Reconciliación de datos experimentales. MI5022 Análisis y simulación de procesos mineralúgicos

Transcripción

1 Reconclacón de datos expermentales MI5022 Análss y smulacón de procesos mneralúgcos

2 Balances Balances en una celda de flotacón En torno a una celda de flotacón (o un crcuto) se pueden escrbr los sguentes balances: G SA, L A G ST, L T R G SC, L C Balance de sóldos totales: G = G + G SA SC ST Balance de fnos: G L = G L + G SA A SC C ST L T

3 Balances Recuperacón metalúrgca Se defne como la cantdad de mneral de nterés en el concentrado,.e., recuperado, dvddo por la cantdad de mneral de nterés almentado: G R = G SC SA L L C A 100 No sempre se conocen los flujos totales, por lo tanto es útl contar con una expresón que permta calcular la recuperacón en funcón de las leyes, que son más fácles de medr: % R = L L C A ( LA LT ) ( L L ) C T 100 %

4 Balances Recuperacón en peso Se defne como la cantdad de mneral (total) en el concentrado dvddo por la cantdad de mneral (total) almentado: Y = G G SC SA 100 % Del msmo modo que en el caso anteror, se puede escrbr la recuperacón en peso en funcón de las leyes de almentacón, concentrado y relave: Y = ( LA LT ) ( L L ) C T 100 %

5 Balances Recuperacón de varas etapas S tene dos etapas en sere con recuperacones R 1 y R 2 la recuperacón total es gual a R = R 1 R 2 R 1 R 2 S tene dos etapas en paralelo con recuperacones R 1 y R 2 la recuperacón total es gual al promedo ponderado de ambas recuperacones R 1 R 2

6 Balances Balances con recrculacón Calcular la ley y recuperacón de cobre para el sguente dagrama de flujo. Consdere sólo dos especes: calcoprta y ganga. R 1 R 2 Ley de calcoprta: 5% R 1 espece nterés: 90% R 2 espece nterés: 60% R 1 ganga: 20% R 2 ganga: 10% R1R 2 R = 1 R + R R 1 1 2

7 Balances Actvdad Determnar el máxmo flujo de mneral que puede tratar el crcuto de la fgura. Por restrccones de operacón, la columna no puede tratar un flujo mayor a 72 t/h. Consdere en su cálculo que la almentacón está compuesta sólo de calcoprta (5%) y ganga (95%). Calcoprta Ganga Recuperacón rougher 92% 40% Recuperacón por celda scavenger 90% 30% Recuperacón columna 70% 1%

8 Ejemplo Determne la recuperacón en peso para la celda de la fgura Gs: 100 t/h Cu: 1,0 % Fe: 2,0 % Gs: 10 t/h Cu: 8,5 % Fe: 10,5 % Gs: 85 t/h Cu: 0,2 % Fe: 1,2 % Cuál es el resultado correcto? Por cobre: 9,6% Por ferro: 8,6% Por flujos: 10%

9 Balances de masa Muestreo Balances de masa Reconclacón de data Dseño expermental Optmzacón del proceso

10 Datos expermentales deben ser: Consstentes (reproducbles) Coherentes (entra = sale,.e., balanceados) No sesgados Redundantes Mentras más redundante es la nformacón, mejor es el balance obtendo

11 Fuentes de error en los datos meddos (expermentales) Error aleatoro asocado a la reproducbldad Error sstemátco que entrega datos sesgados Error accdental x = x + meddo real e medcón

12 Error de medcón N N ( x + e ) x meddo real medcón = 1 = 1 xmeddo = = = xreal + N N e e 0 e = sesgo 0 Error aleatoro Error sstemátco

13 Desvacón estándar µ El error aleatoro tene una dstrbucón normal - 1σ 68,26% 95,44% 99,74% +

14 Desvacón estándar y relatva (error %) σ Desvacón estándar x = N = 1 ( ) 2 x x 0.5 N 1 Pero la desvacón estándar de la medcón es gual a la desvacón estándar del error de medcón σ = σ x e La desvacón estándar relatva (error %) se puede escrbr como σ Rx = 100 σ x x

15 Propedades de la desvacón estándar (error) Las varanzas (y no las desvacones estándar) son adtvas σ 2 = σ 2 El error de una medcón se descompone en error de muestreo y error de análss (e.g., análss químco) σ R medcón 2 + R muestreo = σ σ 2 R análss 1 2

16 Ejemplo de cálculo S se sabe que la ley de plata en la almentacón es gual a 15 ppm y que los errores relatvos de muestreo y análss son 3% y 5% respectvamente. Cuál es la desvacón estándar que se le debe asgnar a la ley reportada? σ R medcón = ( ) 1 2 = 5,83% σ medcón = 15 5, = ± 0,87 ppm Ag

17 Datos meddos y balances de masa S los datos meddos tenen error se puede esperar que los balances de masa no cerren. Incluso s se pudera medr el valor real de cada varable en el proceso, los balances de masa no cerrarían debdo a la varabldad en la operacón. Para poder cerrar los balances, la planta tene que estar operando en estado estaconaro (equlbro), lo cual es dfícl de obtener. En el mejor caso la planta oscla en torno a un punto de equlbro debdo a varacones en la almentacón y a la varabldad propa de los sstemas de control, lo cual genera rudo en las medcones.

18 Reconclacón de data La reconclacón de data corresponde al ajuste de datos expermentales sujeto a que se cumplan las restrccones mpuestas por las ecuacones de balance de masa. Los datos reconclados deben parecerse tanto como sea posble a los datos meddos.

19 Propósto del balance y reconclacón de data Informacón del proceso Data para ngenería de dseño (cálculo) Data para modelos de proceso Balances metalúrgcos (on-lne/off-lne) Contabldad de la produccón (dara, mensual, anual) La data reconclada es estadístcamente más confable que la data expermental (no reconclada)

20 Método de reconclacón de data y ajuste de balances El procedmento consste en la mnmzacón de una funcón objetvo sujeta a que se cumplan las ecuacones de balance de masa,.e., mnmzacón de funcón sujeta a restrccones (e.g., multplcadores de Lagrange) No todo set de datos se puede reconclar. Estos deben ser razonablemente buenos ya que de lo contraro se tene que: Datos malos Mal ajuste

21 Reconclacón de data por mnmzacón de funcón objetvo La funcón objetvo se construye a partr de dos sumatoras: la prmera consdera los cuadrados de las dferencas entre los datos meddos (x ) y los datos reconclados (x ^ ), ponderadas por algún factor de peso (k ); la segunda sumatora ncluye las ecuacones de balance evaluadas con los datos reconclados. Las ecuacones de balance deben ser escrtas de modo tal que su resultado sea gual a cero. φ = k ( x xˆ ) 2 + Balance( xˆ ) j

22 Determnacón de factores de peso (k ) La solucón obtenda al utlzar los dstntos métodos depende en gran medda de los factores de peso (k ) utlzados. Esto se conoce como modelo de error (error model) y da cuenta de qué tan confable es cada uno de los datos meddos dsponbles. Una buena eleccón puede ser utlzar el nverso de la varanza (desvacón estándar al cuadrado) como factor de peso

23 Determnacón de factores de peso (k ) Cada factor de peso k se escrbe entonces como 100 k = = x σ Rx, σ x, y la funcón a mnmzar es la sguente: φ = σ 1 2 x, ( x xˆ ) 2 + Balance ( xˆ ) j

24 Reconclacón de data medante multplcadores de Lagrange S se tenen N varables a estmar (x ^ ) y M ecuacones de balance, se puede generar un sstema de (N+M) ncógntas e gual número de ecuacones medante la ncorporacón de multplcadores de Lagrange: φ = k ( x xˆ ) 2 + λ Balance ( xˆ ) j j

25 Reconclacón de data medante multplcadores de Lagrange El problema se transforma entonces en el sguente sstema de ecuacones: φ = xˆ 0 para todo, φ λ j = 0 para todo j Notar que las ecuacones de balance se tenen que escrbr de modo tal que su resultado sea gual a cero,.e., G G G = 0 y no G = G + G SA SC SR SA SC SR

26 Reconclacón de data con Solver En el caso de utlzar la herramenta Solver de Excel, se puede mnmzar la funcón objetvo: φ = k ( x xˆ ) 2 ncorporando las ecuacones de balance como restrccones.

27 Reconclacón de data con Solver (Excel) Funcón a mnmzar: φ = k ( x xˆ ) 2 Valores a encontrar: xˆ Ecuacones de balance evaluadas con los datos reconclados: ( ) Balance ˆ x

28 Ejemplo de ajuste de balances (Solver) Determne la recuperacón de cobre para la celda de la fgura Gs: 100 t/h Cu: 1,0 % Fe: 2,0 % Gs: 10 t/h Cu: 8,5 % Fe: 10,5 % Gs: 85 t/h Cu: 0,2 % Fe: 1,2 % Suponga que las leyes de cobre y ferro se conocen con una precsón de 2,5 y 3% (relatva) respectvamente y que los flujos son más dfícles de determnar, por lo tanto tenen un error relatvo de 5%