CAPÍTULO 7 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

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1 CAPÍTULO 7 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS En los capítulos anterores se han analzado varos modelos usados en la evaluacón de stocks, defnéndose los respectvos parámetros. En las correspondentes fchas de ejerccos los valores de los parámetros se deron por conocdos, no sendo necesaro estmarlos. En este capítulo se analzarán los dversos métodos para estmar los parámetros. Convene recordar que la estmacón de parámetros mplca conocmentos sobre a teoría de muestreo y sobre nferenca estadístca. En este manual se referrá uno de los métodos generales mas usados en la estmacón de parámetros el método de los mínmos cuadrados. Este método utlza, en muchos casos, procesos teratvos de estmacón que requeren valores ncales próxmos a los verdaderos parámetros. Así, se presentan tambén algunos métodos partculares, que permten obtener, fáclmente, estmacones próxmas a los verdaderos valores de los parámetros. De cualquer modo, estas estmacones aproxmadas tambén tenen, por s solas, nterés práctco. Estos métodos serán lustrados con la estmacón de los parámetros de crecmento y de la relacón stock-reclutamento, S-R. El método de los mínmos cuadrados es presentado bajo las formas de Regresón lneal smple, del modelo lneal múltple y de modelos no lneales (método de Gauss-Newton). Asuntos como el análss de resduos, dstrbucón en el muestreo de los estmadores (asntótcas o empírcas «Bootstrap» y «jacknfe»), lmtes y ntervalos de confanza, etc., son mportantes en la estmacón de parámetros. No obstante, para abordar estos asuntos, sera necesaro un curso de mayor duracón. 7. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Modelo Consderando las sguentes varables y parámetros: Varable dependente (o respuesta) Varable ndependente (o auxlar) Parámetros = Y = X = A, B Objetvo La varable ndependente es lneal con los parámetros Y = A+BX Observados n pares de valores (cada par esta consttudo por un valor selecconado de la varable ndependente y el valor observado correspondente a la varable dependente) estmar los parámetros del modelo o sea: Observados Estmar x e y para cada par, como =, 2,...,,...n A y B y (Y, Y 2,..., Y,..., Y n ) para los n pares de valores observados 83

2 (Valores estmados A y B (o a y b) y Y, Y 2,..., Y.., Y n ) Funcón objeto (o funcón crtero) Φ = n = ( ) 2 y Y Crtero de estmacón Los estmadores serán los valores de A y B que hacen mínma la funcón objeto. Este crtero se denomna método de los mínmos cuadrados. Para llevar a cabo la mnmzacón han de gualarse a cero las dervadas Φ/ A y Φ/ B y resolver el sstema de ecuacones obtendo respecto A y B. La resolucón del sstema de ecuacones, después de algunas transformacones matemátcas, da los sguentes resultados: x = (/n). x y = (/n). y Sxx = (x - x )(x - x ) Sxy = (x - x )(y - y ) b = Sxy/Sxx a = y - b. x Nótese que los valores y observados, para un msmo conjunto de valores de X selecconados, dependen de la muestra recogda. Estadístcamente se acostumbra a presentar el problema de la regresón lneal smple escrbendo el modelo como: y = A + BX + ε donde ε es una varable aleatora con valor esperado gual a cero y varanza gual a σ 2. Así, el valor esperado de y será Y o A+BX y la varanza de y será gual a la varanza de ε. Se acostumbra a dferencar desvío de resduo: Desvío es la dferenca de y observado e y médo ( y ), esto es desvío = (y- y) En tanto que Resduo es la dferenca entre y observado e Y estmado ( Y ), esto es resduo = (y - Y ). Es convenente, para el análss del ajuste del modelo a los datos observados, consderar las sguentes característcas: 84

3 La suma de los cuadrados de los resduos: SQ resdual ( y Ŷ) = 2 Esta cantdad ndca la varacón resdual de los valores observados en relacón a los valores estmados del modelo, esto es, la varacón de los valores observados no explcada por el modelo. La suma de los cuadrados de los desvíos de los valores estmados del modelo es gual a: SQ mod elo ( Ŷ y) = 2 Este valor ndca la varacón de los valores estmados de la varable dependente del modelo en relacón a su meda, esto es, la varacón de los valores estmados de la varable dependente explcada por el modelo. La suma total de los cuadrados de los desvíos de los valores observados es gual a: SQ total ( y y) = 2 Este valor ndca la varacón total de los valores observados en relacón a la meda Es fácl verfcar la sguente relacón: SQ total = SQ modelo + SQ resdual o SQ SQ mod elo = + total SQ SQ resdual total o = r 2 + ( - r 2 ) donde r 2 (coefcente de determnacón) es el porcentaje de la varacón total que es explcada por el modelo y, -r 2 es el porcentaje de la varacón total que no es explcada por el modelo. 85

4 7.2 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Modelo Consderando las sguentes varables y parámetros: Varable dependente (o de respuesta) Varables ndependentes (o auxlares) Parámetros = Y = X, X 2,..., X j,..., X k = B, B 2,..., B j,..., B k La varable dependente es lneal con los parámetros Y = B X +B 2 X B k X k = Σ B j X j Objetvo Observados n conjuntos de valores (cada conjunto esta consttudo por un valor observado de cada varable ndependente y el valor observado correspondente de la varable dependente), estmar los parámetros del modelo, o sea: Observados x, x 2,,..., x j,,.., x k, e y para cada conjunto, con =,2,...,,...n Estmar B,B 2,...,B j,...,b k e (Y,Y 2,..., Y,..., Y n ) para los n conjuntos observados Los valores estmados pueden ser representados por: B, B 2,..., B j,..., B k (o b,b 2,...,b j,...,b k ) e Y, Y 2,..., Y,..., Y n Funcón objeto o funcón crtero Crtero de estmacón Los estmadores serán los valores de B j que mnmzan la funcón objeto. Este crtero es el llamado método de los mínmos cuadrados. De un modo semejante al usado en el caso del modelo lneal smple, el procedmento de mnmzacón debe gualar a cero las dervadas parcales de Φ respecto a cada parámetro, B con j=, 2,..., k. Este procedmento es, preferentemente, tratado con el cálculo matrcal. j Φ = Forma matrcal n = ( y 2 Y ) Matrz X (n,k) = Matrz de los valores observados de las varables ndependentes Vector y (n,l) = Vector de los valores observados de la varable dependente 86

5 Vector Y (n,l) = Vector de los valores de la varable dependente (no observados) Vector B (k,l) = Vector de los parámetros Vector Bˆ o b (k,l) = Vector de los estmadores de los parámetros Modelo Y (n,) = X (n,k). B (k,) o Y=X.B+ε Funcón objeto Φ (,) = (y-y) T.(y-Y) o Φ (,) = (y-x.b) T.(y-X.B) Para calcular los estmadores de los mínmos cuadrados basta gualar a cero la dervada de Φ respecto al vector B. Recuérdese que dφ/db es un vector con componentes Φ/ B, Φ/ B 2,..., Φ/ B k. El resultado es: dφ/db (k,) = -2.X T.(y-X.B) = 0 o X T y - (X T.X). B = 0 y b = B = (X T.X) -. X T y Los resultados se pueden expresar como: b (k,) = (X T.X) -.X T y Y (n,) = X.b o Y (n,) = X (X T.X) -.X T y resduos (n,) = (y- Y) Comentaros Para el análss estadístco es convenente expresar los estmadores y las sumas de los cuadrados utlzando matrces dempotentes. Al utlzar las matrces dempotentes L, (I - L) y (I - M) con L (n,n) = X (X T. X) -. X T, I = matrz untara y M (n,n) = matrz meda (n,) = /n [] donde [] es una matrz con todos los elementos guales a la undad. Tambén es mportante consderar las dstrbucones de los estmadores en el muestreo y suponer que los valores ε son ndependentes y con dstrbucón normal. 87

6 Es convenente menconar aquí algunas propedades del valor esperado y de la varanza de una relacón lneal de una varable aleatora u. En térmnos matrcales se consdera c un vector constante de dmensón (n.), c 2 una matrz de valores constantes de dmensón (n.n) y el vector aleatoro u de dmensón (n.). Así, resulta: E[c +c 2.u] = c +c 2.E[u] V[c +c 2.u] = c 2.V[u].c 2 T Varable aleatora, ε ε n. (ndependentes) Valor esperado de ε E[ε] = 0. Varanza de ε gual a V[ε] (n.n) = E[ε.ε T ]=I.σ 2 2 Varable dependente y observada y = Y+ε Valor esperado de y E[y] = Y = X.B. Varanza de y gual a V[y] (n.n) = V[ε] (n.n) = I.σ 2 3 Estmador del vector parámetro B Valor esperado de B B = (X T.X) -.X T.y E[ B] = B Varanza de B gual a V[ B] (k.k) = (X T.X) -.σ 2 4 Estmador de Y del modelo Y= X. Valor esperado de Y E[ Y] = Y. B = L.y Varanza de Y V[ Y] = L.σ 2 5 Resduo e e = y- Y = (I-L).y Valor esperado de e E[e] = 0 Varanza de e V[e] = (I-L).σ 2 6 Suma de cuadrados 6. Suma de resduos al cuadrado = SQ resdual (.) = (y- Y) T (y- Y) = y T (I-L)y Esta suma ndca la varacón resdual de los valores observados en relacón a los valores del modelo, esto es, la varacón no explcada por el modelo. 6.2 Suma de los cuadrados del modelo = SQ modelo (.) = ( Y-y) T ( Y-y) = y T (L-M)y Esta suma ndca la varacón de los valores del modelo en relacón a la meda, esto es, la varacón explcada por el modelo. 6.3 Suma total de los cuadrados de los desvíos = SQ total (.) = (y- y) T (y- y) = y T (I-M) y Esta suma ndca la varacón total de los valores observados en relacón a la meda. SQ total = SQ modelo + SQ resdual o 88

7 SQ SQ modelo = + total SQ SQ resdual total o = R 2 + ( - R 2 ) donde: R 2 es el porcentaje de la varacón total que es explcada por el modelo. En forma matrcal será: R 2 = [y T (L - M)y].[ (y T (I - M)y] - -R 2 es el porcentaje de la varacón total que no es explcada por el modelo. Los valores característcos de las matrces (I-L), (I-M) y (L-M) respectvamente guales a (nk), (n-) y (k-), son los grados de lbertad asocados a las respectvas sumas de los cuadrados. 7.3 MODELO NO LINEAL MÉTODO DE GAUSS-NEWTON MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Modelo Consderemos las sguentes varables y parámetros: Varable dependente (o de respuesta) = Y Varable ndependente (o auxlar) Parámetros = X = B, B 2,..., B j,..., B k La varable dependente es no-lneal con las varables ndependentes Objetvo Y = f(x;b) donde B es un vector de componentes B, B 2,..., B j,..., B k Observados n pares de valores (cada par esta consttudo por un valor selecconado de la varable ndependente y el valor observado correspondente de la varable dependente) estmar los parámetros del modelo, o sea: Observados x e y para cada par, sendo =, 2,...,,... n Estmar B, B 2,..., B j,.., B k e (Y, Y 2,..., Y,..., Y n ) para los n pares de valores observados. 89

8 (Valores estmados = B, B 2,..., B j,..., B k o b, b 2,..., b j,..., b k e Y, Y 2,..., Y,..., Y n ) Funcón objeto o funcón crtero n Φ = (y.y = 2 ) Crtero de estmacón Los estmadores serán los valores de B j que hacen mínma la funcón objeto. (Este crtero se denomna método de los mínmos cuadrados). Forma matrcal Es convenente presentar el problema utlzando matrces y aplcando el cálculo matrcal. Así: Vector X (n,) = Vector de los valores observados de la varable ndependente Vector y (n,) = Vector de los valores observados de la varable dependente Vector Y (n,) = Vector de los valores de la varable dependente dados por el modelo Vector B (k,) = Vector de los Parámetros Vector b (k,) = Vector de los estmadores de los parámetros Modelo Y (n,) = f(x; B) Funcón objeto Φ (,) = (y-y) T.(y-Y) En el caso del modelo no lneal el sstema de ecuacones resultantes de gualar a cero la dervada de la funcón Φ respecto al vector B generalmente no es smple de resolver. La estmacón por medo del método de los mínmos cuadrados podrá, no obstante, realzarse recurrendo a algunas modfcacones basadas en el desarrollo de la funcón Y en sere de Taylor, como una aproxmacón al modelo. Revsón a partr del desarrollo de Taylor Se ejemplfca el desarrollo de una funcón en sere de Taylor usando el caso más smple de una funcón de una varable. La aproxmacón de Taylor se traduce en desarrollar una funcón Y = f(x) en torno de un punto selecconado, x 0, en sere de potencas de x: 90

9 Y = f(x) = f(x 0 ) +(x-x 0 ).f (x 0 )/! + (x-x 0 ) 2 f (x 0 )/2! (x- x 0 ) f () ( x 0 )/!+... donde f () (x 0 ) = dervadas de f(x) con respecto a x, en el punto x 0. El desarrollo se aproxma a la potenca deseada. Cuando el desarrollo se aproxma a la potenca se dce que se trata de la aproxmacón lneal de Taylor, o sea, Y f(x 0 ) + (x-x 0 ).f (x 0 ) El desarrollo de Taylor se puede aplcar a funcones de más de una varable. Por ejemplo, para una funcón Y = f(x,x 2 ), el desarrollo lneal sera: Y f (x (0), x 2(0) ) + (x x (0) δf (x ). (0) δx, x 2(0) ) + (x 2 x 2(0) δf (x ). (0) δx, x 2 2(0) ) que, en térmnos matrcales se puede expresar como: Y = Y (0) +A (0).(x-x (0) ) donde Y (0) es el valor de la funcón en el punto x (0) de componentes (x -x (0) ) y (x 2 -x 2(0) ) y A (0) es la matrz de dervadas con componentes guales a la dervada parcal de f(x,x 2 ) respecto a x,x 2 en el punto (x (0), x 2(0) ). En el caso de la estmacón de parámetros el desarrollo de la funcón Y en sere de Taylor se realza con respecto a los parámetros B y no al vector X. Por ejemplo, el desarrollo lneal de Y = f(x,b) respecto a B, B 2,..., B k, sera: Y = f(x;b) = f(x; B (0) ) + (B -B (0) ) f / B (x;b (0) ) (B 2 -B 2(0) ) f / B 2 (x;b (0) ) (B k -B k(0) ) f / B k (x;b (0) ) o puesto en térmnos matrcales sera: donde Y (n,) = Y (0) (n,) + A (0) (n,k). B (0) (k,) A = matrz de orden (n, k) de las dervadas parcales de la matrz f(x; B) respecto al vector B en el punto B (0) y B (0) = vector (B - B (0) ). Entonces la funcón objeto será: Φ = (y-y) T.(y-Y) = (y-y (0) - A (0). B (0) ) T (y-y (0) - A (0). B (0) ) Para obtener el mínmo de esta funcón es más convenente dervar Φ respecto al vector B que respecto al vector B y gualar a cero. Así resulta: 9

10 0 = -2(A (0) ) T (y-y (0) -A (0). B (0) ) = -2A (0) T (y-y (0) )+ 2A (0) T A (0). B (0) o A (0) T A (0). B (0) = A (0) T (y-y (0) ) y por tanto será: B T T ( A.A ).A ( 0). y ( 0) ( ) ( 0) ( 0) ( ) 0 = Y S B (0) fuere «gual a cero» entonces es porque el estmador de B es gual a B (0). (convene dejar claro que en la práctca cuando se dce «gual a cero» en este proceso, quere decr «menor que aprox» donde aprox es el vector de aproxmacón que se quera defnr). Caso contraro el nuevo valor de B será: B () =B (0) + B (0) y el proceso se repte, esto es, se procede a nueva teracón con B (0) substtudo por B () (y A (0) substtudo por A () ). El proceso teratvo contnuará hasta que se verfque la convergenca deseada. Comentaros. El proceso puede no converger sempre. A veces no converge, otras veces es demasado lento ( ncluso para computadoras!) y otras veces converge pero ha otro lmte! 2. El método descrto es el método de Gauss-Newton que es la base de otros muchos métodos. Algunos de estos métodos ntroducen modfcacones para obtener una convergenca mas rápda como es el caso del método de Marquardt (963), bastante usado en nvestgacón pesquera. Otros métodos usan el desarrollo de Taylor de segundo orden (método de Newton-Raphson), procurando así una mejor aproxmacón. Otros, combnan las dos modfcacones. 3. Estos métodos necestan que se calculen dervadas de las funcones. Algunos programas de computador requeren la ntroduccón de las expresones matemátcas de las dervadas, otros utlzan subrutnas con aproxmacones numércas de las dervadas. 4. Convene tambén destacar que, en el caso que se pretenda usar métodos teratvos en modelos no-lneales, exsten métodos en la nvestgacón pesquera, estudados en este curso, para calcular valores ncales de varos parámetros, como por ejemplo, crecmento, mortaldades, curvas de selectvdad y de madurez, 5. De cualquer modo es mportante destacar un aspecto común a los métodos teratvos: el valor ncal del vector B (0) usado en el proceso debe ser selecconado lo mas próxmo posble del verdadero valor. De este modo, no solo la convergenca es más rápda sno que tambén es mas seguro que termnará en el lmte deseado. 92

11 7.4 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE CRECIMIENTO El método de los mínmos cuadrados (regresón no-lneal) permte estmar los parámetros K, L y t o de las ecuacones de crecmento ndvdual. Los valores ncales de K, L y t 0 pueden ser obtendos por medo de la regresón lneal smple usando los métodos sguentes. Métodos de Ford-Walford ( ) y de Gulland y Holt (959) Las expresones de Ford-Walford y de Gulland y Holt, que fueron presentados en la Seccón 3.4, ya se expresan en su forma lneal, permtendo así estmar los valores ncales de K y L con métodos de regresón lneal smple. La expresón de Gulland y Holt permte estmar K y L ncluso cuando los ntervalos de tempo T no son constantes. En este caso es convenente rescrbr la expresón como: L/T = K.L - K. L Método de Stamatopoulos y Caddy (989) Estos autores presentan tambén un método para estmar K, L y t o (o L o ) usando la regresón lneal smple. Para ello la ecuacón de von Bertalanffy es expresada como una relacón lneal de L t contra e -Kt. Se consderan n pares de valores t, L donde t es la edad y L la talla del ndvduo para =,2,..., n. La ecuacón de von Bertalanffy, en su forma general, como se vo, es: L - L t = (L - L a ). e -K(t-ta) Pudendo ser escrta en la forma: L t = L - (L - L a ). e +Kta. e -Kt Como se puede ver la ecuacón anteror es de la forma lneal smple, y = a + bx, donde: y = L t a = L b = - (L - L a ). e +Kta x = e -Kt S se adopta L a = 0, t a =t o, y en contrapartda s se adopta t a = 0, L a = L o. De cualquer modo los parámetros a estmar a partr de a y b serán L, t o o L o. Así los autores proponen adoptar un valor de K, esto es, K (0), y por regresón lneal smple entre y (= L t ) y x(=e -Kt ) estmar a (0), b (0) y r 2 (0). El procedmento puede repetrse para varos valores de K, esto es, K () K (2),... Entonces se puede adoptar la regresón para la que resulte el 93

12 mayor valor de r 2, a la cual corresponderá K max y a max y b max. Estos valores de a max, b max y K max permtrán obtener los valores de los restantes parámetros. Un proceso práctco para encontrar K max podrá ser: () Selecconar dos valores extremos de K que ncluyan el valor pretenddo, por ejemplo K= 0 y K=2 (por dfcultades práctcas convene usar K = 0,0000 en vez de K = 0). () Calcular las 0 regresones para valores de K comprenddos entre tales extremos en ntervalos guales () Los correspondentes 0 valores de r 2 obtendos permtrán selecconar dos nuevos valores de K que determnan un ntervalo menor del de () contenendo el valor de r 2 máxmo obtendo (v) Los pasos () y () se pueden repetr hasta obtener un ntervalo de valores de K con la aproxmacón deseada. En general este paso no necesta de muchas repetcones. 7.5 ESTIMACIÓN DE M COEFICIENTE DE MORTALIDAD NATURAL Exsten varos métodos propuestos para estmar M, basados en la asocacón de M con otros parámetros bológcos del recurso. Estos métodos producen resultados aproxmados, cuyas aproxmacones dependen de las especes y de los stocks RELACIÓN DE M CON LA LONGEVIDAD, t λ Longevdad: Edad máxma meda de los ndvduos de la poblacón en un stock no explotado. Duracón de la vda explotable: t t = λ (Fgura 7.) λ r N r = R t r Fgura 7. t λ Duracón de la vda explotable Tanaka (960) propone Curvas de Supervvenca «NATURAL» (Fgura 7.2) para obtener valores de M a partr de la longevdad. En la práctca se puede consderar que una cohorte se extngue cuando solo sobrevve una M λ fraccón, p, de los ndvduos reclutados. En tal caso, partendo de N λ = R e, se puede escrbr: 94

13 N p = R λ = e M. λ y por tanto M = -(/λ).ln p Dferentes valores de la fraccón p de supervvenca producen dferentes curvas de supervvenca de M en funcón de λ Curvas de supervvenca de Tanaka p=% M p=5% Fgura λ (años) Curvas de supervvenca de Tanaka La seleccón del valor de p es arbtrara, pero se puede tomar p = 5 por cento (.e. uno de cada vente reclutas sobrevve hasta la edad t λ ) RELACIÓN ENTRE M Y EL CRECIMIENTO Método de Beverton y Holt (959) Gulland (969) mencona que Beverton y Holt verfcaron que la especes con mayor tasa de mortaldad M presentaban mayores valores de K. Establecendo una relacón smple entre estos dos parámetros, concluían que se podía afrmar que aproxmadamente: Método de Pauly (980) M 2 para pequeños pelágcos K M 2 3 para peces demersales K Basándose en las sguentes consderacones:. Recursos con una tasa de mortaldad elevada no pueden tener una talla máxma muy grande; 2. En aguas mas caldas, el metabolsmo es mas acelerado, de modo que es posble crecer hasta un tamaño mayor y alcanzar el tamaño máxmo mas rápdamente de lo que se alcanzaría en aguas mas frías. Pauly recoplo, en la lteratura, datos sobre estos parámetros, para 75 especes y ajusto regresones múltples de valores transformados de M contra los correspondentes valores 95

14 transformados de K, L y de la temperatura, con el fn de encontrar una relacón lneal y selecconó la que consderó con el mejor ajuste, o sea, la sguente relacón empírca: ln M = 0,052 0,0279ln L + 0,6543ln K + 0,463ln T con los parámetros expresados en las sguentes undades: M = año - L = cm de talla total K = año - o T = temperatura de las aguas en superfíce en o C Pauly llama la atencón en cuanto a la prudenca necesara al aplcar esta expresón a pequeños pelágcos y crustáceos. El prmer coefcente (-0,052) de la expresón anteror, escrta con logartmos neperanos, toma un valor dferente al escrbrla usando logartmos decmales RELACIÓN ENTRE M Y LA REPRODUCCIÓN Método de Rkhter y Efanov (976) Estos autores analzaron la dependenca entre M y la edad de ª madurez a partr de datos representatvos de especes de vda corta, meda y larga, encontrando una dependenca de M con la edad de ª madurez que transformaron en la sguente relacón empírca: (Undades),52 M = 0, 720 ( t mat50% ) 0,55 t mat50% M año año Método de Gundersson (980) Basado en la suposcón de que la tasa de mortaldad natural debe estar relaconada con la nversón que hacen los peces en la reproduccón, ndependentemente de la nfluenca de otros factores, Gundersson establecó varas relacones entre M y tales factores. Propuso, la sguente relacón empírca, usando el Índce Gonadosomátco (IGS) (estmado para hembras maduras en la época de puesta) para obtener una estmacón de M: M = 4,64 IGS 0,37 96

15 7.5.4 DADA LA ESTRUTURA POR EDADES DEL STOCK, AL INICIO Y AL FINAL DEL AÑO, Y LAS CAPTURAS EN NÚMERO POR EDADES DURANTE ESE AÑO Podemos calcular los coefcentes de mortaldad natural M para cada edad y durante el año, con el procedmento sguente: C calcular E = N N + calcular Z = ln N ln N+ calcular M = Z ( E ) Loa valores de M obtendos a cada edad podrán ser comparados y posblemente combnados para calcular un valor constante, M, para todas las edades. Método de Palohemo (96) Cuando se conocen f y Z para varos años, y suponendo que F es proporconal a f, F q f T = para T = año, F = q f, entonces: Z = q f + Así, la regresón lneal entre a = M. M Z y f tene una pendente b = q y ordenada en el orgen 7.6 ESTIMACIÓN DE Z COEFICIENTE DE MORTALIDAD TOTAL Exsten varos métodos para estmar el coefcente de mortaldad total, Z, supuesto constante durante un certo ntervalo de edades o de años. Es convenente agrupar los métodos, de acuerdo con los datos de base, atendendo a los que utlzan edades y los que utlzan tallas MÉTODOS CON DATOS POR EDADES Los dferentes métodos toman como punto de partda la expresón general del número de supervventes de una cohorte, en el nstante t, sometda a mortaldad total, Z, durante un ntervalo de tempo, es decr: N t = N. e a Z ( t ) t a para el ntervalo de tempo (t a,t b ) donde Z se supone constante. Aplcando logartmos a esta expresón y reorganzando los térmnos, resulta: lnn t = Cte - Z.t 97

16 donde Cte es constante ( = ln N a +Zt a ). Esta expresón muestra que el logartmo del número de supervventes es lneal con la edad, sendo la pendente gual a -Z. La Cte no tene especal nterés para la determnacón de Z. En toda expresón las constantes que no nteresen para la determnacón de Z aparecerán como Cte.. S, dentro del ntervalo (t a,t b ), Z puede ser consderado constante y se dspone de datos de abundanca, N, o índces de abundanca en número, U, para varas edades,, entonces la aplcacón de la técnca de la regresón lneal smple permte estmar el coefcente de mortaldad total Z. En efecto y, como N N ZT e = N. por tanto N = N. Constante ZT = N. e a ( ) Z t t a entonces substtuyendo resulta: N ZT = Cte. e (T = const = año) y, por tanto, tambén será ln N = Cte ZT y la regresón lneal smple entre ln N y T permte estmar Z (la constante, Cte, es dferente de la anteror aunque en realdad para estmar Z solo nteresa la pendente). 2. En caso que las edades no sean a ntervalos constantes, la expresón podrá plantearse usando los valores de t central, de forma aproxmada. Para T varable será: N N. e -ZT/2 y, como N = N a. e -Z.(t-ta) será N Cte. e -Z.t central y, fnalmente: ln N Cte - Z.t central 3. En el caso de los índces U la stuacón es semejante ya que U = q. N, con q constante, y, por tanto, tambén será: 98

17 ln U = Cte ZT y la regresón lneal smple entre ln U y T permte estmar Z. 4. En el caso que las edades no sean a ntervalos constantes la expresón deberá ser modfcada del sguente modo: ln U Cte - Z. t central Con datos de capturas, C, y de edades, t, sgue sendo posble aplcar la regresón lneal smple para obtener Z, aunque en este caso, será necesaro suponer que F es constante. Reacuérdese que C = F N T y así, lnc = Cte + ln N cuando T es constante. Por tanto: lnc = Cte - Z. T 5. En el caso que las edades no estén separadas en ntervalos constantes la expresón deberá ser modfcada del sguente modo: lnc /T Cte - Z. t central 6. S V es la captura acumulada desde t hasta el fnal del cclo vtal, (forma convenente para los cálculos de varas capturas acumuladas) es decr: V = C k = F k N kcum, donde el sumatoro abarca desde la últma edad hasta la edad. Como F k y Z k se suponen constantes ΣN kcum = N /Z y por tanto será: Por tanto: V = FN /Z y lnv = C te + lnn ln V = Cte - Z. T 7. Fnalmente se debe menconar que Beverton y Holt (956) tambén demostraron que: Z = t t a y, por tanto, es posble estmar Z a partr de la edad meda t (esta expresón se ha dervado consderando t b = en el ntervalo (t a, t b ). 99

18 7.6.2 MÉTODOS CON DATOS POR TALLAS Cuando en vez de datos por edades se dspone de datos por clases de tallas, s ben los métodos referdos anterormente pueden ser aplcados, convene acudr al concepto de edad relatva. Usando la ecuacón de von Bertalanffy se puede obtener la edad t en funcón de la talla, del sguente modo: (la expresón debe ser escrta en la forma general en relacón a t a y no a t 0 ) o t = t = t a t a K K L.ln L L L L t L a.ln L L a t a (Esta ecuacón es ctada por algunos autores como ecuacón nversa de von Bertalanffy). A la dferenca t-ta, se le da el nombre de edad relatva, t *. Así: t * =-(/K).ln[(L - L t )/( L - L a )] =-(/K)ln[-(L t -L a )/ ( L - L a )] para t a = t 0 sera L a = 0 y: *.ln( Lt t = ) K L En efecto, esta edad es relatva, ya que dfere de la edad absoluta en una cantdad constante, t a. Así, por ejemplo, la duracón del ntervalo T tanto puede ser calculada por la dferenca de las edades absolutas de los extremos del ntervalo, como por la dferenca de las edades relatvas: T = t + -t = t * + - t * y este ntervalo corresponde al tempo que el ndvduo tarda en crecer entre L y L +, es decr, T es el tamaño del ntervalo. O tambén: t* central = t central + Cte t * = t + Cte Así las expresones anterores se mantenen cuando se substtuyen las edades absolutas por edades relatvas: ln N = Cte - Z. t * central ln U = Cte - Z. t * central ln V = Cte - Z. t * 00

19 Fnalmente, tambén sera: ln C /T = Cte - Z. t * central Z = Además, Beverton e Holt (957) probaron que: * t L L Z = K L L a Reacuérdese que L debe calcularse como la meda de los valores de L ponderados con las abundancas (o sus índces) o con las capturas. Comentaros. La aplcacón de cualquera de estos métodos debe venr precedda de la representacón gráfca de los dados correspondentes, a fn de verfcar s son aceptables o no, las suposcones de los métodos y, tambén, para determnar el ntervalo adecuado, (t a, t b ). 2. Las demostracones de estas fórmulas son nmedatas (con las ndcacones presentadas), s ben es convenente desarrollar las demostracones porque ello permte explctar las suposcones que hacen que los métodos sean aplcables. 3. La estmacón de Z constante debe ntentarse sempre. Incluso cuando no fuere aceptable porque srve de orentacón general sobre la magntud de los valores que se pueden esperar. 4. Los métodos son ctados en la lteratura a veces con los nombres de los autores que los aplcaron por prmera vez. Por ejemplo, la expresón ln V = Cte - Z.t * es conocda como método de Jones y van Zalnge (98). 5. La edad meda y la talla meda en la captura se pueden obtener medante las sguentes expresones: (t t = C.C ) central con C = captura en número de la edad (Lcentral.C ) L = C con C = captura en número de la clase de talla (t * central.c ) t* = C con C = captura en número de la clase de edad La edad relatva debe ser t * = - (/K).ln[(L - L t )/( L - L a )] 0

20 FORMULARIO Estmacón del Coefcente de Mortaldad Total, Z Suposcón: Z constante en el ntervalo de edades, (t a, t b ) T Constante ln N = Cte Z t ln U ln C T varable = Cte Z t = Cte Z t ln V = Cte Z ln N ln U C ln T t = Cte Z t central = Cte Z t central = Cte Z t ln V = Cte Z central t Z = t t a V t = C k k= ult central = t ( = ) b T + 2 t (ecuacón de Z de Beverton y Holt) Suposcón: Z constante en un ntervalo de tallas, (L a, L b ) Edad relatva ln N ln N t * = = Cte Z. * t ln U C ln T K = Cte Z t = Cte Z t = Cte Z t L ln L * central * central * central * t t L a L t a t = + t 2 * * * + central T = t + t (ecuacón de Gulland y Holt) ln V = Cte Z (ecuacón de Jones y van Zalnge) Z L L K L = L a * * ( = ) * t (ecuacón de Z de Beverton y Holt) b 02

21 7.7 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA RELACIÓN STOCK-RECLUTAMIENTO (S-R) El método de los mínmos cuadrados (modelo no-lneal) puede ser usado para estmar los parámetros, α y k, de cualquera de los modelos S-R. Los valores ncales del modelo de Beverton y Holt (957) se pueden obtener rescrbendo la ecuacón de la sguente forma: (R/S) - o S R = + α αk. S y estmando la regresón lneal smple entre y (= S/R) y x (=S) que dará las estmacones de /α y de /(αk). A partr de estos valores se pueden ya estmar los parámetros (α y k) del modelo de Beverton y Holt, que podrán ser consderados como valores ncales en la aplcacón del modelo no-lneal de Beverton y Holt. En el caso del modelo de Rcker (954) los parámetros pueden ser obtendos rescrbendo la ecuacón de la sguente forma: R ln S = ln α.s k y estmando la regresón lneal smple entre y (= ln R/S) y x (=S) que dará las estmacones de lnα y de (-/k). A partr de estos valores se pueden estmar tambén los parámetros (α y k) del modelo, que podrán ser consderados como valores ncales en la aplcacón del modelo nolneal de Rcker. Antes de aplcar la regresón lneal en cualquera de estos modelos, es convenente representar el gráfco de y contra x con el fn de verfcar s los puntos marcados se ajustan a una recta. En los modelos con el parámetro flexble, c, como por ejemplo en el modelo de Derso (980), la ecuacón podrá escrbrse como: c R S = α c c. α c S. k La regresón lnear entre y (= (R/S) c ) y x (=S) permte estmar los parámetros α y k. Se puede probar con varos valores de c con el fn de verfcar con cual de ellos la recta de y contra x se ajustará mejor, sugréndose por ejemplo valores de c entre - y. A partr de los valores así obtendos para α, k y c, los cuales podrán ser consderados como valores ncales en la aplcacón del modelo no-lneal de Derso, se pueden estmar los parámetros α, k y c del modelo. 03

22 7.8 ESTIMACIÓN DE LA MATRIZ [F] Y DE LA MATRIZ [N] ANÁLISIS DE COHORTES AC y LCA 7.8. ANÁLISIS DE COHORTES CON EDADES (AC) El análss de cohortes es un método que consste en estmar los coefcentes de mortaldad por pesca, F, y el número de supervventes, N, al nco de cada edad, a partr de las estructuras de las capturas, en número de efectvos, de un stock durante un período de años. Más concretamente, s tomamos un stock del que se conocen: Datos edad,, sendo =,2,...,k año, j, sendo j =,2,...,n Matrz de capturas [C] sendo C,j = Captura anual, en número, de los ndvduos de edad, durante el año j Matrz de mortaldad natural [M] sendo M,j = coefcente de mortaldad natural, a la edad en el año j. Vector [T] sendo T = Tamaño del ntervalo de edad (en general, T =T= año) Objetvo estmar y matrz [F] matrz [N]. Es convenente, para la resolucón de este problema consderar por separado las estmacones correspondentes a: Parte, un ntervalo de edad ; Parte 2, todas las edades durante la vda de una cohorte y; Parte 3, para todas las edades y años. PARTE (INTERVALO T ) Consdérense conocdas las sguentes característcas de una cohorte, en un ntervalo T : C = Captura en número M = Coefcente de mortaldad natural T = Tamaño del ntervalo S se adopta un valor para el coefcente F entonces es posble estmar el número de supervventes al nco, N, y al fnal, N +, del ntervalo. De la expresón: 04

23 C = F.N.( e F + M (F M ). T + ) se puede calcular N, que es la únca varable de la expresón que es desconocda. Para calcular N + se puede utlzar la expresón N usando el valor N, F y M calculado anterormente. PARTE 2 (DURANTE LA VIDA) + = N. e ( F + M ). T Supongamos ahora que son conocdas las capturas C de cada edad, de una cohorte durante su vda, los valores de M y las tallas de los ntervalos T. Asumdo un valor dado, F ult, para la últma clase de edad, es posble, como ya se explcó en la parte, estmar todos los parámetros (relaconados con numero de efectvos) para esa últma edad. De este modo se conocen el número de supervventes al nco y al fnal de la últma edad. Reacuérdese que el número al nco de esa últma clase de edad, calculado como en el parágrafo anteror, es tambén el número al fnal de la clase anteror. De forma que, N fnal es el número de supervventes al fnal de la penúltma clase. Usando la conocda expresón: C F = F + M.N fnal.(e + (F M ). T + ) se puede estmar F de la clase anteror, que es la únca varable desconocda en la expresón. La estmacón puede requerr métodos teratvos de solucón aproxmada. Fnalmente para estmar N el número de supervventes al nco de la clase, se puede usar la expresón, N = N fnal. e ( F + M ). T Reptendo este proceso para todas las clases anterores, se obtenen sucesvamente, los parámetros para todas las edades, hasta la prmera edad. Reacuérdese que N es tambén el número de supervventes de la clase (-) anteror. Cuando la cohorte es completamente pescada, el número al fnal de la últma clase es cero y la captura C debe ser calculada medante: C ult =F ult /(F ult +M ).N ult 05

24 Método de Pope Pope (972) presentó un método smple que permte estmar el número de supervventes al nco de cada edad de la vda de la cohorte a partr de la últma edad. Es sufcente aplcar sucesvamente y de atrás haca delante la expresón: N (N + e MT/2 + C ).e MT/2 Pope ndca que la aproxmacón es buena cuando MT 0,6 La expresón puede dervarse, según Pope, suponendo que la captura se efectúa exactamente en el punto central del ntervalo T (Fgura 7.3). N t N N C N N t t central t + Fgura 7.3 Evolucón del número de supervventes durante T con la captura realzada en el punto central del ntervalo Procedendo del fn al prncpo sucesvamente obtendremos: N =N +.e +MT/2 N =N + C N =N.e +MT/2 substtuyendo N por N +C, resulta: N = (N + C ). e +MT/2 y, substtuyendo N por N +.e +MT/2, tenemos: N (N +.e +MT/2 + C ).e +MT/2 06

25 Parte 3 (período de años) Supongamos, fnalmente, que son conocdas, durante un período de años, la matrz de captura [C], la matrz de mortaldad natural [M] y el vector tamaño de los ntervalos [T], en que las flas,, son edades y las columnas, j, son años. Admtamos tambén la adopcón de valores de F para últmas edades de todos los años representados en las matrces y los valores de F de todas las edades en el últmo año. Llamando a estos valores F termnas (Fgura 7.4) Años Edades C C C C F termnal 2 C C C C F termnal 3 C C C C F termnal F termnal F termnal F termnal F termnal Fgura 7.4 Matrz captura, [C], con F termnal en la últma fla y en la últma columna de la matrz C. El sombreado ndca las capturas de una cohorte Cabe señalar que en estas matrces los elementos en dagonal corresponden a los valores de una msma cohorte, dado que a un elemento de una edad y de un año le sgue, en dagonal, el elemento con año mas de edad y del año sguente, y, por tanto, el elemento sguente de la cohorte. Por lo dcho en las partes y 2 es posble estmar Fs y Ns sucesvamente para todas las cohortes presentes en la matrz de captura. Comentaros. Muchas veces, en la práctca, se adoptan valores M,j constantes y guales a M. 2. Cuando los datos se referen a edades, los valores T acostumbran a ser todos guales a año. 3. Los últmos grupos de cada año son a veces edades (+). Las capturas correspondentes están consttudas por ndvduos pescados durante esos años, con aquella edad o superor. Así, los valores acumulados no pertenecen a la msma cohorte, pero son supervventes de varas cohortes anterores. No sera legítmo usar la captura de un grupo (+) para analzar la cohorte en cuestón, porque dferentes cohortes resultan de reclutamentos de fuerzas dversas. A pesar de ello, el grupo (+) es mportante para el cálculo de los totales anuales de captura en peso, Y, y de bomasas, totales, B, y reproductora, BD. Así, se acostumbra a realzar el análss de cohortes a partr de la edad nmedatamente anteror al grupo (+) y a utlzar el grupo (+) solo para los cálculos de Y, B y BD. El valor de F en ese grupo (+) para cada año se puede estmar consderándolo el msmo coefcente de mortaldad por pesca de la edad anteror o, en algunos casos, un valor razonable en relacón a los valores de F en el año en cuestón. 4. Una dfcultad en la aplcacón de la técnca AC surge cuando el número de edades es pequeño o cuando los años son pocos. En efecto en tales casos las cohortes tenen pocas clases de edad representadas en la Matrz [C] y las estmacones serán muy dependentes de los valores adoptados de F termnal. 07

26 5. El análss de cohortes (AC) tambén es llamado: VPA (Vrtual Populaton Analyss), método de Derzhavn, método de Murphy, método de Gulland, método de Pope, Análss Sequencal, etc. A veces es llamado AC cuando se usa la fórmula de Pope y VPA en otros casos. Megrey (989) llevo a cabo una revsón muy completa sobre el análss de cohortes. 6. Tambén es posble estmar los restantes parámetros para una edad, relaconados con número de efectvos, o sea, N cum, N, D, Z y E. Con nformacón sobre pesos ndvduales ncales o medos, matrz [w] o matrz [ w], tambén se pueden calcular las capturas anuales en peso [Y], las bomasas al nco de los años, [B] y las bomasas medas durante los años [ B]. Con nformacón sobre ojvas de madurez en cada año, por ejemplo, al nco del año, se pueden tambén calcular las bomasas reproductoras, [BD]. Normalmente solo se estman las capturas totales Y, las bomasas del stock (totales y reproductoras) al nco y las bomasas medas del stock (totales y reproductores) para cada año. 7. Los elementos de la prmera fla de la matrz [N] pueden consderarse estmacones de reclutamento a la pesca para cada año. 8. El hecho de haber adoptado F termnales y que estos valores nfluencen los resultados matrz [F] y matrz [N] oblga a selecconar valores de F termnales próxmos a los verdaderos. La coherenca entre las estmacones de los parámetros menconados en los puntos 6 y 7 y otros datos o índces ndependentes (por ejemplo, estmacones por métodos acústcos de reclutamento o bomasas, estmacones de índces de abundanca o cpue s, de esfuerzos de pesca, etc.) debe ser analzada. Estas verfcacones son oblgatoras para valdar el análss de cohortes (a veces se usan ncorrectamente los conceptos calbracón o sntonzacón, expresones que pretenden traducr el termno nglés «tunng», en vez de valdacón). 9. La hpótess que establece que el patrón de explotacón es constante de año en año, sgnfca que el nível de pesca de cada año y el patrón relatvo de explotacón de cada edad pueden separarse en el producto F j.s, o sea, F,j = F j.s, sendo = edad y j = año. Esta hpótess puede ser verfcada utlzando la matrz [ F ] obtenda en el analss de cohortes. Se acostumbra a llamar a esta separacón VPA-Separable (SPVA). S F = F,j tot j y y F = s j,j tot F = F,j,j tot De este modo, s F j = F j s se puede probar que F.s j = (F tot j.s tot ) / F tot S los valores estmados para F,j son guales a los valores anterores, llamados Fsep j = F j.s, entonces la hpótess esta verfcada. Esta comparacón puede ser realzada de varas maneras, s ben la mas smple y mas rápda, probablemente sea calcular los cocentes (Fsep j /F j ) que, en el caso de que la hpótess sea verdadera deberán ser guales a. S la 08

27 hpótess no es verfcada sempre será posble consderar otras hpótess, como que el vector anual [s] sea constante algunos años, sobre todo en los años recentes. 0. En cualquer caso, se acostumbra a consderar un ntervalo de edades, en el que se supone que los ndvduos capturados están «completamente reclutados». S el ntervalo de edades corresponde a ndvduos completamente reclutados sera de esperar que el patrón relatvo de exploracón calculado se aproxmase de (para las restantes edades no completamente reclutadas el patrón relatvo de exploracón debería ser menor que ). Entonces se calcula, para el ntervalo de edad,, la meda de los valores de F,j en cada año. Esas medas, F j, son consderadas como los nveles de pesca en los años respectvos. Entonces, el patrón relatvo de exploracón en cada celda, sera el cocente F,j / F j ANÁLISIS DE COHORTES CON TALLAS (LCA) La técnca del análss de cohortes, aplcada a la estructura de las capturas de una cohorte durante su vda puede ser efectuada con ntervalos de tempo, T, no constantes. Esto sgnfca que s se dspone de la estructura de las capturas de una cohorte durante su vda, por clases de talla, tambén se puede «analzar la cohorte». Los métodos utlzados para el análss de cohortes en estas crcunstancas se denomnan LCA («Length Cohort Análss» en nglés). Las msmas técncas, método de Pope, método teratvo, etc., del AC por edades, pueden ser aplcadas en el análss LCA (reacuérdese que los ntervalos T s pueden ser calculados a partr de edades relatvas). Un modo de aplcar el LCA a la composcón de las capturas, por talla, será: agrupar, prevamente, las capturas cuyas clases de talla pertenezcan a un msmo ntervalo de edad, obtenendo así la composcón de las capturas por edades. La técnca AC puede entonces ser aplcada drectamente a la matrz [C]. Esta técnca es conocda por «cortar en capas», (slcng en nglés) la composcón por tallas. Para «cortar en capas» una dstrbucón por tallas se acostumbra a nvertr la ecuacón de crecmento en talla de von Bertalanffy y estmar la edad t para cada talla L (a veces se usan edades relatvas t * ) (Fgura 7.5). Entonces, la captura de un determnado grupo de edad se obtene agrupando las capturas observadas en las clases de talla comprenddas entre las dos edades extremas del respectvo ntervalo de edades. Puede suceder que haya clases de talla que estén consttudas por elementos que pertenezcan a dos grupos de edad consecutvos. En estos casos será necesaro repartr la captura de esas clases extremas en dos partes y atrburlas a cada una de esas edades. En el ejemplo de la Fgura 7.5, las capturas de la clase de tallas (24 26) pertenecen a la edad 0 y a la edad. De modo que, es necesaro repartr esa captura entre las dos edades. Un método smple consste en atrbur a la edad 0 la fraccón (,00 0,98)/(,06 0,98) = 0,25 y a la edad la fraccón (,06,00)/(,06 0,98) = 0,75 de la captura anual de esa clase de tallas. El método no es el más apropado, puesto que se basa en la suposcón de que en las clases de talla la dstrbucón de los ejemplares por talla es unforme. Por eso, cuando se aplca esta técnca de repartcón, es convenente usar el menor ntervalo de clase posble. Otro modo de realzar el análss de cohortes con tallas, consste en no agrupar las capturas por clases de talla comprenddas en el msmo grupo de edad, sno usarlas separadamente. Las cohortes pueden ser segudas en la matrz [C], a través de las clases de tallas pertenecentes a una msma edad, en un determnado año, con las clases de talla de la edad sguente, en el año sguente, etc. De este modo las dferentes cohortes exstentes en la matrz serán separadas y 09

28 la evolucón de cada una de ellas será vsble, no por edades, pero s por clases de talla (ver Fgura 7.5). Grupo Edad Edad relatva Años Clases , , , , , , , , , , , , , , Cohorte del año 2000 Fgura 7.5 Ejemplo de una matrz [C] con clases de talla, «cortadas en capas» (slcng), destacando en negrta la evolucón de una cohorte Se puede aplcar el método LCA de Jones (96), para analzar una composcón de tallas durante la vda de una cohorte. Este método analza una cohorte durante la vda, consttuda por las capturas en clases de talla aplcando los métodos ya estudados de AC con T noconstantes. Los valores de T son calculados como T = t + *-t *, donde t * y t + * son las edades relatvas correspondentes a los extremos del ntervalo de talla. El vector [N] obtendo estará consttudo por el número de supervventes ncales en cada clase de talla de la cohorte y no en cada clase de edad. 0

29 Comentaros. Certos modelos, denomnados modelos ntegrados, consderan toda la nformacón dsponble (capturas, datos de campañas centífcas, datos de esfuerzo, de rendmento, etc.) que, juntamente con la matrz [C], son ntegrados en un únco modelo para optmzar la funcón crtero defnda prevamente. 2. Fry (949) consderó las capturas por edades acumuladas, del fnal al prncpo de una cohorte durante la vda, como magen vrtual del número de supervventes al nco de cada edad (a lo que el autor llamo «poblacón vrtual»); l k= ult Ck = V = N vrtual En la pesquería estudada por Fry, M era práctcamente nula. Pero s M es dferente de cero se puede decr que el número N de supervventes al nco del ntervalo será: N = D k k = ult donde D k representa el número total de muertos en el ntervalo k. Adoptando para las tasas de explotacón, E, los valores ncales, E k(0), en todas las clases, se calcula D k(0) = C k /E k(0). N (0) puede ser calculado como los valores acumulados de muertos totales, es decr: N (0) = k= ult D k(0) Entonces resulta: Z ().T = ln(n+ (0) / N(0) ) y se puede calcular: F.T = E () (0).Z (). T Los nuevos valores de E serán: E = F.T /(F.T () () () + M.T ) Comparando E () con E (0) se pueden estmar, de un modo semejante al descrto para los métodos teratvos, los valores de E con la aproxmacón deseada.

30 Reacuérdese que, en la últma clase el número, N ult, es gual al número de muertos, D ult, y puede ser calculado como: N = D = C ULT ULT ULT / E ULT 3. Fnalmente se llama la atencón de que los resultados del AC y del LCA nos dan una perspectva de la hstora del stock en los años anterores. Esa nformacón es, como se vo anterormente, útl para la realzacón de las proyeccones a Corto y Largo Plazo. Normalmente en el año en que se realza la evaluacón todavía no están dsponbles los datos de capturas de ese año, por lo que han de proyectarse las capturas y bomasas para el año actual antes de efectuar la proyeccón a Corto Plazo. 4. Cuando se calculan edades relatvas, se acostumbra, por una cuestón de unformdad, a adoptar la edad ncal t a gual a cero. El valor de L a correspondente será entonces el límte nferor de la prmera clase de tallas representada en las capturas. 2