Diseño y Análisis de Experimentos en el SPSS 1

Transcripción

1 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS EJEMPLO. Los sguentes datos muestran las meddas de hemoglobna (gramos por 00 ml) en la sangre de 40 ejemplares de una espece de truchas marrones. Las truchas se habían dvddo al azar en cuatro grupos de 0 y cada grupo se había asgnado, tambén al azar, a una de cuatro dferentes dependencas de una pscfactoría. En cada cradero se añadía a la deta de los peces una cantdad dstnta de sulfamerazna por cada cen lbras de comda. En concreto: 0, 5, 0 y 5 gramos (codfcados del al 4). Las medcones de hemoglobna se tomaron dependenca después de 35 días. Dependenca Hemoglobna en sangre (gramos por 00 ml) 6,7 7,8 5,5 8,4 7,0 7,8 8,6 7,4 5,8 7,0 9,9 8,4 0,4 9,3 0,7,9 7, 6,4 8,6 0,6 3 0,4 8, 0,6 8,7 0,7 9, 8,8 8, 7,8 8,0 4 9,9 9,3 7, 7,8 9,3 0, 8,7 8,6 9,3 7,.. Entrada de datos. Una columna contendrá sempre los valores de la varable dependente o respuesta (Y), varable cuanttatva cuyos promedos en los dferentes grupos del dseño se desean comparar. Cada factor tratamento (y análogamente cada factor de bloqueo) tendrá su propa columna en la que se regstrarán sus nveles o tratamentos, preferblemente codfcados. De este modo cada fla de la hoja de datos representará los valores para una undad expermental: en una columna fgurará la respuesta y en cada una de las otras los nveles de los factores en los que se obtuvo esa respuesta. En el ejemplo hemos denomnado respuest a la columna con los valores de hemoglobna en sangre (varable dependente) y tratam a la columna con los nveles del factor tratamento (cantdad de sulfamerazna). Estos nveles se han codfcado: 0 grs.=, 5 grs.=, 0 grs.= 3 y 5 grs.= 4. En el caso de un dseño aleatorzado es convenente crear una columna a mayores donde regstrar el orden de cada caso... Análss de la varanza para un únco factor tratamento.... ANOVA de un factor: Especfcacones por defecto. Cuando se trata de un únco factor tratamento, el Análss de la Varanza (ANOVA) se puede realzar en (ver Fgura.): Analzar > Comparar medas > ANOVA de un factor En el cuadro de dálogo ANOVA de un factor se ntroducrá la varable respuest en el campo Dependentes: y tratam en el campo Factor: (ver Fgura.). En el supuesto de ntroducr más de una varable en el campo Dependentes: se obtendría un análss de la varanza para cada una de las varables ntroducdas.

2 Dseño y Análss de Expermentos Fgura. Fgura. Por defecto, esto es ejecutando Aceptar sn modfcar nnguna otra opcón., el SPSS proporconará el ANOVA tal y como se muestra en la Tabla.. Tabla. ANOVA Hemoglobna (grs por 00 ml) Suma de cuadrados gl Meda cuadrátca F Sg. Inter-grupos 6, ,934 5,696,003 Intra-grupos 56,47 36,569 Total 83,74 39 Master Ofcal en Técncas Estadístcas

3 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 3 La prmera columna se refere a las fuentes de varacón. Por Inter-grupos se entenderá varabldad entre grupos o explcada por el modelo de una vía (en este caso dferencas en las cantdades promedo de hemoglobna achacables a las 4 dferentes cantdades de sulfamerazna empleadas). Por Intra-grupos se entenderá varabldad resdual o no explcada por el modelo. Por Total varabldad respecto de la meda total computada con todos los datos con ndependenca del nvel del factor tratamento. El cocente F ha resultado en este ejemplo 5,696 que, en una F con 3 y 36 grados de lbertad, deja a su derecha una cola de probabldad 0,003 (nvel crítco o p-valor del contraste ANOVA). Resulta por tanto un contraste sgnfcatvo a nveles de sgnfcacón habtuales (0,0, 0,05 o 0,0) y se rechaza la hpótess de gualdad en los nveles medos de hemoglobna en sangre con las cuatro cantdades de sulfamerazna estudadas. Cuestón : Cuánto vale el coefcente de determnacón del modelo? Te parece alto o bajo? Genera una nterpretacón contradctora con la conclusón de rechazo del F-test?... ANOVA de un factor: Más herramentas. El cuadro de dálogo de ANOVA de un factor (Fgura.) permte comprobar la exstenca de has tres botones con más herramentas de análss: Contrastes, Post hoc y Opcones. ANOVA de un factor > Opcones Conduce al subcuadro de dálogo que se muestra en la Fgura.3, donde ya han sdo marcados los campos que ncluyen herramentas tratadas en la asgnatura. Fgura.3 A contnuacón se descrben brevemente los dferentes campos del subcuadro: Descrptvos. Proporcona estadístcos descrptvos báscos e ntervalos de confanza para las medas de las respuestas obtendas con cada nvel del factor tratamento y en global.

4 4 Dseño y Análss de Expermentos Tabla. Efectos aleatoros y fjos. Al marcar este campo, el SPSS proporconará estadístcos de nterés para dos supuestos dferentes: que los nveles del factor sean de efectos fjos o de efectos aleatoros. S se trata de efectos fjos es de nterés, una vez estmadas las medas de cada grupo, conocer el error estándar del modelo estmado. Obvamente este valor concde con la raíz cuadrada de la suma de cuadrados resdual promedada (ntra-grupos). El SPSS proporcona este valor y además el ntervalo de confanza para la meda global construdo con este error estándar. S se trata de efectos aleatoros entonces las medas estmadas para cada grupo son rrelevantes pero sgue sendo de nterés conocer el error estándar del modelo estmado (de hecho esto es sempre de nterés en cualquer procedmento de modelzacón estadístca). En este caso, la varanza del modelo es la suma de dos componentes: la varanza resdual y la varanza de la poblacón estadístca formada por los nveles del factor. El SPSS proporcona, gual que para efectos fjos, el error estándar de la respuesta y un ntervalo de confanza para la meda del modelo construdo con este error estándar y, además, una estmacón de la varanza de la poblacón de nveles del factor tratamento. La Tabla. muestra la salda del SPSS cuando se han marcado estos dos campos. Descrptvos Hemoglobna (grs por 00 ml) Intervalo de confanza para la meda al 95% 0 grs 5 grs 0 grs 5 grs Total Modelo Efectos fjos Efectos aleatoros Desv. Error Límte Límte Varanza entre N Meda típca típco nferor superor Mín. Máx. componentes 0 7,00,087,3 6,47 7,99 5,5 8,6 0 9,330,766,548 8,0 0,558 6,4,9 0 9,030,353,3590 8,8 9,84 7,8 0,7 0 8,690,0005,364 7,974 9,406 7, 0, 40 8,563,46,30 8,095 9,030 5,5,9,55,980 8,6 8,964,476 7,058 0,067,7366 Cuestón : Supuesto un modelos de efectos fjos, qué dferentes camnos ha segudo el SPSS para arrojar dos estmacones dstntas de la desvacón típca del modelo:,46 y,55? Cuál es la estmacón más fable y bajo qué premsas? Cuestón 3: Por qué ha crecdo el error típco de la meda global en el modelo de efectos aleatoros con respecto al modelo de efectos fjos? Cuestón 4: Tene sentdo proporconar en el modelo de efectos aleatoros un ntervalo de confanza para la meda global de las respuestas? Prueba de homogenedad de la varanza. Se realza la prueba de Levene al objeto de contrastar la hpótess nula de varanzas guales en todos los grupos (test de homoscedastcdad). Prueba mportante especalmente en el supuesto de dseños no aleatorzados y no balanceados. Master Ofcal en Técncas Estadístcas

5 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 5 En el ejemplo la prueba de homoscedastcdad conduce a un resultado no sgnfcatvo al 5% según se muestra en la Tabla.3: Tabla.3 Prueba de homogenedad de varanzas Hemoglobna (grs por 00 ml) Estadístco de Levene gl gl Sg., ,98 Los estadístcos de Brown-Forsythe y de Welch suponen alternatvas robustas al F-test para el caso en que se rechaza la hpótess de homoscedastcdad. En ambos casos la dstrbucón (bajo la nula de gualdad de medas) es una F pero con grados de lbertad adecuadamente corregdos. Gráfco de las medas. Gráfco de líneas que ubca en abscsas los códgos de los nveles del factor tratamento y en ordenadas los valores de los promedos observados para cada nvel (ver Fgura.4). Fgura.4. El gráfco de medas sugere un fuerte crecmento del contendo medo de hemoglobna en sangre al pasar de 0 grs. a 5 grs. de sulfamerazna. Cantdades superores de sulfamerazna conducen a un efecto contraro, mostrando el gráfco un perfl de suave descenso ( sgnfcatvo?). Dos cuestones parecen de nterés: () dferencas no sgnfcatvas para nveles altos de sulfamerazna?, () relacón cuadrátca entre los nveles medos de hemoglobna respecto a la cantdad de sulfamerazna? Para profundzar en ellas exploraremos el resto de herramentas.

6 6 Dseño y Análss de Expermentos ANOVA de un factor > Contrastes Permte realzar nferenca sobre contrastes personalzados, entendendo por contraste el valor desconocdo de una combnacón lneal específca de los efectos de los nveles del factor tratamento, donde los coefcentes de dcha combnacón suman 0: θ = α τ con α = Como ya ha sdo descrto en las sesones de teoría, estos contrastes engloban los contrastes dos a dos (parwse), los contrastes ortogonales de tendenca polnómca, los contrastes frente a un control, los contrastes de nteraccón, El cuadro de dálogo emergente al presonar el botón Contrastes es el que se muestra en la Fgura.5. Fgura.5 0 Exsten ahora hasta dos opcones: Selecconar un contraste de tendenca polnómca (lneal, cuadrátco, cúbco, ) que, en cualquer caso, será de orden gual o nferor a I- (grados de lbertad de la suma de cuadrados ntra-grupos), sendo I el número de nveles del factor tratamento. Esta opcón sólo tene sentdo cuando el factor tratamento es cuanttatvo y sus nveles representan valores concretos del msmo (generalmente equespacados aunque el SPSS tene en cuenta esto para construr los contrastes). S los grupos no tenen el msmo tamaño el SPSS presenta una solucón ponderada (para consegur pruebas ortogonales) con correccones apropadas sobre los tamaños muestrales. Selecconar contrastes personalzados medante la ntroduccón de los valores de los coefcentes ( α, α,..., α I ) deseados. El orden en que se ntroducen los coefcentes se corresponde con el orden ascendente de los códgos de los nveles del factor tratamento (el prmer coefcente corresponde al nvel con el códgo menor). Es posble defnr hasta 0 contrastes dferentes con un máxmo de 50 coefcentes por contraste. El procedmento es elemental. Para ntroducr el prmer contraste:. Introducr el prmer coefcente en el cuadro de texto Coefcentes y a contnuacón pulsar Añadr (se trasladará a la lsta de la parte nferor).. Repetr el paso anteror para todos los coefcentes (sempre un número gual al de tratamentos, añadendo ceros s es precso). 3. Utlzar Cambar y Borrar para modfcar y elmnar los coefcentes ntroducdos. Para ntroducr un nuevo contraste pulsar Sguente en Contraste de. A modo de ejemplo, la Fgura.6 muestra como solctar un contraste polnómco de grado en el problema de las truchas y la correspondente salda en el Vsor de Resultados se muestra en la Tabla.4. Master Ofcal en Técncas Estadístcas

7 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 7 Fgura.6 Tabla.4 Hemoglobna (grs por 00 ml) Inter-grupos (Combnados) Térmno lneal Contraste Desvacón ANOVA Suma de Meda cuadrados gl cuadrátca F Sg. 6, ,934 5,696,003 8,694 8,694 5,543,04 8,08 9,054 5,77,007 Intra-grupos Total Térmno cuadrátco Contraste Desvacón 5,5 5,5 9,73,004,856,856,8,86 56,47 36,569 83,74 39 S se analza la Tabla.4 obvando los bloques ntermedos (Térmno lneal y Térmno cuadrátco), se observa el cuadro ANOVA para el problema ncal (comparar con Tabla.). Las dferencas entre medas explcan una varabldad gual a 6,803 (de un total de 83,74) con tres (I-) grados de lbertad. Esa varabldad se puede descomponer en la suma de tres contrastes ortogonales (ndependentes), cada uno de ellos con un grado de lbertad: el contraste de tendenca lneal, el de tendenca cuadrátca y el de tendenca cúbca. La Tabla.4 nos muestra que parte es explcada por cada uno de ellos y smultáneamente nos nforma de cuáles son sgnfcatvos. En este caso no aparece el cúbco porque no se ha solctado. Así, el bloque denomnado Térmno lneal se refere al resultado de contrastar la lnealdad de las medas de hemoglobna en sangre respecto a la cantdad de sulfamerazna en la deta. Se observa que explca un total de 8,694 (sobre 6,803 que explcan los nveles en total). El resto, 8,08 (Desvacón) es achacable a los contrastes cuadrátco y cúbco (cada uno de ellos tambén con un grado de lbertad). De hecho, el contraste cuadrátco (Térmno cuadrátco) explca un total de 5,5. Ambos son sgnfcatvos a un 5% s ben el nvel crítco más pequeño corresponde al contraste cuadrátco tal y como se ntuía del gráfco de medas. Cuestón 5: Tene sentdo que ambos contrastes (lneal y cuadrátco) resulten sgnfcatvos? S nteresase testar que la cantdad de hemoglobna en sangre dfere cuando se ntroduce sulfamerazna en la deta, cabría plantear el contraste: H τ / 3( τ + τ + τ ) 0 frente a H τ / 3( τ + τ + τ ) 0 0 : 3 4 = que ndcaríamos al SPSS como se muestra en la Fgura.7. : 3 4

8 8 Dseño y Análss de Expermentos Fgura. 7 La correspondente salda en el Vsor de Resultados se reproduce en la Tabla.5. Tabla.5 ANOVA Hemoglobna (grs por 00 ml) Suma de cuadrados gl Meda cuadrátca F Sg. Inter-grupos 6, ,934 5,696,003 Intra-grupos 56,47 36,569 Total 83,74 39 Coefcentes de los contrastes Contraste Nveles del factor:cantdad de sulfamerazna 0 grs 5 grs 0 grs 5 grs Pruebas para los contrastes Hemoglobna (grs por 00 ml) Asumendo gualdad de varanzas No asumendo ld d d Contraste Valor del contraste Error típco t gl Sg. (blateral) -5,450,370-3,97 36,000-5,450,073-4,54 9,398,000 Nótese que el prmer cuadro reproduce de nuevo el ANOVA, el segundo recuerda los coefcentes del contraste (con objeto de corroborar que no se han ntroducdo erróneamente) y el tercero muestra los resultados del contraste de hpótess de nterés bajo los dos supuestos de varanzas guales y varanzas dferentes. En ambos casos exste sgnfcacón de modo que ntroducr sulfamerazna genera promedos de hemoglobna en sangre sgnfcatvamente superores (obsérvese el valor negatvo del contraste). Cuestón 6: Obsérvese que los coefcentes ntroducdos al SPSS no han sdo, -/3, -/3 y -/3 sno 3, -, - y -. Es mportante? Por qué o por qué no? Cuestón 7: Por qué ahora el contraste se ha resuelto con una t de Student y no con una F como los polnómcos? Master Ofcal en Técncas Estadístcas

9 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 9 ANOVA de un factor > Post hoc S la hpótess nula de gualdad de medas resultó rechazada con el F-test, nteresará realzar contrastes de rango múltple que permtan dentfcar las medas que dferen sgnfcatvamente controlando una tasa de error global para todas las comparacones smultáneamente. El cuadro de dálogo de este epígrafe proporcona un amplo abanco de dferentes procedmentos de rango múltple (asumendo varanzas guales y dstntas) como se muestra en la Fgura.8. Nótese que en partcular se ncluyen todos los procedmentos ntroducdos en las sesones teórcas. Fgura. 8 A modo de ejemplo se solctan las pruebas de rango múltple de Scheffe y de Tukey (marcar los consguentes campos y pulsar Contnuar). En el Vsor de Resultados se muestran entonces las saldas reproducdas en las tablas.6 y.7. La Tabla.6 muestra los resultados de cada contraste ndvdual de medas dos a dos (dferenca de medas muestrales, su error típco, nvel crítco para el crtero selecconado e ntervalo de confanza construdo para la dferenca de medas teórcas tambén con el crtero selecconado). Cuando el test partcular resulta sgnfcatvo la correspondente dferenca de medas muestrales se enfatza con un astersco. En este ejemplo ambos crteros encuentran dferencas sgnfcatvas al 5% en dos úncas comparacones: las medas de hemoglobna en sangre con 0 grs. y 5 grs. y con 0 grs. y 0 grs. En ocasones el detalle pormenorzado (comparacón a comparacón) puede resultar complejo de nterpretar y por ello resulta más cómoda de nterpretar la salda de la Tabla.7, donde se obtene un cuadro resumen de los subgrupos de medas homogéneos. Las medas que fguran en una msma columna del cuadro forman un subconjunto homogéneo, esto es, cualquer par de ellas non son sgnfcatvamente dferentes. De hecho, la sgnfcacón que aparece a pe de columna reproduce el menor nvel crítco encontrado entre todas las comparacones a pares de medas del subgrupo. En el ejemplo, las medas de hemoglobna para 0 y 5 grs. de sulfamerazna forman un subgrupo homogéneo (el nvel crítco del test de comparacón entre ambas resultó 0,054 con Tukey) y las medas para 5, 0 y 5 grs. tambén forman un subgrupo homogéneo (en las 3 posbles comparacones dos a dos, el menor nvel crítco fue 0,666 con Tukey). Convene advertr que este cuadro resumen de subconjuntos homogéneos no se proporcona para todos los procedmentos.

10 0 Dseño y Análss de Expermentos Tabla.6 Varable dependente: Hemoglobna (grs por 00 ml) HSD de Tukey Scheffé (I) Nveles del factor:cantdad de sulfamerazna 0 grs 5 grs 0 grs 5 grs 0 grs 5 grs 0 grs 5 grs (J) Nveles del factor:cantdad de sulfamerazna 5 grs 0 grs 5 grs 0 grs 0 grs 5 grs 0 grs 5 grs 5 grs 0 grs 5 grs 0 grs 5 grs 0 grs 5 grs 0 grs 0 grs 5 grs 0 grs 5 grs 5 grs 0 grs 5 grs 0 grs *. La dferenca entre las medas es sgnfcatva al nvel.05. Comparacones múltples Intervalo de confanza al 95% Dferenca de Límte medas (I-J) Error típco Sg. Límte nferor superor -,300*,560,003-3,639 -,6 -,8300*,560,0-3,339 -,3 -,4900,560,054 -,999,09,300*,560,003,6 3,639,3000,560,950 -,09,809,6400,560,666 -,869,49,8300*,560,0,3 3,339 -,3000,560,950 -,809,09,3400,560,99 -,69,849,4900,560,054 -,09,999 -,6400,560,666 -,49,869 -,3400,560,99 -,849,69 -,300*,560,006-3,77 -,488 -,8300*,560,04-3,47 -,88 -,4900,560,088-3,3,5,300*,560,006,488 3,77,3000,560,96 -,34,94,6400,560,79 -,00,8,8300*,560,04,88 3,47 -,3000,560,96 -,94,34,3400,560,946 -,30,98,4900,560,088 -,5 3,3 -,6400,560,79 -,8,00 -,3400,560,946 -,98,30 Tabla.7 Hemoglobna (grs por 00 ml) Nveles del factor:cantdad de Subconjunto para alfa =.05 sulfamerazna N HSD de Tukey a 0 grs 0 7,00 5 grs 0 8,690 8,690 0 grs 0 9,030 5 grs 0 9,330 Sg.,054,666 Scheffé a 0 grs 0 7,00 5 grs 0 8,690 8,690 0 grs 0 9,030 5 grs 0 9,330 Sg.,088,79 Se muestran las medas para los grupos en los subconjuntos homogéneos. a. Usa el tamaño muestral de la meda armónca = 0,000. Cuestón 8: Cómo es posble que la meda de hemoglobna en sangre con 5 grs. pertenezca a dos subgrupos homogéneos de medas dferentes? Master Ofcal en Técncas Estadístcas

11 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS EJEMPLO. Se planfca un expermento para estudar el efecto del nvel del agua sobre la longtud global del tallo de dos tpos de plantas de gusantes. Se utlzaron tres nveles de agua y los datos se recogen en la sguente tabla (en rojo fgura el orden temporal de la toma de datos). Nvel de agua Tpo de planta Tpo 7,3 (0) 75, (04) 69,0 (05) 73, (07) 74,4 () Tpo 70,4 (3) 73, (5) 7, (3) 7, (4) 69, (7) Nvel Nvel Nvel 3 07,5 (0) 96, (08) 03,6 (8) 00,7 () 0,3 (6) 88, (06) 85,8 (0) 86,0 (7) 87,5 (5) 8,0 (9) 3, () 5, (6) 5,7 (9),0 (0),9 (30) 09,0 (03) 0, (09) 03, () 09,7 (4) 06, (8).. Descrpcón del plan expermental, modelo y estmacón puntual. Exsten factores tratamento: Nvel de agua (con tres nveles de efectos fjos) y Tpo de planta (con dos nveles de efectos fjos). Los nveles se cruzan formando un total de 6 tratamentos o condcones expermentales dstntas. Para cada tratamento se obtenen 5 respuestas de la varable Crecmento de la longtud del tallo de otras tantas undades expermentales. Se crea así un dseño balanceado (equrreplcado de 5 réplcas), aleatorzado y de tamaño 30. Al dsponer de réplcas es posble contrastar la exstenca de nteraccón entre los nveles de los dos factores tratamento, de modo que el modelo matemátco es el propo de un dseño completo de dos vías: yjt = µ + ε, donde: y jt denota el crecmento observado para la t-ésma planta (t=,,5) del -ésmo tpo (=,) y tratada con el j-ésmo nvel de agua (j=,,3), µ j denota el crecmento promedo para las plantas del tpo (=,) que son tratadas con el nvel de agua j (j=,,3), jt j ε denota la parte de la respuesta y jt no explcada por el modelo. Se asume que losε jt son todos ellos ndependentes e déntcamente dstrbudos según una N ( 0,σ ). Equvalentemente, hacendo µ = µ + τ, se tene: j j yjt j jt = µ + τ + ε donde: µ denota el crecmento promedo con ndependenca de las condcones expermentales, τ j = µ j µ denota el efecto en el crecmento respecto del promedo para las plantas del tpo (=,) que son tratadas con el nvel de agua j (j=,,3). jt

12 Dseño y Análss de Expermentos τ = α + β + αβ, de modo que el En el modelo completo de dos vías, el efecto celda se descompone j j ( ) j modelo toma la forma: yjt j ( αβ ) ε jt = µ + α + β + + donde: α denota el efecto en el crecmento respecto a la meda propo de las plantas del -ésmo tpo (=,) y con ndependenca del nvel de agua empleado, β j denota el efecto en el crecmento respecto a la meda propo de las plantas tratadas con el j-ésmo nvel de agua (j=,,3), con ndependenca del tpo de planta, αβ denota el efecto de la nteraccón entre el -ésmo tpo de planta y el j-ésmo nvel de agua. ( ) j Todas las representacones anterores del modelo son equvalentes. La estmacón mínmo-cuadrátca de µ j es únca: la meda de las respuestas en la celda ( j ), esto es: ˆ µ j = yj.. La estmacón de la constante µ (llamada en el SPSS Interseccón) y de los efectos no es únca, sendo necesaro mponer restrccones. En los modelos anterores, de acuerdo a la nterpretacón dada (los efectos se computan respecto al promedo global µ ), las restrccones han sdo ˆ α ˆ β = ( ˆ α ˆ β ) = 0, resultando los estmadores: ˆ µ = y... ˆ j = ˆ µ j ˆ µ = y j. y... ˆ = y.. y... ˆ j = y. j. y... τ, para todo, j, α, para todo, β, para todo j, j = j ˆ αβˆ ˆ ˆ ˆ j = τ α β = y y y y y y = y y y + y ( ) j j j.... (..... ) (. j.... ) j.... j.... j j j, para todo, j En el SPSS se plantea el msmo modelo pero los efectos se computan con las restrccones ˆ α ˆ ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ I = β J = αβ Ij = αβ ) J = 0, para todo, j, sendo I y J los últmos códgos de los nveles de cada factor tratamento. En el ejemplo, la últma condcón expermental es: tpo de planta ( I = ) y nvel de agua 3 ( J = 3), por lo tanto, las restrccones son: ( ˆ αβˆ ) = ( ˆ αβˆ ) = ( ˆ αβˆ ) = ( ˆ αβˆ ) = ( ˆ α ˆ) 0 α = ˆ β = β. ˆ = Nótese que con este crtero tanto los estmadores de los efectos como su nterpretacón como dferen de los obtendos con el prmer crtero. Los efectos en el SPSS se estman como sgue: ˆ µ = y IJ. ˆj = ˆ µ j ˆ µ IJ = yj. yij. ˆ α = y.. yi.. ˆ β j = y. j. y. J., τ, ˆ α ˆ β = ˆ τ ˆ α ˆ β = y y y ( ) j I J j. IJ. (.. I.. ) (. j.. J. ) j.... j.... y y y = y y y j + y de modo que los parámetros deben nterpretarse como sgue: τ j es el efecto en el crecmento de las plantas del tpo (=,) tratadas con el nvel de agua j (j=,,3) respecto al crecmento promedo de las plantas de tpo tratadas con nvel de agua 3. α denota el efecto en el crecmento de las plantas del -ésmo tpo (=,) respecto de las plantas del tpo, con ndependenca del nvel de agua empleado, Master Ofcal en Técncas Estadístcas

13 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 3 β j denota el efecto en el crecmento de las plantas tratadas con el j-ésmo nvel de agua (j=,,3), respecto a las tratadas con el nvel de agua 3, con ndependenca del tpo de planta, αβ denota el efecto de la nteraccón entre el -ésmo tpo de planta y el j-ésmo nvel de agua. ( ) j Con este crtero para los efectos es sencllo escrbr el modelo matemátco utlzando varables dummy como sgue: y jt I J I J = µ IJ + α X + β jz j + ( αβ ) j X Z j + εjt = j= = j= sendo X la varable que toma el valor cuando la respuesta tuvo lugar en el nvel del prmer factor tratamento y 0 en otro caso, y Z j la varable que toma el valor s la respuesta se tomó en el nvel j del segundo factor tratamento y 0 en otro caso.. Entrada de datos. Se crean 4 columnas: nvel (con valores, y 3 y etquetas de valor Nvel, Nvel y Nvel 3, respectvamente), tpo (con valores y y etquetas de valor Tpo y Tpo, respectvamente), orden (recogendo los dígtos en rojo de la tabla de datos) y crecmento (recogendo las respuestas adecuadamente en consonanca con orden, tpo y nvel adecuados). El edtor de datos quedaría como se muestra en la Fgura. (etquetas de valor actvado). Fgura.,

14 4 Dseño y Análss de Expermentos.3 Análss de la varanza para varos factores tratamento..3. Cuadro de dálogo prncpal: Solucón por defecto. Como se muestra en la Fgura., selecconar la opcón Analzar > Modelo lneal general > Unvarante Fgura. Aparecerá el cuadro de dálogo que se muestra en la Fgura.3. Fgura.3 Master Ofcal en Técncas Estadístcas

15 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 5 Se solcta cubrr los sguentes campos: Dependente Introducr la varable respuesta (necesaramente cuanttatva y undmensonal). En el ejemplo se ntroducrá la varable crecmento. Factores fjos: Introducr las varables contenendo los nveles de los factores tratamento con efectos fjos (nveles específcamente selecconados ya que sus efectos sobre la respuesta desean ser comparados y son el objeto de la nvestgacón). Introducr tantas varables como factores tratamento. En el ejemplo dos varables: tpo y nvel. Factores aleatoros: Introducr las varables contenendo los nveles de los factores tratamento con efectos aleatoros (los nveles son una muestra aleatora de una poblacón mayor y por ello no son el objetvo de la nvestgacón ya que la nferenca se realza sobre la poblacón y no sobre la muestra). Introducr tantas varables como factores tratamento. En el ejemplo nnguna varable es de efectos aleatoros por lo que este campo quedará vacío. Covarables: Introducr las covarables (factor de control en el modelo no categórco sno ccontnuo). En el ejemplo no hay covarables por lo que este campo quedará vacío. Ponderacón MCP: Varable de pesos para computar los estmadores mínmo cuadrátcos de manera ponderada. De utldad cuando no se tene homoscedastcdad. Entrando las varables como se ha especfcado y pulsando Aceptar se obtene la salda por defecto que se muestra en la Tabla.. Tabla. Factores nter-sujetos Tpo de planta Nvel de agua 3 Etqueta del valor N Tpo 5 Tpo 5 Nvel 0 Nvel 0 Nvel 3 0 Pruebas de los efectos nter-sujetos Varable dependente: Crecmento longtud del tallo Suma de Fuente cuadrados tpo III gl Meda cuadrátca F Sgnfcacón Modelo corregdo 0664,0 a 5 3,8 5,874,000 Interseccón 604, , ,40,000 tpo 06,075 06,075 5,93,000 nvel 900,0 4600,00 545,40,000 tpo * nvel 40,834 00,97 3,8,000 Error 0,44 4 8,434 Total 7890, Total corregda 0866,534 9 a. R cuadrado =,98 (R cuadrado corregda =,977)

16 6 Dseño y Análss de Expermentos El cuadro Factores nter-sujetos proporcona un resumen de las etquetas de valor de cada nvel y el número de observacones de cada nvel. El cuadro Prueba de los efectos nter-sujetos proporcona el cuadro ANOVA. Lo proporcona para dos posbles descomposcones de la suma de cuadrados global según que en el modelo la respuesta aparezca en bruto (Suma de Cuadrados Total) o con la constante sustraída (Suma de Cuadrados Corregda). En efecto, el modelo en bruto es: y corregdo sustrayendo la constante: yjt yjt j ( αβ ) ε jt = µ + α + β + + j j ( αβ ) ε jt µ = α + β + + En el prmer caso la descomposcón de la suma de cuadrados es: j I J T = j= t= y jt = + I J T = j= t= I J T = j= t= y... + I J T = j= t= I J T ( y y ) + ( y y )..... = j= t=. j. I J T ( y y y + y ) + ( y y ) j.... j.... = j= t= j que de acuerdo a la notacón del problema en el SPSS equvale a: SC Total = SC Interseccón + SC tpo + SC nvel + SC tpo*nvel + SC Error En el modelo corregdo: I J T = j= t= que, en térmnos de la notacón del SPSS es: I J T I J T ( y y ) = ( y y ) + ( y y ) jt... + = j= t= I J T = j= t=..... = j= t=. j.. I J T ( y y y + y ) + ( y y ) j.... j = j= t= SC Total corregda = SC tpo + SC nvel + SC tpo*nvel + SC Error Aclarada la procedenca de las sumas de cuadrados, se descrbe a contnuacón la utldad del cuadro ANOVA: En prmer lugar nos centramos en la fla del Error: 3 5 SC Error = ( y ) = j= t= j.... y = 0,44 Los grados de lbertad son 4 y por tanto la SCM Error es ˆ σ = 0,44/4 = 8,434. Este valor es la estmacón nsesgada de la varanza del error ( Var ( ε jt ) = σ ). Será el denomnador para todas las pruebas F del cuadro ANOVA. + j.... La fla de la fuente de varacón denomnada Interseccón proporcona el resultado del contraste H : µ 0 frente a H : µ 0. Para ello se evalúa prmero el valor de: 0 = = j= t= SC Interseccón = y = 604,456 SCM Interseccón = 604,456 En el cuadro ANOVA, por Interseccón el SPSS entende el valor de la meda teórca global. Sn embargo, en el apartado de Estmacón de los parámetros, por Interseccón el SPSS entende el valor de la meda de la combnacón de nveles con los últmos códgos. Master Ofcal en Técncas Estadístcas

17 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 7 A contnuacón, el cocente: SCM Interseccón / SCM Error = 604,456/8,434=3066,4 que, en una F, 4, conduce a un p valor gual a 0. Por tanto se rechaza la nula y se concluye que el crecmento promedo de las plantas, con ndependenca de tpo de planta y de nvel de agua, es sgnfcatvamente mayor que cero. El resultado es desde luego el esperado en nuestro ejemplo pero, de hecho, será lo habtual. En general suele carecer de nterés testar s la constante del modelo es sgnfcatvamente dstnta de cero o no y por ello es frecuente ver el cuadro ANOVA asocado al modelo lneal corregdo. Las flas de las fuentes de varacón denomnadas tpo, nvel, tpo*error y Error son las ya estudadas relatvas a efectos margnales y efectos nteraccón. Prmero se contrasta la hpótess nula de no exstenca de efecto nteraccón H : αβ j = cte,,, calculando: ( ) j SC tpo*nvel = ( y y y + y ) = j= t= j.... j. SCM tpo*nvel = 40,834 / = 00,97 El cocente: SCM tpo*nvel / SCM Error = 00,97 / 8,434=3,8 que, en una F, 4, conduce a un p valor gual a = 40,834 Se rechaza la nula concluyendo que exste nteraccón sgnfcatva. El crecmento promedo depende de la combnacón concreta tpo de planta y nvel de agua empleado, de tal modo que no es posble comparar nveles de agua sn consderar el tpo de planta n comparar tpos de planta sn consdera los nveles de agua. Al no poder testar los efectos margnales las flas tpo y nvel del cuadro carecen de nterés. La fla de la fuente de varacón denomnada Modelo corregdo se refere a la suma de cuadrados explcada por la totaldad del modelo una vez sustraída la meda global, esto es: SC Modelo corregdo = SC tpo + SC nvel + SC tpo*nvel Concde claramente con la SC Inter-grupos de un modelo de una vía cuyos nveles son: tpo*nvel de agua. Por tanto, su sgnfcacón estadístca debe nterpretarse en la línea de afrmar que exsten dferencas en el crecmento según que combnacón de tpo de planta y nvel de agua se consdere. En resumen, el modelo apropado es: τ = α + β + αβ. descomposcón j j ( ) j La estmacón de ( ) yjt = µ + τ + ε, no debendo consderar la Var ε jt = σ es 8,434 y la estmacón de los efectos debe ser encontrada en un ANOVA de una vía. A pe de cuadro se proporcona el Coefcente de determnacón o R cuadrado que se obtene dvdendo SC Modelo corregdo entre SC Total corregda. En este caso arroja un valor gual a 0,98, muy alto que ncde en la alta capacdad predctva del modelo y = µ + τ + ε. jt j jt j jt

18 8 Dseño y Análss de Expermentos Cuestón 9: Cómo serían las fórmulas de las sumas de cuadrados en un modelo factoral completo balanceado de tres factores? Cuestón 0: Repetr el ejercco como s hubese un únco factor tratamento con ses nveles: (tpo nvel de agua ), (tpo nvel de agua ), 3 (tpo nvel de agua 3), 4 (tpo nvel de agua ), 5 (tpo nvel de agua ) y 6 (tpo nvel de agua 3). Comprobar que no se modfca la varanza resdual n el coefcente de determnacón. Prueba esto que se trata del msmo modelo? En qué estrban entonces las dferencas?.3. Herramentas: Seleccón del modelo Fgura.4 Analzar > Modelo lneal general > Unvarante > Modelo En este cuadro es posble construr el modelo de nterés ntroducendo los factores tratamento y sus nteraccones a nuestro antojo. Por defecto está el modelo Factoral completo (que ncluye a todos los factores tratamento ntroducdos prevamente y a todas sus nteraccones). S se desea un modelo alternatvo, por ejemplo un modelo de dos vías prncpales (esto es, sn nteraccón) entonces:. Marcar Personalzado. Se actvan los campos que le sguen.. En Construr térmnos selecconar Efectos prncpales, marcar tpo (F) en el campo Factores y covarables y pulsar la flecha en Construr térmnos. El factor tpo (F) ya formará parte del modelo al aparecer en el campo Modelo. 3. Hacer lo propo con el factor nvel (F). Dejar por defecto Suma de cuadrados Tpo III. Es el procedmento más utlzado. Proporcona la descomposcón de las sumas de cuadrados tal y como se ha vsto en las sesones de teoría. La suma de cuadrados Tpo III explcada por un factor A es gual a la dferenca entre la suma de cuadrados resdual del modelo completo (con todos los factores) sn el factor A y la suma de cuadrados resdual del modelo completo. Es ndependente del orden de ntroduccón de los factores tratamento y produce una descomposcón ortogonal de modo que las sumas de cuadrados suman la suma de cuadrados total. Master Ofcal en Técncas Estadístcas

19 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 9 En ocasones tambén es de utldad la Suma de cuadrados Tpo I. Se conoce como el método de descomposcón jerárquca de la suma de cuadrados. La suma de cuadrados Tpo I explcada por un factor A es gual a la dferenca entre la suma de cuadrados resdual del modelo construdo con los factores ncludos hasta ese momento menos el factor A y la suma de cuadrados resdual del modelo con A ncludo. Cuando el dseño es balanceado la descomposcón en suma de cuadrados Tpo III concde con la descomposcón en suma de cuadrados Tpo I..3.3 Herramentas: Contrastes personalzados Fgura.5 Analzar > Modelo lneal general > Unvarante > Contrastes En este epígrafe es posble realzar nferenca sobre contrastes ( θ = α τ con α = 0 ) personalzados. De entrada se proporconan en este cuadro de dálogo una sere de contrastes que pueden resultar de nterés sobre los efectos margnales. El procedmento es:. Elegr en el cuadro Factores: el factor tratamento sobre cuyos nveles se ejecutarán los contrastes. Por ejemplo, marcar nvel(nnguno).. Ir a Contraste:, abrr la persana del subcuadro y selecconar la famla de contrastes de nterés. Pulsar entonces el botón Cambar. Por ejemplo, s se seleccona Desvacón, al pulsar Cambar aparecerá el contendo del subcuadro Factores: ese modfcará y aparecerá nvel(desvacón). 3. Para algunos contrastes es posble modfcar la categoría o nvel de referenca. Las famlas de contrastes posbles son: Contrastes Desvacón Famla de I contrastes comparando el efecto de cada nvel del factor (menos el de referenca) con el efecto promedo global. Esto es: ( ) ( ) H 0 : τ τ = 0 frente a H : τ τ 0, para I s la categoría de referenca es la últma o para I s la categoría de referenca es la prmera.

20 0 Dseño y Análss de Expermentos Contrastes Smples Famla de I contrastes comparando el efecto de cada nvel del factor con el efecto del nvel elegdo como referenca. Esto es: ( ) ( ) H 0 : τ τ = 0 frente H : τ τ 0, para I s la categoría de referenca es la prmera o ben ( ) ( ) H 0 : τ τ I = 0 frente H : τ τ I 0, para I s la categoría de referenca es la últma. Contrastes Dferenca Famla de I contrastes comparando el efecto de cada nvel del factor (menos el prmero) con el efecto promedo de las nveles anterores. Esto es: () () H τ τ 0 frente H τ τ 0, 0 : = : () () H τ ( τ + τ ) 0 frente H τ ( τ + τ ) 0 H 0 : 3 = I : 3 ( I ) τ ( τ + τ τ ) 0 frente H τ ( τ + τ τ ) 0 ( I ) 0 : I I =,, I : I I Contrastes Helmert Famla de I contrastes comparando el efecto de cada nvel del factor (menos el últmo) con el efecto promedo de las nveles subsguentes. Esto es: () () H 0 : τ ( τ + τ τ I ) = 0 frente H : τ ( τ + τ τ I ) 0 I I () () H 0 : τ ( τ 3 + τ τ I ) = 0 frente H : τ ( τ 3 + τ τ I ) 0,, I I ( I ) ( I ) H τ τ 0 frente H τ τ 0 0 : I I = : I I Contrastes Repetdos Famla de I contrastes comparando efectos de pares de nveles adyacentes: cada uno (excepto el prmero) con el que le precede. Esto es: () () H τ τ 0 frente H τ τ 0, 0 : = () 0 : τ 3 τ = 0 ( I ) 0 : I τ I = : () : τ 3 τ,, ( I ) H : τ I τ I H frente H 0 H τ 0 frente 0 Contrastes Polnómcos Famla de I contrastes ortogonales de tendenca polnómca (lneal, cuadrátco, cúbco,, hasta grado I ). Cuestón : De todas las famlas de contrastes ncludas en este apartado del SPSS y asumendo que se trata de un dseño balanceado, cuáles están formadas por contrastes ortogonales? En presenca de nteraccón los contrastes deben realzarse sobre los nveles combnados y no sobre los efectos margnales. En otros térmnos, no es nformatvo ejecutar este procedmento con nteraccón sgnfcatva. Este es el caso del problema que se está a resolver, sn embargo, sólo a los efectos de ejemplfcar y mostrar la salda que genera esta herramenta, supongamos que se desea realzar los contrastes de Helmert para los efectos del factor tratamento nvel de agua. La salda en el Vsor de resultados sería la que se muestra en la Tabla.. Master Ofcal en Técncas Estadístcas

21 Tabla. Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS Nvel de agua contraste de Helmert Nvel - Anteror Nvel - Nvel 3 Resultados del contraste (matrz K) Estmacón del contraste Valor hpotetzado Dferenca (Estmado - Hpotetzado) Error típ. Sgnfcacón Intervalo de confanza al Límte nferor 95 % para dferenca Límte superor Estmacón del contraste Valor hpotetzado Dferenca (Estmado - Hpotetzado) Varable dependente Crecmento longtud del tallo -3, ,470,5,000-34,79-30,49-0, ,840 Error típ. Sgnfcacón Intervalo de confanza al 95 % para dferenca Límte nferor Límte superor,99,000-3,5-8,59 Resultados de la prueba Varable dependente: Crecmento longtud del tallo Fuente Suma de cuadrados gl Meda cuadrátca F Sgnfcacón Contraste 900,0 4600,00 545,40,000 Error 0,44 4 8,434 Los contrastes de Helmert son en este caso: () () H β ( β + β ) 0 frente H β ( β + β ) 0 0 : 3 = () 0 : 3 = : 3 () : 3 H β β 0 frente H β β 0 sendo β el efecto margnal del nvel de agua -ésmo. La resolucón partcular de cada uno de ellos se realza, bajo el supuesto de ndependenca y normaldad, medante la t de Student con un número de grados de lbertad gual al empleado para estmar el error. En general: Rechazar H : α τ 0 (con α = 0 = 0 ) al nvel de sgnfcacón α s: α ˆ τ SCMR α n t g. l.( SCMR), α sendo τˆ la meda muestral de las meda resdual. n observacones en el -ésmo nvel y SCMR la suma de cuadrados

22 Dseño y Análss de Expermentos Como el cuadrado de una t de Student con g.l. grados de lbertad es gual en dstrbucón a una F de Fsher- Snecdecor con y g.l. grados de lbertad ( t g. l. = F, g. l. ), el crtero de rechazo anteror puede escrbrse (elevando al cuadrado) como: Rechazar H : α τ 0 (con α = 0 = 0 ) al nvel de sgnfcacón α s: α α ˆ τ n SCMR F, g. l.( SCMR), α El valor de α ˆ τ CONTRASTE α τ. α se denomna SUMA DE CUADRADOS EXPLICADA POR EL n La Tabla. proporcona la resolucón de los dos contrastes de Helmert en base a la t (cuadro ttulado Resultados del contraste (matrz K)) y además faclta la suma de cuadrados de los dos contrastes para el test F (cuadro ttulado Resultados de la prueba). La nterpretacón de cada uno de los subcuadros del cuadro Resultados del contraste (matrz K) en la Tabla. es la que sgue: a) El valor estmado para β ( β + β3 ) es -3,470 (el efecto estmado del prmer nvel de agua sobre el crecmento fue nferor al efecto promedo de los otros dos nveles), con un error típco gual a,5. Esta dferenca estmada (-3,470) dvdda de su error típco estmado (,5) conducen a un valor extremo en la cola zquerda de una t de Student con 4 grados de lbertad (los msmos con los que se estmó el error del modelo), arrojando un nvel crítco (Sgnfcacón en termnología del SPSS) () gual a cero y por tanto se rechaza H 0 : β ( β + β3 ) = 0. El ntervalo de confanza al 95% para β ( β + β3 ) es ( -3,5, -8,59 ). b) El valor estmado para β β3,es -0,840 (el efecto estmado del segundo nvel de agua sobre el crecmento fue nferor al efecto del tercer nvel), con un error típco gual a,99. Estas estmacones () conducen de nuevo a un nvel crítco gual a cero y por tanto se rechaza H 0 : β β3 = 0. El ntervalo de confanza al 95% para β β3 es ( -34,79, -30,49 ). El segundo cuadro (Resultados de la prueba) proporcona la suma de cuadrados explcada por los dos contrastes Helmert y el correspondente F -test con dos (un grado de lbertad por contraste) y 4 grados de lbertad que muestra la sgnfcacón estadístca conjunta de ambos contrastes. Cuestón : Cómo se obtene el error típco de la estmacón de β ( β + β3 )? Cuestón 3: Por qué la suma de cuadrados de los dos contrastes Helmert (900,0) concde con la suma de cuadrados explcada por dferencas entre nveles de agua del cuadro ANOVA (ver Tabla.)? Cuestón 4: Qué parte de 900,0 es achacable al prmer contraste Helmert y qué parte al segundo? Master Ofcal en Técncas Estadístcas

23 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 3 Además de los contrastes descrtos, es posble realzar tambén nferenca sobre contrastes concretos que puedan ser de nterés. Para ello sn embargo es precso acudr al edtor de sntaxs y utlzar las nstruccones: CONTRAST prmero y SPECIAL después. Supóngase por ejemplo que se desea resolver uno de los contrastes anterores: empleando el edtor de sntaxs. () () H β ( β + β ) 0 frente H β ( β + β ) 0 0 : 3 = : 3 La manera más senclla de emplear ocasonalmente en edtor de sntaxs es a través del botón Pegar de los cuadros de dálogo. Una vez selecconadas las opcones del cuadro de dálogo, al pulsar Pegar se abre una ventana contenendo la sntaxs de las nstruccones ndcadas. S, por ejemplo, en el cuadro de dálogo Analzar > Modelo lneal general > Unvarante (ver Fgura.3) se ntroducen úncamente las varables tpo y nvel en el campo Factores fjos: y crecmento en el campo Dependente: y, a contnuacón, se pulsa en Pegar, entonces se abrrá la ventana de sntaxs que se muestra en la Fgura.6. Fgura.6 Sntaxs que vene a ndcar que se ejecutará un procedmento ANOVA de una vía (comando UNIANOVA), con varable respuesta crecmento y factores tpo y nvel (comnado BY), con suma de cuadrados de tpo III (línea de comandos /SSTYPE(3)=SSTYPE(3)), S sobre esa sntaxs qutamos el últmo punto (que ndca el fnal del conjunto de nstruccones) y añadmos la línea: /CONTRAST(nvel) = SPECIAL( ). daremos al SPSS la nstruccón precsa para resolver el contraste planteado. Bastará entonces, desde esa msma ventan de sntaxs, pulsar el botón Ejecutar y luego Todo.

24 4 Dseño y Análss de Expermentos.3.4 Herramentas: Contrastes post hoc Analzar > Modelo lneal general > Unvarante > Post hoc Ofrece la posbldad de realzar contrastes de rango múltple con los nveles de aquellos factores tratamento que se desee. Como en el epígrafe de contraste personalzados, las comparacones post hoc para los efectos margnales sólo deben realzarse en el supuesto de no nteraccón. Es precso ntroducr los factores de nterés y luego marcar los crteros de rango múltple deseados. En la Fgura.7se descrbe el cuadro de dálogo para solctar los procedmentos de Tukey y Bonferron para los nveles del factor tratamento Nvel de Agua y nnguno para el otro factor. Fgura Herramentas: Gráfcos de perfl Fgura.8 Analzar > Modelo lneal general > Unvarante > Gráfcos Master Ofcal en Técncas Estadístcas

25 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 5 Genera gráfcos de las medas muestrales undas por segmentos. Procedmento: Para obtener un gráfco de las tres medas estmadas para los nveles del factor Nvel de Agua (Fgura.9). Marcar nvel en el campo Factores:.. Pulsar el botón de la flecha de entrada al campo Eje horzontal. 3. Pulsar el botón Añadr, en el campo Gráfcos:. El factor nvel se ncorporará al campo Gráfcos:. Fgura.9 Medas margnales estmadas de Crecmento longtud del tallo 0,00 Medas margnales estmadas 0,00 00,00 90,00 80,00 70,00 Nvel Nvel Nvel de agua Nvel 3 Repetr el procedmento marcando ncalmente el factor tpo para obtener un gráfco de las medas estmadas para los dos nveles del factor tratamento tpo de planta. (Fgura.0) Fgura.0 Medas margnales estmadas de Crecmento longtud del tallo 00,00 Medas margnales estmadas 97,50 95,00 9,50 90,00 87,50 Tpo Tpo de planta Tpo

26 6 Dseño y Análss de Expermentos Para vsualzar el denomnado gráfco de nteraccón entre los dos factores tratamento (Fgura.), proceder como sgue:. Marcar nvel en el campo Factores:.. Pulsar el botón de la flecha de entrada al campo Eje horzontal. 3. Marcar tpo en el campo Factores:. 4. Pulsar el botón de la flecha de entrada al campo Líneas dstntas. 5. Pulsar el botón Añadr, en el campo Gráfcos:. En el campo Gráfcos: aparecerá nvel*tpo, que se refere al gráfco de nteraccón. Fgura. Medas margnales estmadas de Crecmento longtud del tallo 30,00 Tpo de planta Tpo Tpo Medas margnales estmadas 0,00 0,00 00,00 90,00 80,00 70,00 Nvel Nvel Nvel de agua Nvel 3 Se observa en la Fgura. que aparentemente no exste nteraccón entre tpos de planta y los dos últmos nveles de agua: el crecmento del tpo ha sdo superor en gual longtud promedo tanto con el nvel como con el 3 de agua y, análogamente, el nvel 3 de agua fue gual de mejor para el crecmento con ndependenca del tpo de planta. Este comportamento no se ha mantendo sn embargo con el nvel de agua y aquí está la posble nteraccón. Probablemente el nvel de agua sea el menos extoso pero es especalmente malo su comportamento para el tpo de plantas. Cuestón 5: Se propone el sguente ejercco. Resolver el msmo ejemplo tratado en la presente seccón pero selecconando un modelo de dos vías de efectos prncpales (esto es, sn nteraccón entre los dos factores tratamento). Pedr en cualquer caso la realzacón del gráfco de nteraccón. Observarás que no es el msmo que en el caso del modelo completo (ver Fgura.). De hecho ahora las líneas son exactamente paralelas. Cómo es ello posble s se trabaja con los msmos datos? Qué conclusón obtenes de este ejercco? Master Ofcal en Técncas Estadístcas

27 .3.6 Herramentas: Opcones Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 7 Analzar > Modelo lneal general > Unvarante > Opcones La sentenca anteror nos stúa en el cuadro de dálogo que se muestra en la Fgura.. Fgura. En el campo Medas margnales estmadas se podrá ndcar al SPSS que nos proporcone estmacones de las medas de todos los nveles de una fuente de varacón de nterés (o sea de factores ncludos en el dseño o nteraccón de factores, sean estas nteraccones ncludas o no en el dseño). Para ello, se trasladarán las fuentes de nterés desde la lsta Factores e nteraccones de los factores a la lsta Mostrar las medas para:. OJO! No se obtendrán necesaramente las medas muestrales de los correspondentes nveles sno las construdas a partr de los parámetros estmados para el modelo propuesto. Por ejemplo, el cuadro de medas estmadas para los nveles de la nteraccón tpo*nvel no es el msmo para un modelo completo que para un modelo de efectos prncpales (corroborando así lo apuntado para los gráfcos de nteraccón en la Cuestón 5). Comparar los efectos prncpales Al marcar esta opcón el SPSS realzará las comparacones de medas dos a dos (parwse comparsons) de todos los nveles de los efectos prncpales con tres posbles crteros que se seleccnarán en la lsta desplegable de Ajuste del ntervalo de confanza. El crtero MDS (Mínma Dferenca Sgnfcatva) consste smplemente en utlzar el crtero de la t de Student para comparar dos muestras ndependentes y por tanto no se controla la tasa de error de tpo I global. Las otras dos opcones Bonferron y Sdak suponen dferentes correccones para controlar esa tasa de error global y son recomendables cuando haya que realzar un número muy grande de comparacones dos a dos. Volvendo al ejemplo, en un modelo factoral completo, un cuadro de dálogo como el de la Fgura.3 dará lugar en el Vsor de Resultados a una salda como la que se muestra en las Tabla.3,.4 y.5.

28 8 Dseño y Análss de Expermentos Fgura.3 Tabla.3. Tpo de planta Estmacones Varable dependente: Crecmento longtud del tallo Intervalo de confanza al 95%. Límte Tpo de planta Meda Error típ. Límte nferor superor Tpo 99,407,750 97,859 00,954 Tpo 87,507,750 85,959 89,054 Varable dependente: Crecmento longtud del tallo (I) Tpo de planta Tpo Tpo (J) Tpo de planta Tpo Tpo Comparacones por pares Dferenca entre Basadas en las medas margnales estmadas. *. La dferenca de las medas es sgnfcatva al nvel,05. Intervalo de confanza al 95 % para dferenca a Límte medas (I-J) Error típ. Sgnfcacón a Límte nferor superor,900*,060,000 9,7 4,089 -,900*,060,000-4,089-9,7 a. Ajuste para comparacones múltples: Dferenca menos sgnfcatva (equvalente a la ausenca de ajuste). Contrastes unvarados Varable dependente: Crecmento longtud del tallo Suma de cuadrados gl Meda cuadrátca F Sgnfcacón Contraste 06,075 06,075 5,93,000 Error 0,44 4 8,434 Cada prueba F contrasta el efecto smple de Tpo de planta en cada combnacón de nveles del resto de los efectos mostrados. Estos contrastes se basan en las comparacones por pares, lnealmente ndependentes, entre las medas margnales estmadas. Master Ofcal en Técncas Estadístcas

29 Dseño y Análss de Expermentos en el SPSS 9 Tabla.4. Nvel de agua Estmacones Varable dependente: Crecmento longtud del tallo Intervalo de confanza al 95%. Límte Nvel de agua Meda Error típ. Límte nferor superor Nvel 7,80,98 69,95 73,705 Nvel 93,860,98 9,965 95,755 Nvel 3 4,700,98,805 6,595 Varable dependente: Crecmento longtud del tallo (I) Nvel de agua Nvel Nvel Nvel 3 (J) Nvel de agua Nvel Nvel 3 Nvel Nvel 3 Nvel Nvel Comparacones por pares Dferenca entre Basadas en las medas margnales estmadas. *. La dferenca de las medas es sgnfcatva al nvel,05. Intervalo de confanza al 95 % para dferenca a Límte medas (I-J) Error típ. Sgnfcacón a Límte nferor superor -,050*,99,000-4,73-9,369-4,890*,99,000-45,57-40,09,050*,99,000 9,369 4,73-0,840*,99,000-3,5-8,59 4,890*,99,000 40,09 45,57 0,840*,99,000 8,59 3,5 a. Ajuste para comparacones múltples: Dferenca menos sgnfcatva (equvalente a la ausenca de ajuste). Contrastes unvarados Varable dependente: Crecmento longtud del tallo Suma de cuadrados gl Meda cuadrátca F Sgnfcacón Contraste 900,0 4600,00 545,40,000 Error 0,44 4 8,434 Cada prueba F contrasta el efecto smple de Nvel de agua en cada combnacón de nveles del resto de los efectos mostrados. Estos contrastes se basan en las comparacones por pares, lnealmente ndependentes, entre las medas margnales estmadas. Tabla.5 3. Tpo de planta * Nvel de agua Varable dependente: Crecmento longtud del tallo Tpo de planta Tpo Tpo Nvel de agua Nvel Nvel Nvel 3 Nvel Nvel Nvel 3 Intervalo de confanza al 95%. Límte Meda Error típ. Límte nferor superor 7,600,99 69,99 75,8 0,040,99 99,359 04,7 3,580,99 0,899 6,6 7,00,99 68,339 73,70 85,680,99 8,999 88,36 05,80,99 03,39 08,50