Lo que nos interesa en el análisis de varianza de una vía es extender el test t para dos muestras independientes, para comparar más de dos muestras.

Transcripción

1 Capítulo : Comparacón de varos tratamentos o grupos Muchas preguntas de nvestgacón en educacón, pscología, negocos, ndustra y cencas naturales tenen que ver con la comparacón de varos grupos o tratamentos. Ya estudamos como comparar dferencas entre dos tratamentos cuando las poblacones son ndependentes, ahora nos nteresa comparar más de dos poblacones. La pregunta de nterés del nvestgador será exsten dferencas sgnfcatvas entre las medas de los tratamentos? S comprueba que exsten dferencas sgnfcatvas, entonces le nteresará saber cuáles de las poblacones o tratamentos comparados son dferentes? Prmero necestamos saber cómo contestar la pregunta general. El procedmento para determnar s exsten dferencas sgnfcatvas entre varas poblacones o grupos se llama Análss de Varanza, y nos vamos a referr a él usando las letras ANOVA por Analyss of Varance, en nglés. ANOVA es un nombre genérco y se usa para una varedad nmensa de modelos de comparacón de medas, tambén conocdo como dseño de expermentos. Por ahora sólo hablaremos del ANOVA smple, de un factor, o de una vía (one way ANOVA), que se refere a la comparacón de medas de dos o más tratamentos. Vamos a llamar factor a una varable cualtatva que usaremos para desgnar a los grupos o tratamentos a comparar. Los nveles del factor serán el número de tratamentos o grupos. El análss de varanza es smlar al análss de regresón y en realdad los dos pertenecen a la gran famla de los modelos lneales. Los modelos lneales se caracterzan por nvestgar la relacón entre una varable respuesta cuanttatva y una o más varables explcatoras. Sn embargo el análss de varanza dfere del análss de regresón en que en el ANOVA las varables explcatoras son cualtatvas o factores. Lo que nos nteresa en el análss de varanza de una vía es extender el test t para dos muestras ndependentes, para comparar más de dos muestras. ANOVA smple, de un factor, de una vía (one way ANOVA) Caso : Un médco quere comparar la efectvdad de tres tratamentos para reducr el colesterol de pacentes con altos nveles de colesterol sanguíneo. Se asgnan aleatoramente 6 ndvduos a los tres tratamentos ( en cada uno) y se regstra la reduccón de colesterol de cada pacente. Caso : Una ecóloga está nteresada en comparar la concentracón de cadmo en 5 ríos. Recolecta 5 muestras de agua ( muestras en cada río) y mde la concentracón de cadmo. En cada uno de los casos, descrba: a) cuál es el dseño de la nvestgacón? b) cuál es la varable respuesta? c) cuál es el factor o varable explcatva? d) cuántos nveles tene cada factor? Estos dos casos tenen smltudes. En ambos tenemos una varable respuesta cuanttatva (reduccón del colesterol, concentracón de cadmo) medda en varas undades (personas y muestras de agua). Esperamos que la respuesta sea Normal en ambos casos. Queremos comparar varas poblacones, tres tratamentos en el caso y 5 ríos en el caso. El caso es un expermento en el cual los pacentes son El desarrollo de este tema de estudo se debe prncpalmente al trabajo de Sr Ronald Fsher, cuyas contrbucones a la estadístca, desde 9 hasta 96, tuveron una gran nfluenca en toda la estadístca moderna.

2 asgnados aleatoramente a los tratamentos. En el caso es un estudo observaconal smplemente se toman muestras de dstntos ríos. En ambos casos podemos usar el ANOVA para analzar los datos. El caso se analzará medante un análss de varanza de un factor con nveles. El caso se analzará medante un análss de varanza de un factor con 5 nveles. TOMATES Porqué las plantas de tomate crecen con dferente tamaño? Un agrcultor quere comparar el efecto de tres fertlzantes (A, B y C) en el crecmento de sus plantas de tomate. Selecconó plantas de tomate de una semana y las plantó en dferentes maceteros. Asgnó aleatoramente los fertlzantes y se los admnstró a las plantas por 45 días. La fgura adjunta muestra los resultados de la altura de las plantas (en cms) según cada fertlzante. Fgura: Altura de plantas, en centímetros, según tres tpos de fertlzantes. Qué ocurró con la altura de estas plantas? Las plantas de tomate son todas de la msma varedad y de la msma edad. Además recberon el msmo cudado. Qué razones hay para que las plantas crezcan a dferente altura? DATOS: Altura de plantas de tomates tratadas con dstntos fertlzantes: Fertlzante A B C De qué manera podríamos comparar estos tres tratamentos? La respuesta natural sería comparar cada par de tratamentos o grupos con una prueba t para muestras ndependentes. Sn embargo, no es correcto hacer pruebas t de Student entre todos los pares posbles de medas ya que se altera el nvel de sgnfcacón fjado para cada una de las pruebas. Específcamente, aumenta la probabldad de encontrar dferencas donde no exsten, es decr aumenta el Error Tpo I.

3 S tenemos grupos, son comparacones posbles. En el Ejemplo A con B, A con C y B con C. S tenemos 4 tratamentos el número posble de pares de pruebas sería 4 4!. El test de ANOVA 6 permte el estudo smultáneo de las dferencas con un nvel fjo de sgnfcacón. Problema de comparacones múltples S tenemos 4 grupos o tratamentos, necestamos hacer 6 test de hpótess: : µ µ : µ µ : µ µ : µ µ!! : µ µ 4 : µ µ α,5 α,5 α,5 : µ µ : µ µ : µ µ 4 : µ µ 4 4 : µ µ 4 : µ µ α,5 α,5 α,5 A medda que aumenta el número de grupos, no podemos garantzar que se mantenga el nvel de sgnfcacón. Para soluconar este problema es que hacemos prmero una pregunta global y dependendo del resultados segumos nvestgando pares de grupos. Comparando medas medante ANOVA: 4 Se tenen muestras aleatoras ndependentes N ( µ,σ ) N ( µ,σ ) N ( µ,σ ) m.a.s. m.a.s. tamaño tamaño n... n m.a.s. tamaño n Poblacón Poblacón Poblacón Tenemos una muestra aleatora smple de n observacones de una poblacón N ( µ,σ ). Tenemos una muestra aleatora smple de n observacones de una poblacón ( µ,σ )... Tenemos una muestra aleatora smple de n observacones de una poblacón ( µ,σ ) Las muestras aleatoras son ndependentes una de otra. N. N. Nota: La desvacón estándar poblaconal de cada grupo es gual a σ (homocedastcdad).

4 IPOTESIS GLOBAL Usaremos µ para representar la meda del grupo, entonces estaremos nteresados en docmar la sguente hpótess: : µ µ... Grafcamente podemos representar esta hpótess: µ : al menos dos medas no son guales o: las medas poblaconales son guales Normal : al menos una meda es dferente Normal Normal σ σ σ µ µ µ µ µ µ µ TOMATES contnuacón pótess de nterés: Con un nvel de sgnfcacón α,5 Datos: (Salda de SPSS) Altura de las plantas (cm) : µ µ µ : al menosdos medasno son guales. Intervalo de confanza para la meda al 95% N Meda Desvacón típca Error típco Límte nferor Límte superor Mínmo Máxmo A B C Total Notacón en las muestras (,,): n n y s n n y y y s s s 4

5 Fuentes de varacón El análss de varanza se defne como una técnca en la que la varabldad de un conjunto de datos se dvde en varos componentes y cada unos de ellos se asoca a una fuente específca de varacón, de manera que durante el análss es posble encontrar la magntud con la que contrbuye cada una de esas fuentes en la varacón total. El nombre ANOVA es porque para comparar las medas de los grupos o tratamentos necestamos dentfcar las dstntas fuentes de varabldad. La varabldad de la varable respuesta, sn referenca a nngún factor que la pudera estar afectando, se conoce como varabldad total. La varabldad de la varable respuesta que se atrbuye a factores específcos se conoce como varabldad explcada. Mde la varabldad entre los dferentes grupos. La varabldad de la varable respuesta de las undades (expermentales) dentro de cada nvel del factor se conoce como varabldad no-explcada. Se desprende que: Varabldad total varabldad explcada + varabldad no explcada En el ejemplo de los tomates dstnga las fuentes de varacón. Para docmar la hpótess global acerca de las medas usaremos el test estadístco F. Este test contrasta la varabldad entre los grupos con la varabldad que será natural dentro de los grupos. F varabldad ENTRE las medas muestrales varabldad DENTRO de las muestras Pensemos Caso A: S las medas muestrales son exactamente guales, cuál será el numerador del test F? Case B: S las medas muestrales son muy dstntas entre los grupos, como será la varabldad entre comparada con el caso A? Qué valores puede tener el estadístco F? F puede ser negatvo? Qué tpo de valores de F serán a favor de la hpótess alternatva? Medas cuadrátcas El test estadístco del ANOVA es la razón entre dos meddas de varacón de los datos muestrales. El test estadístco F compara la varacón entre los promedos de los grupos con la varacón natural dentro de los grupos. Formalmente estas dos meddas de varacón se llaman medas cuadrátcas, así en el numerador tendemos la meda cuadrátca entre los grupos (MCE) y en el denomnador la meda cuadrátca dentro de los grupos (MCD). varabldad ENTRE las medas muestrales F varabldad DENTRO de las muestras MCE MCD 5

6 Las dos meddas de varabldad en ANOVA, MCE y MCD tenen la msma forma. Suma de cuadrados (SC) Meda cuadrátca Grados de lbertad (gl) Entre más grande sea la varacón entre las medas muestrales comparada con la varacón natural dentro de las muestras, mayor evdenca a favor de dferencas entre las medas poblaconales. En vsta de que sólo valores grandes del test estadístco nos srven para rechazar la hpótess nula, los test F de ANOVA son unlaterales (de una cola) con la dreccón del extremo haca la derecha. El valor p será la probabldad de observar un test estadístco tan o más grande. Dstrbucón F de Fsher Bajo el test estadístco F que se calcula en el ANOVA tene una dstrbucón F de Fsher con (-, n-) grados de lbertad. Característcas: La dstrbucón es sesgada a la derecha Sus valores son postvos, empezan en cero y se extenden hasta nfnto La curva de la dstrbucón queda defnda por los grados de lbertad del numerador y del denomnador 6

7 GRAFICOS Se muestran dos gráfcos de caja. Cada uno representa el resultado de sacar muestras aleatoras ndependentes de tres poblacones normales. En cuál de los dos gráfcos cree usted que podemos rechazar la hpótess nula : µ µ µ? Respuesta Respuesta Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo Cómo calculamos F? Cuando tenemos una muestra aleatora de una poblacón con varanza desconocda σ, vamos a estmar esta varanza con la varanza muestral s. La varanza muestral se calcula tomando la suma de los cuadrados de las desvacones a la meda y dvdendo por los grados de lbertad (n-). En este caso cada muestra aleatora, una por cada poblacones, tene su meda muestral y su varanza muestral representados por: y, y,..., y y s, s,..., s. Varacón ENTRE grupos: Bajo la hpótess nula, las medas poblaconales son guales. S la hpótess nula fuera certa, sería razonable promedar todas las observacones para tener una estmacón de la meda de la poblacón. La meda muestral común sería: n y + n y + L + n y y n La meda cuadrátca ENTRE los grupos o meda cuadrátca de los tratamentos se calcula como: SCE MCE donde la suma de cuadrados ENTRE (SCE) se calcula como: SCE n ( y y) + n ( y y) + L + n ( y y) n ( y y) ( tamaño muestra grupo)( meda muestral grupo meda muestral conjunta) grupos grupos 7

8 Varacón DENTRO de los grupos: Uno de los supuestos de ANOVA es que las poblacones tenen la msma varanza. Cada una de las varanza muestrales es un estmador de la varanza común σ, ndependente de s la hpótess nula es certa. Los grados de lbertad de cada varanza muestral es, n. La MCD esencalmente combna las varanza muestrales para obtener un estmador de σ. La meda cuadrátca dentro, es tambén llamada la meda cuadrátca del error. El denomnador del estadístco F es: MCD SCD n donde la suma de cuadrados DENTRO de los grupos se calcula: SCD ( n ) s + ( n ) s + + ( n ) s ( n ) L ( tamaño muestral grupo -)( varanza muestral grupo) grupos Note que esta cantdad es una extensón de la estmacón combnada de la varanza empleada para la prueba t de muestras: s grupos ( n ) s + ( n ) s + K + ( n ) p n + n + L + n Mdendo la varacón TOTAL: En ANOVA de una vía, la varanza total de todas las observacones esta dada por la suma de cuadrados total, SCT, que mde la varacón de cada observacón a la meda muestral de todas las observacones. s s SCT ( y j y) ( observacó n - meda muestral) observacones observacones La varacón total puede ser partconada entre las dos fuentes de varacón entre y dentro. La relacón entre las sumas de cuadrados es: SCT SCE + SCD. S se tenen dos de las sumas de cuadrados, se obtene la tercera fáclmente. 8

9 Tabla ANOVA Todo esto se resume en la tabla de Análss de Varanza, en que se presentan las fuentes de varacón, los grados de lbertad, las sumas de cuadrados y las medas cuadrátcas correspondentes: TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA gl Fuente de varacón Grados de lbertad SC Suma de Cuadrados MC Medas cuadrátcas F Entre tratamentos SCE n ( y y) SCE F MCE MCD Dentro de tratamentos n SCD n ( ) n s SCD n Total n SCT n ( y j y) Salda SPSS para ANOVA TOMATES ANOVA Altura de las plantas (cm) Suma de cuadrados gl Meda cuadrátca F Sg. Inter-grupos Intra-grupos Total Realce los cálculos para docmar la hpotess de nterés del Sr. de los tomates. Compruebe sus resultados con tabla salda del SPSS. - Compruebe la relacón entre las sumas de cuadrados y la de los grados de lbertad. - Escrba su conclusón para el Sr. de los Tomates. Revsón de supuestos de ANOVA Los supuestos del ANOVA son exactamente los msmos que los de la prueba t para comparar dos grupos.. los grupos o tratamentos son ndependentes entre sí, por ejemplo en un dseño expermental, los tratamentos son asgnados a grupos de personas asgnados al azar. Este supuesto es parte del dseño expermental, o en caso de que el estudo sea observacones se verfca en los datos.. La dstrbucón de los resduos es Normal. En la práctca, esto mplca un problema sólo s se consdera que las poblacones tenen dstrbucones marcadamente asmétrcas y en dreccones opuestas. En general, la falta de En el lbro de opns & opns & Glass aparece una dscusón detallada sobre la verfcacón de supuestos pag

10 normaldad de los resduos no tene gran efecto en el nvel de sgnfcanca del test F (se dce que la prueba F es estadístcamente robusta). En otro capítulo hablaremos de una alternatva de análss cuando los resduos no son normales que se llama estadístca no paramétrca. En SPSS no obtenemos drectamente los resduos del ANOVA. Como alternatva vamos a verfcar el supuesto de Normaldad usando la varable respuesta en vez de los resduos. Se verfca normaldad hacendo gráfcos y test de hpótess. Para los resduos (respuesta) de cada tratamento construya un hstograma o tallo-y-hoja y verfque que no exsta un sesgo pronuncado. Para tamaños de grupos n pequeños, estos gráfcos serán de poca utldad. SPSS realza dos test estadístcos para verfcar normaldad, el test de Kolmogorov-Smrnov y el test de Shapro-Wl. El test de Kolmogorov-Smrnov es un test clásco y conocdo. El test de Shapro-Wl es más nuevo y recomendado para tamaños muestrales mayores a 5. En todo caso, se espera que las conclusones con cualquera de los dos test sean las msmas. La hpótess será: : los resduos provenentes del : los resduos provenentes del tratamento son normales tratamento NO son normales Por lo tanto s el valor p del correspondente test es mayor que,5 aceptamos la hpótess nula y conclumos que se cumple el supuesto de Normaldad. Note que en este caso especal la hpótess de nterés es la hpótess nula.. La varanza de cada una de las dstrbucones es la msma (homocedastcdad). El supuesto de homogenedad de varanza se verfca con el test de Levene, tal como vmos para el caso de comparar dos grupos. pótess Test Estadístco Dstrbucón bajo o σ σ L σ : :al menos una varanza dfere F F de Fsher con grados de lbertad (-, n-) S el valor p del test es mayor que,5 entonces aceptamos la hpótess nula y decmos que se cumple el supuesto de homocedastcdad. S el valor p fuera menor de,5 y entonces no se cumple el supuesto de homogenedad de varanza. En este caso ya no podremos usar el test F de ANOVA para comparar las medas o tratamentos, es decr no es aconsejable el análss paramétrco.

11 Salda SPSS para ANOVA TOMATES (contnuacón) Altura de las plantas (cm) Fertlzantes A B C *. Este es un límte nferor de la sgnfcacón verdadera. a. Correccón de la sgnfcacón de Lllefors Pruebas de normaldad Kolmogorov-Smrnov a Shapro-Wl Estadístco gl Sg. Estadístco gl Sg * * * Prueba de homogenedad de varanzas Altura de las plantas (cm) Estadístco de Levene gl gl Sg..6.4

12 Comparacones múltples En el ANOVA estamos tratando de comparar varos promedos poblaconales, es decr estamos hacendo comparacones múltples. El procedmento nos ndca que prmero hacemos un test global para saber s exsten dferencas en al menos uno los promedos. S la respuesta es negatva (es decr aceptamos la hpótess de que las medas son guales) no es necesaro, n útl, segur hacendo comparacones. Pero s los datos son estadístcamente sgnfcatvos, entonces la pregunta sguente es: cuáles medas o grupos dferen? El llamado problema de comparacones múltples se debe a que cuando tenemos más de dos grupos a comparar, aumenta el número de pares de comparacones y el nvel de sgnfcacón α establecdo ya no es,5 sno mayor. Exste controversa en este tema, pero las revstas de corrente prncpal en general requeren el uso de métodos de comparacones múltples al hacer un ANOVA en sus publcacones. Exsten dferentes métodos de comparacones múltples, prmero lo más smple sería realzar test t para cada par de medas, esto se conoce como contrastes y "están permtdos" cuando las comparacones a realzar han sdo pre-planeadas en el dseño o protocolo del estudo. Sn embargo, a pesar de poder justfcar como pre-planeadas o a- pror, los llamados métodos post-hoc son los más seguros. Los métodos de comparacones múltples o post-hoc nos permten comparar las medas con un nvel de sgnfcacón global de α,5. En este curso revsaremos los contrastes (a-pror) y el método de Tuey (post-hoc), SPSS realza muchos otros métodos que puderan ser útles y que sguen la msma flosofía de Tuey. Contrastes Realzar contrastes es equvalente a realzar test t para comparar medas de todos los posbles pares de combnacones: y y j t MCD + ( ) n n j Donde MCD es la meda cuadrátca dentro o la estmacón de la varanza poblaconal. En SPSS tenemos que ndcar cuales son los pares a comparar ndcándole cuales son los coefcentes de los contrastes. Cada contraste tene que sumar cero: Coefcentes de los contrastes Fertlzante Contraste A B C El contraste equvale a docmar la hpótess: µ µ + µ, es decr µ µ El contraste equvale a docmar la hpótess:, es decr El contraste equvale a docmar la hpótess:, es decr : : µ + µ µ : µ + µ µ : : µ µ : µ µ

13 Salda SPSS Pruebas para los contrastes Altura de las plantas (cm) Asumendo gualdad de varanzas No asumendo gualdad de varanzas Contraste Valor del contraste Error típco t gl Sg. (blateral) Test de Tuey El test de Tuey es bastante conocdo y aceptado en la lteratura. La prueba estadístca que utlza el método de Tuey es la estadístca de rango estudentzado, q, donde: q y y j MCD q ~ q(, n ) Exsten tablas para la estadístca de rango estudentzado pero no las vamos a necestar, usaremos los resultados de SPSS: Varable dependente: Altura de las plantas (cm) SD de Tuey (I) Fertlzantes A B C (J) Fertlzantes B C A C A B Comparacones múltples *. La dferenca de medas es sgnfcatva al nvel.5. Intervalo de confanza al 95% Dferenca de Límte medas (I-J) Error típco Sg. Límte nferor superor -9.* * * * Notar que el error estándar es el msmo, lo que camba es la dstrbucón que estamos usando como referenca, y por lo tanto camba el valor- p. SPSS nos entrega una tabla con el resumen de las comparacones:

14 SD de Tuey a Fertlzantes A C B Sg. Altura de las plantas (cm) Subconjunto para alfa.5 N Se muestran las medas para los grupos en los subconjuntos homogéneos. a. Usa el tamaño muestral de la meda armónca 5.. Una manera de presentar estos resultados es con el gráfco que muestra las medas de cada grupo y sus ntervalos de 95% de confanza. Nota fnal: - El método de Tuey es cas sempre bueno. - S se tenen muchos tratamentos, el método de Scheffe es el más conservador. - S se tene un grupo control con el cual se queren comprar los tratamentos, exste un método especal para ese caso, la prueba de Dunnet. 4

15 Pasos en ANOVA de un factor:. Descrbr los grupos y verfcar los supuestos, se recomenda una descrpcón numérca (promedo y error estándar) y descrpcón gráfca (box) Descrpcón gráfca de efecto de los fertlzantes en la altura de los tomates. Análss de los supuestos: Normaldad y omocedastcdad - Normaldad: Test de Kolmogorov-Smrnov y Shapro-Wls - omocedastcdad: Test de Levene a) S no se obtene normaldad, se pueden trasformar los datos o usar métodos no paramétrcos (otro capítulo). b) S no se obtene homogenedad de varanza: se pueden trasformar los datos o usar métodos no paramétrcos o realzar el Test de Welch (para comparar las medas). Tabla de ANOVA a) S F grande, valor p menor a,5 entonces: Test de comparacones múltples b) S valor p mayor a,5 quere decr que no hay dferencas estadístcamente sgnfcatvas entre los promedos y por lo tanto no hay más preguntas. Ver Aron & Aron capítulo 5 5