de. Es decr, esten números reales a tales qe a. demás la comnacón lneal anteror es únca, o lo qe es lo msmo, sólo esten dos números reales a para los qe es certa la galdad anteror. ase coordenadas Se llama ase del connto de los ectores del plano a dos ectores calesqera, este caso la ase se denotará así: e con dstntas dreccones. En. S los dos ectores de la ase son perpendclares se dce qe forman na ase ortogonal, s además, amos son ntaros o de módlo 1, se drá qe forman na ase ortonormal. Tal como hemos sto anterormente, calqer ector del plano se podrá poner como comnacón lneal de los de forma únca, es decr, esten números reales a tales qe a. es, ectores de na ase en, a los números a se les llama coordenadas de en la ase en a,. peracones con coordenadas Spongamos qe tenen, respecto de na ase escrremos, para arear, a,, las sgentes coordenadas:,,, Entonces: Las coordenadas del ector sma,, se otenen smando las coordenadas de con las de : k Dado n número real, las coordenadas del ector mltplcando por k las coordenadas de : a,, k o. (prodcto de n número por n ector), se otenen,, k k k k Dados números reales, las coordenadas de na comnacón lneal de aplcando lo qe se ha sto en los dos pntos anterores: Eemplos,,,,, a a a a a a 1. Spongamos qe, 3 5,4 5 1, a, se otenen son dos ectores respecto de na ase. Calclar las coordenadas de, 3. Las coordenadas de son:, 3 5, 4 5, 34 3,1. Las coordenadas de 5 son: 5, 3 5, 53 10,15. Las coordenadas de 3. Las coordenadas de, w respecto de na ase se cmpla qe w a. son: 3, 3 5, 4 6, 9 10,8 6 10, 9 8 4, 1. son 1, 1,,3 w 5,15. Hallar a para qe Lo qe haremos es epresar la galdad anteror ssttendo los ectores por ss coordenadas. Entonces: 5,15 a1, 1,3 a, a,3 a, a 3. Igalando las prmeras coordenadas entre a5 sí, las segndas entre sí se pede plantear el sstema a Resoléndolo tenemos qe a 3, 4. Vectores ágna

3 lasmatematcas.e edro Castro rtega ntos ectores en el plano Sstema de referenca en el plano Los ectores son de gran tldad para la geometría. Vamos a constrr, a partr de ellos, n sstema de referenca para epresar analítcamente los pntos. En el tema sgente tamén lo tlzaremos para epresar las fgras planas. Un sstema de referenca para el plano consste en el connto R, formado por n pnto fo, llamado orgen, por na ase para los ectores. Hatalmente se toma na ase ortonormal (dos ectores ntaros perpendclares). En este caso se hala del sstema de referenca hatal tenemos qe, Entonces, a cada pnto del plano, se le asoca n ector fo, llamado ector de poscón del pnto. Como es na ase el ector de poscón tendrá nas coordenadas respecto de la ase: 1,0 0,1,0 0,, a a a a Las coordenadas del ector de poscón son las msmas qe las del pnto fgra sgente la constrccón anteror). 1,0 : a, a, 0,1 (éase en la a, a Vector drector Los ectores sren para marcar las dreccones de las rectas. Un ector paralelo a na recta se dce qe es n ector drector o n ector de dreccón de ella. Cada recta tene pes nfntos ectores drectores. Dada na recta r del plano, cada pnto so tene s ector de poscón correspondente. or eemplo, a n pnto de la recta le corresponde s ector de poscón, a otro pnto de la recta le corresponde s ector de poscón, etcétera. El ector qe ne el pnto con el pnto,, sería n ector drector de r la recta (er fgra de la derecha). sérese qe el ector es gal al ector de poscón del pnto menos el ector de poscón del pnto :. r Coordenadas del ector qe ne dos pntos La galdad anteror nos sre para hallar las coordenadas del ector qe ne dos pntos. Como son,,. or tanto: ectores de poscón deen de tener amos nas coordenadas: a a, Vectores ágna 3,,, a a a a 1 sí pes las coordenadas del ector se otenen restándole a las coordenadas de de ) las coordenadas de (qe son las msmas qe las de ):,,,, a a a a 1 (qe son las msmas qe las sí por eemplo, el ector qe ne el pnto 3, 4 con el pnto Q 6, es 6 3, 4 3,6 Tamén podemos hallar el ector qe ne Q con : Q 3 6, 4 3, 6. Q.

4 lasmatematcas.e edro Castro rtega Condcón para qe tres pntos estén alneados Ya hemos sto qe s son dos pntos, el ector 1 a1, a de la recta qe los contene. S está alneado con C c a, c a C c, c 1 a, a, C c, c 1 es n ector drector, pertenecerá tamén a la recta, ocrrrá qe tamén serán ectores drectores de la recta, por tanto, paralelos a, lo qe sgnfca qe los tres ectores han de ser proporconales, con lo qe ss coordenadas deen de formar na proporcón: a a k C c a c a 1 1 ; a a k ' C c c 1 1 Un eercco típco donde se tlza lo anteror es el sgente: aergar el alor de m Q 5, R 6, m estén alneados. or lo qe hemos sto Q 5 1, 4 4, 6 R 6 1, m 4 5, m 4 por tanto, ss coordenadas proporconales: nto medo de n segmento para qe los pntos 1,4 harán de ser paralelos, 5 m m 4 m 4 m odemos tlzar tamén los ectores para hallar el pnto medo de n segmento. Dado n segmento de etremos,, tenemos qe es la dagonal del paralelogramo. Como las dagonales a a 1, de n paralelogramo se cortan en s pnto medo M, tenemos (er fgra de la derecha): 1 1 1, a, a M a a a a 1, M, or tanto, las coordenadas del pnto medo del segmento de 1 etremos a1, a 1, son a, a M 1, Smétrco de n pnto respecto a otro S n pnto X, es el smétrco de otro pnto Y, respecto de n pnto, el pnto medo del segmento XY. or tanto: 1 1 m1 1 1 m1, m, m Despeando 1 se otenen las coordenadas de X en fncón de las de Y las de M. or eemplo, s hemos de hallar el smétrco del pnto 6,9 respecto del pnto 4,3 llamar al smétrco X,. Entonces ,3, del pnto respecto del pnto es X 14, 3. Y M M m m, entonces M es, lo qe hacemos es or tanto, el smétrco 3 3 X Vectores ágna 4

5 lasmatematcas.e edro Castro rtega rodcto escalar de ectores Se llama prodcto escalar de dos ectores al resltado de mltplcar el módlo de, por el módlo de por el coseno del ánglo qe forman. S llamamos al ánglo qe forman,, tenemos: Como, cos son números, entonces, cos pes escalar sgnfca número, en contraposcón a ectoral, qe sgnfca ector., es decr, tamén es n número. De ahí el nomre de prodcto escalar, ntes de segr dgamos qe el ector nlo o ector cero, 0, es n ector co orgen etremo concden, por tanto, s módlo es cero. Carece de dreccón. es en, s no de los dos ectores o es 0, entonces, oamente, el prodcto escalar es 0. S son amos ectores no nlos, para qe el prodcto escalar sea 0 es necesaro qe cos 0, es decr, qe sean perpendclares:. or tanto, la condcón necesara sfcente para qe el prodcto escalar de dos ectores no nlos sea gal a es qe los ectores sean perpendclares. Esta es la propedad fndamental del prodcto escalar. S el ánglo, 0 0 es agdo, entonces cos 0, por tanto, es otso, entonces cos 0, en este caso, 0 0. Sn emargo s el ánglo, ropedades del prodcto escalar No son dfícles de demostrar, tlzando la defncón de prodcto escalar, las sgentes propedades elementales. Conmtata: socata homogénea:, Dstrta: w w osta: 0, 0 El prodcto escalar la proeccón de ectores Llamemos a la proeccón del ector sore el ector (er fgra). En el tránglo rectánglo se cmple qe cos cos. Entonces cos, hemos demostrado la sgente propedad: El prodcto escalar de dos ectores es gal al módlo de no de ellos por la proeccón del otro sore él. or tanto la proeccón del ector sore el ector se otene despeando:. Vectores ágna 5

6 lasmatematcas.e edro Castro rtega Epresón analítca del prodcto escalar en ases ortonormales S tomamos R, n sstema de referenca ortonormal, es decr, dos ectores ntaros (de módlo no) perpendclares (ortogonales), tenemos: es na ase ortonormal formada por cos0º 1111 ; cos0º 1111 ; cos90º demás, s las coordenadas de dos ectores Demostracón:, Como Eemplo respecto de la ase 1 1, entonces 1 1. or tanto:, son,, Sean los ectores, 3, 5, wk,7 or n lado,. Calclemos, 3 5, or otro lado, con lo qe k el alor de k w 5,4 k,7 5k 47 5k 8. Como w, entonces 8 5 para qe w. partr de ahora en el tema sgente traaaremos sempre con sstemas de referenca ortonormales. w 0, entonces, es decr 5k 8 0, Módlo de n ector Las coordenadas de n ector, son las meddas de los catetos de n tránglo rectánglo ca hpotensa es el módlo de tanto (er fgra de la derecha): Vamos a dedcr esta galdad a partr del prodcto escalar:. or, cos 0º,, Ánglo de dos ectores Spongamos qe es el ánglo de dos ectores :, S las coordenadas de estos ectores son,,,. or tanto: cos Eemplo Dados los ectores,3 5, , ss módlos son:. Entonces, despeando: cos., entonces 1 1,, , 5 6. demás cos 0,365 68, 6º, qe es el ánglo qe forman los ectores Vectores ágna 6