Análisis estadístico de incertidumbres aleatorias

Transcripción

1 Análss estadístco de ncertdumbres aleatoras Errores aleatoros y sstemátcos La meda y la desvacón estándar La desvacón estándar como error de una sola medda La desvacón estándar de la meda úmero de meddas necesaras La repetcón de las meddas es el arma para luchar contra los errores aleatoros Cómo analzaremos estas meddas con los métodos estadístcos? Técncas epermentales en Físca General /0

2 Tpos de errores: aleatoros y sstemátcos EJEMPLOS Medda de un ntervalo de tempo con un cronómetro. Error en el start y en el stop del epermentador: error aleatoro. El cronómetro funcona mal y da sempre un ntervalo de tempo menor (o mayor): error sstemátco. Medda de una longtud con una regla. Error en la nterpolacón entre dos marcas por el epermentador: error aleatoro. La regla esta mal calbrada y da longtudes menores (o mayores) sempre: error sstemátco. Errores aleatoros: ncertdumbres debdas a numerosas causas mprevsbles que dan lugar a resultados dstntos cuando se repten las meddas. Errores sstemátcos: Equvocacones debdas a métodos o nstrumentos de medda nadecuados, cambando las meddas en la msma dreccón. Técncas epermentales en Físca General /0

3 Error aleatoro: Pequeño Error sstemátco: Pequeño Error aleatoro: Pequeño Error sstemátco: Grande Error aleatoro: Grande Error sstemátco: Pequeño Error aleatoro: Grande Error sstemátco: Grande Stuacón real en un epermento: Técncas epermentales en Físca General 3/0

4 Errores aleatoros: alteracones que responden a dstrbucones de probabldad, se pueden analzar medante métodos estadístcos (Teoría de errores) Posbles causas Acumulacón ncertdumbres ncontroladas Varabldad de las condcones ambentales Varacones aleatoras ntrínsecas a nvel mcroscópco Falta de defncón de la magntud a medr Errores sstemátcos: Deben evtarse o mnmzarse. o hay reglas fjas. Habldad que se adquere con la práctca. Ejemplos: Cero de la escala ncorrecto Calbracón defectuosa del nstrumento Utlzacón de fórmulas apromadas Utlzacón de datos ncorrectos Técncas epermentales en Físca General 4/0

5 La meda y la desvacón estándar meddas de la cantdad :,,,. Cuál es el mejor estmador de?: u = m m? ( ) = Cuál es el valor de m que nos mnmza u? du dm = 0= ( m) m= = Mejor = Meda = = = Cuál es el mejor estmador de la dspersón de los? S µ es el valor verdadero de se defnen las cantdades: σ µ = ( ) = σ = ( µ ) = Varanza, desvacón cuadrátca meda Desvacón típca, estándar Técncas epermentales en Físca General 5/0

6 Pero no conocemos el valor verdadero µ!!!!! Conocemos una estmacón del msmo que es la meda Se defnen entonces los estmadores: s = ( ) = s = ( ) = Varanza muestral Desvacón estándar muestral La desvacón estándar σ o su estmacón s caracterza el error promedo de las meddas,,, realzadas Técncas epermentales en Físca General 6/0

7 Ejemplo: = 5 meddas de : = 7, = 7, 3 = 7, 4 = 73, 5 = 7 d = ( ) d = = 359 d = 0.0 d =.80 ( ) = 359 = = = s = = 0.8 = La desvacón estándar como el error de una sola medda meddas de la magntud :,,,, s S realzamos una medda adconal de la msma magntud y con el msmo método, qué error podemos asocarle? ε ( ) = s Técncas epermentales en Físca General 7/0

8 La desvacón estándar de la meda meddas de las cantdad :,,, = S repetmos el epermento varas veces los valores de cambarán, y la dspersón la medmos con la desvacón típca s ( ) = = ( ) El valor medo tambén varará de un epermento a otro, y su varanza será: s ( ) ( ) = ( ) = s s La desvacón típca de la meda será por tanto: s ( ) = s ( ) Dsmnuye con el número de meddas Técncas epermentales en Físca General 8/0

9 Ejemplo: Caja con muelles smlares CÁLCULO DE LA COSTATE ELÁSTICA DE U MUELLE k k -k meda (k -k meda) k meda = 85.9 /m Desv. Est.=.9 /m Valor medo constante elástca k meda = 85.9/m Desvacón estándar: sk ( ) =.9/m El error de la meda es sk ( ).9 sk ( ) = = = 0.6/m 0 El resultado lo presentaremos k = 85.9 ± 0.6 /m meda S medmos un muelle y obtenemos, por ejemplo, 83 /m, podemos escrbr que k = 83.0 ±.9 /m Técncas epermentales en Físca General 9/0

10 úmero de meddas necesaras Se realzan = 3 meddas y se calcula Se halla el porcentaje de dspersón: D = ma mn 00 Dspersón de las tres prmeras meddas úmero de meddas que deben realzarse D < % Bastan las 3 meddas realzadas % < D < 8% Hay que hacer 3 meddas más 8% < D < % Hay que realzar 5 meddas D > % Dstrbucón gaussana Estmacón del error absoluto del valor medo, ε ( ) úmero de meddas 3 6 > 6 Mámo de Mámo de Error absoluto ε ( ) ε( ) ε( ) = = ma = εd = ε( ) ε = σ ε ( ) = D 4 mn Técncas epermentales en Físca General 0/0