CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS

Transcripción

1 UNIVESIDAD NACIONAL EXPEIMENTAL POLITECNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCE VICEECTOADO BAQUISIMETO DEPATAMENTO DE INGENIEÍA QUÍMICA CONTOL DE POCESOS QUÍMICOS Prof: Ing. (MSc). Juan Enrque odríguez C. Octubre, 03

2 Índce Dagrama de bloques Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden Temo muerto

3 CONTOL DE POCESOS QUÍMICOS Dagrama de bloques 3

4 Dagrama de bloques La reresentacón gráfca de las funcones de transferenca or medo de dagramas de bloques es una herramenta muy útl en el control de roceso. En general, los dagramas de bloques constan de cuatro elementos báscos: flechas, untos de sumatora, untos de dervacón y bloques; en la fgura se lustran estos elementos, de cuya combnacón se forman todos los dagramas de bloques. En la sguente tabla, se muestran algunas reglas del algebra de los dagramas a bloques, las cuales son mortantes semre que se requere smlfcar los dagramas de bloques. 4

5 Dagrama de bloques 5

6 Dagrama de bloques Ejemlo : Las flechas y los bloques de la fgura ncal reresente la exresón matemátca: Solucón: M s G s*es G s* s Cs c Ejemlo : Las flechas y los bloques de la sguente fgura reresente la exresón matemátca: c 6

7 Dagrama de bloques educendo la fgura anteror, alcando cada uno de los asos, tenemos Alcando una nueva reduccón, tenemos Obtenendo, así la sguente exresón: s G * G - G *X s G *X s Y 3 4 7

8 CONTOL DE POCESOS QUÍMICOS Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden 8

9 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden Los sstemas con comortamento dnámco de rmer orden no son los úncos encontrado en un roceso químco. Una salda uede cambar, bajo la nfluenca de una entrada, de una manera drástcamente dferente a la de un sstema de rmer orden, sguendo la dnámca de orden sueror. Qué es un sstema de segundo orden? Un sstema de segundo orden es uno cuya salda, y(t), es descrto or la solucón de una ecuacón dferencal de segundo orden. Por ejemlo, la sguente ecuacón descrbe un sstema lneal de segundo orden: d y dy a a a 0y bf t dt dt S a 0, y dvdmos todos los térmnos entre a, tenemos Donde: a a 0 a a b a 0 0 a a 0 d y dt a a 0 dy dt ( : Factor de amortguamento) Gananca en estado estaconaro, a a 0 0 y ( : Perodo natural de osclacón del sstema) 0 b a 0 f t o smlemente del sstema 0 d y dt Entonces dy ζ dt y 9 f t

10 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden En térmnos de varables de desvacón, y tomando que las condcones ncales son cero, la transformacón en Lalace obtenda es de la sguente forma: s s *Ys ζ * s*ys Ys Fs Ys Y0 ζs* Ys Y0 Ys Y0 Fs s Y' s ζsy' s Y' s F' s Y' s* s ζs F' s G s Y' F' s s s ζs La gran mayoría de los sstemas de segundo o más orden encontrados en una lanta químca rovenen de rocesos de multcaacdad o el efecto de los sstemas de control de rocesos. Muy rara vez nos encontraremos sstemas dnámcos con segundo orden o sueror nherentemente arecables. esuesta Dnámca de un sstema de segundo orden: Este análss nos roorconará todas las característcas dnámcas fundamentales de un sstema de segundo orden. F 0 0

11 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden Para un cambo escalón untaro en la entrada f(t): Y' s s * s ζs Los dos olos de la funcón de transferenca de segundo orden se dan or la raíces del olnomo característco, los cuales son: ζ Y' s s Y ellos son : ζ y Por lo tanto : ζs s* s * s Y la forma de la resuesta y(t) deenderá de la ubcacón de los dos olos, l y, en el lano comlejo. Por lo tanto odemos dstgur tres casos: 0 ζ ζ

12 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden Caso A: Cuando ζ>, tenemos dos olos dstntos y real. Caso B: Cuando ζ =, tenemos dos olos guales (multolar). Caso C: Cuando ζ <, tenemos dos olos comlejos conjugados. Casos A y B: La resuesta se ha grafcado en la fgura ara varos valores de ζ, ζ> l. Se le conoce como resuesta sobreamortguada y se arece un oco a la resuesta de un sstema de rmer orden a una entrada escalón untaro. Sn embargo, cuando se comara con una resuesta de rmer orden nos damos cuenta de que el sstema se retrasa ncalmente y entonces su resuesta es ben lenta.

13 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden Caso C: La resuesta se ha grafcado en la fgura, ara dversos valores del factor de amortguamento, ζ. Podemos observar lo sguente:. La resuesta subamortguada es ncalmente más ráda que la crítcamente amortguadas o sobreamortguado, que se caracterzan or ser lentas.. Aunque la resuesta subamortguada es ncalmente más rádo y alcanza su valor fnal rádo, no ermanecer allí, comenza a osclar con la dsmnucón de la amltud rogresvamente. Este comortamento osclatoro hace que una resuesta subamortguado sea dstnta de todas las anterores. 3. El comortamento osclatoro se hace más ronuncado con menores valores del factor de amortguamento. 3

14 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden Característcas de una resuesta subamortguada Vamos a utlzar como referenca la resuesta subamortguada que se muestra en la fgura, con el fn de defnr los térmnos emleados ara descrbr una resuesta amortguada. ) Sobreaso: es la relacón A / B, donde B es el últmo valor de la resuesta y A es la cantdad máxma or la cual la resuesta es sueror a su valor fnal. El sobreaso o sobremulso es una funcón de ζ, y se uede demostrar que está dada or la sguente exresón: A B e 4

15 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden ) elacón de asentamento: es la relacón C / A (es decr, la roorcón de las cantdades or encma del valor fnal de dos cos sucesvos). El índce de asentamento, se uede demostrar que estar relaconado con el factor de amortguamento ζ a través de la ecuacón: C A ) Período de osclacón, T: El erodo de osclacón, vene exresado medante: T e, (temo/cclo) Otro térmno relaconado con el erodo de osclacón, es la frecuenca cíclca, w, que es: w T, (cclo/temo) Otro dos térmnos son el erodo de osclacón natural, es la frecuenca cíclca natural: T n π y w n π Frecuentemente, tambén se usa la sguente exresón ara funcones de segundo orden: G s Y s X s s w n ζ s w n 5

16 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden v) Temo de subda, t s : Este térmno se utlza ara caracterzar la velocdad con la que un sstema subamortguado resonde. Se defne como el temo requerdo ara la resuesta alcance su valor fnal or rmera vez, tambén es conocdo como temo de elevacón. v) Temo de resuesta, t r : La resuesta de un sstema subamortguado alcanzará su valor últmo de una manera osclatora como t. A efectos ráctcos, se ha acordado consderar que la resuesta alcanza su valor fnal cuando llegue a estar dentro del ±5% de su valor fnal y se queda allí. Tambén es conocdo como el temo de asentamento. Ejemlo: Dos tanques en sere no nteractvo En la Fgura se muestra tal sstema. Las funcones de transferenca ara los dos tanques son: G s F' s s s y G s F' s s s (Comruébelo) 6

17 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden La funcón de transferenca global entre la entrada externa f (t) y y (t) es: s *F' s y s *F' s s s Pero como : s s s F' susttuyendo s s s s s F' s Entonces, smlfcando tenemos y * F' s s s * s * *F' s s P * s P 7

18 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden La ecuacón anteror ndca la relacón entre la entrada externa, F (t), y la salda fnal, h (t), es la de un sstema sobreamortguado de segundo orden. Ahora, alcando la transformada nversa nos encontramos con: t * G 0 s 0 0 Sea ; ζ * Entonces, de la ecuacón anteror s 0 *e s t 0 *e t 8

19 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden Ejemlo: Dos tanques en sere nteractvo En la fgura se muestra tal sstema. Las funcones de transferenca ara los dos tanques son: dh dh A F F ; A F F dt dt Asumendo resstenca lneal al flujo F Entonces A A h * * h dh dt dh dt h y h F *h h *F *h 0 9

20 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden El estado estaconaro ara el sstema, es : A h * Alcando, la A * *s * s s *F' s * A h * h d * dt,0 ; *h,0 *h Susttuyendo, d * dt,0 * Donde : - h h h *F transformada de Lalace - F s A * *s * s 0,0,0,0,0 y 0 *F' * F' 0 F,0 0

21 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden esolvendo las ecuacones con resecto a (s) y (s), tenemos : s s s s sea * * s * *s *s A *s A modo de ejemlo,suongamos que A * *s *s A * *s 3 5 A * * *F ' *s * *F ' s s s s s y y se requere el estudo de la dnámca del tanque, entonces : y A ; A * * * *F ' s *F ' s *F ' s s

22 Comortamento dnámco de sstemas de segundo orden s Alcando factorzacón al denomnador, tenemos : 4,56* *s * 0,4384* *s t F' Ahora, ara un cambo en el aso untaro en F' t *,*e ó,*e t 4,56* t 4,56* *F ' t 0,*e 0,*e s, or lo tanto F' y con la transformada nversa de Lalace, tenemos : t 0,4384* t 0,4384* (comruebelo) s /s

23 CONTOL DE POCESOS QUÍMICOS Temo Muerto 3

24 Temo Muerto En todos los ejemlos de modelado dscutdos en las seccones anterores se ha suuesto que cada vez que se lleva a cabo un cambo en una de las varables de entrada (erturbacones, varables manuladas), su efecto se observa nstantáneamente en las varables de estado y las saldas. Por lo tanto cada vez que la comoscón de la almentacón, C A, o la temeratura de almentacón, T, o la temeratura del refrgerante, la T C, el cambo o el efecto del cambo se hace sentr nmedatamente. Por lo contraro a nuestra exerenca físca, que dcta que cada vez que una hay un cambo en la varable de entrada de un sstema, hay un ntervalo de temo (corto o largo) durante el cual no se observa nngún efecto sobre los resultados del sstema. Este ntervalo de temo se denomna temo muerto o retardo de transorte, o retardo uro o lag dstanca-velocdad. Consdérese el roceso que se muestra en la fgura, en este caso, lo que nteresa es conocer cómo resonde T (t) a los cambos en la temeratura de entrada y ambente. 4

25 Temo Muerto Para un cambo en escalón de la temeratura de entrada T (t). El ntervalo entre el momento en que el dsturbo entra al roceso y el temo en que la temeratura T l (t) emeza a resonder se conoce como temo muerto. Lo cual se lustra; gráfcamente en la fgura sguente: 5

26 Temo Muerto La fgura, muestra la resuesta de los sstemas de rmer y segundo orden con el temo muerto a un cambo de aso en la entrada. El temo muerto es arte ntegral del roceso y, consecuentemente, se debe tomar en cuenta en las funcones de transferenca que relaconan T (t) con T (t) y T s (t). La ecuacón del teorema de traslacón real exresa que la transformada de Lalace de una funcón con retardo es gual al roducto de la transformada de Lalace de la funcón, sn retardo, or el térmno e st0. El térmno e st0 es la transformada de Lalace del uro temo muerto y, or tanto, s lo que nteresa es la resuesta de T (t) a los cambos en T (t) y T s (t), se deben multlcar las funcones de transferenca, or e st0 o T s s *e s y T T s *e s s st0 st0 T s 6