CAPITULO 3.- ANÁLISIS CONJUNTO DE DOS VARIABLES. 3.1 Presentación de los datos. Tablas de doble entrada.

Transcripción

1 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández CAPITULO - AÁLII COJUTO DE DO VARIABLE Presentacón de los datos Tablas de doble entrada En el capítulo anteror nos hemos nteresado por el análss descrpcón de una sola varable Para ello hemos defndo un proceso de reduccón de la nformacón ncalmente dsponble Esta reduccón ha dado como resultado la construccón de una tabla estadístca donde se daba la dstrbucón de frecuencas de la varable Posterormente se ha analzado la forma, se han defndo meddas de tendenca central, meddas de dspersón, de smetría curtoss Tambén se ha estudado el problema de la concentracón Pero este análss es de tpo undmensonal, pues de todos los caracteres de los elementos de una poblacón solo nos ha preocupado observar un de ellos que, por lo regular, sempre ha sdo de tpo cuanttatvo Pero que duda cabe que los elementos de una poblacón cualquera gozan de más de un carácter susceptble de ser observado En este sentdo, magnemos que los elementos observados son las empresas En ellas se pude observar de forma conjunta los benefcos los costes de las msmas o cualquer otro par de caracteres Así podríamos pensar en los gastos en publcdad sus benefcos, o los costes el número de empleados El número de ejemplos que podríamos dar es tan amplo que no merece la pena segur menconándolos El objetvo de este captulo será smlar al del anteror, pero ahora buscando el análss conjunto de dos varables o análss bdmensonal Para ello se procederá a la observacón de dos característcas de todos los elementos de una poblacón Incalmente supondremos que esas característcas son de naturaleza cuanttatva El resultado de esa observacón conjunta será la defncón de dos varables a las que llamaremos X e Y, las cuales pueden ser dscretas o contnuas, nuestra prmera preocupacón será la de presentar de forma conjunta las frecuencas de los pares de valores de esas varables (, j ) El nstrumento que se utlza para alcanzar ese objetvo es lo que se conoce como tabla de doble entrada, tabla de correlacones o tabla de contngenca Esta últma denomnacón se reserva especalmente para los casos de caracteres cualtatvos De todas las denomnacones que hemos señalado, usaremos la de tabla de doble entrada, pues la denomnacón de tabla de correlacones tene un sgnfcado que va más allá de la mera representacón numérca de las la dstrbucón conjunta de frecuencas

2 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández Una tabla de doble entrada no es más que la representacón de (, j, n j ) en la forma que se muestra en la Tabla Tabla Dstrbucón conjunta de dos varables Y j k n n n n j n k n X n n n j n k n n n n j n k n h n h n h n h n hk n h n j n n n j n k La lectura del contendo de esta tabla sería el sguente El valor nj nos da la frecuenca conjunta con la que se presentan el valor de X el valor j de Y A su vez n da la frecuenca conjunta de de De forma smlar habría que leer e nterpretar el resto de las frecuencas conjuntas que son las que están dentro del cuerpo central de la tabla, es decr, las que llevan un doble subíndce alfanumérco Mencón aparte merecen la últma fla la últma columna A esa fla a esa columna se les conoce como dstrbucones margnales de Y de X, respectvamente e trata de la dstrbucón de frecuencas de cada una de las varables tomadas por separado Así pues la dstrbucón margnal de X vendría dada por los pares (, n), mentras que la margnal de Y vendría dada por los pares ( j, n j ), es decr:

3 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández Tabla Dstrbucones margnales de X de Y X n Y n j n n n n n j n j h nh k nk donde n n + n + + n j + + n k Σ j n j j,,, k () n j n j + n j + + n j + + n hj Σ n j,,, h () Fnalmente se cumple que Σ n Σ j n j Σ Σ j n j () Además de las margnales, para una tabla de doble entrada, se pueden defnr tambén las dstrbucones condconadas, que tambén son de tpo undmensonal Estas ha que darlas en térmnos de una condcón preva En este sentdo se tendría la dstrbucón de los valores de la varable X condconada a que la varable Y tome un valor concreto De gual forma se podría hacer para la varable Y con respecto a los posbles valores de X se defne la condconada de X, entonces los valores que puede tomar esta varable son los msmos que los de su margnal Lo únco que varía son sus frecuencas, que se representarán por n /j A su vez, s de lo que se trata es de la condconada de Y, los

4 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández valores de esta dstrbucón son los de la margnal de Y, pero las frecuencas son dstntas se representa por n j/ Estas nuevas dstrbucones aparecen en la Tabla Tabla Dstrbucones condconales de X de Y X/ j n /j Y/ n j/ n j n n j n n j j n j h n hj k n k La dstrbucón condconal no es únca, al el contraro de lo que ocurre con la margnal Habrá tantas como valores pueda tomar la varable condconante Así, para varables contnuas el número de dstrbucones condconales será nfnto Todas cada una de esta nuevas dstrbucones unvarantes que se han defndo es posble tratarlas con los nstrumentos de análss defndos en las leccones anterores Además, aunque la tabla de doble entrada que se ha dseñado antes lo es para varables de tpo cuanttatvo, tambén es posble hablar de tablas de doble entrada para varables de tpo cualtatvo o mto, en cuo caso se les conoce como tablas de contngenca Por otro lado, en la Tabla se recogen dos varables dscretas con frecuencas untaras o maores que la undad n embargo ese dseño de tabla de doble entrada es tambén váldo para el caso de varables contnuas Bastaría con susttur los valores puntuales de cada varable por ntervalos A contnuacón vamos a dar un ejemplo que permta aclarar todos estos conceptos

5 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández Ejemplo Para un conjunto de 005 empresas de menos de 9 empleados se han observado dos caracteres de las msmas El número de sus empleados (X) el número de días perddos por bajas (Y) en esas empresas Los resultados son los que se dan en la sguente tabla de doble entrada: Y X n nj A partr de esos datos, obtenga a) La margnal de X la condconal de X/5 b) La margnal de Y la condconal de Y/ a) b) Margnal de Condconal Margnal de Condconal X de X/5 Y de Y/ n /5 n /5 n j j / n j/

6 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández Ejemplo En la tabla sguente se recoge la dstrbucón de los asalarados fjos en eplotacones agraras según edad tamaño de las msmas en Andalucía para el año 997 Menos de Ha De a Ha De De 5 a 5 Ha a 0 Ha De 0 De 0 De 0 De 50 a 0 Ha a 0 Ha a 50 Ha a 00 Ha Más de 00 Ha Total < 5 años a años a 5 años a 6 años > 65 años Total Fuente: Web IE A partr de esos datos, obtenga: a) la dstrbucón margnal de la varable edad de los asalarados fjos ; b) la dstrbucón condconal de la varable edad de los asalarados fjos para eplotacones de más de 00 Ha a) La dstrbucón margnal que se nos pde vene dada por la prmera últma columna de la tabla anteror En concreto, sería la que aparece en la tabla sguente: Edad Asalarados < 5 años a años 86 5 a 5 años a 6 años 699 > 65 años 09 Total 70 b) La dstrbucón condconal de la varable edad de los asalarados fjos para eplotacones de más de 00 Ha es la que se recoge en la tabla sguente: Edad Asalarados en eplotacones de más de 00 Ha < 5 años 00 5 a años 56 5 a 5 años a 6 años 60 > 65 años 569 Tota l 567

7 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández La covaracón En el apartado anteror hemos presentado una dstrbucón frecuencas conjunta para dos varables En ese apartado se ha señalado que tpo de dstrbucones undmensonales o unvarantes se pueden defnr a partr de la bvarante, se ha ndcado que las msmas podían ser tratadas con los nstrumentos defndos en leccones anterores n embargo, el nterés de este captulo no es precsamente el de realzar un análss ndvdualzado de todas cada una de las dstntas dstrbucones unvarantes que se pueda defnr a partr de una dstrbucón bvarante Ahora, nuestro objetvo es el análss conjunto de las dos varables que se defnen en tabla de doble entrada Ya no se trata de estudar solo los promedos las meddas de dspersón de cada una de esas varables El sguente paso que se pretende dar con este capítulo es el análss de la relacón o dependenca que pueda estr entre dos varables A esa relacón la vamos a denomnar covaracón o varacón conjunta La covaracón es un fenómeno bastante habtual entre varables de carácter económco de otra naturaleza La covaracón que puede darse entre dos varables X e Y cualesquera puede ser de dstnto tpo Así puede hablarse de: º Dependenca causal unlateral Este tpo de covaracón se da cuando una varable nflue en la otra no al contraro Es decr las varacones de una varable pueden eplcarse por las varacones de otra, pero no a la nversa En este tpo de análss, a la varable que ejerce nfluenca en la otra se le llama varable ndependente, eplcatva, varable causa o eógena A la otra varable se le llama dependente, eplcada, varable efecto o endógena Generalmente a la ndependente se le suele representar por la letra X, mentras que a la dependente se le representa por la letra Y A título de ejemplo se puede señalar los sguentes pares de varables: los mpuestos la renta, los benéfcos empresarales el volumen de ventas, los salaros la cualfcacón profesonal, etc

8 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández º Interdependenca Esta stuacón se da cuando la nfluenca es recíproca entre las dos varables En este caso se habla de una relacón causal blateral o nterdependenca Un ejemplo mu claro en Economía de este tpo de relacón se encuentra entre preco produccón de un ben Es ben conocdo que, en un sstema de mercado en régmen de competenca perfecta, estas dos varables están nterrelaconadas º Dependenca ndrecta Este tpo de covaracón se da cuando este una tercera varable que nflue smultáneamente sobre X e Y En estos casos no este una relacón de causaldad entre esas varables n embargo, la presenca de una tercera que nflue en ambas hace que ellas se muevan de forma sncronzada Pensemos en la superfce quemada por ncendos forestales el número de vajeros en zonas turístcas Estas dos varables se comportan a lo largo del año de una forma parecda Pero no puede hablarse de una relacón causa efecto entre ellas En realdad es la varable temperatura clmatológca la que condcona su evolucón paralela º Concordanca A veces se sabe que las varables X e Y son por naturaleza ndependentes n embargo puede que muestren un movmento sncronzado, lo que nos llevaría a pensar en un certa dependenca Tal podría ser el caso el resultado de las opnones de un panel de epertos relatvas a epectatvas de crecmento de la economía de un conjunto de países 5º Covaracón casual o espúrea Ocurre cuando dos varable se mueven de forma sncronzada pero sn que esta una relacón de causaldad entre ellas Es convenente señalar que el tpo de relacón que pueda estr entre dos varables no se puede determnar fáclmente medante nstrumentos estadístcos, por lo que ese tpo de covaracón habrá que buscarla en el conocmento prevo que se tenga de esas varables Lo que s puede hacer la Estadístca, en cualquer caso, es cuantfcar formalzar matemátcamente la relacón o covaracón prevamente señalada, con el fn de confrmar tal relacón utlzarla luego para descrbr el fenómeno, para eplcarlo para realzar predccones

9 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández La forma más senclla, desde un punto de vsta estadístco, de ncar el estudo de la covaracón entre dos varables es medante un análss gráfco Ahora, como tenemos dos varables, recurrremos al eje de abscsas para representar los valores de la varable X al de ordenadas para stuar los valores de Y en este dagrama bdmensonal llevamos las parejas de valores de X e Y, el resultado es lo que se llama un dagrama de dspersón o nube de puntos En este tpo de dagramas se representan parejas de valores con frecuenca untaras las frecuencas fueran maores que uno, entonces habría que recurrr a un tercer eje donde llevaríamos las frecuencas de cada una de esas parejas de valores Admtendo que trabajamos con parejas de valores con frecuencas untaras, los dagramas de dspersón mas habtuales serían los sguentes: Fgura Covaracón drecta Fgura Covaracón nversa Fgura Ausenca de covaracón Fgura Covaracón curvlnea

10 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández Medante este método gráfco lo que se consgue es descubrr la posble relacón que este entre las varables Esto representa un paso mportante para un nstrumento tan sencllo como es un smple gráfco En la Fgura, denomnada como covaracón drecta, se detecta una relacón lneal postva o drecta La Fgura nos adverte de una relacón lneal negatva o nversa; la tercera nos ndca que entre las varables X e Y no este relacón evdente de tpo alguno; fnalmente, la últma gráfca nos pone de manfesto una relacón que no es lneal Que duda cabe que estos cuatro modelos de dagramas de dspersón no son los úncos, pero s los más representatvos Una vez agotada la vía gráfca para el estudo de la covaracón, ha que recurrr a otros procedmentos que nos permtan cuantfcar la covaracón Los dos procedmentos más utlzados son la correlacón la regresón Antes de fnalzar este epígrafe sería convenente resaltar que para los dstntos tpos de covaracón que hemos defndo ha un concepto que aparece de forma recurrente e trata de la ndependenca o dependenca entre varables Para defnr este concepto en térmnos estadístcos haremos uso a la tabla de doble entrada que se vo en el apartado anteror Con la termnología utlzada en esa tabla, se dce que dos varables X e Y son estadístcamente ndependentes s se cumple la sguente relacón: n j / (n /)(n j /) () es decr, que la frecuenca relatva conjunta sea gual al producto de las frecuencas relatvas margnales Otra forma de dar el concepto de ndependenca estadístca es hacendo uso de las dstrbucones condconales En este caso se dce que dos varables son estadístcamente ndependentes s las frecuencas relatvas condconales son guales a sus correspondentes frecuencas relatvas margnales

11 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández f /j n j /n j (n /) f (5) fj/ n j/n (nj/) fj (6) Ejemplo Estude s las varables del ejemplo son o no ndependentes En este caso, como en otros de naturaleza smlar, para determnar s esas dos varables son o no ndependentes se procederá a aplcar alguna de las condcones de ndependenca dadas con anterordad Para ello nos centraremos en un punto del espaco de X e Y, por ejemplo el par de valores (, 6) En este caso se tene que 0/005 f 6 (f )( f 6 ) (55/005)(50/005) (55/005) (f ) ( f / ) 5/50 Lo anteror nos lleva a conclur que esas varables no son ndependentes La seleccón del par (, ) es ndferente, pues basta que para un par no se cumpla la condcón de ndependenca para que se pueda conclur que las varables no son ndependentes A la ndependenca estadístca defnda de esta forma se le llama determnsta, frente a la estocástca Correlacón: covaranca coefcente de correlacón lneal De los dstntos dagramas de dspersón que hemos mostrado en el epígrafe anteror, dos de ellos mplcaban una covaracón de tpo lneal, en un caso drecta en el otro ndrecta o nversa Tambén se djo anterormente que una forma de cuantfcar la covaracón entre dos varables es medante el análss de la correlacón Pues ben, en lo que sgue vamos a defnr un nstrumento que nos va a permtr cuantfcar el grado de covaracón lneal entre dos varables e trata del coefcente de correlacón lneal

12 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández Para deducr su epresón de cálculo su sgnfcado haremos uso del dagrama de dspersón representado en la Fgura 5 Fgua 5 Dagrama de dspersón 6 II I III IV En este dagrama se ha realzado un cambo de orgen en los ejes de forma que el nuevo orgen se stúa en el punto correspondente a las medas para las varables X e Y Ahora el dagrama de dspersón o nube de puntos está repartdo en cuatro cuadrantes El prmer cuadrante se corresponde con los valores de X e Y maores que sus medas El segundo se corresponde con los valores de X menores que su meda con los de Y maores que la sua En el tercero están stuados los valores de X e Y menores que sus medas respectvas Fnalmente, en el cuarto aparecen los valores de X maores que su meda los de Y menores que la sua De acuerdo con esta dstrbucón de puntos del dagrama, s ahora defnmos las desvacones de X e Y como X X e Y Y, resulta que a) el producto del prmer cuadrante será postvo b) el producto del segundo cuadrante será negatvo

13 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables c) el producto del tercer cuadrante será postvo d) el producto del cuarto cuadrante será negatvo Jesús ánchez Fernández Tenendo en cuata esos resultados, resulta que Σ srve como medda de covaracón entre X e Y Esto es así porque s esa suma es postva, la maor parte de los puntos estarán en los cuadrantes I III, con lo que la relacón será drecta Por el contraro, s la maoría de los puntos están en los cuadrantes II IV, la suma será negatva la relacón será nversa En cambo s los puntos están mu repartdos entre los cuatro cuadrantes, la suma será pequeña, tendente a cero, lo que nos nformará de que no ha relacón lneal alguna Pero ese ndcador del grado de asocacón lneal entre dos varables adolece de dos defectos Por un lado bastaría con cambar el número de pares de valores de X e Y para que el msmo fuera dstnto Por otro, el msmo vene nfludo por las undades de medda de X e Y La forma de corregr estos nconvenentes es promedar la suma (se elmna el prmer problema) epresarla en térmnos de la desvacón estándar de X de Y El resultado es r X Y X XY Y ( 7) que se conoce como coefcente de correlacón lneal Al numerador del coefcente de correlacón se le llama covaranca (XY), sendo X la desvacón estándar de X Y la de Y Como las epresones de cálculo de las desvacones estándares las conocemos, habrá que dar ahora la correspondente a la covaranca XY n ( X X )( Y Y ) n X Y n X n Y n ( 8)

14 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández Medante el coefcente de correlacón lneal lo que se busca es un número que ndque, de forma objetva, el grado de varacón lneal conjunta entre las dos varables El sgno de este coefcente puede ser postvo o negatvo, según cual sea el de la covaranca Los valores de este coefcente osclan entre menos uno más uno La forma de nterpretar el sgnfcado de esos valores es la sguente: a) r, la correlacón lneal es perfecta drecta, o sea, la nube de puntos se stúa sobre una línea recta crecente b) r -, la correlacón lneal es perfecta nversa, o sea, la nube de puntos se stúa sobre una lnera recta decrecente c) r 0, no este relacón lneal, ben porque no esta covaracón entre las varables o porque ésta no sea lneal En este caso decmos que las varables están ncorrelaconadas lnealmente, lo que no sgnfca que necesaramente sean ndependentes el coefcente de correlacón lneal es cero, entonces las varables puede que sean ndependentes o ben que no lo sean que presenten otro tpo de covaracón dstnto al lneal En cambo s las varables son ndependentes, entonces el coefcente de correlacón lneal será sempre cero d) En los demás casos se puede hablar de una correlacón débl o fuerte según que el valor de r esté prómo a 0 o a ± En cuanto a las propedades del coefcente de correlacón lneal, ha que ndcar que el msmo es nvarante frente a cambos de orgen de escala Para probar que esta afrmacón es certa se estudará el comportamento de la covaranca frente a cambos de orgen de escala en las varables X e Y, pues a se sabe cual es la respuesta de la desvacón estándar frente a este tpo de cambos upóngase que se defnen las sguentes varables: X h + kx e Y f + gy Entonces:

15 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables ' ' ' ' ' ( )( ) ( h + k h k )( f + g f g ) Jesús ánchez Fernández kg ( )( ) kg Así pues se comprueba que, al gual que la varanca, la covaranca solo se ve afectada por cambos de escala, por lo que el coefcente de correlacón resulta nvarante a los cambos de orgen de escala Para fnalzar esta eposcón sobre el coefcente de correlacón lneal, ha que señalar que para el cálculo del msmo no se asume nngún tpo de relacón de causaldad Por otro lado debe quedar claro que este coefcente lo que mde es la ntensdad de la relacón lneal entre varables Así un coefcente r 0,8 ndca una covaracón más fuerte que r 0,, pero ello no mplca que la covaracón lneal en el prmer caso sea doble que en el segundo Ejemplo Obtener el coefcente de correlacón lneal entre las varables X e Y s los valores observado de las msmas son los sguentes: X Y Para calcular el coefcente de correlacón peddo es aconsejable amplar la tabla anteror con tres columnas adconales como las que aparecen en la sguente tabla:

16 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández XY n n n , n 70 5 ( ), n 0 56 ( ), r X XY Y 7,6 (,8)(,97) 0,87

17 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández Ejemplo 5 Obtenga el coefcente de correlacón lneal para las varables que se recogen en la tabla sguente X Y En este caso, se trata de obtener el coefcente de correlacón cuando las frecuencas de los dstntos pares de valores de las varables no son untaras, además, todos esos pares tenen frecuencas dstntas de cero, cosa que no ocurría en el Ejemplo Para calcular la correlacón estente entre X e Y, es aconsejable, cuando se tene una dstrbucón de frecuencas como la presente, determnar prevamente las margnales después dar esa tabla de doble entrada en forma de pares de valores Todo ello nos lleva a que: n n n n n n Total Total n 69 0 ( ), n ( ),

18 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables n j n Jesús ánchez Fernández Total XY n n n , r X XY Y 0, (,077 )(,058 ) 0,6 Regresón El segundo procedmento que se ndcó que podía utlzarse para cuantfcar la covaracón entre dos varables era el análss de regresón La aplcacón del msmo se lmtará, ncalmente, al caso de dependenca causal unlateral entre dos varables El objetvo que se busca con el análss de la regresón es determnar una funcón del tpo f() que relacone a estas dos varables nos ndque la forma en varían conjuntamente Pero esta funcón, que se ntenta cuantfcar medante el análss de la regresón, será una

19 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández línea que ntentará resumr toda la nube de puntos del dagrama de dspersón Como tal tendrá un carácter de línea meda, esta línea nos medrá la dependenca estadístca estente entre las varables Este tpo de dependenca es dstnta a la dependenca funconal o eacta La dferenca entre las msmas radca en que en el prmer caso, aunque las varables estén fuertemente relaconadas, las observacones suelen tener una componente aleatora que les mpde que la nube de puntos aparezca eactamente dstrbuda a lo largo de una línea Pero esa falta de alneacón perfecta no mpde que esos puntos tendan a agruparse con maor o menor ntensdad en torno a esa línea deal o meda de la que se ha hablado Pues ben, el análss de regresón consste en obtener esa línea deal o meda, línea de regresón, haca la cual tenden los puntos de un dagrama de dspersón De lo que se trata, en realdad, es de determnar la dependenca eacta que se haa contenda en la dependenca estadístca observada medante la elmnacón de los factores aleatoros Para centrar un poco estas deas se hará uso de la Fgura 6 Admtamos de entrada que esa línea meda es conocda que es la que se ha representado en el msmo como AB En ese gráfco podemos comprobar como para un determnado valor de X ( ) observado, la varable Y puede tomar, de hecho los toma en este caso, más de una valor ( e ), mentras que por la línea de regresón le correspondería solo uno (* ) Este paso de la dependenca estadístca a la dependenca eacta mplca que a cada valor de la varable ndependente le asgnemos uno solo de la varable dependente Ese valor de la varable dependente, dado por la línea de regresón, tene categoría de valor medo, pues como a hemos ndcado, la línea de regresón tene ese carácter de línea meda Pese a que en el gráfco la línea meda o línea de regresón se ha representado como una recta, la msma puede ser una curva cualquera

20 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández Fgura 6 Dagrama de dspersón 6 B * e A 0 0 Medante este gráfco tambén es posble comprobar como cada valor de observado se puede descomponer en dos partes Una de ellas vene dada por el valor de la línea de regresón, *f( ), la otra sería la dferenca entre el valor observado el asgnado por nuestra relacón funconal eacta a la que llamaremos error o resduo, e Formalmente tendríamos: f( ) + e * + e (9) En consecuenca el análss de regresón lo que persgue es obtener los valores medos * de la varable dependente que corresponden a los valores observados El sguente paso en el análss de la regresón es defnr los procedmentos que nos permtan obtener esa línea meda que es la línea de regresón o vamos a entrar a descrbr todos los posbles métodos que esten para determnar esa línea de regresón olo vamos a menconar tres El prmero es el más sencllo consste en trazar la línea que más se ajuste a la nube de puntos Este procedmento gráfco, frente a su sencllez, tene en su contra la falta de rgor

21 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández Un segundo procedmento consste en susttur todos los valores de Y, para un valor dado de X ( ), por su meda e trataría de una meda condconal, ( / ) ; habría tantas medas como valores tome la varable ndependente Con la unón de esos valores medos se tendría la línea de regresón Fgura 7 Línea de regresón f() k El tercer método es aquel que hace uso de una funcón matemátca para eplcar la dependenca eacta estente de forma mplícta entre las dos varables observadas Hacendo uso de los símbolos a utlzados, esa funcón, que es la línea de regresón, es * f( ) (0) Esta relacón, a parte de decrnos que la varable Y depende de la varable X, de servr para descrbr la relacón causal eacta, permte realzar predccones de la varable dependente conocdos los valores de la varable ndependente Pero esas predccones tenen un carácter de valores medos, pues los errores o resduos son mpredecbles El sguente paso supone la eleccón de la funcón matemátca f() que ha de ser nuestra línea de regresón e trata pues de elegr aquella funcón f() que descrba de la forma

22 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández más adecuada la dependenca entre las varables A esas funcones se les denomna genércamente como modelos Los modelos más sencllos son los sguentes: a) Modelo lneal : * a + b b) Modelo parabólco de segundo grado: * a + b + c c) Modelo potencal: * A b d) Modelo eponencal: * AB e) Modelo hperbólco: * a/ En cada caso, la eleccón de uno de ellos dependerá de lo que dgan los datos (análss empírco) o de lo que ndque la teoría En todos esos modelos hemos ntroducdo, además de las varables ndependente dependente, los símbolos a, b, c, A B Los msmos recben el nombre de coefcentes ó parámetros Una vez selecconado el modelo que se ajusta a la línea de puntos o que responde a una teoría estente, lo que debemos realzar a contnuacón es defnr un método que nos permta cuantfcar esos coefcentes a partr de los datos observados El procedmento más utlzado es el denomnado método de los mínmos cuadrados ordnaros (MCO) Método de los mínmos cuadrados Este método consste en determnar unos valores para los coefcentes ó parámetros de la funcón selecconada, * f( ), con la condcón de que haga mínma la suma de los errores al cuadrado, conforme se defneron en (9) (e ( - *)), es decr: * e ( ) mínmo ( ) De forma más general esta epresón se puede dar como * e n ( ) mínmo ( )

23 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández es decr, admtr frecuencas maores que uno para los dstntos pares de valores de X e Y Con este planteamento, para el caso de un modelo lneal, la funcón a mnmzar sería ϕ * ( a, b) e n ( ) n ( a b ) n ( ) a esta funcón le aplcamos la prmera condcón de mínmo se llega al sguente sstema: (, b) ϕ a a ( a, b) ϕ b ( a b ) n 0 ( ) ( a b ) n 0 ( 5) Estas dos ecuacones se pueden epresar como: e n 0 e n 0 ( 6) ( 7) A partr de este sstema de ecuacones se llega a otro donde se apreca, de forma más clara, que las solucones del msmo son funcones de los valores observados de las varables: n n a + b a n + b n n ( 8) ( 9)

24 Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández A estas ecuacones se les conoce con el nombre de ecuacones normales A partr de ellas se pueden obtener unas fórmulas de cálculo de los parámetros de la recta Esas fórmulas son: cov(, ) b var( ) ( 0) a b ( ) Al parámetro b del modelo lneal se le llama tambén coefcente de regresón Este coefcente mde la tangente o pendente de la recta u sgno será el de la covaranca, que a su vez le daba el sgno al coefcente de correlacón Así pues cuando la relacón es drecta, el sgno será postvo cuando al relacón es negatva o nversa el sgno será negatvo Este coefcente mde la varacón de la varable Y frente un cambo untaro de la varable X Tambén se puede nterpretar como la razón de una progresón artmétca Al parámetro a del modelo lneal se le conoce como térmno ndependente u ordenada en el orgen os daría el valor de la varable dependente cuando la ndependente valese cero De gual forma que se han obtendo las ecuacones normales para este modelo lneal de dos varables (Y, X), tambén es posble llegar a un sstema de ecuacones normales para cada uno de los modelos ndcados anterormente o para un modelo lneal donde el número de varables eplcatvas sea maor que uno Cada sstema tendrá tantas ecuacones como parámetros estan en la línea de regresón Para el caso del modelo parabólco las ecuacones normales son: n a+ b n + n a n + b n + c c n a n + b n + n n c n