Muestra: son datos de corte transversal correspondientes a 120 familias españolas.

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1 Capítulo II: El Modelo Lneal Clásco - Estmacón Aplcacones Informátcas 3. APLICACIONES INFORMÁTICAS Fchero : cp.wf (modelo de regresón smple) Seres: : consumo famlar mensual en mles de pesetas RENTA: renta famlar mensual en mles de pesetas Muestra: son datos de corte transversal correspondentes a 0 famlas españolas. Fchero : cp.wf (modelo de regresón múltple) Seres : CASOS: número de casos resueltos (sentencas, conclacones,...). JUECES: número de jueces. RATIO: relacón entre personal admnstratvo de los juzgados y número de jueces. Muestra: son datos de corte transversal, que corresponden a las salas de lo contencoso admnstratvo de los trbunales superores de justca de cudades españolas (año 99). 3.. Introduccón El objetvo de este capítulo es estmar por MCO los parámetros de un modelo de regresón smple y de un modelo de regresón múltple, ponendo énfass en las sguentes cuestones: - nterpretacón de los coefcentes - resduos del modelo - bondad del ajuste 3.. El modelo de regresón lneal smple Supongamos el sguente modelo de regresón smple, que explca el consumo famlar en funcón del ngreso mensual: = β0 + βrenta + ε, =,,...,0 En este apartado nos proponemos estmar el modelo por MCO e nterpretar los resultados, así como explctar la relacón que exste entre el modelo de regresón smple y el dagrama de dspersón Estmacón por MCO en Evews Antes de comenzar el análss de regresón convene observar un gráfco de las seres: y RENTA, porque de este modo obtenemos nformacón gráfca de la relacón exstente entre las varables del modelo. Para ello: QUICK / Graph... RENTA Graph Type: Lne Graph Show Optons: Dual Scale (no crossng) 6

2 Capítulo II: El Modelo Lneal Clásco - Estmacón Aplcacones Informátcas RENTA Como puede observarse la evolucón de las dos seres es bastante smlar, lo que ndca que posblemente las dos seres estén muy correlaconadas. Por tanto, es muy probable que el nvel de renta (RENTA) determne en gran medda el consumo famlar (). El estmador de MCO de los coefcentes del modelo es: ˆ ˆ β 0 β = = (X X) (X Y) ˆ β Además, es convenente estmar la matrz de varanzas y covaranzas de los parámetros estmados, porque nos nforma sobre la precsón de la estmacón. La matrz de Varanzas y Covaranzas estmada es: Vˆ ( βˆ ) = s (X X) En Evews, las estmacones por MCO de los parámetros del modelo se obtenen del sguente modo: QUICK / Estmate Equaton... C RENTA LS Sample: 0 Para estmar correctamente la ecuacón en Evews es precso tener en cuenta: - orden de las varables: en prmer lugar la varable dependente, y a contnuacón la lsta de regresores ncluda la constante, que se representa sempre por C. - método de estmacón: Mínmos Cuadrados Ordnaros, es la opcón que vene por defecto, LS. - período muestral (Sample): número de observacones ncludas en la estmacón, en nuestro casos utlzamos todas las dsponbles: -0. El output que se obtene es el sguente: LS // Dependent Varable s Sample: 0 Included observatons: 0 Varable Coeffcen Std. Error t-statstc Prob. C

3 Capítulo II: El Modelo Lneal Clásco - Estmacón Aplcacones Informátcas RENTA R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var.9094 S.E. of regresson Akake nfo crter Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc 6.45 Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) sendo la nterpretacón del output la sguente: -Coeffcen: son los coefcentes estmados C RENTA βˆ 0 βˆ = = Std. error: desvacón típca estmada de los coefcentes estmados. C RENTA Vˆ (ˆ β ) =.0 0 Vˆ ( βˆ ) = S.E. of regresson: desvacón típca estmada de los resduos. e e s = = 4.57 N K - Sum squared resd: suma de los resduos al cuadrado. e e e = = Mean dependent var: meda de la varable dependente. = N = S.D. dependent var : cuas-desvacón estándar de la varable dependente. SD ( ) = = N - R-squared: coefcente de determnacón múltple (R ) - Adjusted R-squared: coefcente de determnacón múltple corregdo ( R ). El resto de los datos se nterpretará en capítulos posterores..903 Además, Evews tambén proporcona la estmacón de la matrz de Varanzas y Covaranzas de los parámetros del modelo: Vˆ (ˆ β ). Para ello en el menú de ecuacón se hace: 8

4 Capítulo II: El Modelo Lneal Clásco - Estmacón Aplcacones Informátcas Vew/ Covarance Matrx Coeffcent Covarance Matrx ==================================== C RENTA ==================================== C RENTA ==================================== El modelo estmado es: = RENTA + e, =,,..., 0 (.0) ( 0. 06) sendo e la sere de resduos del modelo, y los números entre paréntess las desvacones típcas de los coefcentes. Interpretacón de los coefcentes: βˆ 0 = Es la constante del modelo e nforma del consumo promedo cuando el nvel de renta es nulo (consumo autónomo). ˆ () β = = (RENTA) Es la dervada de la varable dependente respecto a la varable ndependente, y mde el efecto medo que provoca sobre el consumo famlar () un ncremento untaro en la renta famlar (RENTA). En el modelo de regresón smple, este coefcente es la pendente de la recta de regresón. En este caso la pendente es postva, lo que sgnfca que a medda que se ncrementa la renta, aumenta el consumo. En concreto, cuando se produce un ncremento untaro en la renta, el aumento estmado en el consumo promedo es aproxmadamente de Relacón entre el modelo de regresón smple y el dagrama de dspersón En el caso del modelo de regresón smple, es posble observar gráfcamente la línea de regresón estmada (o recta de regresón muestral). La recta de regresón muestral nforma del grado de relacón exstente entre las varables del modelo así como del tpo de relacón que exste entre ellas. Para ello se utlza el dagrama de dspersón. En nuestro caso, para observar la relacón que exste entre las dos varables del modelo ( y RENTA): QUICK / Graph... RENTA Graph type: Scatter dagram Show Optons: Regresson lne 9

5 Capítulo II: El Modelo Lneal Clásco - Estmacón Aplcacones Informátcas RENTA Se escoge la opcón Regresson lne para que muestre la línea de regresón estmada ( $ = RENTA ), junto con la nube de puntos. Como se puede observar la línea de regresón se ajusta a la nube de puntos. La dstanca medda vertcalmente entre cada uno de los puntos observados y la línea de regresón son los resduos del modelo (e ). En este caso las varables están relaconadas postvamente, por eso la pendente de la línea de regresón es postva El modelo de regresón lneal múltple Supongamos el sguente modelo de regresón múltple: CASOS = β0 + βjueces + βratio + ε, =,,..., donde el número de casos resueltos (CASOS) se explca en funcón del número de jueces (JUECES), y del personal admnstratvo de que dspone cada juez en cada una de las sedes (RATIO). El propósto de este apartado es estmar por MCO el modelo, obtener la sere de resduos del modelo, la sere estmada, y determnar la bondad del ajuste Estmacón por MCO en Evews QUICK / Estmate Equaton...CASOS C JUECES RATIO LS // Dependent Varable s CASOS Sample: Included observatons: Varable Coeffcen Std. Error t-statstc Prob. C JUECES RATIO R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crter Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc)

6 Capítulo II: El Modelo Lneal Clásco - Estmacón Aplcacones Informátcas El modelo estmado es el sguente: CASOS = JUECES RATIO + e, =,,..., ( ) ( 85. ) ( ) La nterpretacón de los coefcentes es la msma que en el modelo de regresón smple. El hecho de que el térmno constante sea negatvo ndca que se necesta un número determnado de jueces para que comencen a resolverse los casos. Los coefcentes de las varables explcatvas JUECES y RATIO nforman del ncremento promedo que se produce en los casos resueltos cuando estas varables aumentan en una undad. ˆ (CASOS) β = = (JUECES) ˆ (CASOS) β = = (RATIO) La estmacón obtenda muestra que, cuanto mayor es el número de jueces mayor es el número de casos resueltos, y que éstos tambén se ncrementan a medda que aumenta el personal admnstratvo de que dspone cada juez. Obsérvese que en este caso el modelo estmado no es una recta de regresón, sno un hperplano de regresón de la muestra, de modo que ya no es posble vsualzar la estmacón medante un gráfco bdmensonal Sere estmada y resduos del modelo Podemos comparar la sere estmada o ajustada ( CASOS $ ) con la observada (CASOS), y examnar los resduos del modelo. Esto nos nformará sobre la bondad del ajuste. S el modelo es bueno la sere ajustada será muy smlar a la observada, y los resduos serán pequeños en relacón con los valores observados. a) Para obtener una tabla con los valores de estas seres, en el menú de ecuacón se hace: VIEW/ Actual, Ftted, Resds / Table obs Actual Ftted Resdual Resdual Plot = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *.. 3

7 Capítulo II: El Modelo Lneal Clásco - Estmacón Aplcacones Informátcas = - Actual: sere observada (CASOS). - Ftted: sere estmada ( CASOS $ ). - Resdual: sere de resduos (e). - Resdual Plot: gráfco de los resduos. Observar que el valor central es el 0, y que las líneas punteadas muestran la desvacón típca de los resduos, s. Es deseable que el tamaño de los resduos no sea demasado elevado respecto al de la desvacón típca de los msmos, porque de otro modo ndcaría que los errores cometdos al ajustar el modelo a los datos son mportantes, y por tanto que el modelo puede no ser adecuado para explcar la varabldad de la varable dependente. Recordar que: CASOS = CASOS $ + e b) Para observar un gráfco de estas seres, en el menú de ecuacón se hace: VIEW/ Actual, Ftted, Resds / Graph Resdual Actual Ftted Es un gráfco a doble escala. En la parte superor se representan la sere observada y la ajustada. En este caso ambas seres son muy smlares, lo que nos ndca que el modelo se ajusta ben. En la parte nferor del gráfco se representa la sere de resduos, que fluctúa al rededor del 0 de forma aleatora, sn un patrón fjo. Como puede observarse, los resduos son pequeños en relacón al valor de la varable observada, lo que de nuevo nos nforma de la bondad del modelo Bondad del ajuste a) Coefcente de determnacón múltple: R SCE e e = = = = n STC (Y - Y) En modelos con térmno constante: 0 R En modelos sn térmno constante: R S el modelo es bueno el R será próxmo a uno. se puede calcular a partr de S.D dependent var Evews lo calcula drectamente, aparece en el output de la regresón: R-squared = = N - n (Y - Y) 3

8 Capítulo II: El Modelo Lneal Clásco - Estmacón Aplcacones Informátcas Está próxmo a, señal de buen ajuste. Dado que se trata de un modelo con constante, este resultado ndca que el 96% de la varabldad de Y vene explcada por el modelo. b) Coefcente de determnacón múltple corregdo: Penalza la ntroduccón de explcatvas, por ello permte comparar modelos con dstnto número de regresores. Se defne como: R N SCE = = N K STC n = e e N K = (Y Y ) N = R en todos los modelos. Incluso con térmno constante puede ser menor que cero. Evews tambén lo calcula drectamente, aparece en el output de la regresón: Adjusted R-squared = Aplcacón propuesta Dadas las sguentes seres de datos de frecuenca trmestral: ============================================== obs Y X X ============================================== ============================================== se plantea el sguente modelo de regresón: Y t b0 + bxt + bxt = + e, t que verfca los supuestos cláscos. Se pde: a) sn utlzar Evews, obtener el estmador MCO de cada uno de los coefcentes del modelo, la estmacón de su varanza y el coefcente de determnacón. b) Comprobar que los resultados obtendos en a) son correctos empleando Evews. 33