Dualidad entre procesos termodinámicos y electromecánicos

Transcripción

1 ENERGÍA Y COENERGÍA EN IEMA ELECROMECÁNICO REALE, DEDE PROCEDIMIENO ERMODINÁMICO CLÁICO Alfredo Álvarez García Profesor de Inenería Eléctrca de la Escuela de Inenerías Industrales de adajoz. Resumen La transferenca de Enería Eléctrca a sstemas mecáncos en stuacones reales, se realza a través de un camo manétco que se llama de acolamento y que rovoca la actvdad mecánca a costa de la enería que tene almacenada, W cam, que debe ser reuesta or la fuente de enería eléctrca s se retende hacer que el sstema trabaje de forma contnuada. En térmnos de varables de estado, la enería del camo estará dada: Desde el unto de vsta electromanétco: or la ntensdad de corrente,, que lo crea y lo almenta, y or el flujo manétco,, establecdo; Desde el unto de vsta mecánco: or la fuerza eneralzada, f (fuerza, ar, resón), y or el corresondente deslazamento eneralzado, x (deslazamento, ro, volumen). e uede escrbr, entonces: W cam = f(,, f, x ) e roone en éste trabajo la resentacón del conceto de coenería en sstemas no lneales, a artr de un tratamento matemátco-dferencal smlar al que relacona en la termodnámca clásca las varables, V, y con la enería nterna y la entalía. Proceso electromecánco Los rocesos ráctcos de conversón de enería eléctrca en mecánca, los que nteresan a la nenería, suen semre el msmo rocedmento: la fuente de enería eléctrca establece un camo manétco en una estructura ferromanétca con artes móvles, las cuales reacconan mecáncamente a las atraccones y reulsones del camo. Este es un lanteamento que ual srve ara un motor eléctrco que ara un nterrutor automátco. La fura 1 reresenta un sencllo relé formado or dos cueros ferromanétcos, uno fjo (el que tene forma de C) y otro (en forma de I) móvl en la dreccón del eje x de la fura. La corrente que crcula or la bobna crea un camo, que se establece entre las dos ezas ferromanétcas y el are que las seara. Este camo se uede caracterzar or el valor de su flujo concadenado, que se defne como el roducto del flujo manétco or el número de esras de la bobna: = N Por su arte, la atraccón manétca está hacendo desarrollar a la eza móvl un trabajo sobre la fuerza externa que se caracterza, a su vez, or el valor de la fuerza de atraccón f y or el deslazamento que realza, x. 1

2 v N f x Fura 1: Relé realzando una conversón de enería eléctrca a mecánca. estudamos el crcuto manétco de la fura 1 como sstema cerrado (que no ntercamba masa), odemos establecer la rmera analoía metodolóca con la ermodnámca. En efecto, el Prnco de Conservacón de la Enería establece, como en el Prmer Prnco de la ermodnámca, que el aumento de la enería almacenada or el camo, dw, es el balance entre la enería que sumnstra la fuente eléctrca, v dt, y la enería que el camo realza contra la fuerza mecánca externa, f dx; esto es: dw = v dt - f x dx, (en donde f x es la comonente de la fuerza realzada or el camo, en la dreccón del movmento) exresón que odemos modfcar exresando: d d v = N = dt dt con lo que resulta: dw = d - f x dx (1.e) Dualdad entre rocesos termodnámcos y electromecáncos establecemos una dualdad entre la enería manétca W de este sstema y la enería nterna U de un sstema termodnámco tradconal, cuyo balance enerétco consttuye el Prmer Prnco de la ermodnámca: du = d dv, (1.t) resulta la analoía que aarece en la tabla I (ara smlfcar, aunque no es necesaro, se ha suuesto un roceso termodnámco reversble, como se deduce de la ualdad de la últma ecuacón; además, se han eneralzado las varables mecáncas ara que cubran cualquer to de actvdad mecánca. abla I: Dualdad entre los sstemas temodnámco y electromecánco. stema ermodnámco U V stema Electromecánco W f x 2

3 Con vstas a ordenar el rocedmento que sue, y desde un unto de vsta exclusvamente matemátco, las dos ecuacones anterores nos ermten dferencar entre: Funcón enerétca de estado (U y W, resectvamente), Varables deendentes roas de la funcón ( y ara U, e y f ara W ), y Varables ndeendentes roas de la funcón ( y V ara U, y y x ara W ). se conoce las deendencas de la enería nterna resecto de sus varables ndeendentes, y V, se uede tambén conocer, or smle dervacón y a la vsta de la ecuacón (1.t), las exresones de las varables deendentes roas, que resultan ser las conocdas exresones: U U = = (2.t) V V De la msma forma, el análss del sstema electromecánco se realza calculando y f x or dervacón a artr de la exresón (1.e): W = W f x = (2.e) x x que, en su entorno, tambén son ecuacones ben conocdas. En el marco termodnámco, en el que son habtuales (y deseables técncamente, seún los casos) los rocesos en los que cualquer varable ueda mantenerse constante (rocesos oltrócos en eneral), se ha desarrollado un rocedmento analítco en el que se defnen habldosamente funcones enerétcas alternatvas a la enería nterna, cada una de las cuales resenta, de entre las cuatro varables descrtas (,, y V), un ar de varables ndeendentes dstnto al de las otras funcones. La tabla II resenta estas funcones junto a su defncón y a las exresones dferencales a que dan luar, en las que la varables ndeendentes roas de la funcón son las que aarecen como dferencales. abla II: Funcones enerétcas de estado en el marco de la termodnámca. Funcón Defncón Exresón dferencal U (funcón ncal) du = d dv H (entalía) H = U + V dh = d + Vd F (enería lbre) F = U df = d dv G (entalía lbre) G = H df = d + Vd De las exresones dferencales que aarecen en la tabla II se uede deducr las exresones de las resectvas varables deendentes roas (es decr de todas las varables, ya que en una u otra exresón dferencal aarecerá como roa) suendo el msmo rocedmento que llevó a las relacones (2.t). La tabla III muestra estas relacones que ermten, elendo de entre ellas las que convenan al roceso que tena luar, estudar el estado del sstema de una forma tan senclla como eleante. De ual manera debe ser osble, dado el aralelsmo formal de los lanteamentos matemátcos, seur este msmo rocedmento en el caso del sstema electromecánco, or lo que los resultados, en este caso, odrán resentarse drectamente a artr de las tablas II y III, cambando las varables termodnámcas or las duales electromecáncas que aarecen en la tabla I y hacendo las defncones que se hceron en la tabla II, sn reuntarnos de momento su snfcado (en realdad tamoco lo hcmos entonces). El resultado de esta temerdad aarece en las tablas IV y V, duales de las II y III resectvamente. 3

4 abla III: Ecuacones de las varables termodnámcas a artr de las funcones de estado U H = = V F G - = = V U F - = = V V H G V = = abla IV: Funcones enerétcas de estado en el marco electromecánco. Funcón Defncón Exresón dferencal W (funcón ncal) d W = d f dx H (entalía manétca) H = W + f x dh = d + x df F (enería lbre manétca) F = W df = d f dx G (entalía lbre manétca) G = H df = d + x df abla V: Ecuacones de las varables electromecáncas a artr de las funcones de estado W = H = x f F - = x W - f = x H x = f G = f F = x G = f Defncón termodnámca de la coenería Desde un unto de vsta ráctco, dado un sstema como el de la fura 1, las resuestas que se solctan son, cas semre 4: dada una oscón, qué fuerza aarece con una corrente dada? o qué corrente hay que oner ara que aarezca tal fuerza? o qué camo manétco aarece con una corrente dada? o qué corrente hay que oner ara que aarezca tal camo? 4

5 El electromanetsmo resuelve habtualmente estas cuestones a artr del conceto de coenería, que aarece como una funcón comlementara a la de la enería almacenada en un crcuto manétco que resente una relacón entre e conocda. A la coenería se le llama W y su defncón es: W = W comaramos esta defncón con las que se han ncororado a la tabla IV, se llea sn dfcultad a la defncón termodnámca de la coenería como LA OPUEA DE LA ENERGÍA LIRE MAGNÉICA (FUNCIÓN DE HELMHOLZ PARA MUCHO AUORE) DE UN IEMA ELECROMECÁNICO. Como cabe eserar, la solucón a las reuntas anterores se descrbe de ual manera en los textos de electromanetsmo, a artr de esta funcón, que en las relacones corresondentes de la tabla V. Conclusones Este equeño trabajo no tene más objetvo que una llamada a la undad metodolóca en la resentacón de determnados concetos de dferentes dsclnas, que no son ndeendentes entre sí, ero que suen camnos de solucón que los hacen arecerlo. No hay más retensón que establecer una dualdad entre las funcones y varables termodnámcas y electromecáncas y, a artr de ella, comarar los concetos de enería y coenería de sstemas electromecáncos con las funcones de estado termodnámcas, ara acabar redefnendo la coenería sobre la base de dcha dualdad. El trabajo aenas emeza, ues los concetos que están detrás de las funcones entalía y entalía lbre manétcas no han sdo tratados y odrían abrr nuevas uertas metodolócas a estos camos de la Físca y, tal vez, a otros que no se nos han ocurrdo... todavía. blorafía Ramro, A.; González, J.F. ermodnámca técnca. Edtado or los autores. adajoz, Ftzerald, E.A.; Knsley, Ch.; Umans,.D. Máqunas Eléctrcas. McGraw Hll. Méxco,