DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO

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1 DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO yj µ + τ + uj ; :,..., I ; j:,..., n µ : Meda general ; τ : Efecto del tratamento esmo u j : Errores expermentales HIPOTESIS DEL MODELO La meda sea cero: La varanza sea constante: Independentes entre s: E uj 0, j Var u j σ, j E uj urk 0 r o j k Dstrbucón sea Normal: u j Dstrbucón Normal

2 MODELO DE EFECTOS FIJOS yj µ + τ + uj E yj µ + τ µ n τ I 0 OBJETIVOS Estmar los Parámetros del Modelo Contrastar la Hpótess de Igualdad de los tratamentos Comprobar la Idonedad del Modelo Comparacones Múltples H H Contraste de Hpótess 0:... I : µ µ j µ µ µ µ H : τ 0 H 0 Para algún par (, j) : τ 0 Para algún

3 ANALISIS DEL MODELO DE EFECTOS FIJOS Tratamentos y... y... y n y y j n j.... n y y y y y n y y.. n I y... y... y n y y.... I Ij In I I I I N y y.. N I es el número total de observacones n. n. y. n El total y la meda del -esmo tratamento: y y j j y j y j n n El total y la meda general: I n I j j... y y y..... y I n I y y j j n y N N 3

4 ESTIMACIÓN POR MÁXIMA VEROSIMILITUD I n yj y N j ˆ.. µ τ n ˆ j ˆ... y µ y y n j I ( ) ˆ 0.. ˆ nτ GL τ I I n I n I ˆ σ ( y ˆ µ ˆ τ ) ( y y. ) n s N N N j j j j 4

5 RESIDUOS e ˆ ˆ ˆ. j yj yj yj µ τ yj y ˆ σ I n e j N j n j ej 0,..., I G.L. (RESIDUOS) N - I 5

6 PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES ˆµ es un estmador centrado de µ [ ] ˆ.. E µ E y µ ˆ τ es un estmador centrado de τ [ ] ˆ... E τ E y y τ ˆ σ no es un estmador centrado de σ E ˆ N I σ σ N VARIANZA RESIDUAL I n ( ) I n. S R yj y ej N I N I j j E S R σ 6

7 DESCOMPOSICION DE LA VARIABILIDAD I n I I n ( ) ( ) ( ) y y n y y + y y j j j j ( ) I n.. j j SCT y y I ( ) SCTr n y y ( ) I n. j j SCR y y... SCT SCTr + SCR I n CMTr S y Tr I y j CUADRADOS MEDIOS I n CMT S T N y j y j... ( ) ( ).. I n (. ) R N I j j CMR S y y 7

8 I n CMTr S y Tr I y j CUADRADOS MEDIOS I n CMT S T N y j y j... ( ) ( ).. I n (. ) R N I j j CMR S y y ANALISIS ESTADÍSTICO H 0: µ µ... µ I µ H 0: τ τ... τ I 0 Estadístco de Contraste F ( ) S Tr ( ) R SCTr σ I SCR σ N I S F I, N I Crtero de Rechazo Fexp > F α ; I, N I 8

9 F. V. Entre Tratamentos Resdual TOTAL TABLA ANOVA S. C. SCTr I n y y SCR I n y j y j... ( ) ( ). I n SCT y j y j ( ).. G. L. I - N - I N - C. M. S Tr S R S T Fexp Tr R S S 9

10 FORMA PRACTICA DE LA TABLA ANOVA F. V. Entre Tratamentos Resdual SCTr I S. C.... y y n N I n I j j SCR y y n. G. L. I - N - I C. M. S S Tr R TOTAL I n SCT y j j y.. N N - S T COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN SCTr R SCT Fexp Tr R S S 0

11 Ejemplo Una compañía textl utlza dversos telares para la produccón de telas. Aunque se desea que los telares sean homogéneos con el objeto de producr telas de resstenca unforme se supone que puede haber una varacón sgnfcatva en la resstenca de la tela debdo a la utlzacón de dstntos telares. A su dsposcón tene 5 telares con los que realza determnacones de la resstenca de la tela. Este expermento se realza en orden aleatoro y los resultados se muestran en la tabla sguente. Telares Resstenca

12 Telar Observacones n. y 6 y y j y. n y n j SCT y y N j SCTr 5... y y n N SCR SCT SCTr 98

13 TABLA ANOVA F. V. S. C. G. L. C. M. Trat. Telqares Resdual TOTAL Nvel de Sgnfcacón: α ; 4,.84 F Fexp 3.55 Fexp > F-t Nvel de Sgnfcacón: α 0.0 F Fexp 3.55 Fexp > F-t 0.0; 4, 4.37 Fexp 3.55 Rech. H 0 Rech. H 0 C.D

14 MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS yj µ + τ + uj,..., I ; j,..., n τ Varables Aleatoras E uj 0, j HIPOTESIS DEL MODELO E[ τ ] 0 Var u j σ, j [ ] Var τ σ τ E uj urk 0 r o j k Cov τ, τ j 0 j. u j Dstrbucón Normal u j y τ Son Independentes τ Dstrbucón Normal σt στ + σ 4

15 0 : 0 : 0 H στ H στ > Estadístco de Contraste F ( ) S Tr ( ) R SCTr σ I SCR σ N I S F Crtero de Rechazo Fexp > F α ; I, N I S Tr N n + S σ R ( ) N N I στ σ ˆ σ S R ( ) ˆ N N I σ τ N n ( ) S Tr S R I, N I 5

16 Ejemplo En una forja se utlzan varos hornos para calentar muestras de metal. Se supone que todos los hornos operan a la msma temperatura, aunque se sospecha que quzás esto problamente no sea certo. Se selecconan aleatoramente tres hornos y se anotan sus temperaturas en sucesvos calentamentos, obtenéndose las observacones que se muestran en la Tabla. Hornos Temperaturas

17 ˆ σ τ TABLA ANOVA F. V. S. C. G. L. C. M. Fexp C.D. Trat. Hornos Resdual TOTAL Nvel de Sgnfcacón: α ;, 3.89 F Fexp 8. 6 Fexp > F-t Rech. H 0 ( ) N N I ( ) 5 ( ) S S Tr R 5 77 N n ˆ ˆ + ˆ σt στ σ 7