Tema 3. Teoremas de la Teoría de Circuitos

Transcripción

1 Tema 3. Teoremas de la Teoría de Crcutos 3.1 Introduccón 3. Superposcón 3.3 Transformacón de fuentes 3.4 Teorema de Theenn 3.5 Teorema de Norton 3.6 Máxma transferenca de potenca Th Th L nálss de Crcutos (G-86). Grado en Ingenería de Tecnologías de Telecomuncacón José. Pereda, Dpto. Ing. de Comuncacones, Unersdad de Cantabra. 1

2 blografía ásca para este Tema: [1] C. K. lexander, M. N. O. Sadku, Fundamentos de crcutos eléctrcos, 3ª ed., McGraw-Hll, 006. []. C. Dorf, J.. Soboda, Introducton to electrc crcuts, 7th ed., John Wley & Sons, 006. Sadku Tema 4 Dorf Tema 5 - Esta presentacón se encuentra, temporalmente, en:

3 3.1 Introduccón - Como hemos sto en temas anterores, las ecuacones de Krchhoff permten analzar un crcuto sn alterar su confguracón orgnal. - Sn embargo, la complejdad crecente de los crcutos que se usan en la práctca hace que los cálculos se uelan tedosos. - En este tema eremos un conjunto de técncas que permten reducr la complejdad que un crcuto antes de proceder a su análss: - El prncpo de superposcón - La transformacón de fuentes - Los teoremas de Theenn y Norton 3

4 3. Superposcón - Un crcuto lneal es aquél que sólo tene elementos lneales y fuentes - Un elemento lneal es aquél cuya relacón - es lneal: a, con a cte - En esta asgnatura sólo se consderan crcutos lneales - Los crcutos lneales erfcan el prncpo de superposcón El prncpo de superposcón establece que la tensón entre los extremos (o corrente a traés) de un elemento de un crcuto lneal es la suma algebraca de las tensones (o correntes) a traés de ese elemento debdas a cada una de las fuentes ndependentes cuando actúa sola. - El prncpo de superposcón ayuda a analzar un crcuto lneal con más de una fuente ndependente medante el cálculo de la contrbucón de cada fuente ndependente por separado 4

5 3. Superposcón - La aplcacón del prncpo de superposcón tene los sguentes pasos: 1. pagar todas las fuentes ndependentes excepto una. Encontrar la salda (tensón o corrente) debdo a la fuente acta.. epetr el paso anteror para cada una de las fuentes ndependentes presentes en el crcuto. 3. La contrbucón total endrá dada por la suma algebraca de las contrbucones de cada una de las fuentes ndependentes. - Obseracones: - pagar una fuente ndependente de tensón mplca reemplazarla por una fuente de tensón de 0 (cortocrcuto) - pagar una fuente ndependente de corrente mplca reemplazarla por una fuente de corrente de 0 (crcuto aberto) - Las fuentes dependentes no se modfcan 5

6 -Ejemplo 1: Calcular en el crcuto de la fgura, aplcando el prncpo de superposcón. a 8 Ohm, b 4 Ohm, s 6, I s 3 &S-3ª Ej. 4.3 a s b I s 6

7 Solucón: 1 - Puesto que hay dos fuentes a - 1 es la tensón debda a s con I s 0 - es la tensón debda a I s con s 0 s b I s - Cálculo de 1 : (dejamos I s en crcuto aberto) - plcando la KL: s a - luego s - Por tanto a b b b S a b 1 7

8 - Cálculo de : (cortocrcutamos s ) - plcando la KCL: I s a b a b - luego 3 8 I s a b a b I s - La solucón fnal es:

9 3.3 Transformacón de fuentes - La transformacón de fuentes se usa para smplfcar crcutos Una transformacón de fuentes es el proceso de susttur una fuente de tensón s en sere con una resstenca por una fuente de corrente s en paralelo con una resstenca, o ceersa s crcuto s crcuto S S 9

10 3.3 Transformacón de fuentes - Comprobacón s crcuto - plcando KL: s crcuto s - plcando KCL: s s s Debe cumplse para que ambos crcutos sean equalentes! s s 10

11 -Ejemplo : Calcular 0 en el crcuto de la fgura. Para ello, reducr el crcuto a un dsor de corrente aplcando transformacón de fuentes &S-3ª Ej. 4.6 Ω 3 Ω 4 Ω 3 8 Ω

12 Solucón: Ω 3 Ω 4 Ω 3 8 Ω Comenzamos transformando la fuente de corrente a una de tensón: S S Ω Ω 3 Ω Ω 1 - hora, asocamos las dos resstencas en sere: 1

13 1 6 Ω 3 Ω 0 8 Ω 1 - Segudamente, transformamos las fuentes de tensón: S S 1 6 S S Ω 8 Ω 3 Ω grupando resstencas y fuentes: 13

14 0 6 Ω 3 Ω Ω Ω 8 Ω 0 - Por últmo, usamos la fórmula del dsor de corrente: y la ley de Ohm:

15 3.4 Teorema de Theenn - Suele ocurrr que un elemento de un crcuto sea arable (carga), mentras que los demás permanecen fjos. Entonces, cada ez que se camba la carga debemos oler a analzar todo. - El teorema de Theenn proporcona una técnca para susttur la parte fja por un crcuto equalente sencllo. El teorema de Theenn establece que un crcuto lneal de dos termnales puede sustturse por un crcuto equalente formado por una fuente de tensón Th en sere con una resstenca Th Th crcuto lneal de dos termnales carga Th carga Crcuto orgnal Crcuto equalente de Theenn 15

16 3.4 Teorema de Theenn - Cálculo de la tensón equalente de Theenn: - Utlzamos como crcuto de carga un crcuto aberto crcuto lneal de dos termnales 0 oc Th Th 0 oc Th - En esta stuacón se cumple Th oc 16

17 3.4 Teorema de Theenn - Cálculo de la resstenca equalente de Theenn, Th : - Se ponen a cero las fuentes ndependentes. Entonces la Th concde con la resstenca de entrada n sta en los termnales del crcuto crcuto con fuentes ndependentes puestas a cero - Entonces n Th 0 Th n Th Th n (con las fuentes ndependentes a cero) - Poner las fuentes ndependentes a cero sgnfca: 1. Cortocrcutar las fuentes ndependentes de tensón. Dejar en crcuto aberto las fuentes ndependentes de corrente 17

18 3.4 Teorema de Theenn - Determnacón de la resstenca de entrada n : - CSO 1: Crcuto SIN fuentes dependentes. 1. Se ponen las fuentes ndependentes a cero. Se calcula n medante asocacón de resstencas crcuto con fuentes ndependentes puestas a cero n 18

19 -Ejemplo 3: Calcular el equalente Theenn del crcuto de la fgura &S-3ª Ej Ω 1Ω 3 1 Ω 19

20 Solucón: 4 Ω 1Ω 3 1 Ω - Comenzamos calculando la resstenca Theenn. Para ello, ponemos a cero las fuentes ndependentes y calculamos la resstenca de entrada 4 Ω 1Ω 1 Ω n n ( 4 Ω 1 Ω) 1Ω 1 4 Ω 0

21 - Para obtener la tensón Theenn calculamos la tensón de crcuto aberto en los termnales Ω 1Ω 1 Ω - esolemos por análss de nudos 1 - KCL: 3 - Usando la ley de Ohm: 3 Th Th Despajando: 30 Th 4 Ω Ω Th 1 Th 3 1

22 - Por tanto: 4 Ω 1Ω 3 1 Ω 4 Ω 30

23 3.4 Teorema de Theenn - Determnacón de la resstenca de entrada n : - CSO : Crcuto CON fuentes dependentes. 1. Se ponen las fuentes ndependentes a cero a. Se aplca una fuente de tensón 0 entre los termnales y se calcula la corrente 0 que crcula por la fuente. b. O ben, se aplca una fuente de corrente 0 entre los termnales y se calcula la tensón 0 entre dchos termnales. Entonces n 0 / 0 crcuto con fuentes ndependentes puestas a cero (a) 0 crcuto con fuentes 0 0 ndependentes puestas a cero n 0 0 n 0 0 (b) 0 3

24 -Ejemplo 4: Calcular el equalente Theenn del crcuto de la fgura &S-3ª Ej. 4.9 x Ω Ω 5 4 Ω x 6 Ω 4

25 Solucón: 5 4 Ω x x Ω - Comenzamos calculando la resstenca Theenn. Para ello, ponemos a cero las fuentes ndependentes, ponemos una fuente de tensón 0 entre los termnales y calculamos la corrente que pasa por ella. 6 Ω Ω x 4 Ω x Ω 6 Ω Ω 0 n

26 - esolemos por análss de nudos: - plcando la KCL: - NUDO C: 1 x 0 x - NUDO D: 3 - Sumando C D: - Ley Ohm: 0 - En funcón de las tensones de nudo: de donde x x x x x - De la ley de Ohm en -D: x x 0 3 C 1 4 Ω x x x Ω x 3 ; C x 3 ; D D 6 Ω x Ω 0 Th 6Ω

27 - Para obtener la tensón Theenn calculamos la tensón de crcuto aberto - esolemos por análss de nudos: - NUDO C: 5 1 x - NUDO D: En funcón de las tensones de nudo: x x 5 4 x 3x x 6 x x x 1 4 Ω 0 3 C x x Ω x 3 D 6 Ω Ω 0 C x; Th 3 D Th Th 3x 0 7 x

28 3.5 Teorema de Norton - El teorema de Norton es el dual del teorema de Theenn El teorema de Norton establece que un crcuto lneal de dos termnales puede sustturse por un crcuto equalente formado por una fuente de corrente I N en paralelo con una resstenca N crcuto lneal de dos termnales carga I N N carga Crcuto orgnal Crcuto equalente de Norton 8

29 3.5 Teorema de Norton - Cálculo de la corrente de Norton: - Utlzamos como crcuto de carga un corto crcuto crcuto lneal de dos termnales sc 0 I N N sc 0 - En esta stuacón se cumple I N sc 9

30 3.5 Teorema de Norton - Cálculo de la resstenca de Norton: - Partmos del equalente Theenn y aplcamos transformacón de fuentes Th Th N Th I N Th Th I N N - demás, tenendo en cuenta que - se obtene Th Th N I N I Th oc N sc oc sc 30

31 - Ejemplo 5: Calcular el equalente Norton del crcuto de la fgura. I s, s 1, 1 4 Ohm, 4 8 Ohm, 3 5 Ohm &S-3ª Ej I s 3 s 4 31

32 Solucón: - Cálculo de la resstenca equalente de Norton N - Ponemos a cero las fuentes ndependentes 1 3 N 4 N ( 1 4 ) Ω 3

33 - Cálculo de la fuente de corrente equalente de Norton I N - Calculamos la corrente de cortocrcuto I N sc I s - Malla 1: IS - KL para la malla : s 4 4 s 1 4 s 1 ( IS ) s 1I S esolendo: 1 I N

34 3.6 Máxma transferenca de potenca - En muchas stuacones práctcas un crcuto se dseña para sumnstrar potenca a una carga En condcones de crcuto fuente fjo y carga arable, la transferenca de potenca a la carga es máxma cuando la resstenca de carga L es gual a la resstenca del equalente Theenn del crcuto fuente Th sto desde la fuente Th crcuto fuente L Th L p p L max Th 34

35 3.6 Máxma transferenca de potenca - Demostracón - Partmos del equalente Theenn del crcuto fuente Th L L Th L Th L Th ( ) - Para encontrar el máxmo deramos: p p L < 0 p p max Th Th Th L Th 4 ( ) - Igualando a cero la derada: Th - Se puede comprobar que - La potenca máxma resulta: Th L p L L 0 L L 3 L Th Th L L Th 35

36 - Ejemplo 6: Determnar el alor de L para que la transferenca de potenca en el crcuto de la fgura sea máxma. Calcular la potenca máxma. &S-3ª Ej Ω 3 Ω Ω 1 1 Ω L 36

37 Solucón: - Comenzaremos determnando el equalente Theenn del crcuto fuente - Cálculo de la resstenca Theenn Th 6 Ω 3 Ω Ω 1 Ω Th Th ( 6Ω 1Ω) 3Ω Ω 3 9 Ω 37

38 - Cálculo de la tensón Theenn Th Ω 1 Ω 3 Ω - Malla 1: 6 1( ) Malla : 1 x Ω Th Cálculo de Th : Th Th 1 6 Ω 3 Ω 1 Ω 0 Th 38

39 - Cálculo de la potenca máxma Th Th L Th p Th max L W 39