SISTEMA DIÉDRICO I Intersección de planos y de recta con plano TEMA 8 INTERSECCIONES. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1.

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1 Objetvos y orentacones metodológcas SISTEMA DIÉDRICO I Interseccón de planos y de recta con plano TEMA 8 Como prmer problema del espaco que presenta la geometría descrptva, el alumno obtendrá la nterseccón de dos planos. Fnalmente, determnará el punto de nterseccón de una recta con un plano, sguendo el esquema de operacones a realzar. Las actvdades se centrarán en resolver los problemas de nterseccón de planos e nterseccón de recta con plano. Esta undad temátca abarcará un mínmo de dos clases. GEOMETRÍA DESCRIPTIVA INTERSECCIONES. Introduccón Vamos a resolver dos problemas del espaco de constante aplcacón en el estudo de la geometría descrptva:. Hallar la recta de nterseccón de dos planos.. Hallar el punto de nterseccón de una recta con un plano.. Interseccón de dos planos. Procedmento general La nterseccón de dos planos es una recta que quedará defnda cuando se conozcan dos de sus puntos. Aunque parezca paradójco, para determnar esta nterseccón se corta a los dos planos por un tercer plano y se determnan las nterseccones con cada uno de ellos; estas rectas se cortan en un punto que será de la nterseccón buscada; se repte la operacón con un segundo plano secante auxlar y las rectas obtendas se cortarán en otro punto de la nterseccón, que con el anteror defne la msma. Los planos auxlares que se toman son los planos de proyeccón H y V, o planos paralelos a ellos, cuyas nterseccones con los planos dados son las trazas de estos planos, o ben rectas horzontales o frontales de plano. DIBUJO TÉCNICO II - Bachllerato 83

2 GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Sean, por ejemplo, los planos α y β, cuya recta nterseccón se trata de hallar (Fg. ). Se toma un plano cualquera γ y se determnan las rectas r y s de nterseccón con los anterores, las cuales se cortan en el punto. Tomando otro plano ε, obtenemos las rectas r y s, que se cortan en el punto. La recta que une los puntos y es la nterseccón de los dos planos. A contnuacón se resuelven algunos casos de nterseccón de dos planos. r s r s Ya en dédrco (Fg. 3), s cortamos a los planos α y β por el plano H, las nterseccones son las rectas s (s -s ) y r (r -r ), que son precsamente las trazas horzontales α y β y cuyo punto de nterseccón es H -H. Tomando como plano auxlar secante el plano V, éste corta a los dados según las rectas s (s -s ) y r (r -r ), que son las trazas vertcales α y β y que se cortan en el punto V -V. r' s'' ' r' s' s' s'' solucón en el espaco Fg. 3. La recta ( - ), que une los puntos H(H -H ) y V(V -V ), es la nterseccón de los dos planos. Fg.. 3. Interseccón de dos planos oblcuos (Fgs. y 3) Resolvemos el problema en el espaco (Fg. ). Sean los planos α(α -α ) y β(β -β ). Se observa que la recta nterseccón es la que une los puntos H y V, donde se cortan las trazas del msmo nombre de los dos planos. P.V. 4. Interseccón de un plano proyectante horzontal con un plano proyectante vertcal (Fg. 4) La recta nterseccón, por pertenecer al plano β(β -β ), se proyecta vertcalmente sobre β, ya que el plano es proyectante vertcal, y por pertenecer al plano α(α -α ), que es proyectante horzontal, se proyecta horzontalmente sobre α ; la nterseccón es, pues, la recta ( - ), que pasa por los puntos H -H y V -V, donde se cortan las trazas del msmo nombre de los planos. ' ' P.H. solucón en el espaco Fg.. Fg DIBUJO TÉCNICO II - Bachllerato

3 5. Interseccón de un plano oblcuo con otro horzontal (Fg. 5) Todo plano horzontal corta a un plano cualquera según una recta horzontal; en este caso, el plano horzontal α(α ) corta al plano oblcuo (β -β ) según la horzontal -, que pasa por el punto V(V -V ), donde se cortan las trazas vertcales; la traza β corta a la traza α, que es mpropa, en el punto del nfnto, por lo que y β han de ser paralelas. 7. Interseccón de dos planos paralelos a la L.T. (Fgs. 7 y 8) Prmer procedmento (Fg. 7) Sguendo el procedmento general, cortamos a los planos dados α y β por un plano γ oblcuo cualquera. Los planos α y γ se cortan según la recta r(r -r ) y los planos β y γ, según la recta s(s -s ); estas dos rectas se cortan en el punto ( - ), que es de la nterseccón; como los planos son paralelos a L.T., su nterseccón tambén resulta paralela a L.T., por lo que basta trazar por - las paralelas a L.T. para obtener las proyeccones e de la nterseccón buscada. ' '' s'' ' ' r' GEOMETRÍA DESCRIPTIVA s' Fg Interseccón de un plano oblcuo con otro de perfl (Fg. 6) La nterseccón del plano α, oblcuo, y del β, de perfl, es la recta de perfl ( - ), cuyas trazas son H -H la horzontal y V -V la vertcal; sus proyeccones están confunddas con las trazas β y β del plano del perfl. En la fgura, se ha pasado la recta a tercera proyeccón, con ayuda de los puntos H y V. V Fg. 7. Segundo procedmento (Fg. 8) Cortando a los dos planos por un plano de perfl, se ven éstos según las rectas α y β, que se cortan en, proyeccón tercera de la recta nterseccón; las proyeccones de la nterseccón - se obtenen al proyectar sobre los dos planos. ' H Fg. 6. Fg. 8. DIBUJO TÉCNICO II - Bachllerato 85

4 GEOMETRÍA DESCRIPTIVA 8. Interseccón de un plano cualquera con el segundo plano bsector (Fg. 9) Como la recta ha de estar en el segundo bsector, sus proyeccones estarán confunddas. En la fgura, un punto de la nterseccón es el punto -, donde el plano α corta a la L.T. Sabendo que los puntos del segundo bsector tenen las proyeccones confunddas, se toma una horzontal r -r del plano α y sus proyeccones, prolongadas, se cortan en el punto - del segundo bsector. La recta que une los puntos y es la -, nterseccón del plano α con el segundo bsector. '' ' ' '' Dreccón de afndad: perpendcular a L.T. Dreccón D a. Eje de afndad: la recta nterseccón del plano con el segundo bsector. Sabemos que los puntos del eje son dobles; según esto, s la recta h es afín de h, el punto M de nterseccón de ambas es del eje de afndad; como el punto N de L.T. tambén es doble, la recta M-N es el eje de afndad y es precsamente la recta nterseccón del plano α con el segundo bsector, pues todos sus puntos tenen las proyeccones confunddas. Se halla una pareja de puntos afnes, por ejemplo el afín de, por medo de la horzontal h -h, y a partr de éstos se obtenen los demás puntos. M 5'' '' h'' '' 3'' - r' 4'' Da Fg. 9. A N B 5' ' h' Como aplcacón de esta recta de nterseccón de un plano con el segundo bsector resolvemos el problema sguente. 4' ' 9. Proyeccones de una fgura plana (Fg. 0) Se trata de resolver el sguente problema de tpo general: C eje de afndad 3' Dados un plano y una fgura contenda en dcho plano, de la que se conoce una de las proyeccones, hallar la otra proyeccón. En la Fg. 0, tenemos el plano α -α y una fgura contenda en él que se proyecta vertcalmente según un pentágono regular estrellado. Hay que hallar la proyeccón horzontal de dcha fgura. Fg. 0. Este problema se puede resolver por afndad. Las dos proyeccones de una fgura plana son fguras afnes, sendo los elementos de esta afndad los sguentes: 86 DIBUJO TÉCNICO II - Bachllerato

5 0. Interseccón de recta y plano (Fg. (Fg. ) ) En la parte superor zquerda de la fgura se ndca el procedmento a segur en el espaco. Se tene la recta r y el plano α. Para hallar el punto de nterseccón, se hace pasar por la recta un plano cualquera β, se halla la nterseccón de ambos planos, recta, y esta recta corta a la r en el punto I, que es el de nterseccón de la recta r con el plano α. En dédrco, para facltar las operacones, el plano β que se hace pasar por la recta es uno de los proyectantes de ella, en el caso de la fgura, es el proyectante horzontal β -β ; este plano y el α se cortan según la recta - ; la proyeccón vertcal corta a r en el punto I y este punto se refere a r, con lo que se obtene I. Por ser el plano β proyectante horzontal, y r concden con β. Fg.... Repaso de los conocmentos más necesaros de la geometría del espaco S una recta tene dos puntos en un plano, está en el plano. I r ' r' I'' I' GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Una recta que sólo tene un punto común con un plano, corta a dcho plano. La recta y el plano que no tenen nngún punto común, se dce que son paralelos. Tres puntos del espaco no alneados determnan un solo plano. La nterseccón de dos planos es sempre una recta. Un plano puede defnrse tambén de las formas sguentes: por una recta y un punto que no se pertenecen, por dos rectas que se cortan o por dos rectas paralelas. Las poscones relatvas de dos rectas son: rectas que se cruzan (no tenen nngún punto en común y no forman plano); rectas que se cortan (determnan un plano y tenen un punto común); rectas paralelas (determnan un plano y tenen un punto común que es el del nfnto, llamado punto mpropo). DIBUJO TÉCNICO II - Bachllerato 87

6 GEOMETRÍA DESCRIPTIVA. Determnar la recta nterseccón de dos planos, uno oblcuo y otro paralelo a la L.T.. Hallar la nterseccón de dos planos proyectantes horzontales. 3. Hallar la nterseccón de dos planos proyectantes vertcales. 4. Hallar la nterseccón de un plano oblcuo con un plano frontal. 5. Hallar la nterseccón de un plano oblcuo con un plano proyectante horzontal. 6. Hallar la nterseccón de un plano oblcuo con un plano proyectante vertcal. 7. Hallar la nterseccón de un plano oblcuo con otro que pasa por la L.T. 8. Hallar la nterseccón de un plano cualquera con los dos planos bsectores. 9. Determnar la nterseccón de una recta con los planos bsectores, en los casos sguentes: ACTIVIDADES a) La recta es horzontal y no es paralela a L.T. b) La recta es perpendcular a uno de los planos de proyeccón. c) La recta es de perfl. 0. Determnar el punto común a tres planos. (Prmero se halla la nterseccón de dos planos y después la nterseccón de la recta obtenda con el tercer plano.). Determnar el punto común a tres planos en el caso sguente: Un plano oblcuo cualquera, otro frontal y un tercero paralelo a la L.T.. Determnar el punto de nterseccón de una recta con un plano en los sguentes casos: a) La recta es de punta y el plano es uno oblcuo cualquera. b) La recta es de perfl y el plano es uno oblcuo cualquera. 3. En un plano oblcuo hay una fgura cuya proyeccón horzontal es un hexágono regular. Hallar la proyeccón vertcal por afndad. 88 DIBUJO TÉCNICO II - Bachllerato