Aspectos fundamentales en el análisis de asociación

Transcripción

1 Carrera: Ingenería de Almentos Perodo: BR01 Docente: Lc. María V. León Asgnatura: Estadístca II Seccón A Análss de Regresón y Correlacón Lneal Smple Poblacones bvarantes Una poblacón b-varante contene dos meddas en cada componente elemental, es decr, observacones para cada elemento muestral. (Cada observacón muestral puede ser medble) Ejemplo Estudante Promedo Ponderado Promedo Artmétco Fnca Número de cabeza de Ganado Ltros de Leche Industra Gastos Matera Prma Ingreso por Ventas Nños Edad Estatura Donde la muestra son pares de valores Idea El problema de nferenca que nos ocupa es determnar la relacón entre esas varables y como varían al estudarlos smultáneamente. S se puede establecer la relacón funconal expresada en forma matemátca estamos en poscón de estmar en forma precsa el valor de una varable en base a otra varable, a esto se le llama Estmacón de asocacón. Aspectos fundamentales en el análss de asocacón 1. Análss de regresón: Trata de establecer la naturaleza de la relacón entre las varables. Su forma funconal con el propósto de predecr el valor de una en base de la otra.. Análss de correlacón: Determna el grado (la fuerza) de la relacón exstente entre las varables. Procesos de Regresón La técnca del análss de regresón es un procedmento de estmacón; la varable que se toma como la base de estmacón se llama varable ndependente y por convencón la desgnaremos por x en tanto que la varable como valor va a estmarse se le llama varable dependente, se 1

2 denota con la letra y. Cuando se formula una ecuacón para estmar y a partr de x se le llama regresón de y con respecto de x. El análss de regresón se clasfca en dos tpos: Smple: Cuando se consdera solamente dos varables (una dependente, otra dependente). Múltple: Cuando ntervenen tres o más varables una de las cuales es la varable dependente. Dagrama de dspersón Es el prmer paso para determnar s exste una relacón entre las varables. Nos da una mpresón vsual de la posble relacón sugrendo el tpo de modelo que mejor se ajusta a los datos. Puede ser lneal o curvlínea Tpos de dagramas Lneal con pendente postva Lneal con pendente negatva Curvlínea Crcular (No hay relacón) Una vez que se tenga una segurdad razonable de que exste relacón lneal entre las dos varables la tarea sguente es estmar la verdadera relacón La manera más senclla es el llamado método de mano alzada, es trazar a pulso una recta que pase una de todos los puntos. El otro método es el método de los mínmos cuadrados. Anterormente suponíamos un parámetro y se utlzan los estadístcos muéstrales o estmadores para estmar los parámetros. En el análss de dos varables tendremos la recta de regresón poblaconal y se utlzaría una recta de regresón muestral como estmacón de dcha recta. Esto exge algunos supuestos a cerca de la dstrbucón de la poblacón Modelo de Regresón poblaconal: y xеdonde: Y son parámetros poblaconales llamados Coefcentes de Regresón M y e y es la dferenca entre el valor observado y el valor promedo de y x para un x determnado, es llamado Error aleatoro o perturbacón Los que nos nteresan estmar es: M y x y e x

3 Y esto se llamará Modelo de Regresón Poblaconal o Recta de Regresón Poblaconal. Por convenenca llamaremos y x donde y es el valor promedo. M y. e y x M y x x 1 Recta de regresón oblacón Interpretacón (Punto de vsta estadístco) S x 0 entonces es el valor promedo. β es el cambo promedo de y (aumenta o dsmnuye) por cada cambo untaro de x. Estmacón de la recta de Regresón Poblaconal En el análss de regresón la tarea prncpal es estmar los coefcentes de regresón poblaconal α y β de la ecua 1 con base a las n-observacones muéstrales: ( x1, y ),...,(, 1 xn y ) n. acón y serán las estmacones y =+ se converte en la recta de egresón muestral donde y es el est mador del valor promedo M y x (Errores aleatoros) = = + 3

4 El resduo e y y descrbe el error en el ajuste del modelo en el -esmo punto de los datos Métodos de los mínmos cuadrados Hay muchas rectas posbles que podrían trazarse sobre un dagrama de dspersón, desde luego, se desea elegr la recta que mejor se ajuste a los datos, el mejor método para consegur esto se conoce con el nombre de los mínmos cuadrados y la expresón se debe a que la suma de cuadrados de las desvacones vertcales de los puntos con respecto a la recta es menor que la suma de cuadrados de los puntos respecto a cualquer otra recta e yy 0. El Teorema de Gauss Markow mnmza la suma de cuadrados; ˆ ˆ mne ² mn y y ² y- x ² la dea es calcular la dervada de esa sumatora con respecto a : e ( y x) 0 e ( y x) x 0 El teorema las guala a cero Así por reduccón tenemos: = ( )( )( ) ( )( ) Mínmos Cuadrados = Medas o promedos muestrales 4

5 Ejemplo Se realza un estudo sobre la cantdad de azúcar transformada en certo proceso a varas temperaturas. Los datos de recolectan y se regstran como sgue Temperatura (x) Azúcar transformada (y) 1,0 8,1 1,1 7,8 1, 8,5 1,3 9,8 1,4 9,5 1,5 8,9 1,6 8,6 1,7 10, 1,8 9,3 1,9 9,,0 10,5 1. Estme la línea de regresón lneal. Estme la cantdad meda de azúcar transformada que se produce cuando la temperatura codfcada es 1,75. Solucón: 1. Debemos encontrar =+ = = = = = = = = ( ) ( )( ) ( ) ( ) = = = =+ = 5

6 Interpretacón (Estadístca) Solucón : =+(1,75) = Medda de Bondad del ajuste Error estándar de la estmacón (tambén se le llama desvacón estándar de la estmacón) S y Estmacón de la desvacón estándar de la recta de regresón Mde la varabldad o dspersón de los valores observados alrededor de la línea de regresón. Mentras menor sea la desvacón estándar más próxmas se hallan los valores de y a la recta de regresón y más exacta es la ecuacón de regresón como elemento predctvo s Sy fuese gual a cero, la ecuacón de predccón es un estmado perfecto, en ese caso todos los puntos observados están en la línea de regresón = = ( ) = Hallar la desvacón estándar del ejemplo = = = = = = = Coefcente de varacón: mde la proporcón que tene la desvacón. S.100 Coefcente de varacón y (Cuando está por debajo de 30 es buena, de otra forma es mala) 6

7 Coefcente de determnacón ( R ) Es un ndcador que nos mde la fuerza de asocacón exstente entre las dos varables x y y. Se fundamenta en partconar la varacón total en dos partes: Una Explcada por la varable de regresón ndependente y la No Explcada que es el valor del error que queda después de ajustar la recta. Como la mueve la varable consderada A mayor movmento, mejor relacón Se mde de 0 a 1 Error ( ) ( ) ( ) Varacón Explcada ( y y) Suma Cuadradaa Total ( y y) Suma Cuadrada Regresón SCT S CR ( y y) ( y y) Varacón total = Varacón Explcada ( SCT ) ( SCR ) (y y) Suma Cuadrada Error SCE (y y) + Varacón no Explcada + (SCE) El Coefcente de Determnacón: Mde que proporcón representa la varacón explcada respecto a la total. SCR SCE 1 SCT SCT 7

8 SCR : Proporcón de la varacón explcada respecto a la total SCT R SCR SC 1 SCT SCT ( y y) ( y y) R 1 ( y y) ( y y) ( yy) [( x) y] yxxy Por lo tanto x x x n( x) = ( ) ( ) ( ) () 0 1 Generalmente se multplca por 100 (porcentaje) En el ejemplo anteror: Otra medda de Bondad Inferenca sobre y Después de haber obtendo la ecuacón de regresón es mportante saber s la estmacón se puede usar con fnes predctvos, una forma es examnar cudadosamente la desvacón estándar y el coefcente de determnacón. Por otro lado sería examnar el estadístco hacendo algunas pruebas; está sujeto a la varabldad muestral; su valor varía de acuerdo a la muestra que se toma: S 0 índca que no exste relacón lneal entre las dos varables 8

9 S 0 las varables están relaconadas lnealmente y habrá confanza para usar la recta con fnes predctvos. Prueba de Hpótess 1) Formulacón de la hpótess. H o : 0 o H o : 0 o H o : 0 H : 0 H : 0 H : ) Nvel de sgnfcanca (dada). 3) Estadístcos de contraste. = ~ () = ( ) 4) Crtero de decsón RR 5) Cálculos. 6) Decsón. Intervalo de confanza ; + ; ( ) Aplcándolo al ejercco anteror 9

10 Análss de varanza en regresón Es una forma equvalente de probar la hpótess de que no exste relacón entre las varables =0 podemos usar el método del análss de varanza Fuente de Varacón Sumas de cuadrados Grados de Lbertad Cuadrados Medos Regresón SCR 1 CMR Error SCE n- CME Total SCT n-1 Varacón Explcada = = ~ (),() > ();() Rechazo Ho ();() Acepto Ho S pden: pruebe la sgnfcacón del modelo Es el modelo sgnfcatvo o no? Hay relacón o no? Rechazo Ho: Conclumos que hay una cantdad sgnfcatva de varacón en la respuesta explcada por el modelo que se postula, la funcón de línea recta. Acepto Ho: Conclumos que los datos no reflejaran evdenca sufcente para apoyar el modelo postulado Con el ejercco anteror tenemos SCT= SCR= n= (Varacón total) (Varacón de la explcada) Fuente de Varacón Regresón Error Total Sumas de cuadrados Grados de Lbertad Cuadrados Medos Varacón Explcada 10

11 Formulacón de la hpótess Nvel de sgnfcanca = Estadístco de contraste Cálculos: Decsón: Análss de correlacón lneal smple Es la herramenta estadístca que nos permte descrbr el grado o la fuerza de la relacón entre las varables Coefcente de la correlacón poblaconal = () ().() : Covaranza Donde 1 1 Coefcente de correlacón muestral = () r es un estmador de. ( )( ) = ( ). ( ) O ben =± Con el ejercco anteror = Hay relacón entre las varables Podemos hacer pruebas de hpótess con respecto a 1) : = 0 o : = 0 : = 0 : >0 :<0 : 0 ) dado 3) Estadístco de contraste 11

12 4) = 1 ~ () Ho RR > () Rechazo () Acepto Ho () Para el ejercco anteror Predccón en el análss de Regresón Smple - =+ Donde es el estmador de S = entonces =+ Intervalo de confanza para un valor promedo Donde =. + ;(). = + ;(). ( ) ( ) Intervalo de confanza para un valor partcular ;(). = + ;(). Donde = ( ) ( ) Este ntervalo es mucho más grande que el anteror Ejemplo anteror (*) S la temperatura es de =10, cuál es el la cantdad de azúcar transformada? Valor partcular y promedo Hallar los ntervalos de confanza 1