DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Transcripción

1 Matemátcas 1º CT 1 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES PROBLEMAS RESUELTOS 1. a) Asoca las rectas de regresón: y = +16, y = 1 e y = 0,5 + 5 a las nubes de puntos sguentes: b) Asgna los coefcentes de correlacón lneal r = 0,4, r = 0,85 y r = 0,, a las msmas nubes de puntos. a) Respectvamente: (c), (b), (a). b) Respectvamente: (a), (b), (c).. Se han tomado ocho meddas de la temperatura de una batería y de su voltaje, y se obtuveron los sguentes datos: X: temperatura 10,0 10,0 3,1 3,5 34,0 34,5 45,0 45,6 Y: voltaje a) Sn efectuar cálculos, razona cuál de las sguentes rectas es la recta de regresón de Y sobre X para los datos anterores: y = 350,1 y = 460,1 y = 406 +,1 b) Para 5 grados, qué voltaje sería razonable suponer? a) Puede observarse que al aumentar la temperatura tambén lo hace el voltaje; por tanto, la correlacón es postva. Como el sgno de la correlacón es el msmo que el de la pendente de la recta de regresón, la únca recta posble es y = 406 +,1. b) Para esa ecuacón, s = 5 se tene y = 406 +,1 5 = 458,5. 3. El número de horas de estudo de una asgnatura y la calfcacón obtenda en el eamen correspondente, fue, para personas, la sguente: Horas Calfcacón a) Dbuja la nube de puntos y traza, apromadamente, la recta de regresón asocada. b) Indca el carácter y estma la fuerza de la correlacón. a) En la fgura adjunta se representan los puntos de la tabla anteror. La línea de trazos puede ser una recta de regresón aceptable. b) Obvamente, la correlacón es drecta y fuerte. José María Martínez Medano

2 Matemátcas 1º CT 4. Calcula, paso a paso (sn utlzar la calculadora en modo estadístco), el coefcente de correlacón y la recta de regresón asocada a los datos del problema anteror. sy El coefcente de correlacón vale r =. Para hallarlo hay que calcular las desvacones s s típcas margnales y la covaranza. Utlzaremos las fórmulas: y s = y ; s y = y y ; sy = y n n n Observa que debemos hacer sumas, sumas de cuadrados y sumas de productos; para ello resulta efcaz la sguente tabla: y y y = 85 y = 45 = 111 y = 31 y = 601 Con esto: = = 1,14 y = = 6, 43 s 111 1,14 = 4,46 = ; s 31 6,43 y = 1, 99 = 601 ; s y = 1,14 6,43 =, 80,80 Por últmo, r = = 0, 88. 4,461,99 Al ser r prómo a +1, la correlacón entre las horas de estudo y las notas de eamen es drecta y fuerte: a más horas de estudo, mejor nota de eamen. La recta de regresón es,80 y 6,43 = ( 1,14) y = 0,39 + 1, 6 19,90 (Es la recta contnua de la fgura anteror). Nota: Los resultados anterores están redondeados a las centésmas. Con más precsón (con la calculadora): r = 0,89689; y = 0, , a) Calcula la recta de regresón de Y sobre X en la dstrbucón sguente realzando todos los cálculos ntermedos. X Y b) Cuál es el valor que correspondería según dcha recta a X =? Se forma la tabla: José María Martínez Medano

3 Matemátcas 1º CT 3 X Y X Y X Y ΣX = 5 ΣY = 30 ΣX = 183 ΣY = 0 ΣX Y = 10 Se obtene. = 5 ; s = = 11, 6; y = 6; s y = 5 6 = 9, La ecuacón de la recta de regresón es sy y y = ( ) y = 0,86 +10,138 s b) S X = Y = 4, El departamento de control de caldad de una empresa de nstalacón de componentes electróncos desea determnar la relacón entre las semanas de eperenca de sus trabajadores y el número de componentes rechazados a esos trabajadores la semana anteror. Trabajador eamnado A B C D E F G H I J Semanas de eperenca (X) Número de rechazos (Y) a) Representa el dagrama de dspersón asocado a esos datos. Sugere la gráfca alguna asocacón lneal? b) Cómo calfcarías la correlacón? a) Puede ajustarse una recta como la que se ha trazado. b) Salvo para la persona B, la correlacón parece fuerte e nversa.. Para los datos del problema anteror, halla con ayuda de la calculadora: a) Las medas y desvacones típcas margnales. b) La covaranza. c) El coefcente de correlacón lneal. d) La recta de regresón de Y sobre X. e) El número de rechazos que hay que esperar para una persona con 0 semanas de eperenca. José María Martínez Medano

4 Matemátcas 1º CT 4 Sumas: = 80; y = 60; = 884; y = 40; y = 188 a) = 8; s = 4,93963; y = 6; s y = 8,1403 b) s y = 18,8 8 6 = 9, c) r = 9, /(4, ,1403) = 0,63 d) y = 1, ,53 e) 11,6, que se aproma a 1, el entero más prómo. 8. Se mderon los valores de concentracón de una sustanca A en suero fetal y los valores de su concentracón en suero materno. Se obtuveron los sguentes datos en una muestra de ses embarazadas a térmno: Madre (X) Feto (Y) a) Calcula el coefcente de correlacón lneal. b) Halla la epresón de la recta que permta estmar los valores fetales a partr de los maternos. a) Con la calculadora se obtene: r = 0,93 Otros parámetros de nterés: = ; s = 3,659; y = 4,66; s y =,1344 Tambén se obtene: A = 0,40; B = 0,609 b) La recta de regresón es: Y = A + BX y = 0,40 + 0, En ses alumnos de bachllerato se observaron dos varables: X = puntuacón obtenda en un determnado test e Y = nota en un eamen de matemátcas. Los resultados se ndcan en la sguente tabla: Test: X Eamen: Y a) Halla la recta de regresón. b) Sabendo que un alumno obtuvo 130 puntos en el test, pero no realzó el eamen de matemátcas, predce, s es posble, la nota que hubese obtendo. a) Utlzando la calculadora se obtene que: La ecuacón de la recta de regresón es: y =,8 + 0,08 El coefcente de correlacón vale r = 0,9569. b) S un alumno obtuvo en el test 130, se puede estmar que su nota en matemátcas sería y =,8 + 0, = 8,1 Como r es muy alto y 130 está dentro del rango de los datos consderados, la estmacón es fable. 10. La altura, en cm, de 8 padres y del mayor de sus hjos varones, son: Padre (X) Hjo (Y) a) Calcula la recta de regresón que permta estmar la altura de los hjos dependendo de la del padre; y la del padre conocendo la del hjo. b) Qué altura cabría esperar para un hjo s su padre mde 14? Y para un padre, s su hjo mde 190 cm? José María Martínez Medano

5 Matemátcas 1º CT 5 a) Se utlzará la calculadora en el modo estadístco. S X ndca la atura del padre e Y la del hjo, se tendrá: Y = 68, ,61859 X; X =, ,54508 Y. b) S el padre (X) mde 14 cm (en la prmera ecuacón) para el hjo caber esperar una estatura de Y = 16,4 cm. S el hjo (Y) mde 190 cm (en la segunda ecuacón) para el padre puede suponerse una estatura de X = 181 cm. 11. Los años de sete árboles y el dámetro de su tronco, en cm, se dan en la sguente tabla: Años Dámetro a) Calcula, utlzando la recta de regresón, el dámetro que se puede predecr para árboles de 10 y 0 años. b) Compara el resultado anteror con los valores observados en la tabla. Razona el porqué de las dferencas. a) X = años; Y = dámetro. = 9 ; s = 5,83; y = 19, 5 ; s y = 5,55; r = 0, y = 11,55 + 0,89. b) Y(10) = 0,45; Y(0) = 9,35. Las dferencas son debdas a que la recta de regresón da la meda del valor esperado. 1. El número de bacteras por undad de volumen, presentes en un cultvo después de un certo número de horas, vene epresado en la sguente tabla: X: Nº de horas Y: Nº de bacteras Calcula: a) Las medas y desvacones típcas de las varables, número de horas y número de bacteras. b) La covaranza de la varable bdmensonal. c) El coefcente de correlacón e nterpretacón. d) La recta de regresón de Y sobre X. Sumas: = 15; y = 06; = 55; y = 910; y = 01 a) =,5; s = 1,08; y = 34,3333; s y = 18,6964 b) s y = 31 c) r = 0,9086 d) y = 10,685 +,619 OTROS PROBLEMAS 13. Un conjunto de datos bdmensonales (, y) tene un coefcente de correlacón r = 0,8. Las medas margnales valen: = ; y = 4. Indca s alguna de las sguentes ecuacones puede corresponder a la recta de regresón de Y sobre X: y = + 8; y = 0,8 +, y = 1, José María Martínez Medano

6 Matemátcas 1º CT 6 Se sabe que el sgno de la pendente de la recta de regresón es el msmo que el de la correlacón. Por tanto, como r es postvo, hay que descartar la prmera recta. Por otra parte, la recta de regresón pasa por el centro medo de la dstrbucón, el punto (, y) = (, 4). La únca recta que lo contene es la tercera. En consecuenca, la recta de regresón pedda es y = 1, Halla el centro medo de una dstrbucón sabendo que sus rectas de regresón valen: De Y sobre X: y = +. De X sobre Y: = 0,45y 0,. Como las dos rectas pasan por el centro medo, este punto será la solucón del sstema y = + = 0,45y 0 Cuya solucón es: =, y =16. El centro medo será (, y) = (, 16). 15. Una compañía de seguros sospecha que el número de accdentes está en funcón de la edad del conductor. Para ello elge 100 personas de cada grupo de edad y contablza los accdentes totales del últmo año. Los datos fueron: Edad N.º accdentes a) Representa gráfcamente la nube de puntos asocada a estos datos. Qué correlacón se observa? b) Halla, sn calculadora, el coefcente de correlacón lneal entre las varables meddas. Comenta su valor. a) Correlacón nversa. b) Observa que debemos hacer sumas, sumas de cuadrados y sumas de productos; para ello resulta efcaz la sguente tabla: y y y = 195 y = 46 = 665 y = 39 = 135 y José María Martínez Medano

7 Matemátcas 1º CT Con esto: = 3,5 ; y =, 66 ; s = 8, 539 ; s =, 56 ; s = 0 ; r = 0, 915. La correlacón entre el número de accdentes y la edad es negatva y muy fuerte: los conductores más novatos tene más accdentes. y 16. Se está epermentado la resstenca a la rotura de una determnad fbra tetl. Para ello se ha meddo el dámetro de la fbra y el peso que soporta hasta la rotura, obtenéndose los sguentes datos: Dámetro en mm (X) 1 1, 1,4 1,6 1,8 Peso a la rotura en kg (Y) 1, a) Representa el dagrama de dspersón asocado a esos datos. Sugere la gráfca alguna asocacón lneal? b) Cómo calfcarías la correlacón? a) y Claramente se advna una correlacón lneal b) Postva y muy fuerte. 1. Con los datos del problema anteror, halla: a) La recta de regresón de Y sobre X y determna la resstenca a la rotura de una fbra de,5 mm de dámetro. b) La recta de regresón de X sobre Y y determna el dámetro mínmo de una fbra para que soporte más de 60 kg. Utlzando la calculadora: a) y = 39, 014 8,538. Para =,5 mm, y = 69,154 kg. b) = 0, 05y+ 0, 411. Para y = 60 kg, =,5 mm José María Martínez Medano