La representación Denavit-Hartenberg

Transcripción

1 La representacón Denavt-Hartenberg José Cortés Parejo. Marzo 8 Se trata de un procedmeto sstemátco para descrbr la estructura cnemátca de una cadena artculada consttuda por artculacones con. un solo grado de lbertad. Para ello, a cada artculacón se le asgna un Sstema de Referenca Local con orgen en un punto ejes,, X, Y, Z, ortonormales { X Y Z }, comenzando con un prmer S.R fjo e nmóvl dado por los ejes { } anclado a un punto fjo de la Base sobre la que está montada toda la estructura de la cadena. Este Sstema de Referenca no tene por qué ser el Unversal con orgen en (,,) la Base canónca. 1. Asgnacón de Sstemas de Referenca Las artculacones se numeran desde 1 hasta n. A la artculacón -ésma se le asoca su propo eje de rotacón como Eje Z 1, de forma que el eje de gro de la 1ª artculacón es Z el de la n -ésma artculacón, Zn 1. En la Fgura adjunta se muestra la estructura del Robot PUMA junto con sus artculacones ejes de rotacón. Para la artculacón -ésma (que es Z la que gra alrededor de 1 ), la eleccón del orgen de coordenadas del Eje X sgue reglas mu precsas en funcón de la geometra de los brazos artculados. el Eje X, Y, Z sea dextrógro. La especfcacón de cada Eje X depende de la relacón espacal entre Z Z 1, dstnguéndose casos: 1- Z Z 1 no son paralelos Y por su parte, se escoge para que el sstema { } Entonces exste una únca recta perpendcular a ambos, cua nterseccón con los ejes proporcona su mnma dstanca (que puede ser ). Esta dstanca, a, medda desde el eje Z 1 haca el eje Z (con su sgno), es uno de los parámetros asocados a la artculacón -ésma. La dstanca d desde 1 a la nterseccón de la perpendcular común entre Z 1 Z con Z 1 es el º de los parámetros. En este caso, el Eje X es esta recta, sendo el sentdo postvo el que va desde el Eje Z 1 al Z s a >. El orgen de coordenadas es la nterseccón de dcha recta con el Eje Z.

2 - Z Z 1 son paralelos En esta stuacón el Eje X se toma en el plano contenendo a Z 1 Z perpendcular a.ambos. El orgen es cualquer punto convenente del eje Z. El parámetro a es, como antes, la dstanca perpendcular entre los ejes Z 1 Z, d es la dstanca desde 1. Una vez determnado el Eje X, a la artculacón -ésma se le asoca un er parámetro fjo que es el ángulo que forman los ejes Z 1 Z en relacón al eje X. Nótese que cuando el brazo -ésmo (que une rgdamente las artculacones e + 1 ) gra en torno al eje Z 1 (que es el de rotacón de la artculacón ), los parámetros a, d permanecen constantes, pues dependen Z, que son nvarables. Por exclusvamente de las poscones/orentacones relatvas entre los ejes Z 1 tanto, a, d pueden calcularse a partr de cualquer confguracón de la estructura artculada, en partcular a partr de una confguracón ncal estándar. Precsamente el ángulo de gro que forman los ejes X 1 X con respecto al eje Z 1 es el 4º parámetro asocado a la artculacón el únco de ellos que vara cuando el brazo gra. Es mportante observar que el conjunto de los 4 parámetros a, d, determna totalmente el Sstema de Referenca de la artculacón + 1 en funcón del S.R de la artculacón.. Transformacón de coordenadas De los 4 parámetros asocados a una artculacón, los prmeros son constantes dependen exclusvamente de la relacón geométrca entre las artculacones e + 1, mentras que el 4º parámetro es la únca varable de la artculacón, sendo el ángulo de gro del eje X 1 alrededor del eje Z 1 para llevarlo hasta X. R, [ u, u, u ] R =, [ v, v, v ] con Sabemos que dados Sstemas de Referenca = { } { } Bases ortonormales asocadas, el cambo de coordenadas del segundo S.R. al prmero vene dado por: R λ β = λ β donde 1,, que v1 v v = u1 u u R 1,, λ β β β son las coordenadas de un punto en el S.R R, R es la matrz del Cambo de Base tal λ λ λ son las coordenadas del orgen del segundo S.R.,,, del punto en respecto al prmero. La expresón permte entonces obtener las coordenadas 1 cuestón con respecto al prmero de los S.R. En nuestro caso, para pasar de la ( + 1) -ésma artculacón a la -ésma, los Sstemas de Referenca son { X Y Z } R = {, X, Y, Z } R =,,, β. Estudaremos por separado la matrz del Cambo de Base la expresón de en en el prmer S.R.

3 .1 Matrz del Cambo de Base Habendo asgnado los ejes a cada artculacón medante la representacón Denavt-Hartenberg, tenemos que: 1- El eje X se obtene rotando el eje X 1 alrededor del eje Z 1 un ángulo. - El eje Z se obtene rotando el eje Z 1 alrededor del eje X un ángulo. Por su parte, el eje Y vene a determnado por X La prmera transformacón es una rotacón alrededor del er vector de la 1ª Base, cuas ecuacones genércas son: Z. u1 u u = u1 u u R( ) La segunda transformacón es una rotacón alrededor del 1 er vector de la Base a transformada, tene por expresón: () () () u1 u u = u1 u u R1 ( ) Por tanto, concatenándolas: () () () u1 u u = u1 u u R( ) R1 ( ) X Y Z = X Y Z R ( ) R ( ) Fnalmente, cambamos la notacón para tener: Con lo cual, la matrz del Cambo de Base es: cos sen 1 R = R( ) R1 ( ) = sen cos cos sen 1 sen cos cos sen cos sen sen R = sen cos cos cos sen sen cos. Coordenadas de en el prmer S.R. Según la representacón de Denavt-Hartenberg, el orgen del º Sstema de Referenca se obtene medante: 1- Traslacón de 1 a lo largo del eje Z 1 por la magntud d. - Traslacón a lo largo del eje X por la magntud a. La prmera transformacón es: 1 = 1 + d Z 1 La segunda transformacón es: = 1 + a X

4 Tenendo ahora en cuenta que: cos sen cos sen sen X Y Z = X 1 Y 1 Z 1 sen cos cos cos sen sen cos Se tene, para el 1 er vector: cos X = X Y Z sen = cos X + sen Y ( ) de donde: = 1 + a X = 1 + d Z 1 + a cos X 1 + sen Y 1 = + ( a cos ) X + ( a sen ) Y + d Z por tanto, las coordenadas de en el 1 er Sstema de Referenca son: λ 1 a cos λ = a sen λ d Fnalmente, la transformacón de coordenadas del S.R.,[ X,Y,Z ] al S.R. 1, [ X 1, Y 1, Z 1] 1 cos sen cos sen sen 1 a cos = sen cos cos cos sen β + a sen sen cos β d Cambando la notacón para las coordenadas: x 1 cos sen cos sen sen x a cos = sen cos cos cos sen + a sen 1 z 1 sen cos z d β es: Donde el subndce denota el Sstema de Referenca respecto al cual están expresadas las coordenadas. En coordenadas homogéneas: x 1 cos sen cos sen sen a cos x 1 sen cos cos cos sen a sen = z 1 sen cos d z 1 1 1

5 . Artculacones compuestas con o Grados de lbertad Un caso mu frecuente es el de las artculacones del cuerpo humano o de un anmal en el que un hueso puede grar respecto al anteror en o ejes que se cortan en un msmo punto más aún, podemos suponer que los ejes son mutuamente perpendculares. Cada uno de estos ejes de rotacón consttue una artculacón en el sentdo de la representacón Denavt- Hartenberg, pero para esta stuacón especal resulta convenente cambar la notacón vsta en la seccón anteror denomnar a los Sstemas de Referenca como: Para el 1 er grado de lbertad: Ejes: Para el º grado de lbertad: Ejes: Para el er grado de lbertad: Ejes: X, Y, Z X, Y, Z () () () X, Y, Z () () () Y los Sstemas de Referenca tene orgen común Supondremos además que () () (). Z es perpendcular a Z, Z = Z Z la sguente artculacón con DOF tene su orgen en () + 1 = r X 1 er eje de rotacón Z () + 1 = X.1 Transformacón para la 1ª artculacón: Los parámetros Denavt-Hartenberg artculacón son ambos nulos () () a, d para la 1ª X = Z Z con lo cual = 9º la matrz de transformacón es: () x cos 1 sen 1 x () sen 1 cos 1 = () z 1 z Transformacón para la ª artculacón: Los parámetros Denavt-Hartenberg artculacón son ambos nulos () () () a, d para la ª () () () X = Z Z con lo cual = 9º la matrz de transformacón es: () () x cos sen x () () sen cos = () () z 1 z Transformacón para la ª artculacón: Los parámetros Denavt-Hartenberg () a, d para la ª () () () () () artculacón son a = d = r pues estamos suponendo + 1 = r X. Por otra parte, () X = Z Z de froma que = 9º la matrz de transformacón es: () x cos sen x + 1 () sen cos + 1 = () z 1 r z

6 La Transformacón total de la artculacón con orgen en + 1 DOF a la artculacón con orgen en DOF es: x cos 1 sen 1 cos sen cos sen x + 1 sen 1 cos 1 sen cos sen cos + 1 = z r z Consderacones fnales La representacón Denavt-Hartenberg presupone que cuando se realza una rotacón alrededor de uno de los ejes, dgamos Z 1, la orentacón del eje Z vara debdo a la accón del brazo que los une (exceptuando el caso en el que Z 1 Z son paralelos), aunque naturalmente el ángulo entre ambos ejes permanece constante. Esta observacón mplca que es mposble que el eje Z tenga una orentacón constante e ndependente de Z la rotacón que se efectúe alrededor de 1, lo cual mplca que la transformacón de un sstema a otro no puede en nngún caso expresarse como una rotacón de ángulos de Euler de Ejes Fjos, como la RPY. Bblografa Barrentos, A.; Peñn, L.F,; Balaguer, C. & Aracl, R. Fundamentos de Robótca ª Ed. McGraw-Hll, 7 Fu, K.S.; González, R.C. & Lee, C.S.G. Robótca: Control, deteccón, vsón e ntelgenca McGraw-Hll, 1988