Se desea definir redes lineales y estudiar sus propiedades.

Transcripción

1 apítulo 6 1 EES LINELES Se desea defnr redes lneales y estudar sus propedades. Luego se desarrollará el método de análss por superposcón para redes lneales; y dos mportantes casos partculares de este método: Los teoremas de Théenn y Norton. Una red lneal está formada por la nterconexón de componentes elementales lneales. Entonces una red lneal queda descrta por un sstema de ecuacones dferencales lneales de prmer orden. El número de ecuacones es gual al número de componentes dnámcas, esto s exste un árbol que contenga a todos los condensadores y fuentes ndependentes de tensón, y que las cuerdas contengan a todos los nductores y fuentes de corrente. e la defncón de lnealdad podremos demostrar qué modelos matemátcos pueden emplearse para representar componentes lneales. Veremos que los condensadores, resstencas e nductores son componentes lneales. Una red no-lneal es aquella que no es lneal. Un número mportante de redes útles son nolneales. Las redes lneales son un caso partcular de sstemas lneales, que se estuda como asgnatura aparte. omenzamos el estudo obserando redes con una exctacón y una respuesta; luego, redes con dos exctacones y, fnalmente, el caso general de n exctacones. 6.1 edes con una exctacón y una respuesta En la Fgura 6.1 se tene una red que posee sólo una fuente ndependente, que se consdera la exctacón. e todas las arables de la red se escoge el oltaje en la resstenca 3 como la respuesta. Ejemplo 6.1. Sea la sguente red:

2 Teoría de edes Eléctrcas e(t) 3 r(t) Fgura 6.1. ed con una exctacón. e todas las arables obserables se escogó arbtraramente una. En el caso de la Fgura 6.1, se elgó r, el oltaje en 3. La corrente 1 resulta, medante equalencas: 1 1 e 3 3 (6.1) La corrente 3, por dsor de corrente: (6.) Fnalmente: r t e t ( ) 3 3 ( ) ( ) (6.3) S el coefcente, formado por las resstencas, se denomna g, resulta: r( t) g e( t ) (6.4) La relacón (6.4) la podemos smbolzar, empleando notacón de sstemas, según se muestra en la Fgura 6.. e(t) S r(t) Fgura 6.. Símbolo de sstema.

3 apítulo 6. edes lneales 3 El símbolo relacona el estímulo, exctacón o causa, con la reaccón, respuesta o efecto. La relacón entre ambas es la red. Se anota: Es decr, la red S está defnda por una relacón. S : r( e ) (6.5) En el caso del ejemplo: r() e ge (6.6) 6.. Lnealdad para redes con una exctacón La red descrta por el sstema: S: r(e) es lneal s y solamente s cumple las propedades de homogenedad, o proporconaldad, y superposcón. Una red es homogénea s al aplcar una proporcón de un estímulo conocdo, la respuesta tambén aría en esa proporcón. Es decr, s se conoce que: e(t) S r(t) Entonces se cumple, por homogenedad que: Fgura 6.3. ausa efecto. k e(t) S k r(t) Fgura 6.4. Homogenedad. omo k es una constante, la forma de e y ke son proporconales; tambén r y kr tenen formas proporconales. Una red tene la propedad de superposcón, s al aplcar la suma de dos estímulos, en general dferentes, la respuesta es la suma de las respuestas a cada uno de los estímulos. Es decr, s se tene que:

4 4 Teoría de edes Eléctrcas e1(t) S r1(t) e(t) S r(t) Entonces se cumple que: Fgura 6.5. espuestas a estímulos dferentes. e1(t)+e(t) S r1(t)+r(t) Fgura 6.6. Superposcón. ombnando las defncones anterores, y s se tenen las relacones de la Fgura 6.5, se dce que S es lneal, s y solamente s: ae1(t) + be(t) S ar1(t) + br(t) Fgura 6.7. Lnealdad. onde a y b son constantes. ebe notarse que sólo exste una exctacón. Por lo tanto, (e 1 + e ) se nterpreta como un generador cuya forma de onda es la suma de las formas de ondas de e 1 y e. e la Fgura 6.7, puede obtenerse la Fgura 6.6, s a y b son guales a uno. Tambén puede obtenerse la Fgura 6.4 s a es cero o ben s b es cero Modelos báscos de componentes lneales ecta que no pasa por el orgen Sea un sstema descrto por:

5 apítulo 6. edes lneales 5 onde a y b son constantes. Se desea determnar s el sstema S es lneal. Sean: r 1 (e 1 ) y r (e ) los pares estímulo-respuesta conocdos. O sea, se cumplen: S : r ae b (6.7) r1 ae1 b (6.8) r ae b (6.9) e la defncón (6.7) s se aplca una exctacón e1 e, tendremos una respuesta que llamaremos rs ( e1 e ) ; es decr, se cumple: r a( e e ) b (6.10) s 1 El sstema cumple superposcón s y sólo s: r r r (6.11) s 1 S se reemplaza (6.8) y (6.9) en (6.10), se logra: r r r b (6.1) s 1 Lo que demuestra que S es lneal sólo s b=0. Es decr, una recta que pasa por el orgen. Para el sstema dado en (6.7) se defne la respuesta a un estímulo proporconal, como r h( ke ). Es decr, se cumple: El sstema S cumple homogenedad s: Elmnando e, medante (6.7) en (6.13) se logra: r a( ke) b (6.13) h rh kr (6.14) r kr b(1 k ) (6.15) h La relacón (6.15) muestra que se cumple (6.14), homogenedad, s y sólo sí: b=0.

6 6 Teoría de edes Eléctrcas Entonces el sstema S : r ae b es no lneal. Tambén podemos aseerar que el sstema S : r ae es lneal. Una resstenca es un sstema lneal, que relacona la causa, con la respuesta, medante la relacón de equlbro:, con constante La respuesta es la derada de la exctacón Sea un sstema S, descrto por: r de dt (6.16) Se defnen: r r 1 de1 dt de dt (6.17) (6.18) Sea rs la respuesta a la suma de los estímulos, de la defncón de S en (6.16), se cumple que: r s d( e1 e) dt (6.19) eemplazando (6.17) y (6.18) en (6.19) se logra: r r r (6.0) s 1 Por lo tanto, S defndo en (6.16) cumple superposcón. Se tene, aplcando la defncón de S en (6.16), que: r h d( ke) dt (6.1) omo el operador derada es un operador lneal, se tene a partr de (6.1) que: de (6.) r k dt h Empleando (6.16) en (6.1), se cumple que:

7 apítulo 6. edes lneales 7 Entonces de (6.1) y (6.3) se tene que S es homogéneo. rh kr (6.3) Y, como se cumple homogenedad (6.3) y superposcón (6.0), el sstema (6.16) será lneal. Vemos entonces que s L y son constantes, el nductor y condensador serán componentes lneales, ya que relaconan la corrente y el oltaje en ellas con una relacón smlar a la (6.16) ed de prmer orden Sea una red S, descrta por el sstema: dr S : a br e dt (6.4) El modelo matemátco en (6.4) es una ecuacón dferencal ordnara, lneal y de coefcentes constantes. Puede decrse que S es una red de prmer orden. En las Fguras 6.8 y 6.9 se muestran dos redes que cumplen la relacón (6.4): e r 1/b a Fgura 6.8. ed. Para la red de la Fgura 6.8, aplcando LK, se obtene: e r 1/ b a dr dt (6.5) Que es equalente a la relacón (6.4) En la sguente red:

8 8 Teoría de edes Eléctrcas e(t) r(t) b a Fgura 6.9. ed L. plcando LVK, se obtene: dr e a br dt (6.6) Puede comprobarse, aplcando un desarrollo smlar al de los puntos y 6.3., que una red de prmer orden es lneal; y tambén que el sstema descrto en (6.7) es no lneal. dr e a b r c dt (6.7) omponente cuadrátca Sea un sstema S descrto por una relacón cuadrátca: S : r e (6.8) Se defnen: r e (6.9) 1 1 r e (6.30) e (6.8) para la suma de las exctacones se tendrá la respuesta: rs ( e1 e ) (6.31) eemplazando (6.9) y (6.30) en (6.31) resulta: rs r1 r e1e (6.3) Por lo tanto, no cumple superposcón. Es no lneal. demás por la defncón (6.8) se tene que la respuesta a un estímulo proporconal es: rh ( ke) k e (6.33)

9 apítulo 6. edes lneales 9 eemplazando (6.8) en (6.33), se logra: Y no se cumple que: Por lo tanto, no cumple homogenedad, y (6.8) es no lneal. rh k r (6.34) rh kr (6.35) La no lnealdad cuadrátca es muy útl en la generacón de nueas frecuencas. S la exctacón es de tpo snusodal: e( t) sen( t ) Se tendrá una respuesta: r( t) 1 cos( t) e ( t) sen ( t ) Se apreca que la respuesta contene una señal que tene el doble de la frecuenca de la señal de entrada. Este tpo de componente se emplea en sstemas de comuncacones para generar nueas frecuencas lgunas redes no lneales Veremos algunos ejemplos de sstemas no lneales, para mostrar que una gran cantdad de dspostos útles pertenecen a esta categoría mplfcador lneal con saturacón el punto se puede asegurar que la red, cuya característca es la de la Fgura 6.10, es no lneal. r -E - E e Fgura ed con saturacón. Sn embargo, s E<e<E, la red tendrá comportamento lneal.

10 10 Teoría de edes Eléctrcas La característca de la Fgura 6.10 es la de un amplfcador operaconal real odo El sstema descrto por la Fgura 6.11, suele encontrarse en redes que tengan dodos. e acuerdo a será un sstema no lneal. r E e Fgura ed tpo dodo. Una característca como la de la Fgura 6.11, es muy útl en la construccón de rectfcadores de meda onda ectfcador de onda completa Empleando aros dodos se puede construr una red que tenga la característca de la Fgura 6.1. r -E E e Fgura 6.1. Módulo de ke. La característca anteror se emplea en rectfcadores de onda completa mplfcador nersor La característca de un transstor, puede representarse con la gráfca que se lustra en la Fgura Exsten nnumerables aplcacones de esta componente, tanto en la zona lneal como en las zonas no lneales.

11 apítulo 6. edes lneales 11 r 6.5. edes con dos exctacones e Fgura Saturacón y corte. Sea un sstema S que tene una respuesta r debda a dos exctacones. S : r( e, e ) (6.36) 1 El sstema se smbolza en la Fgura e 1 (t) e (t) S r(t) Fgura ed con dos exctacones. Ejemplo 6.. En la Fgura 6.15, se lustran las exctacones del sstema, como dos generadores de tensón ndependentes en una red formada por resstencas. 1 r e 1 e Fgura ed con dos fuentes. Puede comprobarse planteando las ecuacones de la red que el sstema puede representarse según:

12 1 Teoría de edes Eléctrcas r ae 1 be (6.37) onde: a b (6.38) Puede decrse que r en (6.37) es una combnacón lneal de las exctacones. S se defnen dos sstemas S1 y S, medante la relacón (6.39): S1 : r1 ( e1,0) S : r (0, e ) (6.39) hora S 1 y S son redes con una exctacón. Para ellas ya está defndo el concepto de lnealdad. Nótese que r 1 es una respuesta que sólo se debe a e 1 ; y que r sólo depende de e. Se dce que S, cumple la propedad de descomposcón s y sólo s: r r 1 r (6.40) Es decr, r puede descomponerse en la suma de las respuestas debdas a cada una de las exctacones. En el ejemplo de la Fgura 6.15, empleando (6.37) se cumple que: r1 ae1 y r be (6.41) Entonces la red de la Fgura 6.15 cumple la propedad de descomposcón. Se defne como lneal a un sstema con dos exctacones s y sólo s: S :,0) 1 r ( 1 e 1 es lneal S : ) r (0, e es lneal y s: r r 1 r (6.4)

13 apítulo 6. edes lneales 13 Ejemplo 6.3. Para la red de la Fgura 6.16, con (0) =V, analzar las exctacones. + e(t) (t) Solucón. Fgura Se tene por (.58) que el oltaje en el condensador puede expresarse según: 1 t ( t) (0) ( ) d 0 3) (6.4 S defnmos: 1 t r ( t) ( ) d 0 4) (6.4 Obserando (6.43), reconocemos que r es la ecuacón de equlbro para un condensador con oltaje ncal gual a cero, o que no tene energía acumulada en el nstante ncal. Suele decrse que el condensador, en esas condcones, está ncalmente relajado. eemplazando (6.44) en (6.43) y ocupando la condcón ncal para el condensador, se tene: ( t) V r ( t ) (6.4 5) Interpretando (6.45) como una LVK, podemos sualzar la red equalente de la Fgura 6.17, según: + e(t) V r (t) (t) Fgura 6.17.

14 14 Teoría de edes Eléctrcas La red de la Fgura 6.17, tene ahora dos exctacones: la orgnal representada por la fuente ndependente e(t), y la fuente contnua que representa la condcón ncal del condensador. Lo cual puede representarse por el sstema que se muestra en la Fgura e(t) V S r (t) Fgura Puede demostrarse que S es lneal, con lo cual puede estudarse el oltaje en el condensador, ncalmente relajado, como la composcón de los aportes causados por las exctacones por separado. El oltaje en el condensador queda dado por (6.45). La parte debda solo a las condcones ncales se denomna respuesta a entrada cero; y la debda solamente a la exctacón se llama respuesta a estado cero edes con tres y más exctacones Sea un sstema S con tres exctacones y una respuesta r: S : r( e, e, e ) (6.46) 1 3 Se defnen: S : r ( e,0,0) S : r (0, e,0) S : r (0,0, e ) (6.47) Entonces S es lneal s y solamente s: S 1, S y S 3 son lneales y s: r r r r 1 3 (6.48) La defncón de los subsstemas, alternatamente, podría haberse planteado: S : r ( e e 1 1 1,,0) (6.49) S : r (0,0, e ) Entonces S es lneal s y solamente s:

15 apítulo 6. edes lneales 15 S 1 y S 3 son lneales y s: (6.50) r r r 1 3 Esto debdo a que preamente se defnó lnealdad para redes con dos exctacones, y S 1 es un sstema con dos exctacones. La generalzacón para más exctacones sgue la msma línea precedente. Tambén puede demostrarse por nduccón matemátca, la defncón de lnealdad para sstemas con n exctacones Método de superposcón Se aplca a redes lneales y consste en aplcar la propedad de descomposcón de la respuesta. Su aplcacón es conenente, cuando al elmnar algunas de las exctacones, los cálculos de las partes de la respuesta se smplfcan, ya que resultan redes más smples. Mayores smplfcacones pueden lograrse aplcando los conceptos de redes equalentes stos en el apítulo 5, notando que solamente nteresa calcular el alor de una arable, y no la solucón de la red completa. Para elmnar el efecto de las exctacones, debe recordarse que una fuente de tensón que se llea a cero, puede reemplazarse por un cortocrcuto; y que una fuente de corrente que se llea a cero, puede reemplazarse por un crcuto aberto. Ejemplo 6.4. Sea la red de la Fgura 6.19, con dos exctacones: e j Fgura álculo de por superposcón. ebdo a que las relacones de nterconexón son lneales, y que las ecuacones de equlbro tambén lo son, el sstema de ecuacones que representa a la red de la Fgura 6.19 será un sstema lneal de ecuacones; y por lo tanto una red lneal, a la que se puede aplcar el método de superposcón.

16 16 Teoría de edes Eléctrcas La parte de la respuesta que se debe a e, puede calcularse en la red de la Fgura 6.0: e j=0 e Fgura 6.0. Parte de la respuesta debda a e. esulta, ddendo la tensón de la fuente e, en las resstencas: e e e 4 (6.51) La parte de la respuesta debda a j, se calcula en la red smplfcada de la Fgura 6.1, según: e=0 j j Fgura 6.1. Parte de la respuesta debda a j. esulta, ddendo la corrente de la fuente j, en las resstencas: j j j (6.5) plcando la composcón de las partes, resulta: e e j j (6.53) 6.8. Teorema de Théenn efncón del equalente Théenn. Se tene la sguente red:

17 apítulo 6. edes lneales 17 ed acta a a b Fgura 6.. a es una red acta con n fuentes. La red lneal a tene n fuentes. La red es una red cualquera, puede ser no lneal. La únca nteraccón entre las redes a y es en los termnales; es decr, no exsten fuentes controladas que tengan la fuente en una red y el elemento de control en la otra. Tampoco nductores acoplados que tengan una nductanca en una red y otra nductanca acoplada en la otra red. La red a puede tener componentes multtermnales; pero todos sus membros están dentro de a. La red a no tene componentes dnámcas. Se estudará prmero este caso partcular, pero frecuente en las asgnaturas de Electrónca. El Teorema de Théenn plantea que la red acta a con n fuentes, tene como equalente a una red con sólo una fuente y una resstenca en sere, como se muestra en la Fgura 6.3. Es decr: T a e T Fgura 6.3. ed Théenn essta. La ecuacón de equlbro para la red equalente a a, que se muestra en la Fgura 6.3 puede escrbrse según: e (6.54) T Tambén puede decrse que (6.54) es la relacón entre las arables en los termnales de a. T b

18 18 Teoría de edes Eléctrcas Formas de cálculo de la ed Théenn plcando equalencas Se calculan los parámetros de la ed Théenn medante equalencas. Se procede a aplcar teoremas de equalenca hasta reducr la red a la forma de la Fgura 6.3. Esto determna e T y T plcando métodos de análss Se plantean las ecuacones ndependentes en la red a. Se elmnan las arables nternas de la red a, quedando una ecuacón de equlbro, en funcón de las arables termnales, e, que permte determnar los parámetros e T y T Parámetros de crcuto aberto y cortocrcuto Este procedmento permte modelar la red Théenn, medante medcones. Prmero se desconecta la red, en este caso es cero y se mde en estas condcones. Para la red de la Fgura 6.4, puede determnarse, medante el análss de la red que: e (6.55) oc T T a e T oc Fgura 6.4. álculo de oc. Luego, se saca la red y se coloca un cortocrcuto entre los termnales. En este caso es cero, y la corrente que crcula por el cortocrcuto, con la dreccón que se ndca en la Fgura 6.5 es. ed acta b a b cc Fgura 6.5. álculo de. onsderando la red acta, con su equalente mostrado en la Fgura 6.3, aplcando métodos de análss puede determnarse que:

19 apítulo 6. edes lneales 19 cc e T T eemplazando la (6.55) en la (6.56) se obtene la expresón para el cálculo de T según: (6.56) T oc cc (6.57) Este método, o arantes de él, puede aplcarse usando nstrumentos. Los métodos anterores pueden aplcarse a redes en el domno de la Transformada de Laplace, cuando las exctacones son señales temporales cualesquera; y en el domno de la Transformada Fasoral, cuando las exctacones son exctacones snusodales. En estos casos pueden exstr componentes dnámcas álculo basado en superposcón Se saca la red, y se coloca una fuente de corrente, con la dreccón que se ndca en la Fgura 6.6. Se aplca substtucón por fuente de corrente. esulta: ed acta a b Fgura 6.6. Théenn por Superposcón. El oltaje se debe a las n fuentes nternas de la a, más el debdo a la fuente de corrente. e acuerdo a la ecuacón de equlbro de la ed Théenn sta en (6.0), la parte del oltaje, que es debda a las n fuentes de a es la fuente Théenn e T, con =0. Las condcones en que se calcula la parte T del oltaje, se lustra en la Fgura 6.7. ed acta a T = 0 b Fgura 6.7. álculo fuente Théenn. esulta: e (6.58) T T

20 0 Teoría de edes Eléctrcas La otra parte del oltaje es debda a la fuente externa, cuando se elmna el efecto de las n fuentes nternas. Las condcones en que se calcula la parte p del oltaje, se lustra en la Fgura 6.8. ed pasa p a Fgura 6.8. álculo red pasa Théenn. b p La red pasa tene una relacón de equlbro defnda por la relacón: ( ). p p La red pasa p, es la red acta con sus exctacones nternas lleadas a alor cero. Se calcula, aplcando métodos de análss redes, p en funcón de, y se dentfca T. En caso de una red que no contenga elementos dnámcos n fuentes controladas; es decr una red ressta, resultará: (6.59) p T S la red a no tene fuentes controladas el cálculo de T, puede efectuarse aplcando métodos de equalencas; en general suma de resstencas en sere y paralelo. plcando composcón de las partes, resulta: eemplazando (6.58) y (6.59) en (6.60) se obtene: (6.60) T T T p e (6.61) Lo cual demuestra el Teorema de Théenn para redes resstas. Ejemplo 6.5. La red de la Fgura 6.9, no tene equalente Théenn.

21 apítulo 6. edes lneales 1 j a b Fgura 6.9. No exste ed Théenn. Esto se debe a que en la stuacón planteada no puede abrrse los termnales para mponer =0, ya que debdo a LK, sempre se cumple que j; y, por lo tanto, no puede ser cero edes con componentes dnámcas En este caso sólo conene aplcar el cálculo basado en superposcón sto en S en el cálculo de la red pasa, se obtene una relacón p( ), según: d p a b dt t c d La red pasa Théenn se nterpreta como la suma sere de una resstenca de alor a, una nductanca de alor b, y un condensador de alor 1/c. 0 En el cálculo de la red pasa, no pueden lograrse en general grandes smplfcacones, el modelo de la red pasa quedará con los nductores y condensadores. Sn embargo s se aplca transformacón de Laplace, la red pasa resultará un cuocente de polnomos en la arable compleja s Teorema de Norton Es smlar al de Théenn, y la red equalente Norton se plantea empleando sólo un generador de corrente, según se muestra en la Fgura a N P Fgura ed Norton. El teorema se demuestra aplcando superposcón. Se reemplaza la red por una fuente de tensón, aplcando substtucón por fuente de oltaje. b

22 Teoría de edes Eléctrcas ed acta a b Fgura ed Norton aplcando Substtucón. La descomposcón del cálculo de se plantea: N p() (6.6) onde el cálculo de N se efectúa cortocrcutando los termnales de Según: a, es decr con 0. ed acta a =0 N b Fgura 6.3. álculo fuente Norton. Y la red pasa, resulta del cálculo de p, cuando sólo está aplcada la fuente : ed pasa p a b Fgura álculo red pasa Norton. En redes resstas, la red pasa Norton es una resstenca. Pueden aplcarse métodos smlares a los stos en uando no pueda aplcarse el Teorema de Théenn podrá aplcarse el Teorema de Norton y ceersa.

23 apítulo 6. edes lneales edes narantes en el tempo S en una red, no aría en el tempo la relacón entre la exctacón y la respuesta, se dce que la red es narante en el tempo. S tenemos un sstema S: S : r( e ) (6.63) Entonces s se cumple que la respuesta es r( t T ) cuando se aplca una exctacón e( t T ), se dce que el sstema es narante en el tempo: e(t-t) S r(t-t) Fgura ed narante en el tempo. Se dce que la red no camba en el tempo o que es narante en el tempo. S la red estuera descrta por ecuacones dferencales, para las cuales se requeran condcones ncales, entonces tambén se deben desplazar en el tempo los alores ncales. S en dferentes tempos se tenen las msmas causas, los efectos serán guales en sstemas narantes. Ejemplo 6.6. etermnar s la red S es o no narante en el tempo. S : r( t) a( t) e( t ) (6.64) S aplcamos el estímulo e(t), desfasado T en el tempo, se tendrá, aplcando (6.64) que: r ( t) a( t) e( t T ) (6.65) S se cumple: r ( t) r( t T ) (6.66) Entonces, la red S, será narante en el tempo. S en la relacón que defne la red, aplcamos el cambo de arable, t por t-t, se tendrá:

24 4 Teoría de edes Eléctrcas r( t T) a( t T) e( t T ) (6.67) S elmnamos e( t T ), usando (6.65) en (6.67) se logra: at () r ( t) r( t T ) a( t T ) (6.68) omparando (6.68) con (6.66) demostramos que la red S es arante en el tempo. Se puede comprobar que s el coefcente a no aría en el tempo, la red S será narante en el tempo. S los coefcentes de las ecuacones de equlbro de las componentes no arían en el tempo, las redes formadas por la nterconexón de esas componentes serán sstemas narantes en el tempo. Ejemplo 6.7. Una componente no-lneal puede ser narante en el tempo. Sea un sstema S, no lneal: r e (6.69) Entonces cuando en la entrada se aplca e(t-t), en la salda se tendrá: on un cambo de arables en la ecuacón (6.69) se obtene: eemplazando (6.71) en (6.70) se tene que: r ( t) ( e( t T )) (6.70) r( t T ) ( e( t T )) (6.71) r ( t) ( r T ) (6.7) on lo cual se prueba que la red S será narante en el tempo edes lneales e narantes en el tempo Para redes lneales e narantes en el tempo se pueden desarrollar algunos teoremas que muestran propedades mportantes de esas redes.

25 apítulo 6. edes lneales 5 Ejemplo 6.8. Sea S: r(e), lneal e narante en el tempo. Entonces se cumplen las sguentes relacones causa efecto: Exctacón espuesta et () rt () Por defncón e( t T ) r( t T ) Por naranza temporal e( t T) e( t ) r( t T) r( t ) Por superposcón e( t T) e( t) r( t T) r( t) T T Por homogenedad Entonces, con T tendendo a cero, y aplcando la defncón de derada se obtene, que s se aplca a S la derada de una exctacón, se obtendrá la derada de la respuesta a esa exctacón. de dt S dr dt Fgura erada de la exctacón. Tambén puede demostrarse, aplcando conceptos de ntegrales de emann, que s se almenta con la ntegral de la exctacón se obtendrá la ntegral de la respuesta a esa exctacón.

26 6 Teoría de edes Eléctrcas Problemas resueltos Problema 6.1 Para la red de la Fgura P6.1: j 1 E e1 4 3 j1 e Fgura P6.1. a) etermnar la red pasa Norton entre y, sta por la resstenca 1. b) etermnar la fuente equalente Théenn entre y, sta por la resstenca 1, aplcando superposcón. Solucón: a) Igualando a cero los alores de las fuentes ndependentes, se tene la Fgura P6. zquerda. la derecha se muestra un dagrama smplfcado: E E Fgura P6..

27 apítulo 6. edes lneales 7 esulta: ( ) N 3 4 b) El equalente Théenn entre y, sto por la resstenca 1, se muestra en la Fgura P6.3: Se tene que N T T e T 1 Fgura P6.3. b1) La parte de la fuente de tensón Théenn, e T 1, debda a los generadores de tensón, puede calcularse empleando la Fgura P6.4: e T1 E e e Fgura P6.4. Por LVK, se tene, ya que no crcula corrente por : La tensón 1 puede calcularse en la malla EE, según: 1 et 1 e 0 (1)

28 8 Teoría de edes Eléctrcas eemplazando () en (1), resulta: e () e e e 3 T (3) b) La parte de la fuente de tensón Théenn, e T puede calcularse empleando la Fgura P6.5:, debda a los generadores de corrente, j e T E j Fgura P6.5. Por LVK se tene: et 3 (4) on la ecuacón de equlbro para, y LK en nodo, se tene: j (5) ontrayendo el cortocrcuto entre E y, y aplcando LK en, se tene que por el paralelo de 3 con 4 crcula corrente ( j1 j ), entonces puede calcularse 3, según: eemplazando (5) y (6) en (4), se obtene: 3 ( j1 j)( 3 4) (6)

29 apítulo 6. edes lneales et 3 j ( j1 j) 3 4 (6) Fnalmente, de (3) y (6): e e e j ( j j ) e e T T1 T (7) Que puede expresarse, con a, b, c y d constantes, según: e aj bj ce de (8) T 1 1 Es decr, una combnacón lneal de los generadores. Problema 6. Para la red de la Fgura P6.6: 3 e1 E j j1 4 e 1 Fgura P6.6. etermnar la fuente Norton entre y, sta por la resstenca, medante superposcón. alcular potenca absorbda por. Solucón: Se requere calcular la corrente N en el cortocrcuto entre y, en la red a la zquerda de la Fgura P6.7; a la derecha se muestra el equalente Norton.

30 30 Teoría de edes Eléctrcas 3 E j e1 N j1 N N 4 e 1 Fgura P6.7. S consderamos juntas las fuentes del msmo tpo, tenemos dos stuacones, para calcular la corrente de la fuente equalente Norton, medante superposcón: a) b) N1 N 3 3 e1 E j j1 E e 1 Fgura P6.8. ebdo a LVK, en el crcuto, el oltaje entre y es cero en la red a la zquerda en la Fgura P6.8, por lo tanto la corrente que crcula por 1 es cero; entonces, por LK, se tene que: N1 j (1) 1 ebdo a LVK, en el crcuto, el oltaje entre y es (e1-e) en la red a la derecha en la Fgura P6.8, por lo tanto la corrente que crcula por 1 es N. Entonces, por LK, se tene que:

31 apítulo 6. edes lneales 31 Superponendo (1) y (), se tene: N e e 1 1 () e e j 1 N N1 N 1 1 (3) Para calcular la potenca absorbda por, empleando el equalente Norton, se tene: (4) N N p N Para calcular la red pasa Norton N, se elmna el efecto de las fuentes de corrente, en la Fgura P6.8 zquerda, y se aplca, entre y ; luego se calcula, en la Fgura P E 4 1 N Fgura P6.9. la derecha, en la Fgura P6.9, se dbuja la red equalente sta desde los termnales y, en la cual se tene: N (5) Por la combnacón sere de 3 con 4, no crcula corrente, entonces: (6) 1 on lo cual: (7) N 1 eemplazando (7) y (3) en (4) se obtene:

32 3 Teoría de edes Eléctrcas Problema 6.3 e e p j Para la red de la Fgura P6.6, determnar la fuente equalente Théenn entre E y, sta por la fuente j. alcular potenca entregada por j. Solucón. Se requere calcular el oltaje T en el crcuto aberto entre E y, en la red a la zquerda en la Fgura P6.10. la derecha se muestra el equalente Théenn. 3 E 4 T e e1 j1 1 T T E j (8) Fgura P6.10. Se calcula T por superposcón. La Fgura P6.11 zquerda muestra el efecto de las fuentes de corrente; la de la derecha el efecto de las fuentes de tensón. a) b) 3 3 e1 E 4 T1 j1 1 E T 4 e 1 Fgura P6.11.

33 apítulo 6. edes lneales 33 ebdo a LVK, en el crcuto E, el oltaje entre y es cero en la red a), por lo tanto la corrente que crcula por 3 y por 4 es cero; entonces, por LVK, se tene que: T1 0 (1) ebdo a LVK, el oltaje entre y es (e1-e) en la red b), por lo tanto la corrente que crcula por 3 y 4 es: e e () Entonces, por LVK en el crcuto E, se tene que: e1 e (3) e T Superponendo (1) y (3): T e e (4) La red pasa Théenn se calcula elmnando el efecto de las fuentes en la Fgura P6.10; y calculando el oltaje, debdo a la fuente de corrente, tal como se muestra en la Fgura P E 4 1 Fgura P6.1. Por LVK en crcuto no crcula corrente en 1 y, y se las puede substtur por crcutos abertos. ontrayendo los cortocrcutos y, la resstenca Théenn corresponde al paralelo de 3 con 4. En la Fgura P6.10 derecha, se tene que la potenca entregada por j está dada por:

34 34 Teoría de edes Eléctrcas p j ( ) (5) LVK en Fgura P6.10 derecha: j (6) T T eemplazando (6) y (4) en (5): j p 34 j 4e1 3e 3 4 ( ) (7) Problema 6.4 Para la red de la fgura P6.13, con (0) =V, analzar las exctacones. + e(t) (t) Solucón. Fgura P6.13. Se tene por (.58) que el oltaje en el condensador puede expresarse según: 1 t ( t) (0) ( ) d 0 (1) S defnmos: 1 t r ( t) ( ) d 0 () Obserando (1), reconocemos que r es la ecuacón de equlbro para un condensador con oltaje ncal gual a cero, o que no tene energía acumulada en el nstante ncal. Suele decrse que el condensador, en esas condcones, está ncalmente relajado. eemplazando () en (1) y ocupando la condcón ncal para el condensador, se tene: ( t) V r ( t ) (3)

35 apítulo 6. edes lneales 35 Interpretando (3) como una LVK, podemos sualzar la red equalente de la Fgura P6.13, según: + e(t) V r (t) (t) Fgura P6.14. La red de la Fgura P6.14, tene ahora dos exctacones: la orgnal representada por la fuente ndependente e(t), y la fuente contnua que representa la condcón ncal del condensador. Lo cual puede representarse por el sstema que se muestra en la Fgura P6.15. e(t) V S r (t) Fgura P6.15. Puede demostrarse que S es lneal, con lo cual puede estudarse el oltaje en el condensador como la composcón de los aportes causados por las exctacones por separado. La parte debda solo a las condcones ncales se denomna respuesta a entrada cero; y la debda solamente a la exctacón se llama respuesta a estado cero. Problema 6.5 etermnar para la red de la Fgura P6.16: a) Potencas que entregan las fuentes de tensón. b) Potencas que entran a las fuentes de corrente. c) Equalente Théenn sto por la resstenca, entre y. d) Equalente Norton sto por la resstenca, entre y.

36 36 Teoría de edes Eléctrcas j j + Fgura P6.16. Solucón. plcando LVK, y ecuacones de equlbro de las fuentes de tensón, en el crcuto, se obtene la corrente que crcula por la resstenca, desde haca : 1 (1) a) plcando LK en, la potenca que sale de la fuente de tensón 1, está dada por: p j j 1 1 1( 1 ) 1( 1 ) () plcando LK en, la potenca que sale de la fuente de tensón, está dada por: 1 (3) p ( j ) ( j ) b) plcando LVK en crcuto, la potenca que entra a la fuente de corrente j 1, está dada por: p j ( ) j (4) j plcando LVK en crcuto, la potenca que entra a la fuente de corrente j, está dada por: p j ( ) j (5) j c) La red pasa Théenn resulta un cortocrcuto entre y, es decr T = 0. La fuente Théenn es el oltaje que aparece entre y cuando se saca la resstenca, este oltaje es: ( ) (6) 1

37 apítulo 6. edes lneales 37 La red Théenn resulta: 1 + Fgura P6.17. d) Para calcular el equalente Norton debe determnarse la corrente que crcula por un cortocrcuto que reemplaza a la resstenca, pero no es posble efectuar este reemplazo ya que no se cumplría LVK en el crcuto, ya que 1 + no es cero. No exste entonces el equalente Norton. + Problema 6.6 Para la red de la Fgura P6.18, con 1=, =1, 3=1, a= y k=4: a) Plantear ecuacones de la red. b) etermnar fuente Théenn sta por la subred entre y. c) etermnar la red pasa Théenn sta por la subred entre y. a c + c 1 3 k Fgura P6.18. Solucón: a) Se desea calcular la red Théenn, que se muestra en la Fgura P6.19, en la cual se cumple: E (1) T T

38 38 Teoría de edes Eléctrcas E T + T Fgura P6.19. eemplazando la subred por una fuente de corrente de alor, y defnendo arables se tene la red que se muestra en la Fgura P6.0: F a c + k c Fgura P6.0. LK en : LK en : 3 ac () a (3) c 3 c No se plantea LK en, ya que se asume que la corrente que crcula de haca, en la fuente controlada por tensón es c. LVK y ecuacones de equlbro de la fuente controlada de tensón y de las resstencas 1 y, en la malla : k 1 c (4) LVK y ecuacones de equlbro de las resstencas y 3, en la malla :

39 apítulo 6. edes lneales 39 3 (5) 3 LVK y ecuacón de equlbro de la resstenca 3, en la malla : (6) F 33 b) No es necesaro emplear la ecuacón (6), salo para calcular F. Elmnando 3, reemplazando () en (3) y (5), resultan: espejando c en (4) se obtene: (7) c ( ) 3 ac (8) c ( k ) 1 (9) Elmnando c, reemplazando (8) en (6) y (7), resultan: ( k ) 1 (10) ( k ) a 3( ) 1 (11) espejando de (10) se obtene: 1 ( 1) 1 k (1) Elmnando, reemplazando (1) en (11), se obtene fnalmente: 1 ( 3 ) 3 ( k 1)( a 1) ( k 1) 1 (13) omparando con (1) se obtenen: T 1 ( 3 ) 3 ( k 1)( a 1) ( k 1) 1 (14)

40 40 Teoría de edes Eléctrcas eemplazando los alores numércos en (14) se tene: E 0 (15) T T (1 1) 1 1(4 1)( 1) 4 3 1(4 1) 1 7 (16) Una resstenca de alor negato puede nterpretarse como una fuente de tensón controlada por corrente, como se muestra en la Fgura P Fgura P6.1. O alternatamente como una fuente de corrente controlada por tensón: /7 Fgura P6..

41 apítulo 6. edes lneales 41 Ejerccos propuestos Ejercco 6.1. Para la red de la Fgura E6.1, calcular la red Théenn y Norton sta por la resstenca de 5 ohms entre y, con x= x 10 Fgura E6.1. Para la red de la Fgura E6.1, calcular la red Théenn y Norton sta por la resstenca de x ohms entre y. Luego calcular la corrente, para x=, 4, 8 y 16. Ejercco 6.. Para la red de la Fgura E6.: F G H E Fgura E6.. plcar teoremas de equalenca para: a) etermnar la red equalente Norton sta por la resstenca de 5 ohms, entre los értces y E. b) etermnar la red equalente Théenn sta por la resstenca de 7 ohms, entre los értces H y. Luego calcular. c) alcular 1, aplcando método de superposcón.

42 4 Teoría de edes Eléctrcas d) alcular, aplcando método de superposcón. Ejercco 6.3. etermnar la red equalente Norton y la red Théenn sta por la red. 1 3 m 1 + k a 1 a Fgura E6.3. Ejercco 6.4. etermnar la red equalente Norton y la red Théenn sta por la red. 1 e + 1 m + k 1 Fgura E6.4. Ejercco 6.5. etermnar la red equalente Norton y la red Théenn sta desde los termnales a y b. + 1 Vs a b 0 Fgura E6.5.

43 apítulo 6. edes lneales 43 Ejercco 6.6. Para la red de la Fgura E6.6 determnar la red equalente Théenn sta por la resstenca c. + e 1 k + Fgura E6.6. Ejercco 6.7. Para la red de la Fgura E6.7 determnar la red equalente Norton sta por la resstenca c. k + e 1 3 Fgura E6.7. Ejercco 6.8. Para la red de la Fgura E6.8 determnar la red equalente Théenn sta por la resstenca c. etermnar relacón entre los parámetros para que la resstenca Théenn equalente sea negata.

44 44 Teoría de edes Eléctrcas 1 3 k + + e E Fgura E6.8. Ejercco 6.9. a) Para la red de la Fgura E6.9 determnar la red equalente Théenn sta por la resstenca c. b) Para la red de la Fgura E6.9 determnar la red equalente Théenn sta por la fuente e. 1 + e k Fgura E6.9.

45 apítulo 6. edes lneales 45 Índce general PÍTULO EES LINELES EES ON UN EXITIÓN Y UN ESPUEST... 1 Ejemplo LINELI P EES ON UN EXITIÓN MOELOS ÁSIOS E OMPONENTES LINELES ecta que no pasa por el orgen La respuesta es la derada de la exctacón ed de prmer orden omponente cuadrátca LGUNS EES NO LINELES mplfcador lneal con saturacón odo ectfcador de onda completa mplfcador nersor EES ON OS EXITIONES Ejemplo Ejemplo EES ON TES Y MÁS EXITIONES MÉTOO E SUPEPOSIIÓN Ejemplo TEOEM E THÉVENIN efncón del equalente Théenn Formas de cálculo de la ed Théenn edes con componentes dnámcas TEOEM E NOTON EES INVINTES EN EL TIEMPO... 3 Ejemplo Ejemplo EES LINELES E INVINTES EN EL TIEMPO... 4 Ejemplo POLEMS ESUELTOS... 6 Problema Problema Problema Problema Problema Problema EJEIIOS POPUESTOS Ejercco Ejercco Ejercco Ejercco

46 46 Teoría de edes Eléctrcas Ejercco Ejercco Ejercco Ejercco Ejercco ÍNIE GENEL ÍNIE E FIGUS Índce de fguras. Fgura 6.1. ed con una exctacón.... Fgura 6.. Símbolo de sstema.... Fgura 6.3. ausa efecto Fgura 6.4. Homogenedad Fgura 6.5. espuestas a estímulos dferentes Fgura 6.6. Superposcón Fgura 6.7. Lnealdad Fgura 6.8. ed Fgura 6.9. ed L Fgura ed con saturacón Fgura ed tpo dodo Fgura 6.1. Módulo de ke Fgura Saturacón y corte Fgura ed con dos exctacones Fgura ed con dos fuentes Fgura Fgura Fgura Fgura álculo de por superposcón Fgura 6.0. Parte de la respuesta debda a e Fgura 6.1. Parte de la respuesta debda a j Fgura 6.. a es una red acta con n fuentes Fgura 6.3. ed Théenn essta Fgura 6.4. álculo de oc Fgura 6.5. álculo de Fgura 6.6. Théenn por Superposcón Fgura 6.7. álculo fuente Théenn Fgura 6.8. álculo red pasa Théenn Fgura 6.9. No exste ed Théenn Fgura ed Norton Fgura ed Norton aplcando Substtucón... Fgura 6.3. álculo fuente Norton.... Fgura álculo red pasa Norton.... Fgura ed narante en el tempo.... 3

47 apítulo 6. edes lneales 47 Fgura erada de la exctacón Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura P Fgura E Fgura E Fgura E Fgura E Fgura E Fgura E Fgura E Fgura E Fgura E