VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES. DISTRIBUCIONES

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1 Gestón Aeronáutca: Estadístca Teórca Facultad Cencas Económcas Empresarales Departamento de Economía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES. DISTRIBUCIONES En muchas ocasones es necesaro estudar conuntamente dos característcas de un fenómeno aleatoro, es decr, el comportamento conunto de dos varables aleatoras, ntentando eplcar la posble relacón estente entre ellas. Para estudar conuntamente las dos varables aleatoras (, ), esto es, la varable aleatora bdmensonal, es necesaro conocer la dstrbucón de probabldad conunta de ambas varables. VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL DISCRETA Una varable aleatora (,) se dce que es dscreta s e son dscretas. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BIDIMENSIONAL DISCRETA: Tabla de doble entrada formada por los pares de valores (, ) que toma la varable (,) unto con sus probabldades. m p p p pm p p p pm p p p pm p p pn p n n n nm sendo p P( ; ) con n m p FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL DISCRETA: Tambén llamada dstrbucón de probabldad conunta, es la funcón acumulatva F(, ) P( ; ) P( ; )

2 F(, )es la suma de todos los puntos de la regón A. P ; F(, ) F(, ) F(, ) F(, ) La probabldad P ; representa la probabldad de que un punto pertenezca a la regón A. MOMENTOS DE UNA VARIABLE BIDIMENSIONAL DISCRETA: El momento de órdenes (r, s) respecto a los parámetros (c, k) de una varable aleatora bdmensonal dscreta, se defne: r s r M Ec k c k s p r,s Momentos respecto al orgen cuando c k, sendo los más mportantes: E E() p p E E() p p E E(,) p p Momentos respecto a la meda o centrales, cuando c k, sendo los más mportantes: E p p E p p

3 E p p La covaranza se pude epresar:., es decr,. DISTRIBUCIONES MARGINALES DISCRETAS: Dada una dstrbucón de probabldad bdmensonal dscreta: m p p p pm p p p p pm p p p p pm p p pn pnm n n n n p p p p m p p Se denomna probabldades margnales a p p n p P( ) p p P( ) p donde m n m n m p p p Las dstrbucones margnales de la de la serán, respectvamente: p p p p p p p p m p n pn Las funcones de dstrbucón margnales serán: m F() F(, ) P( ; ) p F() F(,) P( ; ) p 3

4 DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS DISCRETAS: Sea (, ) una varable aleatora bdmensonal dscreta con dstrbucón de probabldad p (,,, n ;,,, m) con dstrbucones margnales n p P( ) p m p P( ) p La dstrbucón de probabldad condconada de la varable aleatora dscreta cuando será: m P / p p p pm p P( / ) p / p p p p pm p P( / ) p / p p p p pm p P( / ) p / p p p pn pnm pn P( n / ) p n / p n n n p p p p m n P ; p P( / ) P( / ) P( ) p con P( ) En esta epresón aleatora. es fo vara sobre todos los posbles valores de la varable La dstrbucón de probabldad condconada de la varable aleatora dscreta cuando será: m P / p p p pm p P( / ) p / p p p p pm p P( / ) p / p p p p pm p P( / ) p / p p p pn pnm pn P( m / ) p m / p n n n p p p p m m P ; p P( / ) P( / ) P( ) p con P( ) 4

5 En esta epresón es fo e vara sobre todos los posbles valores de la varable aleatora. INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS: Sea una varable aleatora bdmensonal dscreta (, ), se dce que e son ndependentes sí, sólo sí, se verfca: p P( ; ) p. p (, ) o ben, P( ; ) P( ). P( ) VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL CONTINUA Una varable aleatora (, ) se dce que es contnua s e son contnuas. En térmnos más precsos, se dce que una varable aleatora (, ) es contnua s este una funcón no negatva f(, ) que para todos par (, ) R verfca: F(, ) f(u,v) dudv donde F(, ) es la funcón de dstrbucón de (, ). A la funcón f(,) se le denomna funcón de densdad de (, ). FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL CONTINUA: Dada una varable aleatora bdmensonal contnua (, ) a la funcón acumulatva F(, ) P( ; ) se denomna funcón de dstrbucón de (, ) P ; F(, ) F(, ) F(, ) F(, ) FUNCIÓN DE DENSIDAD: Dada una varable aleatora bdmensonal contnua (, ), la funcón de densdad es una funcón no negatva f(, ) que verfca: f(,) d d P ; f(,) d d 5

6 Se tene entonces que la funcón de dstrbucón: S F(,) es absolutamente contnua, entonces: F(,) F(, ) f(, ) f(u,v) dudv MOMENTOS DE UNA VARIABLE BIDIMENSIONAL CONTINUA: El momento de órdenes (r, s) respecto a los parámetros (c, k) de una varable aleatora bdmensonal contnua, se defne: r,s r s r s M E c k ( c) ( k) f(,) dd Momentos respecto al orgen cuando c k, sendo los más mportantes: E E() f(,) d d E E() f(,)dd E E(,) f(,)dd Momentos respecto a la meda o centrales, cuando c k, sendo los más mportantes: E ( ) f(,) d d E ( ) f(,)dd E ( )( )f(,) dd covaranza Supuesta en todos los casos la convergenca absoluta de las ntegrales. La covaranza se pude epresar:., es decr,. DISTRIBUCIONES MARGINALES CONTINUAS: Una varable aleatora bdmensonal contnua (, ), con funcón de dstrbucón F(, ) funcón de densdad f(, ), tene como funcones de dstrbucón margnales: funcón de dstrbucón margnal de F() F(, ) f(u,)dud f(u)du donde f() f(,)d se denomna funcón de densdad margnal de 6

7 funcón de dstrbucón margnal de F() F(,) f(,v)ddv f(v)dv donde f () f(, )d se denomna funcón de densdad margnal de DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS CONTINUAS: Sea una varable aleatora bdmensonal contnua (, ), con funcón de dstrbucón F(, ) funcón de densdad f(,), se defne: Funcón de dstrbucón de condconada al valor de f(u, )du F( / ) P( / ) f() La funcón de densdad condconada de al valor de : : f( / ) df( / ) f(, ) d f () Funcón de dstrbucón de condconada al valor de f(, )dv F( / ) P( / ) f() La funcón de densdad condconada de al valor de : : f( / ) df( / ) f(, ) d f () INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS: Sea una varable aleatora bdmensonal contnua (, ), se dce que e son ndependentes sí, sólo sí, se verfca: F(, ) F().F () (, ) R defncón equvalente será: f(, ) f ().f () (, ) R 7

8 TRANSFORMACIONES LINEALES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS: La funcón de densdad g(z,t) de una varable aleatora contnua (Z,T), que surge de una transformacón lneal de la varable (, ), este en aquellos puntos donde el acobano z z (z,t) J (,) t t sendo la nueva funcón de densdad: g(z, t) f h (z, t), h (z, t). J donde h h son las nversas, respectvamente, de g g (,) z t Despeando (, ) en la transformacón se calcula el acobano J (z,t) z t COVARIANZA. PROPIEDADES La covaranza es uno de los momentos centrales de más nterés, se defne: Cov(, ) E E(). E() se suele representar por Cov(, ),, S se representan los qunce pares de valores (, ) se obtene la nube de puntos: Cov (, ) Cov (, ) La varable aumenta cuando la varable aumenta La varable dsmnue cuando la varable dsmnue La varable aumenta cuando la varable dsmnue La varable dsmnue cuando la varable aumenta Cov (, ) Las varables aleatoras (, ) son ndependentes 8

9 Advértase que, Cov (, ) Las varables aleatoras (, ) NO son ndependentes, este una relacón no lneal entre e, relacón que puede ser de tpo cuadrátco. En consecuenca, la covaranza no es una medda de las relacones o dependencas entre dos varables aleatoras e, úncamente es una medda de la fuerza de la relacón lneal entre e. Un nconvenente para utlzar la covaranza, ncluso como medda de la fuerza de la relacón lneal entre e, es que depende de las undades de medda de las varables aleatoras. Por eemplo, s la varable aleatora se epresa en cm la varable en kg, la covaranza se epresa en cm. kg. En este sentdo, el coefcente de correlacón resuelve el problema al ser un número abstracto, es decr, epresarse sn undades. PROPIEDADES DE LA COVARIANZA La covaranza se puede epresar en funcón de los momentos respecto al orgen: Cov(, ) E E(). E(). Basta desarrollar la propedad que defne la covaranza: Cov(, ) E E(). E() E. E E() E() E() S e son dos varables aleatoras ndependentes, la covaranza Cov(, ) E E(). E() E. E E() E() E() E().E() E() E() Cuando dos varables aleatoras son ndependentes se deduce que su covaranza es cero. La nversa no es certa, esten pares de varables dependentes que tenen covaranza cero. En resumen, 9

10 e ndependentes Cov(, ) Cov(, ) e ndependentes Sean e varables aleatoras, sean tambén varables aleatoras a b, sendo a, b números reales cualesquera, se verfca: Cov(a, b) a.b.cov(, ) Cov(a,b) E ae(a). be(b) E aae(). bbe() E aa ). bb E a.b. a.b.. a.b.. a.b.. a.b.e... a.b. E().E().E(). a.b.... a.b.. a.b.cov(,) La covaranza conserva los cambos de escala es nvarante a los cambos de orgen. La propedad anteror es etensble al caso de tener varables aleatoras de la forma (a c) (b d), tenendo en este caso: Cov(a b, b d) a.b.cov(, ) Cov(, ) Cov(, ). Cov(, ) Var() Cov(, ) E. E ( ) Cov(, k) kr,, Z son varables aleatoras: Cov(, Z) Cov(, Z) Cov(, Z), varables aleatoras : Var( ) Var() Var() Cov(, ), varables aleatoras ndependentes : Var( ) Var() Var() En efecto, Var() E () E() E E() E()

11 E E E ( )( ) Var () Var () Cov (, ) S e son ndependentes, Cov(, ) Esta propedad se puede generalzar, sendo (,,, n) varables aleatoras cualesquera, se tene: Var Var ( ) Cov (, ) n n n, Sean (,,, n) varables aleatoras cualesquera (k, k,, k n) números reales cualesquera, entonces: Var k k Var ( ) k k Cov (, ) n n n, COEFICIENTE DE CORRELACIÓN El coefcente de correlacón es un número abstracto (sn undades) que determna la fuerza de la relacón lneal entre las varables aleatoras, es decr, una medda numérca del grado en que las varables están relaconadas lnealmente. El coefcente de correlacón lneal entre las varables aleatoras (, ) se defne: Cov (, ) E E(). E() E() E() E Var ().Var (). Es decr, el coefcente de correlacón es el valor esperado de los valores tpfcados o normalzados de e. S las varables e son ndependentes, el coefcente de correlacón S e son dos varables aleatoras ndependentes Cov (, ) Var ().Var ().. Esta propedad se puede generalzar para n varables aleatoras ndependentes (,,, ), pues s son ndependentes lo son dos a dos. n En consecuenca, la covaranza de dos cualesquera será nula el coefcente de correlacón es cero. Las varables estarán ncorreladas dos a dos.

12 S las varables e aleatoras tenen varanzas dstntas de cero: No este relacón lneal entre las varables aleatoras e, dcendo que están ncorreladas. Este relacón lneal entre las varables aleatoras e, dependenca funconal. Este relacón lneal entre las varables aleatoras e, dependenca funconal. Este maor relacón lneal en cuanto el coefcente de o correlacón se aprome, respectvamente, más a ó a, es decr, estarán más correladas.

13 RESUMEN DE PROPIEDADES DE MOMENTOS SIGNIFICATIVOS Sean e varables aleatoras Meda o Esperanza matemátca La meda es un operador lneal: E(k) k E E() E() k Ek ke() S e ndependentes:. E. E().E() k. E(k. ) k.e() a.b. E a. b. a.e() b.e() Varanza La varanza no es un operador lneal: Var(k) Var Var() Var() Cov(,) S e ndependentes: Var Var() Var() k. Var(k.) k.var() Covaranza:. Cov(, ) Var() Cov(a.,b.) a.b.cov(,) S e ndependentes: Cov(,) Cov(, k) Cov(,Z) Cov(,Z) Cov(,Z) Coefcente de correlacón: E. S e ndependentes: 3

14 Eercco.- Un epermento consste en lanzar tres veces una moneda. Sean las varables aleatoras: ="número de caras en las tres tradas" e ="dferenca en valor absoluto entre el número de caras el de escudos en las tres tradas". Se pde: a) Dstrbucón de probabldad de (, ) b) Meda desvacón típca de las dstrbucones margnales de e c) Covaranza coefcente de correlacón d) Son e ndependentes? e) Dstrbucón condconada de a 3 f) Dstrbucón condconada de a P ; P P 3 g),, Solucón: a) Espaco muestral: (c,c,c),(c,c,e),(c,e,c),(e,c,c),(c,e,e),(e,c,e),(e,e,c),(e,e,e) (c,c,c) 3 (c,c,c) 3 (c,c,e) (c,e,c) (e,c,c) (c,c,e) (c,e,c) (e,c,c) (c,e,e) (e,c,e) (e,e,c) (c,e,e) (e,c,e) (e,e,c) (e,e,e) (e,e,e) 3 Dstrbucón de probabldad: 3 p p 68 8 Advértase que la probabldad conunta: Probabldades margnales: p p p p3 p p pp p Sendo: 4 4 p p p. En general, n m n m p p p 4

15 b) Dstrbucón margnal de la varable aleatora : p.p. p Meda: E(). p,5 8 4 Varanza: Var() E( ) E() 4 E( ). p 3 Var() E( ) E() 3,5,75,75,866 Dstrbucón margnal de la varable aleatora : p.p. p Meda: E(). p,5 8 Varanza: Var() E( ) E() E( ). p 3 Var() E( ) E() 3,5,75,75,866 c) Covaranza coefcente de correlacón La covaranza se defne: Cov(,). donde 4 E().. p Así pues, , con lo cual, Cov(,).,5,5.,5 Señalar que la covaranza Cov(, ) puede ser negatva, nula o postva, sendo una medda de la fuerza de la relacón lneal entre e. El coefcente de correlacón lneal es un número abstracto (sn undades) que determna el grado en que las varables (, ) están relaconadas lnealmente. Se defne:. 5

16 con lo cual,.,75.,75 Denotar que. Cuando no este relacón lneal entre las varables e, dcendo que están ncorreladas. d) Para que e sean ndependentes se tene que verfcar: p p. p (, ) 3 p p 8 p p p p. p.p 8 8 Las varables e NO son ndependentes Señalar que cuando dos varables e son ndependentes, es decr, cuando p p. p (, ), la covaranza es cero. El caso contraro no se verfca. Es decr: e ndependentes Cov(, ) Cov(, ) e ndependentes e) Dstrbucón condconada de a 3 : P/ 3 P 3 P( 3) 3 p P( / 3) p 68 8 En general, P P/ P( ) 6

17 f) Dstrbucón condconada de a : P/ P P( ) 3 p P( / ) p 68 8 En general, P/ P P( ) g) P ;, P, P P ; P ; P ;3 P ; P ;3 3 4 p p p p P P ; P ; 3 P 3; P 3;3 3 4 p3 p3 p4 p P 3 P ; P ; P ; P 3; p p p3 p

18 Eercco.- Sea una varable aleatora bdmensonal con dstrbucón de probabldad Se pde: a) Son e ndependentes? b) Hallar las medas desvacones típcas de e c) Hallar las probabldades: P ; P P d) Hallar el coefcente de correlacón Solucón: a) Para analzar s e son ndependentes ha que hallar las dstrbucones margnales de e, ver s verfca que p p. p (, ) p p 3 3 p p.p. 6 3 p p.p p p.p. 3 3 p p.p p3 p 3.p. p3 p 3.p Luego las varables e no son ndependentes. b) Para hallar las medas desvacones típcas de e ha que consderar las dstrbucones margnales: 8

19 Dstrbucón margnal de la de la varable aleatora p.p. p Meda: 6 3 E(). p 3 E( ). p Varanza: Var() E( ) E() Desvacón típca: 5,745 9 Dstrbucón margnal de la varable aleatora p.p. p Meda: E(). p 3 E( ). p 8 Var() E( ) E() 3 9 Varanza: Desvacón típca: 8,943 9 c) Probabldades: P ; P P 9

20 P ; P ; P ; 3 4 P P ; P ; P 3; P 3; 6 4 P P ; P ; P 3; 6 3 d) Coefcente de correlacón..p E().. p Covaranza: Cov(,).., Coefcente de correlacón:,555.,745.,943,79 Sendo,79, valor cercano a, este una fuerte relacón lneal entre las varables e.

21 Eercco 3.- Sean (, ) los paquetes daros que venden dos operadores de vaes, cua dstrbucón de probabldad conunta se reflea en la tabla:,5,5,,5,,5,,5,5 Hallar la meda, varanza desvacón típca de las varables:,,, Solucón: p.p. p,5,5,,4,5,,5,3,3,3,,5,5,3,6, p,3,4,3,9,5.p,4,6. p,4,,6 Dstrbucón margnal de la varable : Meda: 3 E(). p,9 3 E( ). p,5 Varanza: Var(),5,9,69 Desvacón típca:,69,83 Dstrbucón margnal de la varable : Meda: E(). p 3 3 E( ). p,6 Varanza: Var(),6,6 Desvacón típca:,6,77

22 Dstrbucón de la varable ( ) : Meda: E( ) E() E(),9,9 Se tene: 3 3 E( ) ( ).p,5,5,,5,,5,,5,5.,5.,5.,.,5., 3.,5., 3.,5 4.,5,9 Varanza: Var( ) Var() Var() Cov(,) e no ndependentes..p,5,5,,5,,5,,,,5,5,,6,3,7 3 3 E().. p Covaranza: Cov(, ).,9., Var( ) Var() Var() Cov(,),69,6.,,49 E () E() Se tene:,5,5,,5,,5,,5,5.,5 4., 9.,5 4., 9.,5 6.,5 5, E ( ).,5.,5 4., E ( ) E( ) 5,,9,49 Dstrbucón de la varable ( ) :, 49, Meda: E( ) E() E(),9, Var( ) Var() Var() Cov(,),69,6.,,9

23 Eercco 4.- Sea (, ) una varable aleatora bdmensonal con funcón de densdad: k f(,) restantes valores a) Hallar k para que sea funcón de densdad b) Hallar las funcones de densdad margnales. Son e ndependentes? c) Hallar las funcones de dstrbucón margnales d) Hallar las funcones de densdad condconadas Solucón: a) Para que f(, ) sea funcón de densdad tene que verfcarse: f(, ) d d k por tanto, k d d k d d k d k d k k f(,) restantes valores b) Funcones de densdad margnales: f() f(,)d d f() f(,)d d e son ndependentes cuando f(,) f ().f () f ().f ().() 4 4 f(,) luego no son ndependentes c) Funcones de dstrbucón margnales: F () f (t)dt f (t)dt t dt t F () f (t)dt f (t)dt ( t)dt t t 3

24 d) Funcones de densdad condconadas: f(,) f( / ) f() f(,) f( / ) f() Eercco 5.- Sea (, ) una varable aleatora bdmensonal con funcón de densdad: ; f(,) restantes valores a) Comprobar que f(, ) es funcón de densdad b) Hallar las medas de e c) Hallar las probabldades: P ; P ; Solucón: a) f(,) es funcón de densdad s se verfca: f(,) d d f(,) d d d d d d d d en consecuenca, f(, ) es funcón de densdad. b) Para hallar las medas de e ha que calcular prmero las funcones de densdad margnales: f () f(,)d d 4

25 f() f(,)d d d 3 E() f ()d. d 3 3 E() f ()d f ()d f ()d ()d ()d 3 3 ( )d ( )d c) Probabldades: P ; P ; P ; f(,)dd d d d d 8 P ; f(,)d d d d d d Eercco 6.- La funcón de densdad asocada a la emsón de blletes de una compañía área es: f(,) enelresto a) Hallar la funcón de dstrbucón b) Hallar las funcones de densdad margnales de e c) Son e ndependentes? Solucón: F(,) f(u,v) dv du (u v)dudv (u v)dv du u v du v a) u u du u ( ) En consecuenca, 5

26 ó F() ( ),, ( ) F(, ) F() ( ), a) Funcones de densdad margnales de e f () f(,)d ( )d f () f(,)d ( )d Advértase que: F() f() ( ) F() f() () b) e son ndependentes cuando se verfca f(,) f ().f () f().f(). f(,) luego no son ndependentes. 6

27 Eercco 7.- La funcón de dstrbucón asocada a un fenómeno de la naturaleza es: F(, ) enelresto ( e ).( e ), a) Hallar la funcón de densdad b) Hallar las funcones de densdad margnales de e c) Hallar las funcones de densdad condconadas d) Calcular el coefcente de correlacón Solucón: a) ( e ).( e ) F(, ) F(, ) (e ) f(,) (e ) (e ) () (e ).e e. e.e e, e Funcón de densdad f(,) enelresto () e b) Funcones de densdad margnales () f () f(,)d e d e.e d e e d e e e.( ) e () f () f(,)d e d e.e d e e d e e e.( ) e Advértase que e son ndependentes al verfcarse f(,) f ().f () f(,) e f ().f () e.e () e ndependentes La covaranza μ = σ = ρ = c) Funcones de densdad condconadas f(,) e al ser e ndependentes () f( / ) e f () f() e f(,) e al ser e ndependentes () f( / ) e f () f() e 7

28 d) El coefcente de correlacón. E().f ()d.e d.e e d.e e E().f ()d.e d.e e d.e e Nota:.e d.e e d.e e u du d donde se ha realzado el cambo dv e d v e d e () E(.)..f(,) d d..e d d.e d..e d E( ). f () d.e d.e..e d.e.e e.e..e.e Análogamente, E( ) covaranza:.. coefcente de correlacón.. Las varables son ncorreladas 8

29 Eercco 8.- La venta en un mercado de abastos lleva asocada la funcón: k f(,) enelresto a) Hallar k para que sea funcón de densdad b) Hallar la funcón de dstrbucón c) Funcones de densdad margnales condconadas d) Se consdera la transformacón Z T, hallar la funcón de densdad de la varable (Z,T) Solucón: a) f(,) k Para que f(,) sea funcón de densdad debe verfcarse que f(,) d d k d d k d d k d 4 kd k k k La funcón de densdad f(,) 4 enelresto b) Funcón de dstrbucón F(,) P(, ) f(u,v) dv du uv uv F(,) dv du dv du uv dv du v u u u v du du 4 4 u u ( ) ( ) u u 4 6 En consecuenca, ( ) () F(, ) 6 9

30 Las funcones de dstrbucón margnales, resultan: uv uv F() P( ) f(u,v)dvdu dvdu dv du 4 4 v u v du du u 8 4 o uv uv F() P( ) f(u,v)dvdu dvdu dv du 4 4 v u u v du u du u Tambén se podrían haber hallado a través de las funcones de densdad margnales: f () f(,)d d f () f(,)d d F() P( ) f(u)du du u v4 v 87 F() P( ) f(v)dv dv 4v La funcón de dstrbucón conunta: ó ( ) () 6 F(, ), 87, 6, c) Las funcones de densdad margnales se pueden hallar a partr de la funcón de dstrbucón conunta: 3

31 F() f() () f() 6 8 F() o ben, a partr de la funcón de densdad: f () f(,)d d f () f(,)d d Funcones de densdad condconadas: f(,) ( ) 4 f( / ) f () f() 4 f(,) ( ) 4 4 f( / ) f () f() (4)8 4 Las varables e no son ndependentes al ser f(,) f ().f () d) En la transformacón Z T z z (z,t) J 3 (,) t t por lo que este la funcón de densdad g(z,t) (,) z t Despeando (,) en la funcón de (Z,T) se calcula el acobano J (z,t) z t Z T Z Z 3 (,) 3 3 J T T ZT (z,t) La funcón de densdad g(z,t) f h (z,t), h (z,t). J z t zt h(z,t), h(z,t), 3 3 zt 3 3 z t 3 3

32 z t z t 3 3 (zt)( zt) g(z, t) f(,) 4 enelresto (z t)( z t) zt 3 g(z, t) 8 3 zt 3 enelresto Eercco 9.- Sea (,) una varable aleatora bdmensonal con funcón de probabldad p c,,,,,,,,, enotrocaso a) Calcular el valor de la constante c b) P, c) P d) P Solucón: a) Para determnar el valor de la constante c se elabora la tabla, sendo p c - - p - 4c 3c c c c - 3c c c c 7c c c c c 6c c c c 3c 7c c c 3c 4c c p c 7c 6c 7c c 4c 5 5 p 4c c 4,,,, p 4 enotrocaso,,,, P, 4 b) 7 P 7c 4 c) 3

33 d) zona sombreada 8 7 P 8c 4 P P,P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, 8c 847 Eercco.- Sean (,) dos varables aleatoras ndependentes, cada una con la funcón de densdad: e f() otrocaso e f() otrocaso Calcular la funcón de densdad de la varable aleatora Solucón: Por ser varables aleatoras ndependentes, la funcón de densdad conunta de la varable aleatora bdmensonal es: f, (,) otrocaso e, La transformacón a aplcar es U V sendo e u u v v (,) u v Despeando (,) en la funcón de (U,V) se calcula el acobano J (u,v) u v U V V UV (,) J (u,v) Funcón de densdad de la transformacón h (u, v) v ; h (u, v) u v: f (u, v) f h (u, v), h (u, v). J f v, u v. J f v, u v. f v, u v U,V,,,, 33

34 U,V v (uv) u e e u,v, u v, otrocaso f (u,v) f (v, u v) Como se quere obtener la funcón de densdad de la varable aleatora U, se calcula la funcón de densdad margnal de U: u u u u u u U U,V f (u) f dv e dv e v u.e u u.e u f(u) U otrocaso Eercco.- Sea (,) una varable aleatora bdmensonal absolutamente contnua,,. Calcular la funcón de con densdad unforme en el cuadrante untaro densdad conunta U V Solucón: U V U (,) u v El acobano J V UV (u, v) u v Funcón de densdad de la transformacón h (u,v) (uv)/ ; h (u,v) (u v)/ : uv uv uv uv f U,V(u,v) f, h(u,v),h(u,v).j f,,.j f,,. uv uv f,,.. Domno para las varables e : u v, uv u v uv, u ; v f U,V(u,v) enotrocaso 34

35 Eercco.- Dada la varable aleatora bdmensonal (,) absolutamente contnua con funcón de densdad conunta c f(,) enotrocaso Calcular: a) El valor de la constante c b) P c) Funcón de dstrbucón conunta Solucón: a) Para el cálculo de la constante c se procede: 6 c c c f(,) d d c d d d d 3 7 c c 6 4 c c c c 4c c con lo cual, f(,) 4 enotrocaso 4 6 P d d d d b) c) F(,) f(u,v)dv du, u v v 6 u v u u F(,) u v dv du du du u vu 4 8 v u

36 3 7 u 3 7 u 3 7 u u 7 u 3 u u u , u v F(, ) u v dv du u vu , u v F(, ) u v dv du u vu , u v F(, ) u v dv du u vu , En consecuenca, F(, ) , , 4 4, 3 7, 36

37 Eercco 3.- Dada la varable aleatora bdmensonal (,) con funcón de dstrbucón,, F(, ),,, Calcular la funcón de densdad conunta de la v.a. bdmensonal (,) Solucón: a), F(, ),,,, f(,), F(, ),,,, Por consguente,, f(,) enotrocaso Portal Fuenterrebollo 37

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